Chuyên đề Đại số - Tổ hợp 11

Chuyªn ®Ò ®¹i sè - tæ hîp
–™– & —˜—
& Dạng 1 Một số bài toán về tạo số
Nội dung
Dạng 1: Một số bài toán về tạo số
Dạng 1A. Tính số số tự nhiên với chữ số định trước
Dạng 1B. Tính số số tự nhiên chẵn
Dạng 1C. Tính số số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ 
& Dạng 1A Tính số số tự nhiên với chữ số định trước
@ Bài tập mẫu
@ Bài 1. Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà trong đó có các chữ số 1, 2, 3.
Giải. 
Gọi số tạo thành là . Xét các trường hợp:
TH1. Trong số tạo thành có chữ số 0. Lần lượt ta có:
5 cách chọn vị trí cho c/s 0; khi đã chọn vị trí cho 0, số cách chọn 3 trong 5 vị trí còn lại cho 1, 2, 3 là ; sau đó số cách chọn hai trong bốn c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là .
Theo quy tắc nhân, ta được số số là 
TH2. Trong số tạo thành không có chữ số 0. Lần lượt ta có:
Số cách chọn 3 trong 6 vị trí cho 1, 2, 3 là ; sau đó số cách chọn ba trong bốn c/s còn lại (4, 5, 6, 7) cho ba vị trí còn lại là 
Theo quy tắc nhân, ta được số số là 
Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm là: 3600 + 2880 = 6480
Đáp số: 6480 số. 
F Lưu ý
Khi giải các bài toán tạo số trong nhiều bài toán, ta có thể chia thành hai trường hợp :
TH1: Tính số số tạo thành mà trong đó có chữ số 0. 
TH2: Tính số số tạo thành mà trong đó không có chữ số 0. 
Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm. 
@ Bài tập tương tự - Bài tập 1
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có chữ số 1 đứng phía trước chữ số 2.
Giải
Gọi số tạo thành là . Xét các trường hợp:
TH1. Trong số tạo thành có chữ số 0. Lần lượt ta có:
4 cách chọn vị trí cho c/s 0; khi đã chọn vị trí cho 0, số cách chọn 2 trong 4 vị trí còn lại cho 1, 2 với 1 đứng phía trước 2 là ; sau đó số cách chọn hai trong bảy c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là .
Theo quy tắc nhân, ta được số số là .
TH2. Trong số tạo thành không có chữ số 0. Lần lượt ta có:
Số cách chọn 2 trong 5 vị trí cho 1, 2 với 1 đứng phía trước 2 là ; sau đó số cách chọn ba trong bảy c/s còn lại (3,4,9) cho ba vị trí còn lại là .
Theo quy tắc nhân, ta được số số là .
Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm là 1008 + 2100 = 3108.
Đáp số: 3108 số. 
@ Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 2
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà trong đó các chữ số 1 và 2 không cạnh nhau.
Giải
Gọi số tạo thành là .
Trước hết ta tính số số tạo thành một cách bất kỳ.
Lần lượt ta có:	
9 cách chọn cho c/s a1; sau đó số cách chọn năm trong chín c/s còn lại khác a1 cho năm vị trí còn lại là . 
Ta được số số là .
Bây giờ ta tính số số có 1, 2 cạnh nhau. Giả sử 1 đứng trước 2. 
TH1. : số cách chọn bốn trong tám c/s còn lại cho các vị trí còn lại là .TH2. : Lần lượt ta có
7 cách chọn cho c/s a1 (a1 khác 0, 1, 2); sau đó có bốn cách chọn vị trí cho 12; tiếp theo số cách chọn ba trong bảy c/s còn lại cho ba vị trí còn lại (khác a1, và 1, 2) là .
Ta được số số là .
Theo quy tắc cộng, ta được số số mà trong đó có 12 là 
1680 + 5880 = 7560.
Cũng tương tự, ta có 7560 số mà trong đó có 21.
Vậy số số thoả mãn bài toán là 136080 – 2.7560 = 120960.
Đáp số: 120960 số. 
& Dạng 1B Tính số số tự nhiên chẵn
@ Bài tập mẫu
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
Giải 
Gọi số tạo thành là .
TH1. : số cách chọn bốn trong chín c/s khác a5 cho bốn vị trí còn lại là .
TH2. : Lần lượt ta có
4 cách chọn c/s chẵn cho a5 ; sau đó số cách chọn c/s cho a1 là 8; tiếp theo số cách chọn ba trong tám c/s còn lại cho ba vị trí còn lại là .
Theo quy tắc nhân, ta được số số là . 
Theo quy tắc cộng, ta có số số phải tìm là 10752 + 3024 = 13776.
Đáp số : 13776 số. 
F Lưu ý
Muốn tính số số tự nhiên chẵn thoả mãn một điều kiện nào đó, ta làm như sau 
TH 1. Tính số số tạo thành với chữ số tận cùng bằng 0.
TH 2. Tính số số tạo thành với chữ số tận cùng khác 0
Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm. 
@ Bài tập tương tự 
Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau mà trong đó có chữ số 2.
Giải. 
Gọi số tạo thành là , tập hợp đã cho có 7 chữ số.
Trước hết ta tìm số số tạo thành một cách bất kỳ.
TH1. a4 = 0: Số cách chọn ba trong sáu c/s còn lại khác a4 cho ba vị trí còn lại là TH2. a4 ¹ 0: Lần lượt ta có
3 cách chọn c/s chẵn cho a4 ; sau đó số cách chọn c/s cho a1 là 5; tiếp theo số cách chọn hai trong năm c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là .
Ta được số số là . 
Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm là 120 + 300 = 420. 
Bây giờ ta tìm số số tạo thành không có c/s 2.
TH1. a4 = 0: số cách chọn 3 trong 5 c/s còn lại cho 3 vị trí còn lại là
TH2. a4 ¹ 0: Lần lượt ta có:
2 cách chọn c/s chẵn cho a4 ; sau đó số cách chọn c/s cho a1 là 4; tiếp theo số cách chọn hai trong bốn c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là . 
Ta được số số là .
Theo quy tắc cộng, ta được số số chẵn mà không có chữ số 2 là 
60 + 96 = 156.
Số số phải tìm là 420 – 156 = 264.
Đáp số : 264 số. 
& Dạng 1C Tính số số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ
 @ Bài tập mẫu
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có đúng hai chữ số lẻ.
Giải
Số tạo thành có 5 vị trí, trong đó có 2 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn.
TH1. trong số tạo thành có c/s 0. Lần lượt ta có:
Số cách chọn vị trí cho c/s 0 là 4; số cách chọn thêm hai trong bốn c/s chẵn là ; số cách chọn hai trong năm c/s lẻ là ; với hai c/s chẵn và 2 c/s lẻ chọn ra có 4! hoán vị cách xếp vào bốn vị trí còn lại của số tạo thành. Ta được số số là .
TH2. trong số tạo thành không có c/s 0. Lần lượt ta có:
Số cách chọn ba trong bốn c/s chẵn khác 0 là ; số cách chọn hai trong năm c/s lẻ là ; với 5 c/s chọn ra chọn ra có 5! hoán vị cách xếp vào 5 vị trí của số tạo thành. Ta được số số là . 
Theo quy tắc cộng, ta được số số tạo thành là 5760 + 4800 = 10560.
Đáp số: 10560 số. 
F Lưu ý
Muốn tính số số tự nhiên với số chữ số chẵn, lẻ cho trước, ta làm như sau :
TH 1. Tính số số với chữ số đứng đầu là số lẻ.
TH 2. Tính số số với chữ số đứng đầu là số chẵn.
Theo quy tắc cộng, ta được số số phải tìm. 
@ Bài tập tương tự 
Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó hai chữ số cạnh nhau khác tính chẵn lẻ.
Giải
Gọi số tạo thành là , tập hợp đã cho có 8 chữ số.
Vì hai chữ số cạnh nhau khác tính chẵn lẻ nên có hai trường hợp sau:
TH1. Các chữ số thứ 1, 3, 5 lẻ và các chữ số thứ 2, 4 chẵn
Số cách chọn ba trong bốn chữ số lẻ cho các vị trí thứ 1, 3, 5 là . 
Sau đó số cách chọn hai trong bốn chữ số chẵn cho các vị trí thứ 2, 4 là . 
Theo quy tắc nhân, ta được số số là 
TH2. Các chữ số thứ 1, 3, 5 chẵn và các chữ số thứ 2, 4 lẻ:
Số cách chọn chữ số chẵn cho a1 là 3; sau đó số cách chọn hai trong 
ba chữ số chẵn còn lại cho các vị trí thứ 3, 5 là .
Tiếp theo, số cách chọn hai trong bốn chữ số lẻ cho các vị trí thứ 2, 4 là .
Theo quy tắc nhân, ta được số số là 
Theo quy tắc cộng, ta có số số phải tìm là 288 + 216 = 504.
Đáp số: 504 số. 
& Dạng 2Một số bài toán về tạo số (tiếp theo)
Nội dung
Dạng 2: Một số bài toán về tạo số.
Dạng 2A. Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại.
Dạng 2B. Tính tổng của các số tạo thành 
& Dạng 2A. Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại
@ Bài tập mẫu
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có một chữ số có mặt hai lần và ba chữ số còn lại khác nhau và khác chữ số trên.
Giải 
Số tạo thành có 5 vị trí. Nếu không phân biệt vài trò của chữ số 0, thì ta có 10 cách chọn chữ số có mặt hai lần và có cách chọn hai trong năm vị trí cho chữ số đó. Sau đó số cách chọn ba trong chín chữ số còn lại cho ba vị trí còn lại của số tạo thành là . 
Ta được số số là . 
Vì vai trò của 10 chữ số thuộc tập hợp {0, 1, ., 9} là như nhau nên số số có chữ số đầu bằng 0 là .
Vậy số số thoả mãn bài toán là 50400 – 5040 = 45360.
Đáp số : 45360 số. 
F Lưu ý
Lưu ý 1. Trong các bài toán tạo số, nếu trong đầu bài có vai trò các chữ số như nhau thì ta có thể giải bài toán theo các bước :
Tính số số tạo thành mà trong đó có cả chữ số 0 đứng đầu (giả sử kết quả là S).
Vì vai trò của các chữ số đã cho như nhau (giả sử cho trước k chữ số) nên số số có chữ số 0 đứng đầu là .
Do đó số số thoả mãn bài toán là .
Lưu ý 2. 
Số cách chọn k trong n vị trí cho k chữ số giống nhau là 
Số cách chọn k trong n chữ số cho k vị trí cho trước là 
@ Bài tập tương tự - Bài tập 1
Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số mà trong đó có một chữ số có mặt ba lần, một chữ số khác có mặt hai lần và hai chữ số còn lại khác nhau và khác các chữ số trên.
Giải. 
Số tạo thành có 7 vị trí và tập hợp các chữ số cho trước có 7 phần tử. Nếu không phân biệt vài trò của chữ số 0, thì ta có 7 cách chọn chữ số có mặt ba lần và có cách chọn ba trong bảy vị trí cho chữ số đó. Sau đó số cách chọn chữ số có mặt hai lần là 6 và số cách chọn hai trong bốn vị trí còn lại cho chữ số đó là . Tiếp theo số cách chọn hai trong năm chữ số khác với hai chữ số trên để viết vào hai vị trí còn lại của số tạo thành là 
Ta được số số là 
Vì vai trò của 7 chữ số thuộc tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} là như nhau nên số số có chữ số đầu bằng 0 là 
Vậy số số thoả mãn bài toán là 176400 – 25200 = 151200.
Đáp số: 151200 số. 
@ Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 2
Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác 1.
Giải
Số tạo thành có 5 vị trí và tập hợp các chữ số cho trước có 6 phần tử. Xét các trường hợp:
TH1. Trong số tạo thành có chữ số 0. Lần lượt, ta có:
Số cách chọn vị trí cho chữ số 0 là 4; sau đó số cách chọn hai trong bốn vị trí còn lại cho hai chữ số 1 là ; tiếp theo số cách chọn hai trong bốn chữ số còn lại cho hai vị trí còn lại là 
Ta được số số là 
TH2. Trong số tạo thành không có chữ số 0. Lần lượt, ta có:
Số cách chọn hai trong năm vị trí cho hai chữ số 1 là ; tiếp theo số cách chọn ba trong bốn chữ số còn lại cho ba vị trí còn lại là 
Ta được số số là 
Theo quy tắc cộng số số phải tìm là 288 + 240 = 528. Đáp số : 528 số. 
& Dạng 2B. Tính tổng của các số tạo thành
@ Bài tập mẫu
Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Tính tổng của tất cả các số đó.
Giải
Tập hợp {0, 1, 2, 3, 4} có 5 chữ số và số tạo thành có 4 vị trí. Nếu coi vai trò của 5 chữ số đã cho như nhau, thì mỗi số có bốn chữ số tạo thành là một chỉnh hợp chập bốn của năm chữ số trên. Ta được số số là 
Trong 120 số đó, ở mỗi vị trí (vị trí hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có mặt lần. 
Như vậy có 24 số mà chữ số đầu bằng 0. Số số tạo thành thoả mãn bài toán là 120 – 24 = 96
Để tính tổng của tất cả 96 số trên, ta tính số lần có mặt của mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 ở từng vị trí.
Ở vị trí hàng nghìn, mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 có mặt 24 lần.
Ở vị trí hàng trăm, chữ số 0 có mặt 24 lần nên mỗi chữ số 1,  ... , 2, 3, 4, 5, 6 có mặt (lần). 
Ta có tổng các chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Vậy tổng của tất cả 720 số tạo thành là: 120.21.11111 = 27999720.
Cách tính tổng khác: ta chia 720 số tạo thành ra 360 cặp, mỗi cặp gồm hai số có tổng bằng 77777.
Ta được tổng của 720 số là: 77777 x 360 = 27999720.
Đáp số : Có 720 số và tổng của chúng bằng 27999720. 
& Dạng 3. Một số bài toán về sắp thứ tự các phần tử của một tập hợp
Nội dung
Dạng 3. Một số bài toán về sắp thứ tự các phần tử của một tập hợp 
Dạng 3A. Sắp xếp các phần tử thành một dãy
Dạng 3B. Sắp xếp các phần tử thành một dãy có điều kiện
Dạng 3C. Sắp xếp các phần tử thành một vòng tròn 
& Dạng 3A Sắp xếp các phần tử thành một dãy
@ Bài tập mẫu
Bài 1. Có 3 viên bi trắng khác nhau, 4 bi xanh giống nhau và 5 bi đỏ giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp chúng thành một hàng ngang?
Giải
Cách 1. Có tất cả 12 viên bi, tương ứng với 12 vị trí theo một hàng ngang. Số cách chọn 3 trong 12 vị trí cho 3 viên bi trắng khác nhau là sau đó số cách chọn 4 trong 9 vị trí còn lại cho 4 viên bi xanh giống nhau là khi đó năm vị trí còn lại của 5 viên bi đỏ.
Theo quy tắc nhân, ta được số khả năng cần tìm là: 
Cách 2. Số cách chọn 4 trong 12 vị trí cho 4 viên bi xanh giống nhau 
Là sau đó số cách chọn 5 trong 8 vị trí còn lại cho 5 viên bi đỏ giống nhau là tiếp theo số hoán vị của 3 viên bi trắng khác nhau vào 3 vị trí còn lại là P3 = 3!.
Theo quy tắc nhân, số khả năng cần tìm là: 
Cách 3. Với 12 viên bi đã cho tạo thành 12! hoán vị để xếp thành hàng ngang. Nhưng các hoán vị 4 viên bi xanh giống nhau cho cùng một kết quả; các hoán vị 5 viên bi đỏ giống nhau cho cùng một kết quả nên số cách xếp phải tìm là 
F Lưu ý
Lưu ý 1. 
Số cách chọn k trong n vị trí cho k phần tử giống nhau là 
Số cách chọn k trong n vị trí cho k phần tử khác nhau là 
Lưu ý 2. 
Giả sử cho n phần tử trong đó có n1 phần tử giống nhau thuộc tập hợp A1, n2 phần tử giông nhau thuộc tập hợp A2,  Số cách xếp n phần tử đó thành một hàng ngang là 
@ Bài tập tương tự
Có 2 viên bi trắng khác nhau, 3 bi xanh khác nhau 4 bi đỏ giống nhau và 5 bi vàng giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp chúng theo một hàng ngang?
Giải
Cách 1. Có tất cả 14 viên bi, tương ứng với 14 vị trí theo một hàng ngang. Số cách chọn 2 trong 14 vị trí cho 2 viên bi trắng khác nhau là sau đó số cách chọn 3 trong 12 vị trí còn lại cho 3 viên bi xanh khác nhau là ; tiếp theo số cách chọn 4 trong 9 vị trí còn lại cho 4 viên bi đỏ giống nhau là ; khi đó năm vị trí còn lại của 5 viên bi vàng.
Theo quy tắc nhân, số khả năng cần tìm là: 
Cách 2. Cũng lý luận như cách 3 của bài trên, ta được kết quả là 
& Dạng 3B Sắp xếp các phần tử thành một dãy có điều kiện
@ Bài tập mẫu
Có 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách sắp số học trên thành một hàng ngang sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau?
Giải
Giả sử đã xếp 5 học sinh nam thành một hàng ngang, khi đó vì 4 học sinh nữ không cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ với 5 học sinh nam (xem hình minh hoạ dưới đây). 
 . o . o . o . o . o .
Số cách chọn 4 trong 6 vị trí cho học sinh nữ là ; số hoán vị của 5 học sinh nam vào 5 vị trí định trước là 5!.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách xếp phải tìm là: 
Đáp số: có 43200 cách xếp. 
F Lưu ý
Cho tập hợp A có n phần tử, tập hợp B có m phần tử. Tính số cách sắp xếp các phần tử của A, B thành một hàng ngang sao cho không có hai phần tử nào của B cạnh nhau.
Cách giải
Giả sử n phần tử của A đã xếp thành một hàng ngang, khi đó các phần tử của B được chọn m trong (n+1) vị trí xen kẽ giữa các phần tử của A.
Nếu các PT của B giống nhau thì số cách chọn vị trí là 
Nếu các PT của B khác nhau thì số cách chọn vị trí là
Nếu các PT của A khác nhau thì số cách xếp chúng vào n vị trí là n! 
Theo quy tắc nhân, ta tính được kết quả của bài toán. 
@ Bài tập tương tự 
Có 3 viên bi trắng khác nhau, 4 bi xanh giống nhau và 5 bi đỏ giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp chúng thành một hàng ngang sao cho không có hai viên bi trắng nào cạnh nhau?
Giải 
Giả sử đã xếp 4 bi xanh và 5 viên bi đỏ thành một hàng ngang, khi đó vì 3 viên bi trắng được chọn 3 trong 10 vị trí xen kẽ với 9 viên bi xanh, đỏ (xem hình minh hoạ dưới đây): 
 . o . o . o . o . o . o . o . o . o .
Số cách chọn 3 trong 10 vị trí cho 3 viên bi trắng khác nhau là ; số cách đặt 4 bi xanh giống nhau vào 9 vị trí định trước là ; 5 vị trí còn lại của 5 viên bi đỏ giống nhau.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách xếp phải tìm là 
Đáp số: có 90720 cách xếp. 
& Dạng 3C Sắp xếp các phần tử thành một vòng tròn
@ Bài tập mẫu
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách sắp số học trên thành một vòng tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau (hai cách xếp khác nhau nhưng có cùng một thứ tự của các phần tử được coi là một)?
Giải
Giả sử 5 học sinh nam đã xếp thành vòng tròn, khi đó 3 học sinh nữ được chọn 3 trong 5 vị trí xen kẽ giữa các học sinh nam, số cách chọn là . Mặt khác trong 5 học sinh nam ta có thể chọn trước một vị trí cho một người, số hoán vị của 4 nam còn lại vào 4 vị trí là 4!.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách xếp phải tìm là 
Cách 2. Giả sử ta đã chọn vị trí cho một học sinh nữ và năm học sinh nam đã xếp quanh vòng tròn. Hai học sinh nữ còn lại được 2 trong 4 vị trí xen kẽ giữa các học sinh nam, số cách chọn là 
Mặt khác số hoán vị của 5 nam vào 5 vị trí là 5!.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách xếp phải tìm là 
F Lưu ý
Khi xếp các phần tử xung quanh một vòng tròn, hai cách xếp khác nhau nhưng có cùng một thứ tự của các phần tử được coi là một.
Cách giải. Ta có thể chọn vị trí cho một phần tử định trước nào đó, sau đó tính số khả năng chọn vị trí cho các phần tử còn lại.
 Hoặc có thể coi các phần tử đã cho được xếp thành một hàng ngang với một phần tử chọn trước đứng ở đầu hàng. 
@ Bài tập tương tự 
Có 4 viên bi trắng khác nhau, 5 bi xanh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp chúng thành một vòng tròn sao cho không có hai viên bi trắng nào cạnh nhau?
Giải
Giả sử ta đã chọn vị trí cho một viên bi trắng và 5 bi xanh đã được xếp quanh vòng tròn. Ba bi trắng còn lại được chọn 3 trong 4 vị trí xen kẽ giữa các bi xanh, số cách chọn là 
Ta được số cách xếp phải tìm là 
& Dạng 4. Phân chia một tập hợp gồm các phần tử giống nhau 
Nội dung
Dạng 4: 
Dạng 4A. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau
Dạng 4B. Tính số nghiệm nguyên của phương trình 
& Dạng 4A. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau
@ Bài tập mẫu
Bài 1. Có bao nhiêu cách chia 50 đồ vật giống nhau cho ba người sao cho mỗi người đười được ít nhất một đồ vật.
Giải
Giả sử ta đặt 50 đồ vật đã cho thành một hàng ngang, giữa chúng có 49 khoảng trống (xem hình minh hoạ).
 o o . . o │ o o o o . . . o o │ o o . . o o o
 người 1 người 2 người 3
Nếu đặt hai vạch một cách bất kỳ vào hai trong số 49 khoảng trống đó, ta được một phép chia 50 đồ vật ra làm ba phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. Ba người lần lượt nhận số đồ vật trong ba phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán.
Vậy số cách chia là số cách đặt hai vạch vào hai trong 49 khoảng trống. Ta được số cách chia là 
Đáp số: 1176 cách chia. 
Lưu ý
Nếu chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật thì số cách chia là .
@Bài tập tương tự - Bài tập 1
Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống nhau cho bốn người sao cho mỗi người được ít nhất 5 đồ vật.
Giải
Ta đem chia trước cho mỗi người 4 đồ vật. Số đồ vật còn lại là: 60 – 4.4 = 44
Bây giờ ta đem 44 đồ vật đó chia cho bốn người, mỗi người được ít nhất một đồ vật. Khi đó cùng với 4 đồ vật đã nhận trước, mỗi người được ít nhất 5 đồ vật, thoả mãn bài toán.
Giả sử ta đặt 44 đồ vật đó thành một hàng ngang, giữa chúng có 43 khoảng trống (xem hình minh hoạ).
 o o . . o │ o o o o . . . o o │ o o . . o o o │ o o . . o o 
 người 1 người 2 người 3 người 4
@ Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 1 (tt)
Nếu đặt ba vạch một cách bất kỳ vào ba trong số 43 khoảng trống này, ta được một phép chia 44 đồ vật ra làm bốn phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. Bốn người lần lượt nhận số đồ vật trong bốn phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán.
Vậy số cách chia là số cách đặt ba vạch vào ba trong 43 khoảng trống. Ta được số cách chia là 
Đáp số: 12341 cách chia. 
F Lưu ý:
Tính số cách chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất k đồ vật (m ³ kn).
Cách giải
Ta chia trước cho mỗi người k –1 đồ vật. 
Số đồ vật còn lại là s = m – n(k – 1)
Đem số đồ vật này chia cho n người sao cho mỗi người được ít nhất 1 đồ vật, thì số cách chia là Mỗi cách chia như vậy thoả mãn bài toán. 
& Dạng 4B. Tính số nghiệm nguyên của phương trình
@ Bài tập mẫu
Tính số nghiệm của phương trình x + y + z = 100 với x, y, z Î N*.
Nhận xét
Về bản chất mỗi nghiệm của phương trình tương ứng với một phép chia 100 đồ vật cho ba người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật.
Lặp lại cách làm như hai bài tập trên, ta được số nghiệm của phương trình là 
Đáp số: 4851 nghiệm
Lưu ý
Bài toán tổng quát: Tính số nghiệm của phương trình
x1 + x2 + . + xn = m với m, n, x1, x2, .., xn Î N*; m ³ n
Giải
Giả sử ta đặt m dấu chấm theo một hàng ngang, giữa chúng có m -1 khoảng trống (xem hình minh hoạ).
Nếu đặt n -1 vạch một cách bất kỳ vào n -1 trong số m – 1 khoảng trống đó, ta được một cách chia m dấu chấm ra thành n phần. Gán giá trị cho x1, x2, .., xn lần lượt bằng số dấu chấm trong các phần 1, 2, , n, ta được một nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy số nghiệm của phương trình là số cách đặt n -1 vạch một cách bất kỳ vào n -1 trong số m – 1 khoảng trống đó, ta được số nghiệm phải tìm là 
@Bài tập tương tự - Bài tập 1
Tính số nghiệm của phương trình
x + y + z + t = 100 (1) với x, y, z, t Î N
Giải
Đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1, d = t + 1 ta được phương trình
a + b + c + d = 104 (2) với a, b, c, d Î N*
Mỗi nghiệm của PT (2) tương ứng với một nghiệm của PT (1).
Theo bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là 
Đáp số: 176851 nghiệm
Lưu ý:
Bài toán tổng quát: Tính số nghiệm của phương trình
x1 + x2 + . + xn = m với m, n, x1, x2, .., xn Î N.
Giải. 
Đặt a1 = x1+1, a2 = x2+1, .., an = xn+1 ta được phương trình
a1 + a2 + . + an = m + n (2) với a1, a2, .., an Î N*.
Mỗi nghiệm của PT (2) tương ứng với một nghiệm của PT (1).
Theo bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là 
Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 2
Tính số nghiệm của phương trình x + y + z + t = 100 với x, y, z, t Î Z và x > - 2, y > - 1, z > 0, t > 1
Giải. 
Đặt a = x + 2, b = y + 1, c = z, d = t – 1 Þa, b, c, d ³ 1. Ta được phương trình
a + b + c + d = 102 (2) với a, b, c, d Î N*.
Theo bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là 
Nhắc lại bài toán tổng quát. Tính số nghiệm của phương trình
x1 + x2 + . + xn = m với m, n, x1, x2, .., xn Î N*, m ³ n.
Số nghiệm của phương trình là