Chuyên đề Hệ phương trình nhiều ẩn

ÑINH XUAÂN THAÏCH 
---- ›š & ›š ---- 
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 
Naêm 2011 
Đinh Xuân Thạch Hệ phương trình nhiều ẩn 
Trang 1 
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 
 a x b y c a b a b
a x b y c
2 2 2 21 1 1 
1 1 2 2
2 2 2
( 0, 0)
ì + =
+ ¹ + ¹í + =î
Giải và biện luận: 
– Tính các định thức: 
a b
D
a b
1 1
2 2
= , x
c b
D
c b
1 1
2 2
= , y
a c
D
a c
1 1
2 2
= . 
Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: 
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các 
phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các 
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 
a) x 
x y
4 3y5 
7 9 8
ì - =
í - =î 
 b) x 
x y
11y2 
5 4 8
ì + =
í - =î 
 c) x 
x y
1y3 
6 2 5
ì - =
í - =î 
d) 
( )
( )
x y
x y
2 1 2 1
2 2 1 2 2
ìï + + = -
í 
- - =ïî
e) 
x y
x y
3 2 16
4 3 
5 3 11
2 5
ì
+ =ï
í
ï - =
î
f) x y
y
3 1
5x 2 3
ìï - =
í 
+ =ïî
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: 
a) x y
x y
1 8 18
5 4 51
ì
- =ïï
í
ï + =
ïî
 b) x y
x y
10 1 1
1 2
25 3 2
1 2
ì
+ =ïï - +
í
ï + =
ï - +î
c) x y x y
x y x y
27 32 7
2 3
45 48 1
2 3
ì
+ =ïï - +
í
ï - = -
ï - +î
d) x y
x y
2 6 3 1 5
5 6 4 1 1
ì - + + =
í - - + =î
e) x y x y
x y x y
2 9
3 2 17
ì + - - =
í + + - =î
f) x y x y
x y x y
4 3 8
3 5 6
ì + + - =
í + - - =î
Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
a) mx m y m
x my
( 1) 1
2 2
ì + - = +
í + =î 
 b) mx m y
m x m y
( 2) 5
( 2) ( 1) 2
ì + - =
í + + + =î 
 c) m x y m
m x y m
( 1) 2 3 1
( 2) 1
ì - + = -
í + - = -î 
d) m x m y
m x m y m
( 4) ( 2) 4
(2 1) ( 4)
ì + - + =
í - + - =î 
 e) m x y m
m x y m m2 2
( 1) 2 1
2
ì + - = -
í 
- = +î
f) mx y m
x my m
2 1
2 2 5
ì + = +
í + = +î 
Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: 
i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. 
a) m x y m
m x y m m2 2
( 1) 2 1
2
ì + - = -
í 
- = +î
b) mx y
x m y m
1
4( 1) 4
ì - =
í + + =î 
 c) mx y 
x my m
3 3
2 1 0
ì + - =
í + - + =î 
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 
Xét D Kết quả 
D ¹ 0 Hệ có nghiệm duy nhất yx
DD
x y
D D
;
æ ö
= =ç ÷
è ø
Dx ¹ 0 hoặc Dy ¹ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm 
Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Thạch
Trang 2 
Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: 
i) Giải và biện luận. 
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. 
a) mx y m
x my m
2 1
2 2 5
ì + = +
í + = +î 
 b) mx m y
m x my
6 (2 ) 3
( 1) 2
ì + - =
í - - =î 
 c) mx m y m
x my
( 1) 1
2 2
ì + - = +
í + =î 
Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
a) ax y b
x y3 2 5
ì + =
í + = -î 
 b) y ax b
x y2 3 4
ì - =
í - =î 
 c) ax y a b
x y a2
ì + = +
í + =î 
d) a b x a b y a
a b x a b y b
( ) ( )
(2 ) (2 )
ì + + - =
í - + + =î 
 e) ax by a b
bx ay ab
2 2
2
ì + = +í 
+ =î
f) ax by a b
bx b y b
2
2 4
ìï - = -
í 
- =ïî
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 
x y z
x y z
x y z
3 1
2 2 5
2 3 0
ì + - =ï
- + =í
ï - - =î
b) 
x y z
x y z
x y z
3 2 8
2 6
3 6
ì + + =ï
+ + =í
ï + + =î
c) 
x y z
x y z
x y z
3 2 7
2 4 3 8
3 5
ì - + = -ï
- + + =í
ï + - =î
Đinh Xuân Thạch Hệ phương trình nhiều ẩn 
Trang 3 
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai 
· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. 
· Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. 
· Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 
2. Hệ đối xứng loại 1 
 Hệ có dạng: (I) f x y
g x y
( , ) 0
( , ) 0
ì =
í =î 
 (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). 
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). 
· Đặt S = x + y, P = xy. 
· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. 
· Giải hệ (II) ta tìm được S và P. 
· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2 0- + = . 
3. Hệ đối xứng loại 2 
 Hệ có dạng: (I) f x y
f y x
( , ) 0 (1)
( , ) 0 (2)
ì =
í =î 
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). 
· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: 
 (I) Û f x y f y x 
f x y
( , ) ( , ) 0 (3)
( , ) 0 (1)
ì - =
í =î 
· Biến đổi (3) về phương trình tích: 
 (3) Û x y g x y( ). ( , ) 0- = Û x y
g x y( , ) 0
é =
ê =ë 
. 
· Như vậy: (I) Û 
f x y 
x y 
f x y 
g x y
( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
éì =
íê =îê
ì =êíê =îë
. 
· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 
Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0( ; ) thì y x0 0( ; )
 cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0= . 
4. Hệ đẳng cấp bậc hai 
 Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d
a x b xy c y d
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
ì + + =ï
í
+ + =ïî
. 
· Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). 
· Khi x ¹ 0, đặt y kx= . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương 
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). 
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 
Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Thạch
Trang 4 
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 
a) x y 
x y
2 24 8
2 4
ì + =í
+ =î
 b) x xy
x y
2 24
2 3 1
ì - =í
- =î
c) x y 
x y
2( ) 49
3 4 84
ì - =í 
+ =î
d) x xy y x y
x y
2 23 2 3 6 0
2 3
ì - + + + - =í 
- =î
e) x y
xy x y
3 4 1 0
3( ) 9
ì - + =
í = + -î 
 f) x y
xy x y
2 3 2
6 0
ì + =
í + + + =î 
g) y x x
x y
2 4
2 5 0
ì + =í
+ - =î
 h) x y
x y y2 2
2 3 5
3 2 4
ì + =
í
- + =î
i) x y 
x xy y2 2
2 5
7
ì - =
í
+ + =î
Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
a) x y
x y m2 2
6ì + =
í
+ =î
 b) x y m
x y x2 2 2 2
ì + =
í
- + =î
c) x y
x y m2 2
3 2 1ì - =
í
+ =î
Bài 3. Trong các hệ phương trình sau: 
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. 
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. 
a) mx y m
x my a
2 1
2 2 1
ì + = +
í + = -î 
 b) mx y m
x my m
3
2 1
ì + =
í + = +î 
c) x y m
x y m
2 4
2 3 3
ì - = -
í + = +î 
 d) x y 
y x m
2 5
2 10 5
ì + =
í - = +î 
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: 
a) x xy y
x y xy x y2 2
11
2( ) 3
ì + + =
í
+ - - + = -î
b) x y 
x xy y2 2
4
13
ì + = 
í
+ + =î
c) xy x y
x y x y2 2
5
8
ì + + =
í
+ + + =î
d) 
x y 
y x 
x y
13
6
6
ì
+ =ï
í 
ï + =î
 e) x x y y
x y xy
3 3 3 3 17
5
ì + + =í 
+ + =î
f) x x y y
x xy y
4 2 2 4
2 2
481
37
ìï + + =
í 
+ + =ïî
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: 
a) x xy y
x y y x2 2
1
6
ì + + = -
í
+ = -î
b) x y 
x x y y
2 2
4 2 2 4
5
13
ìï + =
í
- + =ïî
c) x y y x 
x y
2 2
3 3
30
35
ìï + =
í 
+ =ïî
d) x y
x y x y
3 3
5 5 2 2
1ìï + =
í
+ = +ïî
e) x y xy 
x y x y
2 2
4 4 2 2
7
21
ìï + + =
í
+ + =ïî
f) x y xy 
x y x y2 2
11
3( ) 28
ì + + =
í
+ + + =î
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 
x y 
xy
x y
x y
2 2
2 2
1( ) 1 5
1( ) 1 49
ì æ ö
+ + =ï ç ÷
ï è ø
í æ öï + + =ç ÷ï è øî
b) ( )
y x x y
x y
x y
2 2
2 2
2 2
( 1) 2 ( 1) 
11 24
ì + = +
ï æ öí + + =ç ÷ï ç ÷
è øî
c) 
x y 
x y
x y
x y
2 2
2 2
1 1 4
1 1 4
ì 
+ + + =ïï
í
ï + + + =
ïî
d) 
x y
x y
x y 
xy
2 2
2
31 1 
1( )(1 ) 6
ì
+ =ïï + +í
ï + + =
ïî
e) 
x y y x y x xy
y xxy 
xy x y
2 22 2 6
1 4
ì + + + =ï
í + + + =ïî
f) 
xy 
xy
x y 
xy
1 4
1( ) 1 5
ì 
+ =ïï
í æ öï + + =ç ÷ï è øî
Đinh Xuân Thạch Hệ phương trình nhiều ẩn 
Trang 5 
Bài 7. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
a) x y xy m
x y m2 2 3 2
ì + + =
í 
+ = -î
b) x y m 
x y xy m m2 2 2
1
2 3
ì + = +
í
+ = - -î
c) x y m
xy x y m
( 1)( 1) 5
( ) 4
ì + + = +
í + =î 
Bài 8. Giải các hệ phương trình sau: 
a) x x y
y y x
2 
2
3 2
3 2
ìï = +
í 
= +ïî
 b) x y x y
y x y x
2 2
2 2
2 2
2 2
ìï - = +
í
- = +ïî
c) x x y
y y x
3 
3
2 
2
ìï = +
í
= +ïî
d) 
yx y
x
x
y x
y
3 4
3 4
ì 
- =ïï
í
ï - =
ïî
 e) 
yy
x
xx
y
2
2
2
2
23
23
ì +
=ï
ï
í
+ï =
ïî
f) 
x y
y
y x
x
2
2
12
12
ì
= +ïï
í
ï = +
ïî
g) x x y
y y x
3 
3
3 8
3 8
ìï = +
í
= +ïî
 h) xy x y
xy y x
2 
2
8( 1)
8( 1)
ìï + = -
í
+ = -ïî
i) 
x y
x
y x
y
2
2
32
32
ì 
+ =ïï
í
ï + =
ïî
k) 
2 2
2 2
91 2 (1)
91 2 (2)
ì + = - +ï
í
+ = - +ïî
x y y
y x x
Bài 9. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
a) x x my
y y mx
2 
2
3 
3
ìï = +
í 
= +ïî
 b) x y m m
y x m m
2 2
2 2
(3 4 ) (3 4 )
(3 4 ) (3 4 )
ìï - = -
í 
- = -ïî
c) xy x m y 
xy y m x
2 
2
( 1)
( 1)
ìï + = -
í
+ = -ïî
Bài 10. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
a) x y m y
xy m x
2 2
2 2
ìï + =
í
+ =ïî
 b) xy x m y 
xy y m x
2 
2
( 1)
( 1)
ìï + = -
í
+ = -ïî
c) 
m
x y
y
my x
x
2
2
2
2
2
2
ì 
= +ïï
í
ï = +ïî
Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: 
a) x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 1
3 3 13
ìï - + = -
í
- + =ïî
b) x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7
ìï - + = -
í
+ + =ïî
c) y xy 
x xy y
2
2 2
3 4
4 1
ìï - =
í
- + =ïî
d) x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
ìï + - =
í
- - =ïî
e) x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 3 9
4 5 5
ìï - + =
í
- + =ïî
f) x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 8 4 0
5 7 6 0
ìï - + =
í
- - =ïî
Bài 12. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
a) x mxy y m
x m xy my m
2 2
2 2( 1)
ìï + + =
í
+ - + =ïî
b) xy y 
x xy m
2 
2
12
26
ìï - =
í
- = +ïî
c) x xy y m
y xy
2 2
2
4 
3 4
ìï - + =
í 
- =ïî
Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Thạch
Trang 6 
Các hệ phương trình đại số tổng quát thường rất khó giải và không thể nêu ra phương 
pháp chung để giải chúng. Ở đây xin nêu ra một số phương pháp để có thể lựa chọn thích 
hợp. 
1. Phương pháp thế: Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích 
tìm cách rút một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại. Giải phương trình này. 
Số nghiệm của hệ tuỳ thuộc số nghiệm của phương trình này. 
2. Đặt ẩn phụ: Biến đổi các phương trình để có thể đặt ẩn phụ, rồi chuyển về hệ cơ bản. 
3. Phương pháp đánh giá: Từ điều kiện của ẩn, xét trường hợp xảy ra dấu "=" ở bất 
đẳng thức. 
4. Phương pháp điều kiện cần và đủ: 
5. Phương pháp hàm số: Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 
 Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b). Khi đó, với mọi 
a, b Î (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b. 
Chú ý: Các hệ phương trình hoán vị vòng quanh 
x f y
y f z
z f x
( )
( )
( )
ì =ï 
=í
ï =î
, thường sử dụng tính đơn 
điệu của hàm số để chứng minh x = y = z. 
– Xét tính đơn điệu hàm số f(t). 
– Chứng tỏ x y,  không xảy ra. 
– Từ đó suy ra x = y = z. Thế vào  ... í 
+ =î
Û u v
u v
2; 3
3; 2
é = =
ê = =ë 
Nghiệm (x; y): 3(1;3), ;2
2
æ ö
ç ÷
è ø
. 
Bài 15. Giải hệ phương trình sau: 
 x y x y
x y
2 1 1
3 2 4
ì + + - + =
í 
+ =î
· Hệ PT Û x y x y
x y x y
2 1 1
(2 1) ( ) 5
ì + + - + =
í
+ + + + =î
. Đặt u x y v x y2 1 0, 0= + + ³ = + ³ . 
 Hệ PT Û u v u v
u v loaïiu v2 2
1 2, 1
1, 2 ( )5
ì - = é = =Ûí ê = - = -+ = ëî
Þ x
y
2
1
ì =
í = -î 
. 
Bài 16. Giải hệ phương trình sau: 
î
í
ì
=++
=++
64
9)2)(2(
2 yxx
yxxx 
· Hệ PT Û x x x y
x x x y
2 
2
( 2 )(2 ) 9
( 2 ) (2 ) 6
ìï + + =
í
+ + + =ïî
. Đặt u x x
v x y
2 2
2
ì = +í
= +î
Bài 17. Giải hệ phương trình sau: 
· 
Đinh Xuân Thạch Hệ phương trình nhiều ẩn 
Trang 17 
Vấn đề 3: Phương pháp đánh giá 
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: 
x z z a
y x x b
z y y c
3 2
3 2
3 2
9 27( 1) ( )
9 27( 1) ( )
9 27( 1) ( )
ì = - -
ï
í = - -
ï = - -î
· Cộng (a), (b), (c) ta được: x y z d3 3 3( 3) ( 3) ( 3) 0 ( )- + - + - = 
+ Nếu x > 3 thì từ (b) suy ra: 3 9 ( 3) 27 27 3y x x y= - + > Þ >
 từ (c) suy ra: 3 9 ( 3) 27 27 3z y y z= - + > Þ > Þ (d) không thoả mãn 
+ Tương tự, nếu x < 3 thì từ (a) Þ 0 < z < 3 Þ 0 < y <3 Þ (d) không thoả mãn 
+ Nếu x = 3 thì từ (b) Þ y = 3; thay vào (c) Þ z = 3. Vậy: x = y = z =3 
Bài 2. Giải hệ phương trình sau: 
x y 
y z
z x
1
1
1
ì - =
ï
í - =
ï - =î
· Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0. 
Không mất tính tổng quát, giả sử x ³ y Þ y z y z1 1+ ³ + Þ ³ . 
Ta lại có: z x y x1 1= + ³ + = Þ x ³ y ³ z ³ x Þ x = y = z. 
Þ x x 1 0- - = Û 
( )
x
2
5 1
4
+
= . Nghiệm x = y = z = 
( )25 1
4
+ . 
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: 
x
y
x
y
z
y
z x
z
2 
2
2 
2
2 
2
2
1
2
1
2
1
ì
=ï
+ï
ïï =í 
+ï
ï
=ï
ï +î
· Nếu x = 0 thì y = 0, z = 0 Þ Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0) 
· Nếu x ¹ 0 thì y > 0, z > 0 Þ x > 0. 
Ta có: x xy x
xx
2 2
2
2 2
21
= £ =
+
. Tương tự ta suy ra được: y £ x £ z £ y Þ x = y = z 
Þ x x
x
2 
2
2
1
=
+
Þ x = 1. Nghiệm (0; 0; 0), (1; 1; 1). 
Bài 4. Giải hệ phương trình sau: 
xy
x x y
x x 
xy
y y x
y y
2
3 2
2
23
2
2 9
2
2 9
ì
+ = +ï
ï - +
í
ï + = +
ï - +î
· Cộng hai phương trình, vế theo vế, ta được: xy xy x y
x x y y
2 2
3 2 23
2 2
2 9 2 9
+ = +
- + - +
(*) 
Ta có: x x x3 2 232 9 ( 1) 8 2- + = - + ³ , y y y2 23 32 9 ( 1) 8 2- + = - + ³
Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Thạch
Trang 18 
Þ VT (*) £ xy xy xy xy x y2 22 2 2 2
2 2
+ = £ £ +
 Dấu "=" xảy ra Û x y
x y
1
0
é = =
ê = =ë 
. Nghiệm: (0; 0), (1; 1). 
Bài 5. Giải hệ phương trình sau: 
 y x x 
x y y
3 
3
3 4
2 6 2
ìï = - + +
í
= - -ïî
· y x x
x y y
3 
3
3 4
2 6 2
ìï = - + +
í
= - -ïî
Û y x x
x y y
2 
2
2 ( 1) ( 2) (1)
2 2( 1) ( 2) (2)
ìï - = - + -
í 
- = + -ïî
Dễ dàng thấy (x; y) = (2; 2) là một nghiệm của hệ. 
Nếu x > 2 thì từ (1) Þ y < 2. Nhưng từ (2) Þ x – 2 và y – 2 cùng dấu Þ Mâu thuẫn. 
Nếu x < 2 thì cũng suy ra điều mâu thuẫn tương tự. 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2. 
Bài 6. Giải hệ phương trình sau: 
 xy x
xy y
2
2
10 20 (1)
5 (2)
ì - = -ï
í 
= +ïî
 HD : Rut ra y
yy
yx +=+= 55
2
Cô si 
 202 ³x theo (1) 202 £x suy ra x,y 
· Từ (2) Þ y
yy
yx +=+= 55
2
. 
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 525 ³+= y
y
x Þ x2 20³ . Mà theo (1) thì x2 20£ . 
Do đó x2 20= Û x y
x y
2 5 ( 5)
2 5 ( 5)
é = =
ê 
= - = -ë
Bài 7. Giải hệ phương trình sau: 
· 
Đinh Xuân Thạch Hệ phương trình nhiều ẩn 
Trang 19 
Vấn đề 4: Phương pháp sử dụng phương trình hệ quả 
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: 
x y 
y z 
z x
1 (1)
2 (2)
3 (3)
ì + =ï 
+ =í
ï + =î
· Cộng 3 phương trình, vế theo vế, ta được: x y z 3 (4)+ + =
 Từ (4) và (1) Þ z = 2; từ (4) và (2) Þ x = 1; từ (4) và (3) Þ y = 0. 
Thử lại Þ Nghiệm (x; y; z): (1; 0; 2). 
Bài 2. Giải hệ phương trình sau: 
xy x y
yz y z
zx z x
2 1
2 7
2 2
ì = + +ï
= + +í
ï = + +î
· 
xy x y
yz y z
zx z x
2 1
2 7
2 2
ì = + +ï
= + +í
ï = + +î
Û 
x y
y z
z x
(2 1)(2 1) 3
(2 1)(2 1) 15
(2 1)(2 1) 5
ì - - =ï
- - =í
ï - - =î
Nhân các phương trình trên, vế theo vế, ta được: 
 x y z2 2 2(2 1) (2 1) (2 1) 225- - - = Û x y z a
x y z b
( 2 1)(2 1)(2 1) 15 ( )
(2 1)(2 1)(2 1) 15 ( )
é - - - =
ê - - - = -ë 
Trường hợp (a) Þ 
x
y
z
2 1 1
2 1 3
2 1 5
ì - =ï
- =í
ï - =î
Û 
x
y
z
1
2
3
ì =ï
=í
ï =î
Trường hợp (b) Þ 
x
y
z
2 1 1
2 1 3
2 1 5
ì - = -ï
- = -í
ï - = -î
Û 
x
y
z
0
1
2
ì =ï
= -í
ï = -î
Thử lại Þ Nghiệm (x; y; z): (1;2;3), (0; 1; 2)- - . 
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: 
· 
Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Thạch
Trang 20 
Vấn đề 5: Phương pháp hàm số 
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 
y 
x
x x x
y y y
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
- 
-
ìï + - + = +
í
+ - + = +ïî
· Đặt u x
v y
1
1
ì = -
í = -î 
. HPT Û 
v
u
u u
v v
2 
2
1 3
1 3
ìï + + =
í
+ + =ïî
Þ u vu u v v2 23 1 3 1+ + + = + + + Û f u f v( ) ( )= với tf t t t2( ) 3 1= + + + . 
Ta có: t t tf t
t
2 
2
1( ) 3 ln 3 0
1
+ +¢ = + >
+
Þ f(t) đồng biến. 
Þ u v= Þ ( )uu u u u u2 231 3 log 1 0+ + = Û - + + = (2) 
Xét hàm số: ( )g u u u u23( ) log 1= - + + Þ g u( ) 0¢ > Þ g(u) đồng biến. 
Mà g(0) = 0 nên u = 0 là nghiệm duy nhất của (2). 
Nghiệm: (1; 1). 
Bài 2. Giải hệ phương trình sau: 
 x x y y 
x y
3 3
8 4
5 5 (1)
1 (2)
ìï - = -
í 
+ =ïî
· Từ (2) Þ x y8 41, 1£ £ Þ x y1, 1£ £ . 
Xét hàm số f t t t t3( ) 5 , [ 1;1]= - Î - Þ f t t t2( ) 3 5 0, [ 1;1]¢ = - < " Î - Þ f(t) nghịch biến 
trên [–1; 1]. 
Do đó: Từ (1) Þ f(x) = f(y) Û x = y. 
Thay vào (2) ta được: x x8 4 1 0+ - = Û x y4 1 5 
2
- +
= ± =
Bài tương tự: x x y y
x y
3 3
6 6
3 3
1
ìï - = -
í 
+ =ïî
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: 
· 
Đinh Xuân Thạch Hệ phương trình nhiều ẩn 
Trang 21 
Vấn đề 6: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình 
Bài 1. Giải phương trình sau: 3 18 1 2 2 1++ = -x x 
· Đặt x xu v3 12 0; 2 1+= > - = . 
Ta được hệ u vu v u v
u uv u u v u uv v
3 3
33 2 2
01 2 1 2
2 1 01 2 ( )( 2) 0
ì ì ì = >ï ï+ = + =Û Ûí í í
- + =+ = - + + + =ï ï îî î
 Û 
x
x 2
0
1 5log 
2
é =
ê - +ê =
ë
Bài 2. Giải phương trình sau: x x3 31 2 2 1+ = -
· Đặt y x3 2 1= - . Ta được hệ x y
y x
3 
3
1 2
1 2
ìï + =
í
+ =ïî
Þ x y x y xy2 2( )( 2) 0- + + + = Û x y=
Þ x x3 2 1 0- + = Û 
x
x
1
1 5
2
é =
ê - ±ê =
ë
. 
Bài 3. Giải phương trình sau: x x32 3 2 3 6 5 8 0- + - - =
· Đặt u x v x v3 3 2, 6 5 , 0 (*)= - = - ³ . 
Ta có hệ: u v 
u v3 2
2 3 8
5 3 8
ì + =
í
+ =î
Û 
u
v
u u u3 2
8 2
3
15 4 32 40 0
ì -
=ï
í
ï + - + =î
Û u
v
2
4
ì = -
í =î 
 Þ x = –2. 
Bài 4. Giải phương trình sau: 
· 
Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Thạch
Trang 22 
Vấn đề 7: Hệ phương trình chứa tham số 
Bài 1. Tìm m để hệ phương trình: ( )
2 2
2 2
2
4
ì - + =ï
í
+ - =ïî
x y x y
m x y x y 
 có ba nghiệm phân biệt. 
· Hệ PT Û 
m x m x m
x
y
x
4 2
2
2
( 1) 2( 3) 2 4 0 (1)
2
1
ì - + - + - =
ï
í +
=ï 
+î
. 
+ Khi m = 1: Hệ PT Û 
x
VNx
y
x
2
2
2
2 1 0
( )2
1
ì + =
ï
í +
=ï 
+î
+ Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , t 0³ . Xét f t m t m t m2( ) ( 1) 2( 3) 2 4 0 (2)= - + - + - = 
 Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt Û (1) có ba nghiệm x phân biệt 
Û (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 Û ( )
f
mm 
S 
m
(0) 0
... 22 3 
0
1
ì =
ï Û Û =-í 
= >ï -î
. 
Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
1
1 3
ì + =ï
í 
+ = -ïî
x y
x x y y m
(D – 2004) 
· Đặt u x v y u v, ( 0, 0)= = ³ ³ . Hệ PT Û u v u v
uv mu v m3 3
1 1
1 3
ì + = ì + =Ûí í =+ = - îî
. 
ĐS: m 10
4
£ £ . 
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: y x m
y xy
2 (1)
1 (2)
ì - =
í + =î
· Từ (1) Þ = -x y m2 , nên (2) Û - = -y my y22 1
ì £
ïÛ í = - +ïî
y
m y 
y
1
1 2 (vì y ¹ 0) 
Xét ( ) ( )= - + Þ = + >f y y f y
y y2
1 12 ' 1 0
 Dựa vào BTT ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất Û >m 2 . 
Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau: 
a) 
Đinh Xuân Thạch Hệ phương trình nhiều ẩn 
Trang 23 
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 
ïî
ï
í
ì
=-+
=-+
22
22
xy
yx 
 b) 
x y x y
x y
. 3
1 1 4
ì + - =ï
í
+ + + =ïî
c) 
x y
y x xy
x xy y xy
7 1
78
ì
+ = +ï
í
ï + =î
 d) 
x y
y x
x y xy2 2
5
2
21
ì
+ =ï
í
ï
+ + =î
e) 
x y
y x
x y xy
2 2 3
3
ì
ï + =
í
ï - + =î
 f) ( )x y x y
x y x y
3 3
2 2
7
2
ì - = -ï
í
+ = + +ïî
g) x y
xy
1 1 4
3
9
ì
+ =ï
í
ï =î
 h) x y 
xy
3 3 4
27
ì + =
í 
=î
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: 
a) xy x y
x y x y xy2 2
3
6
ì - + = - 
í
+ - + + =î
 b) x xy y
x y xy
2 2 3
1
ì + + =í
+ + = -î
c) x y 
x y2 2
1 1 1
2
5
ì
+ = -ï
í
ï + =î
 d) ( ) ( )
x y x y
x x y y y
2 2 4
1 1 2
ì + + + =ï
í
+ + + + =ïî
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 
a) x y x
y x y
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
ìï - = -
í
- = -ïî
 b) x y x 
y x y
3 
3
2 2
2 2
ìï = + +
í
= + +ïî
c) x y x
y x y
2 2
2 2
2 3 4
2 3 4
ìï - = +
í
- = +ïî
 d) x y x y
y x y x
2 2
2 2
2 2
2 2
ìï - = +
í
- = +ïî
e) 
y
x
y
x
y
x
2
2
2
1
2
1
ì 
=ïï -í
ï =
ï -î
 f) 
yx
y
x
y
x
2
2
2
2
1
1 
1
1
ì -
=ï
ï +í
-ï =ï +î
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: 
a) x xy y
x xy y
2 2
2 2
6 2 56
5 49
ìï - - =
í 
- - =ïî
 b) x xy y 
x xy y
2 2
2 2
2 3 15
2 8
ìï + + =
í 
+ + =ïî
c) x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 3 9
2 2 2
ìï + + =
í
+ + =ïî
 d) x xy y 
x xy y
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7
ìï - + = -
í
+ + =ïî
e) 
x y
x y
5 5
3 3
1
1
ì + =ï
í
+ =ïî
 f) 
x y 
x y
2 2
3 3
1
1
ì + =ï
í
+ =ïî
IV. BÀI TẬP ÔN 
Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Thạch
Trang 24 
g) x y 
x x y y
2 2
4 2 2 4
5
13
ìï + =
í
- + =ïî
 h) 
x y
x y
4 4
6 6
1
1
ì + =ï
í
+ =ïî
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 
x xy y x y
x xy y x y
2 2
2 2 2
3( )
7( )
ì - + = -ï
í 
+ + = -ïî
 b) 
xy x y x y
x y y x x y
2 22
2 1 2 2
ì + + = -ï
í
- - = -ïî
c) 
x y x y
x y x y
2 2
2 2
( )( ) 13
( )( ) 25
ì - + =ï
í
+ - =ïî
 d) 
x x y x y
x y x xy
4 3 2 2
3 2
1
1
ì - + =ï
í
- + = -ïî
e) 
x y x y xy xy
x y xy x
2 3 2
4 2
5
4
5(1 2 )
4
ì
+ + + + = -ïï
í
ï + + + = -
ïî
f) 
x x y x y x
x xy x
4 3 2 2 
2
2 2 9
2 6 6
ì + + = +ï
í 
+ = +ïî
g) x x x y
x x y
2 
2
( 2 )(3 ) 18
5 9 0
ìï + + =
í 
+ + - =ïî
 h) x y x y
x y x y
2 2 
2 2
( )( ) 3
( )( ) 15
ìï - - =
í
+ + =ïî
Bài 6. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm: 
a) xy x y m
x y x y2 2
( 1)( 1)
8
ì + + =
í
+ + + =î
 b) x xy y
x xy y m
2 2
2 2
1
3 2
ìï - + =
í
- + =ïî
c) x y
x y y x x y m
1 1 3
1 1 1 1
ì + + + =ï
í
+ + + + + + + =ïî
d) x y m
x y m
1 2
3
ì + - + =
í 
+ =î
e) 
ïî
ï
í
ì
+=-
=-
mxyx
yxy
26
12
2
2
 f) 
x y
x y
x y m
x y
3 3
3 3
1 1 5
1 1 15 10
ì 
+ + + =ïï
í
ï + + + = -
ïî