Chuyên đề Kiến thức bổ trợ học sinh lớp 10

Kiến thức bổ trợ học sinh lớp 10
1. Tên chuyên đề: '' Kiến thức bổ trợ học sinh lớp 10''
2. Lí do xây dựng chuyên đề
Khách quan: -Phần lớn các em học sinh của trường nói chung và học sinh lớp 10 nói riêng là con em dân tộc, con em nông dân. chưa nhận thưc được tầm quan trọng của việc học tập, còn chủ quan, lơ là với việc học tập từ cấp cơ sở, dẫn đến bị ''hổng'' kiến thức từ những lớp dưới. Nên việc lĩnh hội kiến thức của chương trình lớp 10 nói chung và kiến thức môn toán nói riêng là rất chậm. Hơn nữa về kiến thức và việc nhận thức của các em lớp 10 không đều ( thậm chí có những em không thuộc hết ''bảng cửu chương'', không biết thực hiện những phép tính cộng, trừ, nhân, chia các số đơn giản.)
Chủ quan: Tuyển sinh một cách ồ ạt, chưa có sự lựa chọn một cách chính xác. Qua thống kê của việc khảo sát chất lượng đầu năm đối với lớp 10, riêng môn toán chiếm 75% số điểm dưới mức trung bình. Với lí đó nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này.
3. Giải pháp 
-Viết nội dung kiến thức ôn tập có chọn lọc cơ bản nhất của cấp THCS
-Với số tiết 45 tiết. Dạy trong 15 buổi, mỗi buổi ôn 3 tiết, dạy vào tuần 2 và tuần 3 hàng tháng. giáo viên giảng dạy tại các lớp 10 tự bố trí thời gian học, và thu phí học theo quy định của trường, của sở GD.
Cụ thể: Toán đại 35 tiết
 Toán hình 10 tiết
Gồm các chủ đề và yêu cầu kiến thức phải đạt được như sau:
Tên chủ đề
Mức độ cần được
1. Các phép toán về phân số (10 tiết)
-Học sinh nắm được đ/n về qui tắc dấu
-Vận dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia vào tính toàn các bài tập có liên quan
-Tính chính xác các kết quả
-Rèn luyện kĩ năng vận dụng các tính chất của các phép toán vào các bài tập tính nhẩm, tính nhanh.
- Biết vận dụng một cách hợp lí các tính chất của phép cộng, trừ, nhân,chia vào giải toán.
Biết sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi để làm phép cộng.
2.Các phép toán về đa thức.(10 tiết)
1/Nhân đơn thức với đa thức
2/Nhân đa thức với đa thức
3/Những hằng đẳng thức đáng nhớ.
4/Phân tích đa thức thành nhân tử.
5/Chia đơn thức cho đơn thức.
6/Chia đa thức cho đơn thức
7/Chia đa thức cho đa thức
1/ - Học sinh nắm được qui tắc nhân đơn thức với đa thức. 
 - Học sinh thực hiện thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức.
 - Nắm được cơ sở của qui tắc: nhân một số với một tổng.
 - Học sinh biết vận dụng qui tắc vào các loại bài tập và ứng dụng trong thực tế.
2/ -Học sinh nắm vững qui tắc nhân đa thức với đa thức 
-Biết trình bày phép nhân theo các cách khác nhau (nhân hàng ngang, nhân theo cột dọc - với đa thức một biến)
-Biết vận dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức vào các bài tập 
3/ -Học sinh nắm được các hằng đẳng thức: Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương
-Biết áp dụng các hằng đẳng thức trên để tính nhẩm, tính nhanh và biết áp dụng cả 2 chiều của hằng đẳng thức
4/ -Học sinh hiểu được phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
-Học sinh biết cách phân tích đa thức thành nhân tử .
5/ -Học sinh hiểu được khái niệm đa thức A chia hết cho đa thức B
-Học sinh nắm được khi nào đơn thức A chi hết cho đơn thức B
-Học sinh làm thành thạo phép chia đơn thức cho đơn thức
6/-Học sinh nắm được điều kiện đủ để đa thức chia hết cho đơn thức
-Học sinhNắm vững qui tắc chia đa thức cho đơn thức
-Học sinhBiết vận dụng chia đa thức cho đơn thức 
7/ -Học sinh hiểu được khái niệm chia hết và chia có dư. Nắm được các bước thực hiện phép chia đa thức A cho đa thức B
-Học sinhThực hiện đúng phép chia đa thức A cho đa thức B trong đó A, B là các đa thức một biến đã sắp xếp.
3.Hàm số
1/Hàm số y = ax + b,
 2/Hàm số y = ax2 
3/Phương trình,bậc nhất một ẩn, Phương trình bậc hai một ẩn
-Hiểu các tính chất của hàm số bậc nhất.
- Hiểu khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ạ 0).
-Hiểu các tính chất của hàm số y = ax2. 
-Hiểu khái niệm phương trình bậc hai một ẩn.
-Biết nhận dạng phương trình đơn giản quy về phương trình bậc hai và biết đặt ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ.
 -Biết cách vẽ và vẽ đúng đồ thị của hàm số y = ax + b (a ạ 0).
 -Biết vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 với giá trị bằng số của a.
- Vận dụng được cách giải phương trình bậc hai một ẩn, đặc biệt là công thức nghiệm của phương trình đó (nếu phương trình có nghiệm).
 -Vận dụng được các bước giải phương trình quy về phương trình bậc hai.
4.Hình học sơ cấp cơ bản (10 tiết)
- Tam giác
-Tứ giác
Nắm được định nghĩa các loại tam giác, tứ giác cơ bản, như tam giác vuông, đều, cân..hình thang, hình thoi, hình vuông ..
Vận dụng được các tính chất cơ bản về các đường dặc biệt trong tam giác như đường trung tuyến, đường cao, ., đường trung bình.. để chứng minh một số bài tập cơ bản
Chuyên đề 1( 10 tiết)
1. Các phép toán về phân số 
Một số qui tắc cần nhớ
1. Quy tắc bỏ dấu ngoặc: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-” đằng trước, ta fải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu “ + “” thành dấu “ – “” và dấu “ – “” thành dấu “ + “”.
-ví dụ: tính nhanh: (42 – 69 + 17) – (42 + 17) = 42 – 69 + 17 – 42 – 17 = -69
2. Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta fải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “” đổi thành dấu “ – “” và ngược lại.
-ví dụ: Tìm số nguyên x, biết: x – 8 = (-3) – 8 
Giải: x – 8 = (-3) – 8 hay x = (-3) – 8 + 8 
 x = -3
3. Quy tắc về dấu của một tích: 
( + ).( + ) = ( + ) ; ( - ).( - ) = ( + ) ; ( + ).( - ) = ( - )
-ví dụ: 5.(-7) = -35 ; (-2).3.(-4).(-3).(-5) = 360
4. Quy tắc cộng phân số:
-Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu. 
x= ; 
-Muốn cộng hai phân số khác mẫu, ta phải qui đồng rồi mới thực hiện phép tính.
-ví dụ: 35 + 710 = 3.210 + 710 = 6 + 710 = 1310 
5.Quy tắc trừ phân số
-Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, tử trừ tử với tử và giữ nguyên mẫu
x= ; 
-Muốn trừ hai phân số khác mẫu, ta phải qui đồng rồi mới thực hiện phép tính
6. Phép nhân phân số: Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử nhân tử, mẫu nhân mẫu.
7. Phép chia phân số: Muốn chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số, ta nhcân số bị chia với số nghịch đảo của số chia.
ab : cd = ab dc = a.db.c ; a : cd = a.dc ( b, c, d 0)
-ví dụ: Tìm x, biết: 45 x = 47
Giải: 45 x = 47 hay x = 47 : 45 = 47 54 = 57
Bài tập áp dụng
Hướng dẫn- đáp số
Bài 1. Thực hiện phép tính
a) 
b)
c) 
d) 
Bài 2 ; tính giá trị của biểu thức
a) 
b) 
c) 
Bài 3: Tìm x biết
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Bài 4; tìm x, biết
a) 
b) 
Bài 5: tính
a) 
b)
c) 
Bài 1
a)
b)
c)
d)
Bài 2
a)
b)
c) 
Bài 3
a)
 => => 
b) => => 
c) => => 
d) => => 
=> 
e) => => 
=> 
f) => 
=> => 
Bài 4
a)
d)
Bài 5
a)
b)
c) 
Bài tập đề nghị
Bài 1: áp dụng tính chất phép nhân phân phối với phép cộng
 rồi thực hiện phép toán ở trong ngoặc
Bài 2: Bài tập 132 SGK tr.55 Tìm x biết
 a) 
 b)
bài 3: - Tính nhanh: 
a) b) 
Chuyên đề 2( 12 tiết)
2.các phép toán đa thức
I. Nhân đa thức 
1- Nhân đơn thức với đa thức.
 A(B + C) = AB + AC
Bài tập áp dụng
Hướng dẫn- đáp số
Bài1. Thực hiện phép tính
a) 5x(3x² - 4x + 1) 
b) ( -2x³).(x² + 5x - )
 c) (3x³y - x² + xy).6 xy
 d) x.(x - y) + y.(x + y) 
 e) 4x2 (5x3 + 3x - 1) ³
Bài1
5x(3x² - 4x + 1) =5x.3x² +5x.(-4x) + 5x.1
= 15x³ -20x² + 5x
 ( -2x³).(x² + 5x - ) 
= (-2x³).x²+(-2x³).5x + (-2x³)(- )
= - 2x5 -10x4 + x³ 
 c) (3x³y - x² + xy).6 xy³
 = 18x4 y4 - 3 x³y³ + x²y4. 
d) x.(x - y) + y.(x + y) 
= x² - xy + xy + y² = x² + y²
 e) 4x2 (5x3 + 3x - 1) 
2- Nhân đa thức với đa thức.
 (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD 
Bài tập áp dụng
Hướng dẫn- đáp số
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (x + 3)(x2 + 3x - 5)
b) (xy - 1)(xy + 5)
c) (x3 - 2x2 + x - 1)(5 - x)
d) (3x + 4x2- 2)(-x2 +1+ 2x)
Bài 2: Tìm x biết: 
a) 3x(12x - 4) – 9x(4x - 3) = 30
b) (12x - 5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x) =81
Bài 3: Thực hiện phép tính:
 a) (x2- 2x + 3)(x - 5)
 b) (x2y2 - xy + 2y)(x - 2y)
Bài 1
 a) (x + 3)(x2 + 3x - 5)= x(x2 + 3x - 5) + 3(x2 + 3x - 5)
 = x3 + 3x2 - 5x + 3x2 + 9x - 15= x3 + 6x2 + 4x - 5
 b) (xy - 1)(xy + 5)= xy(xy + 5) - (xy + 5)
 = x2y2 + 5xy - xy - 5= x2y2 + 4xy - 5
c) (x3 - 2x2 + x - 1)(5 - x)
 =5x3-x4- 10x2 + 2x3 + 5x- x2-5+ x
 = -x4 + 7x3 - 11x2 + 6x - 5
d) (3x + 4x2- 2)(-x2 +1+ 2x)
 =3x(-x2 +1+ 2x) + 4x2(-x2 +1+ 2x) -2(-x2 +1+ 2x)
Bài 2
a) x = 2
b) x = 1
Bài 3
a) (x2- 2x + 3)(x - 5)
 = x2.x + x2.(- 5)+ (- 2x).x + (- 2x).(- 5)+ 3. x + 3.(- 5)
 = x3 - 6x2 + x - 15.
 b) (x2y2 - xy + 2y)(x - 2y) = x2y2.x + x2y2(-2y) +(-xy).x +(-xy)(-2y) + 2y.x + 2y.(-2y)
 = x3y2 - 2x2y3 - x2y + xy2 + 2xy - 4y2
II. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
- Bình phương của một tổng. Bình phương của một hiệu.
 (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2,
- Hiệu hai bình phương.
 A2 - B2 = (A + B) (A - B),
- Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu.
 (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3,
- Tổng hai lập phương. Hiệu hai lập phương. 
 A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2),
 A3 - B3 = (A - B) (A2 + AB + B2),
 (trong đó: A, B là các số hoặc các biểu thức đại số).
Bài tập áp dụng
Hướng dẫn- đáp số
Bài 1: Dùng các hằng đẳng thức hãy phân tích:
 a) (a + 1 )2 = ?
 b) 512 = (50 + 1)2 = ?
 c) (2x - 3y)2 = ?
 d) 992 = ?
 e) (x - 2y)(x + 2y) =?
 f) 56.64 = ?
 g) (x + 2y)3 = ?
 h) 8x3- y3 = ?
 i) 342 + 662 + 68.66 = ?
Bài 2:
 a) Thực hiện phép tính:
 (x2 - 2xy + y2)(x - y) =
 b) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 
 (x2 - xy + y2)(x + y) - 2y3 tại x = và 
y = .
Bài 1
a) (a + 1 )2 = a2 + 2.a.1 + 12 = a2 + 2a + 1.
b) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1+ 12
 = 2500 + 100 + 1 = 2601.
c) (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2.2x.3y + (3y)2 
 = 4x2 - 12xy + 9y2.
d) 992 = (100 - 1)2= 1002 - 2.100.1 + 12
 = 10000 - 200 + 1= 9801
e) (x - 2y)(x + 2y) =x2 - (2y)2 = x2 - 4y2.
f) 56.64 = (60 - 4)(60 + 4) = 602- 42 
 = 3600 - 16 = 3584.
g)(x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y) 
 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3.
h)8x3- y3=(2x)3-y3 
 = (2x -y)((2x)2 + 2x.y + y2)
 = (2x - y)(4x2 +2xy + y2)
i) 342 + 662 + 68.66 = 342+ 2.34.66 + 662 
 = (34 + 66)2=1002= 10 000
Bài 2
 a) (x2 - 2xy + y2)(x - y) = (x- y)2(x- y) 
 = (x- y)3 
 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3.
b) (x2 - xy + y2)(x + y) - y3 
 = x3 + y3 - y3 = x3 
thay x = và y = ta có:
 x3=
III. Phân tích đa thức thành nhân tử
1- Phương pháp đặt nhân tử chung.
2- Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
3- Phương pháp nhóm hạng tử. 
4- Phối hợp các phương pháp phân tích thành nhân tử ở trên.
Bài tập áp dụng
Hướng dẫn- đáp số
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 15x2y + 20xy2 - 25xy = ?
b) 1 - 2y + y2 = ?
c) 27 + 27x + 9x2 + x3 = ?
d) 8 - 27x3 = ?
e) 1 - 4x2 = ?
f) (x + y)2 - 25 = ?
g) 4x2 + 8xy - 3x - 6y = ?
h) 2x2 + 2y2 - x2z + z - y2z - 2 = ?
i) 3x2 - 6xy + 3y2 =?
k) 16x3 + 54y3 = ?
m) x2 - 2xy + y2 - 16 = ?
Bài 2. Tính nhanh
a)34.76 + 34.24 
b)1052 – 25 
c)15.64+ 25.100+ 36.15+ 60.100
Bài1
1.Phương pháp đặt nhân tử chung
 a)15x2y + 20xy2 - 25xy 
 = 5xy.3x + 5xy.4y - 5xy.5 
 = 5x ... =1800
600
900
= 450
quan hệ giữa các cạnh
AB = AC
AB = AC = BC
BC2=AB2 +AC2
BC AB
BC AC
AB =AC = c
BC = c
2.TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
1. Định nghĩa : Tỷ số hai đọan thẳng là tỷ số hai độ dài của chỳng với cựng một đơn vị đo.
Hai đoạn thẳng AB, CD gọi là tỷ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu cú tỷ lệ thức :
 hay 
2. Định lý Ta-lột : Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc và cắt hai cạnh cũn lại thỡ nú định ra trờn hai cạnh đú những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
Hệ quả : Trong một tam giỏc đường phõn giỏc chia cạnh đối diện thành hai đọan thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
3. Tam giỏc đồng dạng
Định nghĩa : Hai tam giỏc đồng dạng là hai tam giỏc cú ba cạnh tương ứng tỷ lệ và ba gúc tương ứng bằng nhau.
 Û 
 và , , .
Cỏc trường hợp đồng dạng của tam giỏc
Trường hợp 1 : Nếu tam giỏc này cú ba cạnh tỷ lệ với ba cạnh của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng.
 ị .
Hệ quả : Nếu hai tam giỏc vuụng này cú cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng tương ứng tỷ lệ với nhau thỡ hai tam giỏc vuụng đú đồng dạng.
Trường hợp 2 : Nếu tam giỏc này cú hai cạnh tỷ lệ với hai cạnh của tam giỏc kia và hai gúc tạo bởi hai cặp cạnh đú bằng nhau thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng.
 ị 
Hệ quả : Nếu hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc này bằng hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau.
Trường hợp 3 : Nếu hai gúc của tam giỏc này lần lượt bằng hai gúc của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng.
ị 
Hệ quả : Nếu hai tam giỏc vuụng cú một gúc bằng nhau thỡ hai tam giỏc vuụng đú đồng dạng.
Hệ quả : Trong hai tam giỏc đồng dạng tỷ số hai đường tương ứng bằng tỷ số đồng dạng.
3.TỨ GIÁC
1. Định nghĩa : Tứ giỏc ABCD là một hỡnh gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đú bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng khụng cựng nằm trờn một đường thẳng.
Định lý : Tổng bốn gúc của một tứ giỏc bằng 3600.
Gúc ngoài của tứ giỏc là gúc kề bự với một gúc của tứ giỏc.
Đa giỏc đều là đa giỏc cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau và tất cả cỏc gúc bằng nhau.
 Tam giỏc đều Hỡnh vuụng Ngũ giỏc đều Lục giỏc đều
2. Hỡnh thang :
Định nghĩa : Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song.
 Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú một gúc vuụng.
 Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề với một đỏy bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết hỡnh thang cõn :
Hỡnh thang cú hai cạnh bờn bằng nhau là hỡnh thang cõn.
Hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn.
Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn.
Trục đối xứng của hỡnh thang cõn :
Hỡnh thang cõn cú một trục đối xứng là đi qua trung điểm của hai cạnh đỏy.
3. Hỡnh bỡnh hành : 
Định nghĩa : Hỡnh bỡnh hành là tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song.
Dấu hiệu nhận biết hỡnh bỡnh hành :
Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song là hỡnh bỡnh hành.
Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối bằng nhau là hỡnh bỡnh hành.
Tứ giỏc cú hai cạnh đối song song và bằng nhau là hỡnh bỡnh hành.
Tứ giỏc cú cỏc gúc đối bằng nhau là hỡnh bỡnh hành.
Tứ giỏc cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Tõm đối xứng của hỡnh bỡnh hành :
Hỡnh bỡnh hành cú một tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo.
4. Hỡnh chữ nhật : 
Định nghĩa : Hỡnh chữ nhật là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng.
Dấu hiệu nhận biết hỡnh chữ nhật :
Tứ giỏc cú ba gúc vuụng là hỡnh chữ nhật.
Hỡnh thang cõn cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật.
Hỡnh bỡnh hành cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật.
Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật.
Trục và tõm đối xứng của hỡnh chữ nhật :
Hỡnh chữ nhật cú hai trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua trung điểm của 2 cạnh đối.
Hỡnh chữ nhật cú một tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo.
5. Hỡnh thoi : 
Định nghĩa : Hỡnh thoi là tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết hỡnh thoi :
Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau là hỡnh thoi.
Hỡnh bỡnh hành cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh thoi.
Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau là hỡnh thoi.
Hỡnh bỡnh hành cú một đường chộo là phõn giỏc của một gúc là hỡnh thoi.
Trục và tõm đối xứng của hỡnh thoi :
Hỡnh thoi cú hai trục đối xứng là hai đường chộo của nú.
Hỡnh thoi cú một tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo.
6. Hỡnh vuụng : 
Định nghĩa : Hỡnh vuụng là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng và bốn cạnh bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết hỡnh vuụng : 
Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng.
Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau là hỡnh vuụng.
Hỡnh chữ nhật cú một đường chộo là phõn giỏc của một gúc là hỡnh vuụng.
Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng.
Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng.
Trục và tõm đối xứng của hỡnh vuụng :
Hỡnh vuụng cú bốn trục đối xứng là hai đường chộo của nú và hai đường thẳng đi qua trung điểm của cỏc cạnh đối.
Hỡnh vuụng cú một tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo.
4.DIỆN TÍCH TỨ GIÁC
 Diện tớch hỡnh chữ nhật bằng tớch của hai kớch thước.
 a là chiều dài; b là chiều rộng.
 Diện tớch hỡnh vuụng bằng bỡnh phương của cạnh.
 a là chiều dài một cạnh.
Bài tập áp dụng
Hường dẫn - đáp số
Bài 1 : Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D.
Chứng minh điểm M’ đối xứng với M qua AB.
Cỏc tứ giỏc AEMC, AEBM là hỡnh gỡ ? Vỡ sao ?
Cho , tớnh chu vi tứ giỏc AM’BM.
Tam giỏc ABC thỏa món điều kiện gỡ để tứ giỏc AEBM là hỡnh vuụng ?
Bài 2 : Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E là cỏc hỡnh chiếu của H trờn AB, AC và M, N theo thứ tự là cỏc trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, CH.
Chứng minh tứ giỏc MDEN là hỡnh thang vuụng.
Gọi P là giao điểm của đường thẳng DE với đường cao AH và Q là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh .
Chứng minh hệ thức .
Bài 3
Cho tam giỏc ABC và một điểm P thuộc miền trong của tam giỏc. Gọi M, N, Q theo thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh AB, AC, BC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là cỏc điểm đối xứng của P qua cỏc điểm Q, N, M.
Xột xem A, A’đối xứng với nhau qua điểm nào ? Gọi điểm ấy là điểm I.
Chứng tỏ hai điểm C, C’ đối xứng với nhau qua I.
Bài 4 : Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Cỏc đường chộo AC, BD của tứ giỏc ABCD phải cú điều kiện gỡ thỡ EFGH là :
Hỡnh chữ nhật ?
Hỡnh thoi ?
Hỡnh vuụng ?
Bài 5 : Diện tớch hỡnh chữ nhật thay đổi như thế nào nếu :
Chiều dài tăng hai lần, chiều rộng khụng đổi.
Chiều dài và chiều rộng tăng ba lần.
Chiều dài tăng bốn lần, chiều rộng giảm 4 lần.
Bài 6 : Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú , . Gọi M là trung điểm của cạnh DC và N là trung điểm của cạnh AB.
Chứng minh .
Tớnh .
Bài 7 : Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ cỏc đỉnh A, C kẻ AH, CK vuụng gúc với đường chộo BD. Chứng minh AHCK là hỡnh bỡnh hành
Bài 1: 
a) Vỡ M’ đối xứng M qua D nờn , (1).
M, D lần lượt là trung điểm của BC, AB nờn MD là đường trung bỡnh của DABC. Suy ra , (2).
Mặt khỏc DABC vuụng ở A nờn , (2).
Từ (2) và (2) suy ra , (4).
Từ (1) và (4) suy ra M’ đối xứng với M qua AB.
b) Vỡ D là trung điểm của AB, (gt) và D là trung điểm của MM’ nờn tứ giỏc AMBM’ là hỡnh bỡnh hành. Mặt khỏc M’ đối xứng M qua AB nờn nờn AMBM’ là hỡnh thoi.
c) vỡ nờn .
Chu vi tứ giỏc AM’BM bằng .
d) Muốn hỡnh thoi AM’BM trở thành hỡnh vuụng thỡ hai đường chộo của nú bằng nhau.
Tức là , mà suy ra hay DABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnhA.
Bài 2
Vỡ D là hỡnh chiếu của H xuống AB nờn .
Do tam giỏc ABC vuụng ở A nờn .
Suy ra .
Tương tự ta cú : . Hay ADHE là hỡnh chữ nhật.
Suy ra góc BAH bằng góc DEH.
Do D ABC vuụng nờn góc (ABC + ACB = 900); tương tự DHAB vuụng nờn góc 
(ABC + BAH = 900).
Suy ra : góc DEH bằng góc ACB\.
Do là trung điểm HC mà D EHC vuụng ở E nờn hay D EHC cõn đỉnh N
Suy ra : . Tương tự : , (1).
Do D EHC vuụng ở E nờn , (2).
Từ (1) và (2) ta cú : . Tương tự ta cú : hay tứ giỏc MDEN là hỡnh thang vuụng.
b) Vỡ tứ giỏc ADHE là hỡnh chữ nhật nờn P là trung điểm của DE. Vỡ Q là trung điểm của MN nờn PQ là đường trung bỡnh của hỡnh thang MDEN hay .
Vỡ và nờn .
c) Theo tớnh chất đường trung bỡnh ta cú : Û.
Bài 3
a) Vỡ Q là trung điểm của BC và PA’ nờn BPCA’ là hỡnh bỡnh hành suy ra và ,(1).
Tương tự ta cú : và, (2).
Từ (1) và (2) ta cú là hỡnh bỡnh hành.
Gọi I là giao điểm của AA’ với BB’ thế thỡ A, A’ đối xứng với nhau qua I.
b) Tuơng tự ta cú ACA’C’ là hỡnh bỡnh hành nờn CC’ nhận I là trung điểm, điều này chứng tỏ C, C’ đối xứng với nhau qua I.
Bài 4
 Vỡ E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nờn EF là đường trung bỡnh của DABC. Suy ra và , (1).
Tương tự ta cú : và , (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giỏc EFGH là hỡnh bỡnh hành.
a) Muốn cho tứ giỏc EFGH là hỡnh chữ nhật thỡ nú cần phải cú thờm một gúc vuụng !
Chẳng hạn góc Û Û .
Vậy nếu tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau thỡ tứ giỏc EFGH sẽ là hỡnh chữ nhật.
b) Muốn cho tứ giỏc EFGH là hỡnh thoi thỡ nú cần phải cú thờm hai cạnh kề bằng nhau !
Chẳng hạn Û .
Vậy nếu tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo bằng nhau thỡ tứ giỏc EFGH sẽ là hỡnh thoi.
c) Muốn cho tứ giỏc EFGH là hỡnh vuụng khi nú vừa là hỡnh chữ nhật, vừa là hỡnh thoi !
Vậy nếu tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau và bằng nhau thỡ tứ giỏc EFGH sẽ là hỡnh vuụng.
Bài 5
Diện tớch hỡnh chữ nhật tớnh theo hai kớch thước : , a là chiều dài; b là chiều rộng.
F Như vậy diện tớch S tỷ lệ thuận với chiều dài và tỷ lệ thuận với chiều rộng.
Chiều dài tăng hai lần, chiều rộng khụng đổi thỡ diện tớch : Diện tớch tăng gấp đụi.
Chiều dài và chiều rộng tăng ba lần thỡ diện tớch : Diện tớch tăng gấp 9 lần.
Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần : Diện tớch khụng đổi.
Bài 6
a) Do M là trung điểm của CD nờn ,(1).
Do N là trung điểm của AB nờn , (2).
Mà ABCD là hỡnh chữ nhật nờn và .
Suy ra : DAMD = DCNB ị , (3).
Mặt khỏc ta cú : , (4).
 Diện tớch tam Từ (3) và (4) ta cú : .
b) Diện tớch ADCN : .
Diện tớch tam giỏc bằng nửa tớch của một cạnh đỏy với chiều cao tương ứng với cạnh đú.
 a là cạnh đỏy; h là chiều cao tương ứng.
Bài 7
 Do AH và CK cựng vuụng gúc với BD nờn AH// CK, (1).
Vỡ D ABD = D CBD, (c.c.c) nờn Û Û , (2).
Từ (1) và (2) ta cú AHCK là hỡnh bỡnh hành.
<Diện tớch hỡnh thang bằng nửa tớch của tổng hai đỏy với chiều cao.
Bài tập đề nghị
Bài 1 : Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Cỏc đường chộo AC, BD của tứ giỏc ABCD phải cú điều kiện gỡ thỡ EFGH là :
Hỡnh chữ nhật ?
Hỡnh thoi ?
Hỡnh vuụng ?
Bài 2 : Cho tam giỏc ABC phớa ngũai tam giỏc, ta dựng cỏc hỡnh vuụng ABDE và ACFG.
Chứng minh và .
Gọi M, N theo thứ tự là cỏc trung điểm của cỏc đoạn thẳng BC, EG và Q, N theo thứ tự là tõm của cỏc hỡnh vuụng ABDE, ACFG. Chứng minh tứ giỏc MNPQ là hỡnh vuụng.
Bài 3 : Qua đỉnh A của hỡnh vuụng ABCD ta kẻ hai đường thẳng Ax, Ay vuụng gúc với nhau. Ax cắt cạnh BC tại điểm P và cắt tia đối của tia CD tại điểm Q.
Ay cắt tia đối của tia BC tại điểm R và cắt tia đối của tia DC tại điểm S.
Chứng minh cỏc tam giỏc APS, AQR là cỏc tam giỏc cõn.
Gọi H là giao điểm của QR và PS; M, N theo thứ tự là trung điểm của QR, PS. Chứng minh tứ giỏc AMHN là hỡnh chữ nhật.