Chuyên đề Bất đẳng thức Cô-Si ( cauchy)

LỜI MỞ ĐẦU
Lâu nay, đối với người dạy và học toán, ai cũng biết bất đẳng thức là bài toán khó, ẩn chứa nhiều thủ thuật đòi hỏi người làm toán phải biến đổi không theo một trình tự nhất định. Vì vậy từ lâu người ta phải mượn đến bất đẳng thức Cô si để làm vơi đi những khó khăn đó. Tuy nhiên trong quá trình phát triển, ngày càng gặp nhiều khó khăn trong việc dùng bất đẳng thức Cô si. Vì vậy, tôi xin giới thiệu một mẹo nhỏ xem như là thuật toán để giải một lớp các bài toán bất đẳng thức thường gặp đó là: Từ vế trái, quan sát vế phải, thử điều kiện dấu “=” xảy ra để chọn ra hạng tử dùng Cô si.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ( CAUCHY)
	1/ Đối với hai số không âm: 
Với mọi a ³ 0, b ³ 0, ta có: ³ .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Hệ quả : 
+ Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không thay đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
+ Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không thay đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
	2/ Đối với ba số không âm:
Với mọi a ³ 0, b ³ 0, c ³ 0, ta có: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
3/ Đối với n số không âm:
Với mọi a1 ³ 0, a2 ³ 0, ... , an ³ 0, ta có:
 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an.
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho a, b, c > 0. CMR: 	
HD: 
+ Quan sát VT và VP
+ Từ a3b, muốn xuất hiện a2bc, áp dụng cô si cho hai số a3b và abc2.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 2. Cho . CMR: 	
HD: 
+ VP = 1 
+ Từ , muốn xuất hiện x2, áp dụng cô si cho hai số .
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 3. Cho a, b, c > 0. CMR:
HD: 
+ Từ a3, muốn xuất hiện , áp dụng cô si cho 2 số a3; abc.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 4. Cho a, b, c 0. CMR:
HD: 
+ Từ , muốn xuất hiện , áp dụng cô si cho 2 số và 1.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.	
Bài 5. Cho a, b > 0. CMR: 	
HD: 
+ Từ , muốn xuất hiện , áp dụng cô si cho 3 số: .
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 6. Cho a, b, c > 0. CMR: 	
HD: 
+ Quan sát VT và VP, VP = 
+ Từ hạng tử , muốn xuất hiện a, áp dụng cô si cho hai số 
 và .
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 7. CMR: 
+ Muốn xuất hiện 3x, áp dụng cô si cho hai số .
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 8. Cho a, b, c > 0. CMR: 
HD: 
+ Từ , muốn xuất hiện , áp dụng cô si cho 3 số 
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 9. Cho a + b + c = 0. CMR: 
HD: 
Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c 
+ (1) Û , với 
+ Từ x3, muốn xuất hiện x, áp dụng cô si cho 3 số x3 ; 1 ; 1.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 10. Cho . CMR:
HD: 
+ VP 
+ Từ , muốn xuất hiện a2, áp dụng cô si cho hai số .
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 11. Cho x, y, z > 0; . CMR: 
HD: 
a) 
+ Từ x3, muốn xuất hiện x2, áp dụng cô si cho ba số x3; x3; 1.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
b)
+ Từ x3, muốn xuất hiện x, áp dụng cô si cho ba số x3; 1; 1.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 12. Cho x, y ³ 0 và . CMR: 
HD: 
a) 
+ Từ y2, muốn xuất hiện y3, áp dụng cô si cho hai số y2 và y4. 
b) 
+ Từ x, muốn xuất hiện x2, áp dụng cô si cho hai số x và x3.
+ Hạng tử còn lại tương tự.
Bài 13. Cho a > 0. CMR: 	
HD:
+ Từ a, muốn xuất hiện , áp dụng cô si cho 3 số: a; 1; 1.
+ Từ a, muốn xuất hiện , áp dụng cô si cho 3 số: a; a; 1.
Bài 14. Cho x, y, z > 0; x + y + z ³ 1. CMR:
HD:
+ Từ , muốn giảm dần bậc của x, áp dụng cô si cho 2 số và x. 
+ Từ , muốn giảm dần bậc của x, áp dụng cô si cho 2 số ; x. 
+ Từ , muốn xuất hiện x, áp dụng côsi cho 2 số và y.
Bài 15: Cho x, y, z > 0. CMR:	 
HD:
+ BĐT Û 
+ Từ VT, muốn xuất hiện , áp dụng cô si cho 3 số .
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 16. Cho x, y > 0, thỏa x + y = 1. Tìm GTNN của 
HD:
+ Từ x + y, muốn xuất hiện xy, áp dụng cô si cho 2 số x, y ta được
.
+ Từ xy, muốn xuất hiện hằng số, thử điều kiện dấu “=” xảy ra, áp dụng cô si cho 2 số: xy và .
+ .
+ ĐS: MinQ = 
Bài 17. Cho x, y > 0; x2, y2 ³ 4. Tìm GTNN của 
HD:
+ Từ , muốn xuất hiện hằng số, thử điều kiện dấu “=” xảy ra, áp dụng cô si cho 2 số và .
(; )
+ 
+ ĐS: MinE = 18
Bài 18. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình:
HD:
+ Muốn xuất hiện xyz ở PT (1), áp dụng cô si cho 2 số x2; z2 và z2; 4y2.
+ .
+ ĐS: x = z = 4, y = 2.
Bài 19. Cho x > 0, y > 0; x2 + y2 = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
HD:
+ Từ x2 và , muốn xuất hiện hằng số, áp dụng cô si cho 3 số: 
+ Hạng tử còn lại tương tự.
Bài 20. Cho ; x3 + y3 2
Tìm giá trị lớn nhất của	 P = x2 + y2
HD:
+ Từ x3, muốn xuất hiện x2, áp dụng cô si cho 3 số x3; x3; 1.
+ Hạng tử còn lại tương tự.
Bài 21. Cho x, y, z > 0. CMR 
HD:
+ Từ , muốn xuất hiện và rút gọn , áp dụng cô si cho 2 số x3 và y2.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 22. Cho a, b, c > 0. CMR: 
HD: 
+ Từ VT, muốn xuất hiện , áp dụng cô si cho 5 số: 
.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
Bài 23. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình:	 
HD:
+ Muốn xuất hiện x3y ở phương trình (1), áp dụng cô si cho 4 số 
x; x; x; y.
+ .
+ ĐS: Hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 24. Cho a, b, c > 0, thỏa: 
Tìm GTLN của 	T = 
HD:
+ Từ , muốn xuất hiện a2, áp dụng cô si cho 2000 số gồm:
1998 số 1 và 2 số a2000.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
+ ĐS: Max T = 3
Bài 25. Cho x, y, z > 0, thỏa: x + y + z = 2004
Tìm GTNN của 	
HD:
+ Từ , muốn xuất hiện x, áp dụng cô si cho 30 số dương gồm: 
; 21 số y và 8 số 668.
+ Các hạng tử còn lại tương tự.
+ (Ví dụ: Áp dụng cô si cho 30 số dương gồm: 
; 21 số y và 8 số a > 0 nào đó. 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = a = ).
+ ĐS: Min P = 3.(668)9