Chuyên đề: Cực trị

 1 
Phần 1: 
 CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ: 
Một số dạng toán thường gặp: 
▼ Dạng 1: đưa về dạng bình phương 
I. Phương pháp giảỉ: 
Đưa về dạng 
A2≥0, hoặc A2+ c≥ c (vớI c là hằng số) dấu bằng xảy ra khi A=0 
II. Một số bài tập ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Tìm giá trị lớn nhất của P ( )1x x= − 
 Lời giải: 
( )
2
1 1 1
1
2 4 4
P x x x x x = − = − + = − − + ≤ 
 
Đẳng thức xảy ra khi 
1
2
x = và 
1
4
x = 
Do đó giá trị lớn nhất của P là 
1
4
 đạt khi 
1
4
x = 
Ví dụ 2: 
Tìm giá trị của x để biểu thức 
2
1
2 2 5x x− +
 có giá trị lớn nhất 
Lời giải: 
Ta có: 
( )22
2
2 2 5 2 3 3
1 1
32 2 5
x x x
x x
− + = − + ≥
⇒ ≤
− +
Do đó, khi 2x = thì bỉêu thức 
2
1
2 2 5x x− +
 có giá trị lớn nhất là 
1
3
V í d ụ 3: 
VớI x,y không âm; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 2 3 2 2004,5P x xy y x= − + − + 
Lời giải: 
Đặt ,x a y b= = vớI , 0a b ≥ ta có: 
www.laisac.page.tl 
Chuyên Đề:  C Ự C T R Ị 
 2 
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
22 2
2 2
2
2
2 3 2 2004,5
2 1 3 2004,5
2 1 1 2 2 2003,5
1 1
1 2 2003,5
4 2
1
1 2 2003 2003
2
P a ab b a
a b a b
a b a b b b
a b b b
a b b
= − + − +
= − + + +
= − + + + + − +
 = − − + − + + − 
 
 = − − + − + ≥ 
 
Vì ( )21 0a b− − ≥ và
2
1
0 ,
2
b a b − ≥ ∀ 
  
 1a b= + 
3
2
a = 
2003P = ⇔ ⇔ 
1
2
b = 
1
2
b = 
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 2003 khi 
3
2
x = và 
1
2
y = hay 
9
4
x = và 
1
4
y = 
III. Bài tập tự giải: 
1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 22 5 4 2P x y xy x= − − − + 
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) 2 2, 2 6 12 45f x y x xy y x= − + − + 
3) Cho hai số x,y thoả mãn đẳng thức: 2 2
2
1
8 4
4
x y
x
+ + = 
Xác định x,y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất 
4) Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên. Hãy tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức: A = (x– 2y + 1)2 + (2x + ay +5)2 
Hướng dẫn giảI và đáp số: 
1)Max P = 3 khi (x,y) = (1, -2) 
2) ( ) ( )2 2, 6 5 9 9f x y x y y= − − + + ≥ 
3) Thêm 24 4xy x+ vào 2 vế 
Kết quả: xy đạt GTNN là 
1
2
− khi 
1
2
x = ± 1y = ± 
4) 0A ≥ khi a ≠ -4, 
9
5
A = khi a = -4 
 3 
▼ Dạng 2: sử dụng miền giá trị của hàm số 
I. Phương pháp giảỉ: 
Cho y = f(x) xác định trên D 
( )0y f D∈ ⇔phương trình ( )0y f x= có nghiệm 0a y b⇔ ≤ ≤ 
Khi đó min y = a, max y = b 
II. Một số bài tập ví dụ: 
 Ví dụ 1: 
Tìm Max và Min của: 
2 1
x
y
x
=
+
Lời giải: 
Tập xác định D = R ⇒ 0y là một giá trị của hàm số 
 ⇔ phương trình 0 2 1
x
y
x
=
+
 có 1 nghiệm x∈R 
 ⇔ phương trình 2 0 0x y y x+ = có nghiệm x∈R 
 ⇔ phương trình 2 0 0 0x y x y− + = có nghiệm x∈R 
 ⇔ 0∆ ≥ 
 ⇔ 21 4 0y− ≥ 
 ⇔ 2 4y ≤ 
 ⇔
1 1
2 2
y− ≤ ≤ 
Vậy Min y = 
1
2
− , Max y =
1
2
Ví dụ 2: 
 Xác đinh các tham số a, b sao cho hàm số 
2
ax
1
b
y
x
+
=
+
 đạt giá trị lớn nhất bằng 
4, giá trị nhỏ nhất bằng –1 
Lời giải: 
Tập xác định D = R 
0y là một giá trị của hàm số ⇔ phương trình 0 2
ax+b
1
y
x
=
+
 có nghiệm x∈R 
 ⇔ phương trình 20 0ax 0y x y b− + − = có nghiệm x∈R (1) 
 • Nếu 0 0y = thì (1) ⇔ ax = -b có nghiệm 
 a = b = 0 
 ⇔ 
 a ≠ 0 
 • Nếu 0 0y ≠ thì (1) có nghiệm ⇔ 0∆ ≥ 
 ⇔
2
0 04( ) 0a y b y− − ≥ 
 4 
 ⇔
2 2
0 04 4 0y by a− + + ≥ 
Theo đề 0y đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là –1 nên phương 
trình
2 2
0 04 4y by a− + + phảI có nghiệm là –1 và 4 (do -1.4 = -4 < 0) 
2
4
4
a−
= − 4a = ± 
 Theo định lý Viet ta có : ⇔ 
 3b = 3b = 
Vậy vớI a = 4, b = 3 hoặc a = -4, b = 3 thì min y = -1, max y = 4 
Ví dụ 3: 
 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 
3
4
2
12 ( )
36
x x a
y
x
− =  + 
Lời giải: Hàm số đã cho xác định khi ( ) 0x x a− ≥ 
Đặt 
2
12 ( )
36
x x a
z
x
− =  + 
 (1) thì 4 3y z= , 0z ≥ 
0z là một giá trị của hàm số (1) ⇔ phương trình 0 2
12 ( )
36
x x a
z
x
−
=
+
 có nghiệm 
 hay phương trình 20 0(12 ) 12ax 36 0z x z− − − = có 
nghiệm (2) 
• 0z =12 : (2) ⇔ ax = -36 có nghiệm khi 0a ≠ 
• 0 12z ≠ : (2) có nghiệm ⇔
2
0 036 36 (12 ) 0a z z∆ = + − ≥ 
2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
0
12 0
12 0
6 36 6 36
a z z
z z a
a z a
⇔ + − ≥
⇔ − − ≤
⇔ − + ≤ ≤ + +
Vì 0 0z ≥ nên 
2
00 6 36z a≤ ≤ + + 
Vậy max 26 36z a= + + ; max 2 34 (6 36)y a= + + 
III. Bài tập tự giải: 
1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
2
2
2 2
2 2
x x
y
x x
− +
=
+ +
2) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 4 1 1
4 3 3 1 1
x x
y
x x
+ + − +
=
+ + − +
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2
1
( )f x x x
x
= + + , x > 0 
Hướng dẫn giảI và đáp số: 
 5 
1) Max 3 2 2y = + , Min 3 2 2y = − 
2) Đk: 3 1x− ≤ ≤ 
Đặt 
2
2
3 2.
1
t
x
t
+ =
+
 ; 
2
2
1
1 2.
1
t
x
t
−
+ =
+
 vớI t = tg [ ]0;1
2
ϕ
∈ 
Ta có 
2
2
7 12 9
5 16 7
t t
y
t
+ +
= −
− + +
Max y
9
7
y = khi x = -3; min 
7
9
y = khi x = 1 
 0 < x ≤ 0y (1) 
 20
1
y x x
x
= + + ⇔ 
 x > 0 2 20 02 1 0y x y x− + = 
(2) 
Điều kiện để (2) có nghiệm là 0 2y ≥ 
Áp dụng Vi-et ta chứng minh được 1 2 0x x y< < 
Vậy min f(x) = 2 vớI x >0 
▼ Dang 3: Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc 
 ► Bất đẳng thức Cauchy 
I. Kiến thức cần nắm: 
• Cho hai số a, b ≥ 0, ta coù: 
ab
ba
≥
+
2
Dấu “ =” xảy ra khi ⇔ a = b 
• Cho n số a1, a2,  , an ≥ 0, ta có: 
n
n
n aaa
n
aaa
...
...
21
21 ≥
+++
Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 =  = an 
II. Một số bài tập ví dụ: 
◦ Biện pháp 1: Áp dụng bất đẳng thức trực tiếp. 
Ví dụ 1: 
Cho x > 0 ; y > 0 thoả mãn điều kiện 
2
111
=+
yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức A = yx + 
Lời giải: 
3)Tìm nghiệm của hệ 
 6 
Vì x > 0 ; y > 0 nên 
x
1
 > 0 ; 
y
1
 > 0 ; 0;0 >> yx , theo bđt Cauchy có: 






+≤
yxyx
11
2
11
.
1
=> 4
4
11
≥=>≤ xy
xy
Vận dụng bđt Cauchy với hai số dương x và y ta được 
A = yx + ≥ 42.2 ≥yx = 4 ( Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 4) 
Vậy min A = 4 ( khi và chỉ khi x = y = 4). 
Nhận xét: không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bđt Cauchy đối với 
các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu 
thức để có thể vận dụng bđt Cauchy rồi tìm cực trị của nó. 
Biện pháp 1 : Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu 
thức đó. 
Ví dụ 2: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = .3753 xx −+− 
 Lời giải: 
ĐKXĐ : .
3
7
3
5
≤≤ x 
A2 = (3x – 5) + (7- 3x) + )37).(53(2 xx −− 
A2 ≤ 2 + ( 3x – 5 + 7 – 3x) = 4 ( dấu “=” xảy ra ⇔ 3x – 5 = 7 – 3x ⇔ x = 2). 
Vậy max A2 = 4 => max A = 2 ( khi và chỉ khi x = 2). 
Nhận xét: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức. Hai biểu thức 
lấy căn có tổng không đổi (bằng 2). Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức A thì sẽ 
xuất hiện hạng tử là hai lần tích của căn thức. Đến đây có thể vận dụng bất đẳng 
thức Cauchy. 
◦ Biện pháp 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0. 
Ví dụ 3: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 
x
x
5
9−
Lời giải: 
ĐKXĐ : x ≥ 9 
 7 
A = 
x
x
5
9−
 = 
30
1
10
3
99
5
3
3
9
2
1
5
3.
3
9
=
+−
=





 +
−
≤
−
x
x
x
x
x
x
(dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 183
3
9
=⇔=
−
x
x
). 
Vậy max A = 
30
1
 ( khi và chỉ khi x = 18). 
Nhận xét: Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành 3.
3
9−x
 và khi vân 
dụng bđt Cauchy, tích 3.
3
9−x
 được làm trội trở thành tổng x
x
3
1
3
3
9
=+
−
 có 
dạng kx có thể rút gọn cho x ở mẫu, kết quả là một hằng số. Con số 3 tìm được 
bằng cách lấy căn bậc hai của 9, số 9có trong bài. 
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích 
của chúng là một hằng số. 
1. Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau. 
Ví dụ 4 : 
Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = .
163
3
4
x
x +
Lời giải: 
A = 3x + 4 333
16
....4
1616
x
xxx
x
xxx
x
≥+++= 
A ≥ 4.2 = 8 ( dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 2
16
3
=⇔= x
x
x 
Vậy min A = 8 ( khi và chỉ khi x = 2). 
Nhận xét: Hai số dương 3x và 
x3
16
 có tích không phải là một hằng số.Muốn khử 
được x3 thì phải có x3 = x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x = x + x + x rồi dùng bđt 
Cauchy với 4 số dương. 
2. Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử 
chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của hạng tử khác có trong 
biểu thức đã cho ( có thể sai khác một hằng số). 
Ví dụ 5: 
Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
2
2
9
xx
x
+
−
 8 
Lời giải: 
A = 1
2
2
9
+
−
+
− x
x
x
x
A 71921
2
.
2
9
.2 =+=+
−
−
≥
x
x
x
x
( dấu “=” xảy ra 
2
12
2
9
=⇔
−
=
−
⇔ x
x
x
x
x
). 
Vậy min A = 7 ( khi và chỉ khi 
2
1
=x ). 
◦ Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho. 
Ví dụ 6: 
Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức : 
P = .
222
yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
Lời giải: 
Áp dụng bđt Cauchy đối với hai số dương 
zy
x
+
2
 và 
4
zy +
 ta được: 
x
xzy
zy
xzy
zy
x
==
+
+
≥
+
+
+ 2
.2
4
..2
4
22
Tương tự: 
z
yx
yx
z
y
xz
xz
y
≥
+
+
+
≥
+
+
+
4
4
2
2
Vậy zyx
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++≥
++
+





+
+
+
+
+ 2
222
P ( ) 1
2
=
++
−++≥
zyx
zyx (dấu “=” xảy ra 
3
2
===⇔ zyx ). 
III. Bài tập tự giải: 
1) Cho x + y = 15, tìm gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 B = 34 −+− yx 
2) Cho x, y, z ≥ 0 thoả mãn điều kiện x + y + z = a. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + xz. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 + y2 + z2. 
 9 
3) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện x + y + z ≥ 12. Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức P = .
x
z
z
y
y
x
++ 
4) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức A = .
)1)(1)(1(
)1)(1)(1(
cba
cba
−−−
+++
5) Cho x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1 và x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức B = x2y3. 
 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
xy yz zx
A
z x y
= + + với x, y, z là các số dương và: 
a) 1x y z+ + = b) 2 2 2 1x y z+ + = 
 7) Tìm giá trị lớn nhất của 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
A
a b b c c a
= + +
+ + + + + +
 với a, b, c là 
các số dương và abc = 1. 
 8)Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 
 A x y z xy yz zx= + + + + + biết rằng 2 2 2 3x y z+ + = . 
 9) Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3x yA = + với x + y = 4. 
 10) Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 1A x x= − + 
Hướng dẫn giải và đáp số: 
1. 
 ĐKXĐ : x ≥ 4, y ≥ 3 
B ≥ ⇒8 min B = 8 ( khi và chỉ khi x = 4, y = 11 hoặc x = 12, y = 3). max B2 = 
16 nên max B = 4 ( khi và chỉ khi x = 8, y = 7). 
2 
 .a. xy + yz + xz ≤ x2 + y2 + z2 (áp dụng bđt Cauchy cho 2 số, rồi cộng lại theo 
vế). 
Suy ra: 3(xy + yz + xz) ≤ ( x + y + z )2 
Hay 3A ≤ a2 
b. B = x2 + y2 + z2 = ( x + y + z )2 – 2( x + y + z ) 
B = a2 – 2A 
B min ⇔A max. 
3. 
 P2 = .
222222
y
xz
x
zy
z
yx
x
z ... 
3
2
 -2[cosC + 
1
2
cos(A-B)]2 - 
1
2
sin2(A-B)] 
3
2
≤ 
 Dấu “=” xảy ra 
( )
( )
1
cos cos 0
2
sin 0
C A B
A B
 + − =
⇔ 
 − =
 57 
1
cos 0
2
0
C
A B
 + =
⇔ 
 − =
1
cos 6
2
2
3
A B
C
A B C
pi
pi
 = = = − 
⇔ ⇔ 
 = = 
 Vậy max M = 
3
2
 ứng với ∆ABC có 
 A = B = 
6
pi
 và C = 
2
3
pi
 14. Vì sin cos 2 cos
4
x x x
pi + = − 
 
 sin cos 2 2
sin cos 2 0
x x
x x
⇒ + ≤ <
⇔ + − <
 hay sin cos 2 0x x+ − ≠ x R∀ ∈ 
 Do đó 
2 cos
sin cos 2
x
y
x x
+
=
+ −
 (1) 
 ( )sin cos 2 2 cosy x x x⇔ + − = + 
 ( )sin 1 cos 2 2y x y x y⇔ + − = + (2) 
 (1) có nghiệm đối với x ⇔ (2) có nghiệm đối với x 
( ) ( )2 22
2 2
2
1 2 2
2 2 1 4 8 4
2 10 3 0
5 19 5 19
2 2
y y y
y y y y
y y
y
⇔ + − ≥ +
⇔ − + ≥ + +
⇔ + + ≤
− − − +
⇔ ≤ ≤
 Vậy min y = 
5 19
2
− −
 và max y = 
5 19
2
− +
15. Ta có : 
 ( )24 4 2 2 2 2sin cos sin cos 2sin cosx x x x x x+ = + − 
2
21 11 2 sin 2 1 sin 2
2 2
1 1 cos 4 3 1
1 cos 4
2 2 4 4
x x
x
x
 = − = − 
 
− = − = + 
 
 58 
 Và 
1 1
s in cos cos 2 sin 2 cos 2 s in4
2 4
x x x x x x= = 
 Nên 
( ) 3 11 2 cos 4 s in4
4 4 4
4 6 2cos 4 s in4
2cos 4 s in4 4 6
m
y x x
y x m x
x m x y
 ⇔ = + + 
 
⇔ = + +
⇔ + = −
 PT trên có nghiệm đối với x 
( )22 2
2 2
2 2
2 4 6
16 48 32 0
6 4 6 4
4 4
m y
y y m
m m
y
⇔ + ≥ −
⇔ − + − ≤
− + + +
⇔ ≤ ≤
 Do đó 
26 4
max
4
m
y
+ +
= 
 Ta có 
26 4
max 2 2
4
m
y
+ +
≤ ⇔ ≤ 
2
2
4 2
4 4
0
m
m
m
⇔ + ≤
⇔ + ≤
⇔ =
16. 
 Ta có 
 (1) ( )2 2sin 1 cos sin cosy x x x x⇔ + = + (do sin2x +1≠ 0 ) 
1 cos 2 1 cos 2 1
1 s in2
2 2 2
cos 2 2y 1 cos 2 s in2
x x
y x
y y x x x
− + ⇔ + = + 
 
⇔ − + = + +
 ( )1 cos 2 s in2 3 1y x x y⇔ + + = − (2) 
 (1) có nghiệm đối với x ⇔ (2) có nghiệm đối với x 
 ( ) ( )2 221 1 3 1y y⇔ + + ≥ − 
2 2
2
2 2 9 6 1
8 8 1 0
y y y y
y y
⇔ + + ≥ − +
⇔ − − ≤
2 6 2 6
4 4
− +
⇔ ≤ 
 vậy 
2 6
max
4
y
+
= và 
2 6
min
4
y
−
= 
 59 
17. Tìm GTLN và GTNN của hàm số cos siny x x= + 
Lời giải: 
 Ta có 
 cos siny x x= + 
 ( )( )2 21 cos 1 sin 1 1 cos sinx x x x= + ≤ + + (BĐT 
Bunhiacopski) 
 ( )2 cos siny x x⇒ ≤ + 
 mặt khác cos sin 2 cos 2
4
x x x
pi + = − ≤ 
 
 suy ra 2 2y ≤ 
 Dấu “=” xảy ra 
cos sin
4cos 1
4
x x
x
x
pi
pi
 =

⇔ ⇔ =  − = 
 
 Vậy max 2 2y = khi 
4
x
pi
= 
 Ta có 0 cos 1x≤ ≤ (ĐK để y xác định) 
 và 0 sin 1x≤ ≤ 
2
2
2 2
cos cos cos
sin sin sin
1 cos sin cos sin
x x x
x x x
x x x x y
 ≤ ≤
⇒ 
≤ ≤
⇒ = + ≤ + =
nên 1y ≥ , dấu “=” xảy ra khi x = 0 
Vậy min y = 1 khi x = 0 
18. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
( )2 2
4
3sin 1 4sin
cos
x x
y
x
−
= với 0
6
x
pi
< < 
 Lời giải: 
Vì 
1
0 0 sin
6 2
x x
pi
< < ⇒ < < 
 2 2
1
0 sin 1 4sin 0
4
x x⇒ 
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số 23sin x và 21 4sin x− ta được 
 60 
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
22
2 2
4
2 2
3sin 1 4sin
3sin 1 4sin
2
1 sin
3sin 1 4sin
2
cos
3sin 1 4sin (1)
4
x x
x x
x
x x
x
x x
+ −
≥ −
 −
⇔ ≥ − 
 
⇒ ≥ −
Chia 2 vế của (1) cho 4cos x ( vì 40 cos 0
6
x x
pi
 ) 
Ta được 
( )2 2
4
3sin 1 4sin 1
4cos
x x
y
x
−
= ≤ 
dấu “=” xảy ra 2 2 2
1
3sin 1 4sin sin
7
x x x⇔ = − ⇔ = 
ta tìm được 0 0, 6
x
pi ∈ 
 
 thì 2
1
sin
7
x = 
Vậy 
1
max
4
y = 
 19. 
 Ta có 2 21 2cos 1 3siny x x= + + + 
 2 2
1 1
3 6cos 2 6sin
3 2
x x= + + + 
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có : 
( )
( )
2 21 1 3 6cos 2 6sin
3 2
5 55
5 6
6 6
y x x
y
 ≤ + + + + 
 
⇒ ≤ + =
 Dấu “=” xảy ra 
2 2
2 2
2 2
2 2
3. 3 6cos 2. 2 6sin
3.(3 6cos ) 2.(2 6sin )
9 18cos 4 12(1 cos )
7
30cos 7 cos
30
x x
x x
x x
x x
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ + = + −
⇔ = ⇔ =
Vậy 
55
max
6
y = 
20. 
 Ta có A + B + C = pi 
 61 
tan( ) tan( )
A B C
A B C
pi
pi
⇔ + = −
⇒ + = −
tan tan
tan
1 tan .tan
A B
C
A B
+
⇒ = −
−
 tan tan tan (1 tan .tan )A B C A B⇔ + = − − 
 tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C⇔ + + = (1) 
 Vì ABC∆ có 3 góc nhọn tan , tan , tan 0A B C⇒ > 
 Áp dụng BĐT cô-si cho 3 số tgA, tgB, tgC 
 3tan tan tan 3 tan tan tanA B C A B C+ + ≥ (2) 
 từ (1) và (2) ta được 
 3tan . tan . tan 3 tan tan tanA B C A B C≥ 
3
2
(tan .tan .tan ) 27 tan . tan . tan
(tan .tan .tan ) 27
tan .tan .tan 3 3
A B C A B C
A B C
A B C
⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ ≥
 Dấu “=” xảy ra khi tanA = tanB = tanC 
 A B C⇔ = = hay ABC∆ đều 
21. 
 Vì A + B + C = 
2
pi
( )
2
tan tan
2
A B C
A B C
pi
pi
⇔ + = −
 ⇒ + = − 
 
 ( )
tan tan 1
cot
1 tan tan tan
tan tan tan 1 tan tan
tan tan tan tan tan tan 1
A B
C
A B C
A B C A B
A B B C C A
+
⇔ = =
−
⇔ + = −
⇔ + + =
 Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta được 
 ( ) ( )2 2 21 1 1 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tanM A B B C C A≤ + + + + + + + 
 ( )3 3 1 2 3= + = 
 dấu bằng xảy ra khi 
 tanA tanB = tanB tanC = tanC tanA 
 tan tan tanA B C⇔ = = 
6
A B C
pi
⇔ = = = (do A + B + C = 
2
pi
) 
Ta có: sin sin 2sin cos 2cos cos 2cos
2 2 2 2 2
A B A B C A B C
A B
+ − −
+ = = ≤ (1) 
 62 
Áp dụng BĐT : 
33 3
2 2
a b a b+ + ≥  
 
, dấu “=” xảy ra khi a b= 
Ta có: 
3
3 3sin sin sin sin
cos
2 2 2
A B A B C + +
≤ ≤  
 
 ( theo(1) ) 
3 3
3
sin sin
cos
2 2
A B C+
⇔ ≤ (2) 
Tương tự: 
3 3
3
sin sin
cos
2 2
B C A+
≤ (3) 
3 3
3
sin sin
cos
2 2
C A B+
≤ (4) 
Cộng (2),(3),(4) ta có: 
3 3 3 3 3 3sin sin sin cos cos cosA B C A B C+ + ≤ + + 
⇔
3 3 3
3 3 3
sin sin sin
cos cos cos
A B C
M
A B C
+ +
=
+ +
1≤ 
Dấu “=” xảy ra khi
sin sin sin
3cos 1
2
A B C
A B CA B
pi
= =

⇔ = = = −
=
Vậy max 1M = ⇔ABC là tam giác đều 
 63 
Phần 5 : 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Bài 1: 
Cho a + b ≥ 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 + b3 là 
A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 2 
Bài 2: 
Giá trị lớn nhất của hàm số 
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
 là 
A. 
1
3
 B. 3 C.
3
2
 D.5 
 Bài 3: 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
2
2 1
2 1
x x
y
x x
− +
=
+ +
: 
A.
1 5
2
+
 B.
1 5
2
−
 C. 
9 4 2
7
+
 D.
9 4 2
7
−
 Bài 4: 
 Cho a + b = 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức a4 + b4 là 
A) 2 B) 1 C) 1/8 D) 1/4 
 Bài 5: 
 Cho a, b, c >0 thoả mãn 
1 1 2
a c b
+ = , giá trị nhỏ nhất của 
2 2
a b c b
a b c b
+ +
+
− −
 là 
A.1 B.2 C.3 D.4 
 Bài 6: 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
2
2
2 1
1
x x
f x
x x
+ −
=
− +
Bài 7: 
GTNN, GTLN của hàm số 
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
− +
A. Min y = 1, max y = 6 
B. Min y = -6, max y = -1 
C. Min y =2, max y = 5 
D. Min y = -5, max y = -2 
 A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 
 Bài 8: 
 Cho a, b, c >0, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
 là 
 A) 1 B) 1/2 C) 3/2 D) 2 
Bài 9: 
 64 
 Cho a, b, c, d >0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
a b b c c d d a
b c d c d a d a b a b c
+ + + +
+ + +
+ + + + + + + +
 là 
 A) 8/3 B)1/3 C) 2/3 D) 1 
Bài 10: 
 Cho hàm số 6 5cos siny x x= − . Giá trị lớn nhất của y là 
 A) -1 B) 0 C) 1/2 D) 1 
Bài 11: 
 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
1
1
x
y
x x
+
=
+ +
 lần lượt là 
 A) max y = 1, min y = -1/3 B) max y = 2, min y = 1/2 
 C) max y = 1/2, min y = 1/3 D) max y = 3, min y = 1/3 
Bài 12: 
 Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi thỏa x + y + z = 1. Giá trị lớn 
 nhất của biểu thức 
1 1 1
x y z
x y z
+ +
+ + +
là 
 A) 3/4 B) 1/3 C) 1 D) 2 
Bài 13: 
Cho các số dương x, y, z sao cho xyz = 1 và n là số nguyên dương. Giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
1 1 1
2 2 2
n n n
x y z+ + +     + +     
     
 là 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 
Bài 14: 
 Cho sin sin sin 0x y z+ + = . Giá trị lớn nhất của biểu thức 
 2 4 6sin sin sinP x x x= + + là 
 A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2 
Bài 15: 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 ( ) ( )2 2 2 2 2 24cos cos sin 4sin sin sinx y x y x y x y+ − + + − là 
 A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 
Bài 16: 
 Giá trị lớn nhất của biểu thức 
( )( )
( ) ( )2 22 2
1
1 1
x y xy
x y
+ −
+ +
 là 
 A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2 
Bài 17: 
 Cho x, y, z dương và x + y + z = 1. Giá trị lớn nhất của 
 S = xyz(x+y)(y+z)(z+x) là 
 A) 8/729 B) 1/729 C) 0 D) 1/2 
Bài 18: 
 65 
 Cho x, y thay đổi sao cho 
0 3
0 4
x
y
≤ ≤

≤ ≤
 . 
 giá trị lớn nhất của biểu thức (3-x)(4-y)(2x+3y) là 
 A) 1 B) 6 C) 2 D) 0 
Bài 19: 
 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 2 2 2 22 12 37 6 6 18a b a b a b a b+ − − + + + + − + 
 A) 2 B) 5/2 C) 3 D) 5 
Bài 20: 
 Cho x2 + y2 = 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = x + y lần lượt là 
 A) max P = 1, min P = 0 B) max P = 0, min P = - 2 
 C) max P = 2 , min P = 1 D) max P = 2 , min P = - 2 
Bài 21: 
 Cho x2 + y2 = u2 + v2 = 1.Giá trị lớn nhất của P= ( ) ( )x u v y u v− + + là 
 A) 2 B) 1 C) 0 D) - 2 
Bài 22: 
Cho ∆ABC giá trị lớn nhất của 
2 2 2
2 2 2
sin sin sin
cos cos cos
A B C
P
A B C
+ +
=
+ +
 là 
 A) 0 B) 1/2 C) 2 D) 3 
Bài 23: 
 Cho x, y, z là 3 góc nhọn thỏa x + y + z = 90o. Giá trị lớn nhất của biểu 
thức 
 5 tan tan 5 tan tan 5 tan tanP x y y z z x= + + + + + là 
 A) 2 B) 3 C) 4 3 D) 2 2 
Bài 24: 
 Cho 
, 0
1
x y
x y
>

+ =
, giá trị nhỏ nhất của 
22
1 1
P x y
x y
  = + + +  
   
 là 
 A) 25/2 B) 1/2 C) 1 D) 2 
Hướng dẫn và đáp án : 
1. Từ giả thiết 1a b+ ≥ biến đổi tương đương ta được 
3 3 23 3 1a b b b+ ≥ − + 
 mà 
2
2 1 1 13 3 1 3
2 4 4
b b b
 − + = − + ≥ 
 
2.B 
3.D 
 66 
4. Từ a + b = 1 suy ra a2 + 2ab + b2 =1 
 mặt khác a2 – 2ab + b2 ≥ 0 
 từ đó ta có 2 2
1
2
a b+ ≥ bình phương hai vế, kết hợp với bdt 
 4 2 2 42 0a a b b− + ≥ ta được 4 4
1
8
a b+ ≥ . 
5. Từ giả thiết ta có 
2ac
b
a c
=
+
 vậy : 
( )2 22 33 3
4
2 2 2 2 2
ac a ca b c b a b c a
a b c b a c ac
+ ++ + + +
+ = + = ≥
− −
6.C 
7.A 
8. Đặt P = 
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
 Ta có 2(P + 3) = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 9a b b c c a
a b b c C a
 + + + + + + + ≥     + + + 
 (Bunhiacopski cho 3 cặp số) 
 Suy ra P ≥ 3/2 
9. A 
10. D 
11. A 
12. Áp dụng bunhiacopski cho ba cặp số tìm được max = ¾ 
13. Ta có 
1 1
2 2
n
na aa a
+ + ≥ ⇒ ≥ 
 
 Áp dụng ta tìm được min = 3 
14. D 
15. C 
16. B 
17. Áp dụng côsi cho 3 số : 
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
3
3
1 3
2 3
x y z xyz
x y y z z x x y y z z x
= + + ≥
= + + + + + ≥ + + +
 Nhân vế theo vế, biến đổi tìm được max = 8/729 
18. Có thể viết lại biểu thức đã cho thành: ( ) ( ) ( )1 6 2 12 3 2 3
6
x y x y− − + 
 Áp dụng côsi cho ba số tìm được max = 36. 
19. D 
20. D 
21. A 
22. D 
 67 
23. C 
24. Áp dụng B.C.S cho 2 cặp số (1, 1) và 
1 1
,x y
x y
 
+ + 
 
 Sau đó biến đổi tương đương ta được 
2 22
1 1 1 1
1
2
x y
xy x y
    + ≤ + + +    
    
 vì 
2
1
2 4
x y
xy
+ ≤ = 
 
 2
1
4
1
1 25
xy
xy
⇒ ≥
 
⇒ + ≥ 
 
 vậy min = 25/2