Chuyên đề Hình học 10

A. Kiến thức cơ bản cần nhớ về vectơ trong mặt phẳng (Oxy) :
I. Cho khi đó:
 Với hai điểm M(xM; yM) và N(xN ; yN ) thì :
 Hai vectơ bằng nhau:
 +=(x+x'; y+y')
 -= (x-x'; y-y') 
 k =(kx; ky)
 Vectơ cùng phương với vectơ có một số k sao cho x'=kx; y'=ky
 Hoặc : x : x' =y : y'
 Chia một đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước: 
 Điểm M (x, y) chia đoạn AB theo tỷ số k (tức là ) được xác định bởi
 hệ thức: 
 Nếu k =-1 thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khi đó toạ độ M được xác định bởi hệ thức: x = ; y =
 xA = 2x -xB ; yA =2y -yB
 Với M tuỳ ý, I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì : 
 Toạ độ trọng tâm của tam giác ABC:
 G là trọng tâm của tam giác ABC thì : xG =
 Với M là một điểm tuỳ ý, G là trọng tâm của tam giác ABC thì :
 Tích vô hướng của hai véctơ :
 . = 
 . = 
 Các phép toán về tích vô hướng:
 Cho khi đó :
 . =xx'+yy'
 =
 cos(;) =
 xx'+yy'=0
1
 Khoảng cách giữa hai điểm M(xM; yM) và N(xN ; yN ) :
II. Phương trình đường thẳng trong hệ trục Oxy :
 1) Phương trình đường thẳngđi qua một điểm M0(x0; y0 ) và có vectơ pháp tuyến (A;B): A(x- x0) +B(y- y0) =0
 Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng :
 Ax +By +C = 0
 2) Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0; y0 ) và có vectơ chỉ phương (a; b):
 (Dạng chính tắc )
 (Dạng tham số)
 Hệ quả : 
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M0(x0; y0 ) và M1 (x1; y1 ) :
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B( 0; b):
 (phương trình đoạn chắn )
3) Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0; y0) và có hệ số góc k :
 y=k.(x-x0) + y0
III. Khoảng cách từ một điểm M0(x0; y0 ) tới đường thẳng (d): Ax +By +C =0 :
 = 
IV. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo thành bởi hai đường thẳng:
Cho và thì phương trình các phân giác của các góc tạo thành bởi hai đường thẳng và là:
V. Vị trí tương đối của hai điểm M(xM; yM) và N(xN; yN) đối với đường thẳng (d) có phương trình : Ax +By +C =0 :
 Hai điểm M và N cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là (d) 
 (AxM+AyM+C).(AxN +B yN+C) > 0
 Hai điểm M và N không cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là (d) 
 (AxM+AyM+C).(AxN +B yN+C) < 0
2
VI. Góc giữa hai dường thẳng:
Cho đường thẳng và thì :
 , với 
VII. Phương trình đường tròn :
Đường tròn (C ) tâm I (a, b) bán kính R (R>0) có phương trình :
 (x - a)2 +(y - b)2 = R2
với đk : a2+b2-c >0 )
VIII.Phương trình tiếp tuyến tại một điểm M(x0, y0) đối với một đường tròn(C ):
 x.x0 +y.y0 - a(x+x0) - b(y +y0) + c =0
 B. Cácbài tập
Bài tập 1 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C (-4;-5) và hai đường cao có phương trình 
d1 : 5x+3y-4=0 và d2 : 3x+8y+13=0.
Các bước giải:
Lập luận dỉnh C không thuộc d1 và d2 .
Giả sử đường cao AH là d1 : 5x+3y-4=0 và đường cao BK là d2 : 3x+8y+13=0.
Cạnh (BC)^(AH) nên có vectơ chỉ phương là 
 Phương trình (BC) qua C (-4;-5) và có vectơ chỉ phương là: 
Tương tự phương trình (AC) :3x-5y-13=0
 A=(AC)ầ (AH) nên toạ độ A thoả mãn hệ : A (1;-2)
Tương tự : B (-1;3) ị = (-2; 5)
 Phương trình (AB) : ị 5x+2y-1=0
Bài tập 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các điểm A(2,1) ; B(0,1) ; C(3,5); 
D(-3,-1).
1. Tính diện tích tứ giác ABCD
2. Viết phương trình các cạnh của hình vuông có hai cạnh song song đi qua A, C và hai cạnh còn lại điqua B, D.
3
Các bước giải : 
1.
Đường thẳng (DB) đi qua B (0, 1) và có véctơ chỉ phương 
nên có phương trình : 	
Khoảng cách đại số từ C và A đến DB : 
 tia DB nằm giữa tia DC và tiaDA
DB = 
dt(ABCD) = dt(CDB) + dt(ADB) =
 = = đvdt =5 đvdt
2. Giả sử MNPQ là hình vuông thoả mãn MN qua A, PQ qua C, NP qua B , MQ qua D
Phương trình (MN) qua A (2;1), có hệ số góc k : y= k.(x - 2)+ 1 kx- y +1-2 k=0
Phương trình (PQ) qua C (3, 5) cũng có hệ số góc k : y =k (x -3)+5kx - y +5 -3k=0
 (NP) ^ (MN) (NP) có hệ số góc và đi qua B (0, 1) nên : y =(x - 0) +1
x +ky -k = 0
(MQ) qua D (-3, -1) có hệ số góc nên : y = .(x +3)-1
x +ky + k+3 =0
 d((MN),(PQ)) = d(A,(PQ)) == 
 d ((NP),(MQ)) = d (B,(MQ)) == 
MNPQ là hình vuông nên : 
Với k =-7 , ta có (MN) :-7x-y+15=0 ; (PQ) :-7x-y+26 =0 ; 
 (NP) : x-7y+7=0 ; (MQ): x-7y-4=0	
Với k = , ta có (MN) :x-3y+1=0 ; (PQ) : x-3y+4=0
 (NP) :3x+9y-1=0 ; (MQ) : 3x+9y+10=0
Bài tập 3 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :x2 +y2 -2x-6y+6 = 0 và điểm M (2,4) .
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1.
4
Các bước giải :
1. 
 lập luận điểm M thuộc miền trong của đường tròn (phương tích từ M tới đường tròn dương)
 lập luận đường tròn có tâm I (1, 3) bán kính R =2
Gọi (d) là đường thẳng qua M và cắt đường tròn tại A, B sao cho M là trung điểm của AB. Thì IM ^(d)ị là vectơ pháp tuyến của (d) nên
 phương trình (d): 1.(x-2) +1.(y - 4) = 0 Hay (d) :x +y -6 = 0
2.
Phương trình đường thẳng (D) có hệ số góc k=-1 : y = -x+ m -x-y + m =0
(D) là tiếp tuyến của đường tròn d (I, (D)) =R 
Bài tập 4 : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết toạ độ đỉnh B (2, -1); đường cao qua đỉnh A có phương trình: 3x-4y+27 = 0; đường phân giác trong của góc C có phương trình : x+2y-5 = 0
Các bước giải :
(BC) đi qua điểm B(2,-1) nhận vectơ pháp tuyến của (AH) làm vectơ chỉ phương ị(BC) : 4x+3y-5 = 0
 Toạ độ (x, y) của C thoả mãn hệ :
Tìm điểm B' là điểm đối xứng của B qua phân giác trong của góc C: 
Đường thẳng qua B (2, -1) có vectơ chỉ phương là véctơ là vectơ pháp tuyến của đường phân giác trong của góc C : có phương trình: 
Gọi I =(d2)ầ(d3) thì 
(AC) qua C(-1,3) và B'(4, 3) ị(AC) : y = 3
 A = (AC) ầ (d1) ị 
ị (AB) qua A(-5, 3) và B(2, -1) có phương trình : 4x +7y -1 = 0
Bài tập 5 :Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho hình vuông ABCD có một dỉnh A(0, 5) và một đường chéo nằm trên (d) :y - 2x = 0.
1. tìm toạ độ tâm I của hình vuông.
2. Xác định toạ độ các dỉnh còn lại của hình vuông
3, lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD tại A.
5
Các bước giải:
1.
 Chứng tỏ A không thuộc (d) vậy B, D thuộc (d).
Vì (AC) ^(BD). Đường thẳng (AC) qua A(0, 5) có vectơchỉ phương là vectơ pháp tuyến của (d) ị (AC) : 
 Toạ độ tâm I thoả mãn hệ:
2.
 Độ dài AI = 
 C(xC, yC) thì do I là trung điểm của AC nên 
Phương trình đường tròn (C) tâm I , bán kính : (x-2)2 + (y-4)2 = 5
Toạ độ B , D thoả mãn :
chọn B thì D 
3. Tiếp tuyến với đường tròn tại A(0, 5) thì song song với (d) :
Bài tập 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ đôOxy cho tam giác ABC với các đỉnh A(-6, -3);
B(-4, 3); C(9, 2).
1. Viết phương trình đường thẳng (d) chứa đường phân giác trong của góc A
2. Tìm điểm P trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác ABPC là hình thang.
Các bước giải:
1. 
Tính độ dài đoạn AB và AC rồi lập tỷ số k=.
Tìm trên (BC) điểm I : 
Tính . (d) có vectơ chỉ phương và qua A(-6;-3):
ị(d) :x-y+3=0
2. Có hai khả năng: 
a) Nếu AC//BP : Lập phương trình đường thẳng qua B ,//AC : x- 3y +13 =0
 Toạ độ P thoả mãn hệ :
6
b) Nếu AB//CP thì tương tự ta có P(14, 17)
Bài tập 7:!ABC biết B(2,-1); đường cao qua A có phương trình (d1):3x -4y +27 = 0
Đường phân giác trong của góc C có phương trình (d2): x + 2y - 5 = 0. 
Tìm toạ độ điểm A?
Các bước giải: 
• Lập phương trình đường thẳng (BC) :có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (d1) và đi qua B : 4x +3y - 5 = 0.
• Toạ độ C =(BC )ầ (d2) ị : (-1, 3)
• Tìm toạ độ điểm B' đối xứng của B qua (d2):
Phương trình đường thẳng (BB')^(d2) và quaB :2x -y - 5 = 0
Tìm điểm I = (BB')ầ (d2): ị I(3, 1)
xB' =2xI -xA =4 
yB' =2yI -yA = 3 Vậy B' (4, 3) .B'ẻ (AC)
 ã (AC) qua B' và C nên có phương trình : y =3
 ã A =(AC) ầ (d1)ị A (-5, 3)
Bài tập 8 : Cho đường thẳng (d): x - y = 0 và điểm M(2, 1). Tìm phương trình đường thẳng (d1) cắt trục Ox tại A; cắt (d) tại B sao cho !AMB vuông cân tại M.
Các bước giải: 
ãVì B ẻ (d) ị B(b, b)
ãVì AẻOx ị A(a, 0)
ã! ABC vuông cân tại M Û Û
ị ã Đs : 
Bài tập 9:Cho đường tròn (W) : (x - 1)2 + (y + 1)2 = 0 và điểm M(7, 3) . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M, cắt (W) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho MA = 3 MB
Các bước giải :
ã Lập luận PM/(W) =27 > 0ị Điểm M nằm ngoài đường tròn.
ãMặt khác PM/(W) =
ị 3MB2 = 27ị MB = 3
7
ịAB = 6ịAH = 3.
Dvuông AIH có AH = 3;ị IH = (1)
ãLập phương trình 
Mặt khác IH = d = (2) 
Từ (1), (2)ị
ãVới a = 0 chọn b = 1 ị (d) :y - 3 = 0
ã Với chọn b = -5 thì a = a = 12ị (d) : 12x - 5y -69 =0
Bài tập 10: Cho DABC biết A(-1, 0); B(4, 0)và C(0, m). 
1) Tìm toạ độ trọng tâm G của DABC 
2) Xác định m để DABG vuông tại G
Các bước giải: 1) Sử dụng công thức ịG(1;)
2)DABG vuông tại GÛ
với ; ị-6 += 0ị
Bài tập 11: Cho Biêt phương trình (d1) :2x - y + 5 = 0 chứa cạnh AB; phương trình 
(d2): 3x +6y - 7 = 0 chứa cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm P(2, -1) chứa cạnh BC sao cho cân tại A
Các bước giải:
ã lập luận cos(d1,d2) =0 ị ịéB=éC =45°
ãPhương trình (d) quaP(2, -1) có hệ sốgóc k :
 y = k (x -2) - 1Ûkx - y -2k - 1 = 0
ãcos (d, d1) =
ãVới a = 3b ,chọn b =1 thì a =3
ị (d) :3x+y-5=0
ãVới b=-3a , chọn a=1 thì b=-3 và (d) :x-3y-5=0 
8
Bài tập 12: Cho điểm A (-2;3) ;điểm B(2, 1)và đường thẳng (d) :x -2y- 2 = 0. Tìm trên (d) điểm C sao cho: cân
Các bước giải:
ãVì Cẻ (d) ị C(2c+2; c)
Có ba trường hợp cần xét:
a. cântại C: 
ãTìm trung điểm I của đoạn AB : I (0, 2)
ãVectơ ; 
ãị c=-2 Vậy C(-2; -2)
b. cân tại A:
ãTìm trung điểm J của đoạn BC : J(c+1;)
ã;ịc=-1ịC(0;-1)
c. cân tại B: Tương tự : hoặc 
Bài 13: Cho biết A(2, 2); phương trình các đường cao kẻ từ B và C thứ tự là:
(d1) : 9x - 3y - 4 =0 ; (d2): x + y - 2 = 0
1. Lập phương trình các cạnh (AB) và (AC)
2.Lập phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (AB) qua (AC)
Các bước giải:
1.
ã (AB) qua A(2, 2) và (AB)^(d2) : 1.(x-2)-1.(y-2)=0 Hay :x - y = 0
ã(AC) qua A(2, 2) và (AC)^(d1) :3(x-2) +9(y-2) = 0 Hay : x+3y-8=0
2. -)-(y-) =0 
Hay:9x-3y-4=0
ã GọiB' là điểm đối xứng của B qua (AC) thì Vì B' ẻ (d3) ị B'=(m, 3m-)
ãGọi I là trung điểm của BB' thì 
ãIẻ(AC) nên :ị
ãTìm toạ độ điểm B =(AB)ầ (d1) ị 
Bài 14:Tam giác ABC có (AB) : 5x - 2y + 6 = 0; (AC): 4x + 7y -21 = 0. Viết phương trình cạnh (BC), biết rằng trực tâm H của nó trùng với gốc toạ độ.
9
Các bước giải:
ãToạ độ A thoả mãn hệ:
ãlập phương trình đường cao BH qua O(0, 0) và có vectơ chỉ phương(4, 7): 7x-4y = 0
ã B = (BH)ầ (AB)ịB(-4; -7)
ã(BC) qua B(-4; -7) và có vtpt là nên : -3(y + 7) = 0 Hay : y= - 7
Bài 15 :Cho (d) :x -3y - 4 = 0 và (C) : x2 +y2 - 4y = 0
Tìm điểm M ẻ(d) và điểm N ẻ (C) sao cho chúng đối xứng nhau qua A(3; 1)
Hướng dẫngiải :
ã Ta có M(3a + 4; a)ẻ (d)
N đối xứng với M qua Aị xN = 2xA - xM =2.3- 3a-4=2 -3a
 yN =2yA -yM =2.1 -a 
ị N(2 - 3a; 2- a) ẻ (C) : (2 -3a)2 + (2 -a)2 -4(2 - a) = 0Û 
ãVới a = 0 thì M (4, 0) ; N(2, 2)
ãVới a = thì M và N
Bài 16 : cho biết C(4,-1); Trung tuyến (d1) qua B có phươngtrình :x + y - 1 =0
Trung tuyến (d2) qua A có phương trình :2x + 3y = 0. Xác dịnh toạ độ hai đỉnh A và B.
Các bước giải:
ã Xác định toạ độ trọng tâm G =(d1)ầ (d2) : Giải hệ : ị G(3, -2)
ãGọi I (x, y) là trung điểm của cạnh AB thì từ : ị I
ãTừ (d1) có thể biểu thị toạ độ B(b;1 - b) 
ãTừ (d2 ) có thể biểu thị toạ độ C(3c;-2c)
ãToạ độ B và A thoả mãn hệ :
Vậy B(8; -7) ; A(-3,2)
Bài tập 17: Cho tam giác ABC có diện tích bằng ; Đỉnh A(2;-3), đỉnh B(3; -2), Trọng tâm G ẻ (d) :3x -y -8 = 0Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp DABC.
10
Các bước giải:
ã Gọi C(x0, y0) thì 
ãKhai thác giả thiết Gẻ(d) ị 3x0 - y0 -4 = 0 (1)
Để khai thác dữ kiện :
Đường thẳng (AB) qua A(2,-3) và B(3,-2)ị (AB) :x -y - 5 = 0
ãTính AB =; ị hC = 
Mặt khác hC =d(C; (AB)) =
ãVới C(-2, 10) thì: 
ãVới C(1, -1) thì : 
Bài 18 :Viết phương trình đường tròn nội tiếp , biểt A(-2, 3); B(; C(2;0)
Các bước giải: 
ã Gọi D(d,0) là chân đường phân giác trong của góc A (Dẻ(BC))
ãTính k
ãTa có ịịd = 1 . Vậy D(1, 0)
ãTính 
ãGọi I (x, y) là tâm đường tròn nội tiếp cần tìm, thì 
ãPhương trình cạnh (CB) là :y = 0
ã
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp : 
Bài 19 : Cho điểm A(-1, 1) và B(3, 3); (d) :3x -4y +8 =0. Viết phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với (d).
11
Các bước giải:
ãM là trung điểm của dây AB thì M(1, 2). Trung trực (d1) của AB qua M và có vectơ pháp tuyến ị (d1) :4(x-1)+2(y-2)=0 Hay : 2x+y-4=0
ãTâm I của đường tròn thuộc (d1)ịToạ độ I có dạng: I(a, 4-2a) 
ã Lưu ý : AI = d(I; (d)) Û 
ãVới a = 3 thì I(3;-2), R=5 ị (C1) : 
ã Với a = thì I( và R = ị (C2): 
ãLập phương trình đường thẳng (d3) quaB và (d3)^(AC): 3(x
Bài 20: Tìm phương trình đường tròn(T) có tâm I thuộc đường thẳng (d1): 2x-y+2=0;
tiếp xúc với đường thẳng (d2) : x-3y-4=0 và có bán kính R =
Các bước giải :
ã Vì Iẻ (d1) ị I(a,2a+2)
ã d(I, (d2)) =Rị 
ãVới a=-4 thì I(-4, -6)ị (T): (x+4)2+(y+6)2= 10
ãVới a=0 thì I(0, 2) ị (T): x2 +(y-2)2= 10
12