Chuyên đề Lượng giác: Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình

 1 
ThS. Đoàn Vương Nguyên toancapba.com 
CHUYÊN ĐỀ 
LƯỢNG GIÁC 
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A. Biểu diễn cung – góc lượng giác 
Nếu cung (hoặc góc) lượng giác ¼AM có số đo là k2
n
p
a + (hoặc 0 k.360a
n
+
o
) 
với k Î ¢ , n +Î ¥ thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau. 
Ví dụ 1. Nếu sđ ¼AM k2
3
p
= + p thì có 1 điểm M tại vị trí 
3
p (ta chọn k = 0). 
Ví dụ 2. Nếu sđ ¼AM k
6
p
= + p thì có 2 điểm M tại các vị trí 
6
p và 7
6
p 
(ta chọn k = 0, k = 1). 
Ví dụ 3. Nếu sđ ¼ 2AM k
4 3
p p
= + thì có 3 điểm M tại các vị trí 
4
p , 11
12
p và 19
12
p 
(ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2). 
Ví dụ 4. Nếu sđ ¼ k.360AM 45 k.90 45
4
= + = +
o
o o o thì có 4 điểm M tại các vị 
trí 450, 1350, 2250 và 3150 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3). 
Ví dụ 5. Tổng hợp hai cung x k
6
p
= - + p và x k
3
p
= + p . 
Giải 
Biểu diễn 2 cung x k
6
p
= - + p 
và x k
3
p
= + p trên đường tròn 
lượng giác ta được 4 điểm 
6
p
- , 
3
p , 5
6
p và 4
3
p cách đều nhau. 
Vậy cung tổng hợp là: 
x k
3 2
p p
= + . 
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 2 
I. Hàm số lượng giác 
1. Hàm số y = cosx 
1) Miền xác định D = ¡ . 
2) Miền giá trị G = [–1; 1]. 
3) Hàm số y = cosx là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T 2= p . 
4) (cosx)/ = – sinx. 
5) Đồ thị hàm số y = cosx đối xứng qua trục tung Oy. 
2. Hàm số y = sinx 
1) Miền xác định D = ¡ . 
2) Miền giá trị G = [–1; 1]. 
3) Hàm số y = sinx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T 2= p . 
4) (sinx)/ = cosx. 
5) Đồ thị hàm số y = sinx đối xứng qua gốc tọa độ O. 
3. Hàm số y = tgx 
1) Miền xác định { }D \ k , k2
p
= + p Ρ ¢ . 
2) Miền giá trị G = ¡ . 
3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p . 
4) (tgx)/ = 1 + tg2x = 2
1
cos x
. 
5) Đồ thị hàm số y = tgx đối xứng qua gốc tọa độ O. 
 3 
4. Hàm số y = cotgx 
1) Miền xác định { }D \ k , k= p Ρ ¢ . 
2) Miền giá trị G = ¡ . 
3) Hàm số y = cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p . 
4) (cotgx)/ = – (1 + cotg2x) = 2
1
sin x
- . 
5) Đồ thị hàm số y = cotgx đối xứng qua gốc tọa độ O. 
5. Chu kỳ của hàm số lượng giác 
5.1. Định nghĩa 
Hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa 
f(x + T) = f(x). 
 4 
Ví dụ 1. Hàm số y = sin5x có chu kỳ 2T
5
p
= vì: 
( )2sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5x5
p
+ = + p = . 
Hơn nữa, 2T
5
p
= là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2p . 
5.2. Phương pháp giải toán 
5.2.1. Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx) 
Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx), n +Î ¢ có chu kỳ 2T
n
p
= . 
Ví dụ 2. Hàm số y = cos7x có chu kỳ 2T
7
p
= . 
5.2.2. Hàm số xy sin
n
= và xy cos
n
= 
Hàm số xy sin
n
= và xy cos
n
= , n +Î ¢ có chu kỳ T n2= p . 
Ví dụ 3. Hàm số xy sin
3
= có chu kỳ T 6= p . 
5.2.3. Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx) 
Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx), n +Î ¢ có chu kỳ T
n
p
= . 
Ví dụ 4. Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T
6
p
= . 
5.2.4. Hàm số xy tg
n
= và xy cotg
n
= 
Hàm số xy tg
n
= và xy cotg
n
= , n +Î ¢ có chu kỳ T n= p . 
Ví dụ 5. Hàm số xy tg
3
= có chu kỳ T 3= p . 
5.2.5. Hàm số y f(x) g(x)= ± 
Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có chu kỳ lần lượt là 1
m
T
n
= p và 2
p
T
k
= p . 
Để tìm chu kỳ của hàm số y f(x) g(x)= ± ta thực hiện các bước sau: 
Bước 1. Quy đồng m mk
n nk
= , p np
k nk
= và tìm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np. 
Bước 2. Chu kỳ của y f(x) g(x)= ± là AT
nk
= p . 
 5 
Ví dụ 6. Tìm chu kỳ của hàm số xy cos3x tg
3
= - . 
Giải 
Hàm số y = cos3x, xy tg
3
= có chu kỳ lần lượt là 2
3
p và 3p . 
Ta có: 
2 2
BCNN(2; 9)3 3 T 6
9 3
3
3
p pìï =ïïï Þ = p = píï pï p =ïïî
. 
Vậy chu kỳ của hàm số xy cos3x tg
3
= - là T 6= p . 
II. Phương trình lượng giác cơ bản 
1) cos x cos= a
x k2
, k
x k2
= a + pé
êÛ Îê = -a + pêë
Z 
2) sin x sin= a Û
x k2
, k
x +k2
= a + pé
ê Îê = p - a pêë
Z 
3) tgx tg x k , k= a Û = a + p Î Z 
4) cotgx cotg x k , k= a Û = a + p Î Z 
Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ 
1) cos x 0 x k , k
2
p
= Û = + p Î Z 
2) cos x 1 x k2 , k= Û = p Î Z 
3) cos x 1 x k2 , k= - Û = p + p Î Z 
4) sin x 0 x k , k= Û = p Î Z 
5) sin x 1 x k2 , k
2
p
= Û = + p Î Z 
6) sin x 1 x k2 , k
2
p
= - Û = - + p Î Z 
Ví dụ 1. Xét số nghiệm của phương trình xcos x 0+ =
p
. 
Giải 
Ta có x xcos x 0 cos x+ = Û = -
p p
 (1). 
Suy ra (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx và 
x
y = -
p
 (đi qua điểm ( p ; – 1)). 
 6 
Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
(cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3)
0
2 cos x 1
+ - -
=
+
 (2). 
Giải 
Điều kiện: 22cos x 1 0 x k2
3
p
+ ¹ Û ¹ ± + p . 
Ta có: 
cos x 1 x k2
1
(2) cos x x k2
2 3
tgx 3 x k
3
é= -é = p + pêê êê pêêÛ = Û = ± + pêê êê ê pê = ê = + pë êë
. 
So với điều kiện và tổng hợp 
nghiệm (hình vẽ), phương trình 
(2) có họ nghiệm là: 
2
x k , k
3 3
p p
= + Î ¢ . 
Chú ý: 
Các họ nghiệm 2x k
3 3
p p
= - + 
và 2x k
3
p
= p + cũng là các họ 
nghiệm của (2). 
III. Các dạng phương trình lượng giác 
1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác 
1) acos2x + bcosx + c = 0 
2) asin2x + bsinx + c = 0 
3) atg2x + btgx + c = 0 
4) acotg2x + bcotgx + c = 0 
 7 
Phương pháp giải toán 
Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t 
(nếu có). 
Bước 2. Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0. 
Chú ý: 
Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên 
thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm 
(nếu có). 
Ví dụ 1. Giải phương trình 22 sin x sinx 2 0+ - = (1). 
Giải 
Đặt t = sinx, 1 t 1- £ £ ta có: 
2(1) 2t t 2 0Û + - =
1
t t 2
2
Û = Ú = - (loại) 
 sin x sin
4
p
Û =
3
x k2 x k2
4 4
p p
Û = + p Ú = + p . 
Vậy (1) có các họ nghiệm 
x k2
4
, k
3
x k2
4
pé = + pê
ê Îê p
ê = + p
ë
¢ . 
Ví dụ 2. Giải phương trình 4 45(1 cos x) 2 sin x cos x+ = + - (2). 
Giải 
Ta có: 
2 2 2(2) 3 5 cos x sin x cos x 2cos x 5cos x 2 0Û + = - Û + + = . 
Đặt t = cosx, 1 t 1- £ £ ta suy ra: 
2(2) 2t 5t 2 0Û + + =
1
t t 2
2
Û = - Ú = - (loại) 
 2cos x cos
3
p
Û =
2
x k2
3
p
Û = ± + p . 
Vậy (2) có các họ nghiệm 2x k2 , k
3
p
= ± + p Î ¢ . 
Ví dụ 3. Giải phương trình 2
3
2 3tgx 6 0
cos x
+ - = (3). 
Giải 
Điều kiện x k
2
p
¹ + p , ta có: 
2 2(3) 3(1 tg x) 2 3tgx 6 0 3tg x 2tgx 3 0Û + + - = Û + - = . 
Đặt t = tgx, ta suy ra: 
2(3) 3t 2t 3 0Û + - =
1
t t 3
3
Û = Ú = 
 8 
( )
tgx tg x k
6 6
x ktgx tg
33
p pé é= = + pê ê
ê êÛ Û ppê ê = - + p= -ê êëë
 (thỏa điều kiện). 
Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều 
nhau. 
Vậy (3) có họ nghiệm là x k , k
6 2
p p
= + Î ¢ . 
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình 2sin x sin x m 0- + = (4) có nghiệm thuộc 
đoạn 7; 
6 6
p pé ù
ê ú
ë û
. 
Giải 
Với 7 1x ; sin x 1
6 6 2
p pé ùÎ Þ - £ £ê ú
ë û
. 
Đặt t = sinx, ta suy ra: 
2 1(4) m t t, t 1
2
Û = - + - £ £ . 
Xét hàm số 2y t t= - + , ta có bảng biến thiên: 
t –1/2 1/2 1 
y 
 1/4 
–3/4 0 
Suy ra (4) có nghiệm 7 3 1x ; m
6 6 4 4
p pé ùÎ Û - £ £ê ú
ë û
. 
Cách khác: 
( )
2
2 1 1(4) t t m m t
4 2
Û - = - Û - = - . 
Do ( )
21 1 1 1
t 1 1 t 0 t 1
2 2 2 2
- £ £ Û - £ - £ Û £ - £ nên: 
 1 3 10 m 1 m
4 4 4
£ - £ Û - £ £ . 
Ví dụ 5. Tìm m để phương trình tgx mcotgx 2- = (5) có nghiệm. 
Giải 
Cách giải sai: 
Đặt t tgx t 0= Þ ¹ , ta suy ra: 
( )22
m
(5) t 2 m t 2t m t 1 1 1
t
Û - = Û = - Û = - - ³ - (a). 
Mặt khác: t 0 m 0¹ Þ ¹ (b). 
Từ (a) và (b) ta suy ra (5) có nghiệm 1 m 0Û - £ ¹ (sai). 
Cách giải đúng: 
 9 
Đặt t tgx t 0= Þ ¹ , ta suy ra: 
2m(5) t 2 m t 2t
t
Û - = Û = - . 
Xét hàm số 2y t 2t= - , ta có bảng biến thiên: 
t -¥ 0 1 +¥ 
y 
+¥ +¥ 
 0 –1 
Vậy (5) có nghiệm m 1Û ³ - . 
2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx 
asinx + bcosx + c = 0 (*) 
(a và b khác 0) 
Phương pháp giải toán 
Cách 1 
Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt b tg
a
= a . 
Bước 2. (*) c csin x tg cos x sin(x ) cos
a a
Û + a = Û + a = a . 
Cách 2 
Bước 1. Chia hai vế (*) cho 2 2a b+ và đặt: 
2 2 2 2
a b
cos , sin
a b a b
= a = a
+ +
. 
Bước 2. 
 (*) 
2 2
c
sin x cos cos x sin
a b
Û a + a =
+
2 2
c
sin(x )
a b
Û + a =
+
. 
Chú ý: 
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
a2 + b2 ³ c2 
Ví dụ 1. Giải phương trình 3 sin x cosx 2- = (1). 
Giải 
Cách 1 
1 2 2
(1) sin x cos x sin x tg cos x
63 3 3
p
Û - = Û - = 
 ( ) ( )2sin x cos sin x 16 6 63
p p p
Û - = Û - = 
 2x k2 x k2 , k
6 2 3
p p p
Û - = + p Û = + p Î ¢ . 
Cách 2 
 10 
( )3 1(1) sin x cos x 1 sin x 12 2 6
p
Û - = Û - = 
 2x k2 x k2 , k
6 2 3
p p p
Û - = + p Û = + p Î ¢ . 
Vậy (1) có họ nghiệm 2x k2 , k
3
p
= + p Î ¢ . 
Ví dụ 2. Giải phương trình sin 5x 3 cos 5x 2 sin7x+ = (2). 
Cách 1 
(2) sin 5x tg cos5x 2 sin7x
3
p
Û + = 
 ( )sin 5x 2cos sin 7x3 3
p p
Û + = 
 ( )
7x 5x k2
3
sin 5x sin 7x
23 7x 5x k2
3
pé = + + pêp êÛ + = Û ê p
ê = - + p
ë
x k
6 , k
x k
18 6
pé = + pê
êÛ Îp pê = +êë
¢ . 
Cách 2 
( )1 3(2) sin 5x cos 5x sin 7x sin 7x sin 5x2 2 3
p
Û + = Û = + 
7x 5x k2
3
2
7x 5x k2
3
pé = + + pê
êÛ ê p
ê = - + p
ë
x k
6 , k
x k
18 6
pé = + pê
êÛ Îp pê = +êë
¢ . 
Vậy (2) có các họ nghiệm 
x k
6 , k
x k
18 6
pé = + pê
ê Îp pê = +êë
¢ . 
Ví dụ 3. Giải phương trình 3 sin 2x 3 cos2x 4- = - (3). 
Giải 
Do 2 2 23 ( 3) ( 4)+ - < - nên phương trình (3) vô nghiệm. 
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình: 
22m cos x 2(m 1)sin x cos x 3m 1 0- - - - = (4) có nghiệm. 
Giải 
Ta có: 
 11 
(4) mcos2x (m 1)sin2x 2m 1Û - - = + . 
Suy ra: 
(4) có nghiệm 2 2 2m (m 1) (2m 1) 3 m 0Û + - ³ + Û - £ £ . 
3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx 
3.1. Đẳng cấp bậc hai 
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) 
Phương pháp giải toán 
Cách 1 
Bước 1. Kiểm tra x k
2
p
= + p có là nghiệm của (*) không. 
Bước 2. Với x k
2
p
¹ + p , chia hai vế của (*) cho cos2x ta được: 
 (*) Û atg2x + btgx + c = 0. 
Cách 2 
Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x 
và cos2x. 
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
2( 3 1)sin x ( 3 1)sin x cos x 3 0+ - - - = (1). 
Giải 
Nhận thấy x k
2
p
= + p không thỏa (1). 
Với x k
2
p
¹ + p , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được: 
2 2(1) ( 3 1)tg x ( 3 1)tgx 3(1 tg x) 0Û + - - - + = 
 2tg x ( 3 1)tgx 3 0Û - - - = 
x ktgx 1
4
tgx 3 tgx k
3
pé = - + p= -é êê êÛ Ûê pê=ê = + pë êë
. 
Vậy các họ nghiệm của (1) là 
x k
4 , k
tgx k
3
pé = - + pê
ê Îpê = + pêë
¢ . 
Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + 2 3 sinxcosx + 1 = cos2x (2). 
Giải 
( ) ( )(2) 3 sin2x cos2x 1 sin 2x sin6 6
p p
Û - = - Û - = - 
 12 
x k2x k2
6 6
27 x k2x k2 36 6
p pé = pé- = - + pê êêÛ Û ê pê p p ê = + pê - = + p êëë
. 
Cách khác: 
2(2) sin x 3 sin x cos x 0Û + = Û
sin x 0
sin x 3 cos x 0
=é
ê ... oán 
Bước 1. Đặt t = sinx + cosx = ( )2 sin x 4
p
+ 
2 t 2Þ - £ £ và 
2t 1
sin x cos x
2
-
= . 
Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t. 
Chú ý: 
Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng 
cách đặt t = sinx – cosx. 
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + 2 + 1 = 0 (1). 
Giải 
Đặt t = sinx + cosx 2 t 2Þ - £ £ và sin2x = t2 – 1. 
Thay vào (1) ta được: 
2t ( 2 1)t 2 0 t 1 t 2+ + + = Û = - Ú = - . 
 14 
( )
( )
( ) ( )
( )
2 sin x 1 sin x sin
4 4 4(1)
2 sin x 2 sin x 1
4 4
p p pé é+ = - + = -ê ê
ê êÛ Ûê êp p
+ = - + = -ê ê
ë ë
x k2
x k24 4
25
x k2 x k2
4 4
3
x k2 x k2
4 2 4
p pé é p+ = - + pê ê = - + pê ê
ê p p ê
Û + = + p Û = p + pê ê
ê ê
ê êp p pê ê+ = - + p = - + pêê ëë
. 
Vậy (1) có các họ nghiệm: 
x k2= p + p , x k2
2
p
= - + p , 3x k2
4
p
= - + p (k )Î ¢ . 
Ví dụ 2. Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2). 
Giải 
Đặt t = sinx – cosx 2 t 2Þ - £ £ và 
21 t
sin x cos x
2
-
= . 
Thay vào (2) ta được: 
2
2
t 11 t
6t 6 t 12t 13 0
2 t 13 
= -é- ê= - Û + - = Û ê = -êë (loaïi )
. 
( ) ( ) ( )(2) 2 sin x 1 sin x sin4 4 4
p p p
Û + = - Û + = - 
x k2 x k24 4 2
5 x k2x k2
4 4
p pé p+ = - + p éê = - + pêêÛ Û êê p p ê = p + p+ = + pê ëë
. 
Vậy (2) có các họ nghiệm x k2= p + p , x k2
2
p
= - + p (k )Î ¢ . 
Ví dụ 3. Tìm m để phương trình m(cos x sin x) sin2x 0- + = (3) có nghiệm 
thuộc khoảng ( ); 4
p
p . 
Giải 
Đặt ( ) 2t cos x sin x 2 cos x sin2x 1 t4
p
= - = + Þ = - . 
Ta có: 
( ) ( )5x ; x 1 cos x 04 2 4 4 4
p p p p p
Î p Þ < + < Þ - £ + < 
 ( )2 2 cos x 0 2 t 04
p
Þ - £ + < Þ - £ < . 
 15 
Thay vào (3) ta được: 
2 2 1mt 1 t 0 mt t 1 m t
t
+ - = Û = - Û = - (do t < 0). 
Xét hàm số [ )1f(t) t , t 2; 0
t
= - Î - , ta có: 
[ )/ 2
1
f (t) 1 0 t 2; 0
t
= + > " Î - 
t 0
2
f( 2) , lim f(t)
2 -®
- = - = +¥ . 
Vậy (3) có nghiệm 2m
2
Û ³ - . 
Chú ý: 
Ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số f(t): 
t 2- 0 
/f (t) + 
f(t) 
 +¥ 
2
2
- 
5. Dạng phương trình khác 
Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi 
để đưa về các dạng đã biết cách giải. 
Ví dụ 1. Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1). 
Giải 
1 1 1 1
(1) cos 8x cos6x cos8x cos2x
2 2 2 2
Û + = + 
x k6x 2x k2 2cos 6x cos2x
6x 2x k2 x k
4
pé == + pé êê êÛ = Û Ûê pê= - + pê =ë êë
. 
Vậy (1) có họ nghiệm là x k , k
4
p
= Î ¢ . 
Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2). 
Giải 
(2) 2 sin 3x cos x 2 sin 3x cos3x sin 3x(cos 3x cos x) 0Û = Û - = 
x ksin 3x 0 3x k 3
cos 3x cos x 3x x k2 x k
2
pé == = péé êêê êÛ Û Ûêê pê= = ± + pê =ë ë êë
. 
Vậy (2) có họ nghiệm là x k
2
p
= , x k (k )
3
p
= Î ¢ . 
C. BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 16 
I. Bất phương trình lượng giác cơ bản 
1. Bất phương trình cơ bản của cosx 
1) cos x cos k2 x k2 , k³ a Û -a + p £ £ a + p Î ¢ (hình vẽ) 
2) cos x cos k2 x k2 , k> a Û -a + p < < a + p Î ¢ 
3) cos x cos k2 x 2 k2 , k£ a Û a + p £ £ p - a + p Î ¢ 
4) cos x cos k2 x 2 k2 , k< a Û a + p < < p - a + p Î ¢ 
2. Bất phương trình cơ bản của sinx 
1) sin x sin k2 x k2 , k³ a Û a + p £ £ p - a + p Î ¢ (hình vẽ) 
2) sin x sin k2 x k2 , k> a Û a + p < < p - a + p Î ¢ 
3) sin x sin k2 x k2 , k£ a Û -p - a + p £ £ a + p Î ¢ 
4) sin x sin k2 x k2 , k< a Û -p - a + p < < a + p Î ¢ 
3. Bất phương trình cơ bản của tgx 
 17 
1) tgx tg k x k , k
2
p
³ a Û a + p £ < + p Î ¢ (hình vẽ) 
2) tgx tg k x k , k
2
p
> a Û a + p < < + p Î ¢ 
3) tgx tg k x k , k
2
p
£ a Û - + p < £ a + p Î ¢ 
4) tgx tg k x k , k
2
p
< a Û - + p < < a + p Î ¢ 
4. Bất phương trình cơ bản của cotgx 
1) cotgx cotg k x k , k³ a Û p < £ a + p Î ¢ (hình vẽ) 
2) cotgx cotg k x k , k> a Û p < < a + p Î ¢ 
3) cotgx cotg k x k , k£ a Û a + p £ < p + p Î ¢ 
4) cotgx cotg k x k , k< a Û a + p < < p + p Î ¢ 
Chú ý: 
 18 
Khi giải bất phương trình lượng giác ta nên vẽ đường tròn lượng giác để chọn 
nghiệm. 
Ví dụ 1. Tìm miền xác định của hàm số y cos2x= . 
Giải 
Ta có: 
cos2x 0 k2 2x k2
2 2
p p
³ Û - + p £ £ + p 
 k x k
4 4
p p
Û - + p £ £ + p . 
Vậy miền xác định là D k ; k , k
4 4
p pé ù= - + p + p Îê úë û
¢ . 
Ví dụ 2. Tìm miền xác định của hàm số y sin 2x= . 
Giải 
Ta có: 
sin2x 0 k2 2x k2³ Û p £ £ p + p k x k
2
p
Û p £ £ + p . 
Vậy miền xác định là D k ; k , k
2
pé ù= p + p Îê úë û
¢ . 
Ví dụ 3. Tìm miền xác định của hàm số y tg3x= . 
Giải 
Ta có: 
tg3x 0 k 3x k
2
p
³ Û p £ < + p k x k
3 6 3
p p p
Û £ < + . 
Vậy miền xác định là )D k ; k , k3 6 3
p p pé= + Îêë
¢ . 
Ví dụ 4. Giải bất phương trình 2sin x
2
³ . 
Giải 
2
sin x sin x sin
2 4
p
³ Û ³
3
k2 x k2 , k
4 4
p p
Û + p £ £ + p Î ¢ . 
Ví dụ 5. Giải bất phương trình 3cos x
2
< - . 
Giải 
3 5
cos x cos x cos
2 6
p
< - Û <
5 7
k2 x k2 , k
6 6
p p
Û + p < < + p Î ¢ . 
 19 
Ví dụ 6. Giải bất phương trình tgx > – 1. 
Giải 
( )tgx 1 tgx tg 4
p
> - Û > - k x k , k
4 2
p p
Û + p < < + p Î ¢ . 
Ví dụ 7. Giải bất phương trình cotgx 3£ . 
Giải 
cotgx 3 cotgx cotg
6
p
£ Û £ k x k , k
6
p
Û + p £ < p + p Î ¢ . 
Ví dụ 8. Giải bất phương trình sin x (1 2)cos x 0+ - > . 
Giải 
Ta có : 
sin x (1 2)cos x 0 sin x cos x 2 cos x 0+ - > Û + - > 
( ) ( ) ( )2 cos x 2 cos x 0 2 sin x sin 04 8 8
p p p
Û - - > Û - - - > 
( ) 9sin x 0 k2 x k28 8 8
p p p
Û - > Û + p < < + p . 
Chú ý: 
Cách giải sau đây sai: 
sin x (1 2)cos x 0 sin x cos x 2 cos x+ - > Û + > 
( )
x k
2cos x cos x
4 k2 0
4
pìï > + pïp ïÛ - > Û ípïï + p >ïïî
x k , k 0, k
2
p
Û > + p ³ Î ¢ (*). 
Nhận thấy 3x
2
p
= không thỏa bất phương trình. 
Ví dụ 9. Giải bất phương trình 3 1cos x
2 2
- £ £ . 
Giải 
Ta có: 
 20 
3 1
cos x
2 2
- £ £ 
5
cos cos x cos
6 3
p p
Û £ £ 
5
k2 x k2
3 6
7 5
k2 x k2
6 3
p pé + p £ £ + pê
êÛ ê p pê + p £ £ + pêë
. 
Ví dụ 10. Giải bất phương trình 1 2sin x
2 2
- £ < . 
Giải 
Ta có: 
1 2
sin x
2 2
- £ < 
( )sin sin x sin6 4
p p
Û - £ < 
3
k2 x k2
4 4
5
k2 x k2
6 6
p pé + p < < + pê
êÛ ê p pê- + p £ £ - + pêë
. 
Ví dụ 11. Giải bất phương trình (2 cos x 1)(2 cos x 3) 0- - ³ . 
Giải 
Ta có: 
(2 cos x 1)(2 cos x 3) 0- - ³ 
1 3
cos x cos x
2 2
Û £ Ú ³ 
cos x cos cos x cos
3 6
p p
Û £ Ú ³ 
k2 x k2
6 6
5
k2 x k2
3 3
p pé- + p £ £ + pê
êÛ ê p p
+ p £ £ + pê
ë
. 
Ví dụ 12. Giải bất phương trình ( 2 sin x 1)(2 sin x 3) 0+ - > . 
Giải 
Ta có: 
 21 
( 2 sin x 1)(2 sin x 3) 0+ - > 
2 3
sin x sin x
2 2
Û £ - Ú > 
( )sin x sin 4
sin x sin
3
pé < -ê
êÛ pê >êë
4
k2 x k2
3 3
5 7
k2 x k2
4 4
p pé + p < < + pê
êÛ ê p pê + p < < + pêë
. 
Ví dụ 13. Giải bất phương trình 24 sin x 2( 3 1)sin x 3 0- + + £ . 
Giải 
Ta có: 
24 sin x 2( 3 1)sin x 3 0- + + £ 
1 3
sin x
2 2
Û £ £ 
k2 x k2
6 3
2 5
k2 x k2
3 6
p pé + p £ £ + pê
êÛ ê p p
ê + p £ £ + p
ë
. 
Ví dụ 14. Giải hệ bất phương trình 
1
cos x
2
1
sin x
2
ìï ³ïïïíïï <ïïî
. 
Giải 
Ta có: 
1
cos x cos x cos
2 3
1 sin x sinsin x 62
pìï ìï³ ³ï ïï ïï Ûí í pï ïï ï <<ï ïïîïî
k2 x k2
3 3
7
k2 x k2
6 6
p pìï- + p £ £ - + pïïïÛ í p pïï- + p < < + pïïî
k2 x k2
3 6
p p
Û - + p £ < + p . 
 22 
Ví dụ 15. Giải hệ bất phương trình 
cos x 0
1 2
sin x
2 2
<ìïïïíï- < £ïïî
. 
Giải 
Ta có: 
cos x 0
1 2
sin x
2 2
<ìïïïíï- < £ïïî
3
k2 x k2
2 2
k2 x k2
6 4
3 7
k2 x k2
4 6
p pìï + p £ £ + pïïïï p pï éï - + p < £ + pÛ íêï êïï ê p pïï ê + p £ < + pïïî ë
3 7
k2 x k2
4 6
p p
Û + p £ < + p . 
II. Hệ phương trình lượng giác 
1. Hệ phương trình 1 ẩn 
Phương pháp giải 
Cách 1 
Giải 1 phương trình và thế nghiệm vào phương trình còn lại. 
Cách 2 
Bước 1. Giải cả hai phương trình độc lập với nhau. 
Bước 2. Nghiệm chung là nghiệm của hệ phương trình. 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
2cos x 1 (1)
3
sin2x (2)
2
ì =ïïïíï =ïïî
. 
Giải 
Cách 1 
(1) x k2 x k2
3 3
p p
Û = + p Ú = - + p . 
+ Thay x k2
3
p
= + p vào (2) ta được: 
 23 
( )2 3sin k4 sin3 3 2
p p
+ p = = (nhận). 
+ Thay x k2
3
p
= - + p vào (2) ta được: 
( )2 3sin k4 sin3 3 2
p p
- + p = - = - (loại). 
Cách 2 
x k2
32cos x 1
x k x k23 6 3sin 2x
2
x k
3
pìï = ± + pïï=ì ïï ïï p pïï Û = + p Û = + pí íï ï=ï ïï ïî pï = + pïïî
. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm x k2 , k
3
p
= + p Î ¢ . 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
cotgx 1
2
sin x
2
=ìïïïíï =ïïî
. 
Giải 
Ta có điều kiện x k¹ p . 
x k
4cotgx 1
x k2 x k22 4 4sin x
2 3
x k2
4
pìïï = + pï= ïìï ïï p pïï ïÛ = + p Û = + pí íï ï=ï ïï ïî pïï = + pïïî
. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm x k2 , k
4
p
= + p Î ¢ . 
Ví dụ 3. Giải phương trình 2cos2x – 3sin25x = 2. 
Giải 
2 2 2 22 cos x 3 sin 5x 2 3 sin 5x 2 sin x 0- = Û + = 
x ksin x 0
x k
sin 5x 0 x k
5
= pìï=ìï ïï ïÛ Û Û = pí í pï ï= =ï ïî ïî
. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm x k , k= p Î ¢ . 
 24 
Chú ý: 
Khi giải hệ phương trình lượng giác 1 ẩn ta nên vẽ đường tròn lượng giác để giao 
nghiệm. 
2. Hệ phương trình 2 ẩn 
Phương pháp giải 
Không có cách giải tổng quát, tùy vào hệ phương trình cụ thể ta dùng phương pháp 
thế hoặc cộng và trừ hai phương trình rồi dùng công thức biến đổi. 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
sin x cos y 1 (1)
x y (2)
3
ì + =ïïïí pï + =ïïî
. 
Giải 
Ta có: 
x y x y
(1) 2 sin cos 1
2 2
+ -
Û = 
 x y x y2 sin cos 1 k2
6 2 2
p - -
Û = Û = p (3). 
Từ (2) và (3), ta suy ra hệ phương trình có nghiệm 
x k2
6 , k
y k2
6
pìï = + pïï Îí pïï = - pïïî
¢ . 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
1
cos x cos y
2
1
sin x sin y
2
ìï =ïïïíïï = -ïïî
. 
Giải 
Ta có: 
1
cos x cos y cos x cos y sin x sin y 02
1 cos x cos y sin x sin y 1
sin x sin y
2
ìï =ï + =ìïïï ïÛí íï ï - =ï ïî= -ïïî
cos(x y) 0 x y k
2
cos(x y) 1 x y m2
pìïì - = - = + pï ïï ïÛ Ûí íï ï+ = + = pï ïî ïî
. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
x (2m k)
4 2 , (m, k )
y (2m k)
4 2
p pìï = + +ïï Îí p pïï = - + -ïïî
¢ . 
 25 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
2 3
tgx tgy
3
2 3
cotgx cotgy
3
ìïï + =ïïíïï + = -ïïî
. 
Giải 
Ta có điều kiện : 
x kcos x sin x 0 2
cos y sin y 0 y m
2
pìï ¹¹ ïìï ïï Ûí í pï ï¹ï ï ¹î ïïî
. 
2 32 3 tgx tgytgx tgy
33
1 1 2 32 3
cotgx cotgy
tgx tgy 33
ìì ïï ïï + =+ = ïï ïï Ûí íï ïï ï + = -+ = -ï ïï ïî ïî
2 3
tgx tgy
3
tgxtgy 1
ìïï + =ïÛ Þíïï = -ïî
 tgx, tgy là nghiệm của phương trình: 
2
1tgx 3 tgx
33X 2X 3 0 1
tgy tgy 33
ì ì=ï ï = -ï ïï ï- - = Û Úí íï ï= -ï ï =ï ïî î
. 
So với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm: 
x l x q
3 6 , (l, q )
y q y l
6 3
p pì ìï ï= + p = - + pï ïï ïÛ Ú Îí íp pï ïï ï= - + p = + pï ïï ïî î
¢ . 
..