Chuyên đề Bất phương trình

Bất phương trình
 Giải bất phương trình không chứa tham số
Muốn giải một bất phương trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách: 
a) Đưa vế trái của bất phương trình (vế phải của bất phương trình là 0) về dạng tích, thương của các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tương tự như ở mụcI).
b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tương tự như ở mục I) để đưa về bất phương trình bậc hai quen thuộc.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
Giải: 
Xét 
Ta có bảng xét dấu :
Xem bảng xét dấu ta có nghiệm của bpt là: 
Xét 
 Mẫu 
Ta có bảng xét dấu:
Xem bảng xét dấu ,vậy nghiệm bpt là 
Bài tập tương tự : Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn:
Phân tích vế trái đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2
Cách 1: Tách nhóm các số hạng sao cho hợp lý
Ta có: 
Cách 2:Xét nghiệm của đa thức , nếu có nghiệm hữu tỷ là ước (kể cả âm ) của là ước của nghiệm hữư tỷ nếu có của chỉ có thể là . Dùng lược đồ Hoocne ta thấy , và khi đó chia cho ta được 
Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định , ta cũng đưa được .
Vậy 
Ta có bảng xét dấu:
Vậy nghiệm của 
Ví dụ2: Giải bất phương trình
Giải:
Đặt 
 trở thành: 
Từ 
Vậy nghiệm của bpt đã cho là 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau
Giải:
Thấy không thoả mãn , chia hai vế cho ,
 đặt trở thành
Vậy ta có
Kết luận nghiệm của BPT là 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau 
Giải:
Xét 
Chọn sao cho: chọn 
Khi đó trở thành: 
Vậy nghiệm của đã cho là: 
Bài tập tương tự: Giải BPT sau ( tham số )
Hướng dẫn:
* Nếu 
*Nếu , nhân hai vế của với 
Đặt trở thành: 
Xét , vậy có hai nghiệm đối với ẩn là: 
 Thay , ta có trở thành: 
Mặt khác ta có 
Đáp số : 
II.Bất phương trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của bất phương trình 
Cơ sở lý thuyết:
* vô nghiệm 
* vô nghiệm 
*Cho bất phương trình: . Điều kiện cần và đủ để được thoả mãn với là: , với là tập nghiệm của ,( Tập cho trước có thể là: )
Ví dụ1: Cho tam thức:
Xác định sao cho:
Bất phương trình vô nghiệm;
Bất phương trình có nghiệm.
Giải:
Vậy không thoả mãn đều kiện bài toán.
 *
 vô nghiệm 
Để xác định sao cho bất phương trình có nghiệm , ta giải bài toán:''Xác định sao cho vô nghiệm''
*
Vậy không thích hợp.
*Ta có:
vônghiệm
Tóm lại, điều kiện để vô nghiệm là .
Vậy, điều kiện để có nghiệm là 
Bài tập tương tự: Với những giá trị nào của thì :
Hướng dẫn:
Để ý thấy do 
Vậy 
Hệ có nghiệm với 
Đáp số: 
Ví dụ 2:Cho bất phương trình: 
Tìm để bất phương trình được thoả mãn với .
Tìm để bất phương trình có nghiệm 
Giải:
 Cách giải1: Phương pháp tam thức bậc hai.
Gọi X là tập nghiệm của .Ta tìm 
+ không thích hợp.
+, không thoả mãn 
+:
Xét dấu và :
thoả mãn
 .
Tổng hợp các kết quả trên, ta được:.
Cách giải 2: Phương pháp hàm số:
Đối với học sinh đã được học kiến thức về khảo sát hàm số thì phương pháp giải này là khá hiệu quả ( Nếu như việc cô lập được tham số từ bất phương trình đã cho là đơn giản).
Cơ sở lý thuyết:
Giả sử hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , liên tục trên .
* có nghiệm .
*.
* có nghiệm .
*
Trở lại bài toán ta có: 
 (do)
Yêu cầu bài toán 
Xét 
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Xem bảng biến thiên ta có , vậy được thoả mãn 
Cách giải1( phương pháp tam thức bâc hai - bạn đọc tự giải) 
Cách giải2: Phương pháp hàm số
Tương tự câu Yêu cầu bài toán trở thành : 
Tương tự như câu ta có .
Bài tập tương tự: Xác định để bất phương trình :
, 
Đáp số: hoặc 
Ví dụ 3: Tìm 
Cách giải:
Gọi .
 ta có không trái dấu với nhau.
Chú ý: Trong quy ước mẫu thức bằng thì tử thức cũng bằng 
Bài tập áp dụng: Tìm để 
Giải:
Ta có 
Bởi thế và là tương đương.
Vậy 
Ví dụ 4: Cho 
Tìm a để 
Giải:
Viết lại 
Gọi 
Ta thấy 
Đáp số: 
Bài tập tương tự: Tìm để 
Hướng dẫn:
Viết lại 
Yêu cầu bài toán