Chuyên đề Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Phương trình , Bất phương trình vô tỉ
Bài 1: Giải phương trình 
a) 
- Phương trình được chuyển thành hệ 
- Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
b) 
ĐS:x=1/2; x=1
c) 
ĐS: x=2.
d) 
ĐS: 
e) 
- Sử dụng BĐT Bunhia.
f) 
ĐS: x=0
Bài 2: Giải BPT:
a) 
ĐS: x≥1/4
b) 
ĐK 
- Biến đôỉ bất phương trình về dạng 
- Kết hợp ĐK ta có nghiệm của BPT là .
c) .
d) .
ĐK: 
- Thực hiện phép nhân liên hợp ta thu được BPT
.
- Kết hợp ĐK thu được nghiệm 
Cách 2: 
- Xét 2 TH:
Với 
Với 
e) 
ĐK: 
- Với Đk đó 
- Đặt . 
- ĐS: x≤-3 hoặc x≥1.
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
.
Giải: Xét hàm số 
Miền xác định D=.
Đạo hàm 
y’(0)=1>0 nên hàm số ĐB
Giới hạn 
BBT
x
-∞ +∞
y’
 +
y
 1
-1
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1.
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 
Giải:
- Đặt . Phương trình đã cho trở thành:
2t=t2-1+m úm=-t2+2t+1
- Xét hàm số y=-t2+2t+1; t≥0; y’=-2t+2
x
0 1 +∞
y’
 + 0 -
y
 2
1 -∞
- Theo yêu cầu của bài toán đường thẳng y=m cắt ĐTHS khi m≤2.
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm dương:
.
Giải:
- Đặt .
 Xét x>0 ta có BBT:
x
0 2 +∞
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 +∞ 
 1 
- Khi đó phương trình đã cho trở thành m=t2+t-5 út2+t-5-m=0 (1).
- Nếu phương trình (1) có nghiệm t1; t2 thì t1+ t2 =-1. Do đó (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t≥1.
- Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1 nghiệm t.
- Đặt g(t)=t2+t-5. Ta đi tìm m để phương trình g(t)=m có đúng 1 nghiệm t.
f’(t)=2t+1>0 với mọi t. Ta có BBT sau:
t
1 
g’(t)
 +
g(t)
-3
Từ BBT suy ra -3<m< là các giá trị cần tìm.
Bài 6: Xác định m để phương trình sau có nghiệm .
Giải: 
- Điều kiện -1≤x≤1. Đặt .
- Ta có
- Tập giá trị của t là (t liên tục trên đoạn [-1;1]). Phương trình đã cho trở thành:
- Xét Ta có f(t) liên tục trên đoạn . Phương trình đã cho có nghiệm x khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm t thuộc .
- Ta có .
- Vậy 
Bài 7: Tỡm m để bất phương trỡnh (1) cú nghiệm.
Giải: Đặt . Bất phương trỡnh trở thành:(2)
(1)cú nghiệm ú(2) cú nghiệm t≥0 ú cú ớt nhất 1 điểm của ĐTHS y= với t≥0 khụng ở phớa dưới đường thẳng y=m.
Xột y= với t≥0 cú 
t
 0 +
y’
- 0 + | + 0 -
y
Từ Bảng biến thiờn ta cú m≤.
Bài 8: Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm.
Giải:
Đặt với thỡ 
x
 -3 3/2 6 +∞
f’(x)
 ║ + 0 - ║ 
f(x)
 | |
 3 3
 Vậy t. Phương trỡnh (1) trở thành (2).
Phương trỡnh (1) cú nghiệmú Phương trỡnh (2) cú nghiệm tú đường thẳng y=m cú điểm chung với đồ thị y= với t.
Ta cú y’=-t+1 nờn cú 
t
 1 3 
y’
 + 0 - | - | 
y 
 3
Bài 9: Cho bất phương trỡnh . Tỡm a để bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x[-2;4].
Giải:
Đặt . Bất phương trỡnh trở thành:
.(2)
(1)ghiệm ú (2) cú nghiệm mọi t[0;3] úđường thẳng y=a nằm trờn ĐTHS 
y=t2-4t+10 với t[0;3]
y’=2t-4; y’=0út=2
t
 0 2 3
y’
 | - 0 + | 
y
 10 7
 6 
Vậy m≥10.
Bài 10: Cho phương trỡnh (1). Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm.
Giải:
Phương trỡnh đó cho tương đương 
Đặt t=; t[-1;1].
Khi đú phương trỡnh (1) trở thành 2t+t2=4m.
(1) cú nghiệm ú (2) cú nghiệm t[-1;1] 
Xột hàm số y=f(t)=t2+2t với t[-1;1]. Ta cú f’(t)=2t+2≥0 với mọi t[-1;1]. 
t
 -1 1
f’
 0 + |
f
 3 
 -1
 Từ BBT -1≤4m≤3.
HUYấN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
1. Bỡnh phương 2 vế của phương trỡnh 
Phương phỏp 
Thụng thường nếu ta gặp phương trỡnh dạng : , ta thường bỡnh phương 2 vế , điều đú đụi khi lại gặp khú khăn hóy giải vớ dụ sau
và ta sử dụng phộp thế :ta được phương trỡnh : 
Vớ dụ 
 Giải phương trỡnh sau : 
Giải: Đk 
Bỡnh phương 2 vế khụng õm của phương trỡnh ta được:, để giải phương trỡnh này dĩ nhiờn là khụng khú nhưng hơi phức tạp một chỳt .
Phương trỡnh giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trỡnh : 
Bỡnh phương hai vế ta cú : 
Thử lại x=1 thỏa
Nhận xột : Nếu phương trỡnh : 
Mà cú : , thỡ ta biến đổi phương trỡnh về dạng : sau đú bỡnh phương ,giải phương trỡnh hệ quả 
Bài 2. Giải phương trỡnh sau : 
Giải:
Điều kiện : 
Bỡnh phương 2 vế phương trỡnh ?
Nếu chuyển vế thỡ chuyển như thế nào? 
Ta cú nhận xột : , từ nhận xột này ta cú lời giải như sau :
Bỡnh phương 2 vế ta được: 
Thử lại : l nghiệm 
Qua lời giải trờn ta cú nhận xột : Nếu phương trỡnh :
 Mà cú : thỡ ta biến đổi 
2. Trục căn thức 
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhõn tử chung 
Phương phỏp 
Một số phương trỡnh vụ tỉ ta cú thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trỡnh luụn đưa về được dạng tớch ta cú thể giải phương trỡnh hoặc chứng minh vụ nghiệm , chỳ ý điều kiện của nghiệm của phương trỡnh để ta cú thể đỏnh gớa vụ nghiệm 
 Vớ dụ 
Bài 1 . Giải phương trỡnh sau : 
Giải: 
Ta nhận thấy : v 
Ta cú thể trục căn thức 2 vế : 
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh .
Bài 2. Giải phương trỡnh sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 
Giải: Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ : 
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trỡnh , như vậy phương trỡnh cú thể phõn tớch về dạng 
, để thực hiện được điều đú ta phải nhúm , tỏch như sau :
Dễ dàng chứng minh được : 
Bài 3. Giải phương trỡnh :
Giải :Đk 
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trỡnh , nờn ta biến đổi phương trỡnh 
Ta chứng minh : 
Vậy pt cú nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương phỏp 
Nếu phương trỡnh vụ tỉ cú dạng , mà : 
ở dõy C cú thể là hàng số ,cú thể là biểu thức của . Ta cú thể giải như sau :
, khi đĩ ta cú hệ: 
b) Vớ dụ 
Bài 4. Giải phương trỡnh sau :
Giải:
Ta thấy : 
 khụng phải là nghiệm 
Xột 
Trục căn thức ta cú : 
Vậy ta cú hệ: 
Thử lại thỏa; vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm : x=0 v x=
Bài 5. Giải phương trỡnh : 
Ta thấy : , như vậy khụng thỏa món điều kiện trờn.
Ta cú thể chia cả hai vế cho x và đặt thỡ bài toỏn trở nờn đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải cỏc phương trỡnh sau :
 (HSG Toàn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
3. Phương trỡnh biến đổi về tớch 
Sử dụng đẳng thức 
Bài 1. Giải phương trỡnh : 
Giải: 
Bi 2. Giải phương trỡnh : 
Giải:
+ , khụng phải là nghiệm 
+ , ta chia hai vế cho x: 
Bài 3. Giải phương trỡnh: 
Giải: 
pt
Bài 4. Giải phương trỡnh : 
Giải: 
Đk: 
Chia cả hai vế cho : 
 Dựng hằng đẳng thức 
Biến đổi phương trỡnh về dạng :
Bài 1. Giải phương trỡnh : 
Giải:
Đk: khi đú pt đ cho tương đương :
Bài 2. Giải phương trỡnh sau :
Giải:
Đk: phương trỡnh tương đương : 
Bài 3. Giải phương trỡnh sau : 
Giải : pttt 
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương phỏp đặt ẩn phụ thụng thường 
Đối với nhiều phương trỡnh vụ vụ tỉ , để giải chỳng ta cú thể đặt và chỳ ý điều kiện của nếu phương trỡnh ban đầu trở thành phương trỡnh chứa một biến quan trọng hơn ta cú thể giải được phương trỡnh đú theo thỡ việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Núi chung những phương trỡnh mà cú thể đặt hoàn toàn thường là những phương trỡnh dễ .
Bài 1. Giải phương trỡnh: 
Điều kiện: 
Nhận xột. 
Đặt thỡ phương trỡnh cú dạng: 
Thay vào tỡm được 
Bài 2. Giải phương trỡnh: 
Giải
Điều kiện: 
Đặt thỡ . Thay vào ta cú phương trỡnh sau:
Ta tỡm được bốn nghiệm là: 
Do nờn chỉ nhận cỏc gỏi trị 
Từ đú tỡm được cỏc nghiệm của phương trỡnh l: 
Cỏch khỏc: Ta cú thể bỡnh phương hai vế của phương trỡnh với điều kiện 
Ta được: , từ đú ta tỡm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. Giải phương trỡnh sau: 
Điều kiện: 
Đặt thỡ phương trỡnh trở thnh: ( với 
Từ đú ta tỡm được cỏc giỏ trị của 
Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trỡnh sau :
Giải: đk 
Đặt pttt
Bài 5. Giải phương trỡnh sau : 
Giải:
Điều kiện: 
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:
Đặt , ta giải được.
Bài 6. Giải phương trỡnh : 
Giải: khụng phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 
Đặt t=, Ta cú : 
Bài tập đề nghị 
Giải cỏc phương trỡnh sau
Nhận xột : đối với cỏch đặt ẩn phụ như trờn chỳng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đụi khi phương trỡnh đối với lại quỏ khú giải 
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trỡnh thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chỳng ta đó biết cỏch giải phương trỡnh: (1) bằng cỏch 
Xột phương trỡnh trở thành : 
 thử trực tiếp 
Cỏc trường hợp sau cũng đưa về được (1)
Chỳng ta hóy thay cỏc biểu thức A(x) , B(x) bởi cỏc biểu thức vụ tỉ thỡ sẽ nhận được phương trỡnh vụ tỉ theo dạng này .
a) . Phương trỡnh dạng : 
Như vậy phương trỡnh cú thể giải bằng phương phỏp trờn nếu 
Xuất phỏt từ đẳng thức :
Hóy tạo ra những phương trỡnh vụ tỉ dạng trờn vớ dụ như:
Để cú một phương trỡnh đẹp , chỳng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trỡnh bậc hai giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trỡnh : 
Giải: Đặt 
Phương trỡnh trở thành : 	Tỡm được: 
Bài 2. Giải phương trỡnh :
Bài 3: giải phương trỡnh sau :
Giải: 
Đk: 
Nhận xt : Ta viết 
Đồng nhất thức ta được: 
Đặt , ta được: 
 Ta được :
Bài 4. Giải phương trỡnh :
Giải:
Nhận xột : Đặt ta hóy biến pt trờn về phương trỡnh thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
Pt cú nghiệm :
b).Phương trỡnh dạng : 
Phương trỡnh cho ở dạng này thường khú “phỏt hiện “ hơn dạng trờn , nhưg nếu ta bỡnh phương hai vế thỡ đưa về được dạng trờn.
Bài 1. giải phương trỡnh : 
Giải: 
Ta đặt : khi đú phương trỡnh trở thành : 
Bài 2.Giải phương trỡnh sau : 
Giải 
Đk . Bỡnh phương 2 vế ta cú : 
Ta cú thể đặt : khi đú ta cú hệ : 
Do . 
Bài 3. giải phương trỡnh : 
Giải:
Đk . Chuyển vế bỡnh phương ta được: 
Nhận xột : khụng tồn tại số để : vậy ta khụng thể đặt 
.
Nhưng may mắn ta cú : 
Ta viết lại phương trỡnh: . Đến đõy bài toỏn được giải quyết . 
Cỏc em hóy tự sỏng tạo cho mỡnh những phương trỡnh vụ tỉ “đẹp “ theo cỏch trờn 
3. Phương phỏp đặt ẩn phụ khụng hoàn toàn 
Từ những phương trỡnh tớch ,
Khai triển và rỳt gọn ta sẽ được những phương trỡnh vụ tỉ khụng tầm thường chỳt nào, độ khú của phương trỡnh dạng này phụ thuộc vào phương trỡnh tớch mà ta xuất phỏt .
Từ đú chỳng ta mới đi tỡm cỏch giải phương trỡnh dạng này .Phương phỏp giải được thể hiện qua cỏc vớ dụ sau .
Bài 1. Giải phương trỡnh :
Giải: 
 , ta cú : 
Bài 2. Giải phương trỡnh : 
Giải:
Đặt : 	Khi đú phương trỡnh trở thnh : 
Bõy giờ ta thờm bớt , để được phương trỡnh bậc 2 theo t cú chẵn :
Từ một phương trỡnh đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trỡnh sau : 
Giải: 
Nhận xột : đặt , pttt: (1)
Ta rỳt thay vào thỡ được pt: 
Nhưng khụng cú sự may mắn để giải được phương trỡnh theo t khụng cú dạng bỡnh phương .
Muốn đạt được mục đớch trờn thỡ ta phải tỏch 3x theo 
Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trỡnh: 
Giải .
Bỡnh phương 2 vế phương trỡnh: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tỏch làm sao cho cú dạng chớnh phương .
Nhận xột : Thụng thường ta chỉ cần nhúm sao cho hết hệ số tự do thỡ sẽ đạt được mục đớch 
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tớch 
Xuất phỏt từ một số hệ “đại số “ đẹp chỳng ta cú thể tạo ra được những phương trỡnh vụ tỉ mà khi giải nú chỳng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tỡm mối quan hệ giữa cỏc ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phỏt từ đẳng thức , Ta cú
Từ nhận xột này ta cú thể tạo ra những phương trỡnh vụ  ... ư sau :
Đặt khi đú ta cú hệ : cộng hai phương trỡnh ta được:
=
Hóy xõy dựng những hàm đơn điệu và những bài toỏn vụ tỉ theo dạng trờn ?
Bài 1. Giải phương trỡnh : 
Giải:
Xột hàm số , là hàm đồng biến trờn R, ta cú 
Bài 2. Giải phương trỡnh 
Giải . Đặt , ta cú hệ : 
Xột hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trỡnh 
Bài 3. Giải phương trỡnh :
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HểA
1. Một số kiến thức cơ bản:
Nếu thỡ cú một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Nếu thỡ cú một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Với mỗi số thực x cú sao cho : 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thỡ cú một số t với , sao cho 
Từ đú chỳng ta cú phương phỏp giải toỏn :
Nếu : thỡ đặt với hoặc với 
Nếu thỡ đặt , với hoặc , với 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thỡ đặt với 
Nếu , ta cú thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khỏc 
x là số thực bất kỳ thi đặt : 
Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? 
Chỳng ta biết rằng khi đặt điều kiện thỡ phải đảm bảo với mỗi cú duy nhất một , và điều kiện trờn để đảm bào điều này . (xem lại vũng trũn lượng giỏc )
2. Xõy dựng phương trỡnh vụ tỉ bằng phương phỏp lượng giỏc như thế nào ?
Từ cụng phương trỡnh lượng giỏc đơn giản: , ta cú thể tạo ra được phương trỡnh vụ tỉ 
Chỳ ý : ta cú phương trỡnh vụ tỉ: (1)
Nếu thay bằng ta lại cú phương trỡnh : (2)
Nếu thay x trong phương trỡnh (1) bởi : (x-1) ta sẽ cú phương trỡnh vố tỉ khú: (3)
Việc giải phương trỡnh (2) và (3) khụng đơn giản chỳt nào ? 
Tương tự như vậy từ cụng thức sin 3x, sin 4x,.hóy xõy dựng những phương trỡnh vụ tỉ theo kiểu lượng giỏc .
3. Một số vớ dụ 
Bài 1. Giải phương trỡnh sau : 
Giải:
Điều kiện :
Với : thỡ (ptvn)
 ta đặt : . Khi đú phương trỡnh trở thành: vậy phương trỡnh cú nghiệm : 
Bài 2. Giải cỏc phương trỡnh sau : 
 HD: 
 Đs: 
 HD: chứng minh vụ nghiệm 
Bài 3 . Giải phương trỡnh sau: 
Giải: Lập phương 2 vế ta được:
Xột : , đặt . Khi đú ta được mà phương trỡnh bậc 3 cú tối đa 3 nghiệm vậy đú cũng chớnh là tập nghiệm của phương trỡnh.
Bài 4. .Giải phương trỡnh 
Giải: đk: , ta cú thể đặt 
Khi đú ptt: 
Phương trỡnh cú nghiệm : 
Bài 5 .Giải phương trỡnh : 
Giải: đk 
Ta cú thể đặt : 
Khi đú pttt.
Kết hợp với điều kiện ta cú nghiệm 
Bài tập tổng hợp
Giải cỏc phương trỡnh sau 
 (HSG Toàn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
CHUYấN ĐỀ: PHƯƠNG TRèNH Vễ TỶ
PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trỡnh 
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuục vào độ phức tạp của hay 
Dạng 2: Phương trỡnh 
Dạng 3: Phương trỡnh 
+) (chuyển về dạng 2)
 +) 
và ta sử dụng phộp thế :ta được phương trỡnh : 
Bài 1: Giải phương trỡnh:
a) 	
b) 	
c) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
Bài 2: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm: 
Bài 3: Cho phương trỡnh: 
-Giải phương trỡnh khi m=1
-Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm.
Bài 4: Cho phương trỡnh: 
-Giải phương trỡnh khi m=3
-Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm.
II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương phỏp đặt ẩn phụ thụng thường.
-Nếu bài toỏn cú chứa và khi đú đặt (với điều kiện tối thiểu là . đối với cỏc phương trỡnh cú chứa tham số thỡ nhất thiết phải tỡm điều kiện đỳng cho ẩn phụ).
-Nếu bài toỏn cú chứa , và (với k là hằng số) khi đú cú thể đặt : , khi đú 
-Nếu bài toỏn cú chứa và khi đú cú thể đặt: suy ra 
-Nếu bài toỏn cú chứa thỡ đặt với hoặc với 
-Nếu bài toỏn cú chứa thỡ đặt với hoặc với 
-Nếu bài toỏn cú chứa ta cú thể đặt với 
Bài 1: Giải phương trỡnh:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
Bài 2: Giải phương trỡnh:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Bài 4: Cho phương trỡnh: 
-Giải phương trỡnh với 
-Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm.
Bài 5: Cho phương trỡnh: 
-Giải phương trỡnh với m = 9
-Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm.
2. Phương phỏp đặt ẩn phụ khụng hoàn toàn
Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trỡnh ban đầu thành một phương trỡnh với một ẩn phụ nhưng cỏc hệ số vẫn cũn chứa x. 
-Từ những phương trỡnh tớch ,
Khai triển và rỳt gọn ta sẽ được những phương trỡnh vụ tỉ khụng tầm thường chỳt nào, độ khú của phương trỡnh dạng này phụ thuộc vào phương trỡnh tớch mà ta xuất phỏt.
Từ đú chỳng ta mới đi tỡm cỏch giải phương trỡnh dạng này .Phương phỏp giải được thể hiện qua cỏc vớ dụ sau .
Bài 1. Giải phương trỡnh :
Giải: , ta cú : 
Bài 2. Giải phương trỡnh : 
Giải:
Đặt : 
Khi đú phương trỡnh trở thnh : 
Bõy giờ ta thờm bớt , để được phương trỡnh bậc 2 theo t cú chẵn 
Từ một phương trỡnh đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trỡnh sau : 
Giải: 
Nhận xột : đặt , pttt: (1)
Ta rt thay vo thỡ được pt: 
Nhưng khụng cú sự may mắn để giải được phương trỡnh theo t khụng cú dạng bỡnh phương .
Muốn đạt được mục đớch trờn thỡ ta phải tỏch 3x theo 
Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trỡnh: 
Giải .
Bỡnh phương 2 vế phương trỡnh: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tỏch làm sao cho cú dạng chỡnh phương .
Nhận xột : Thụng thường ta chỉ cần nhúm sao cho hết hệ số tự do thỡ sẽ đạt được mục đớch. 
Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
3. Phương phỏp đặt ẩn phụ chuyển về hệ.
a) Dạng thụng thường: Đặt và tỡm mối quan hệ giữa và từ đú tỡm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trỡnh: ta cú thể đặt: từ đú suy ra . Khi đú ta cú hệ 
Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh sau: 
a) 	b) 	c) 
b) Dạng phương trỡnh chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:
 với 
Cỏch giải: Đặt: khi đú phương trỡnh được chuyển thành hệ:
 ->giải
Nhận xột: Dể sử dụng được phương phỏp trờn cần phải khộo lộo biến đổi phương trỡnh ban đầu về dạng thỏa món điều kiện trờn để đặt ẩn phụ.Việc chọn thụng thường chỳng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được.
c) Dạng phương trỡnh chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba.
 với 
Cỏch giải: Đặt khi đú phương trỡnh được chuyển thành hệ:
Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụng cỏc tớnh chất của hàm số để giải phương trỡnh là dạng toỏn khỏ quen thuộc. Ta cú 3 hướng ỏp dụng sau đõy:
Hướng 1: Thực hiện theo cỏc bước:
Bước 1: Chuyển phương trỡnh về dạng: 
Bước 2: Xột hàm số 
Bước 3: Nhận xột:
Với do đú là nghiệm
Với do đú phương trỡnh vụ nghiệm
Với do đú phương trỡnh vụ nghiệm
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trỡnh
Hướng 2: thực hiện theo cỏc bước
Bước 1: Chuyển phương trỡnh về dạng: 
Bước 2: Dựng lập luận khẳng định rằng và g(x) cú những tớnh chất trỏi ngược nhau và xỏc định sao cho 
Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trỡnh.
Hướng 3: Thực hiện theo cỏc bước:
Bước 1: Chuyển phương trỡnh về dạng 
Bước 2: Xột hàm số , dựng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bước 3: Khi đú 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh : 
pt
Xột hàm số , là hàm đồng biến trờn R, ta cú 
Bài tập: Giải phương trỡnh: 
,,,,,
BAỉI TAÄP :
Baứi 1: Bỡnh phửụng hai veỏ : 
x2 +
Hd: pt 
b)pt: 
Chuyeồn veỏ ,bỡnh phửụng hai veỏ : x =2 ;
 x = 2/11( loaùi ) . Vaọy x=2 .
c) 
Bỡnh phửụng hai laà ta coự :ẹS x = 0 .
d) 
e) 
Bphửụng hai lanà ta coự :ẹS x = 4/3 
Baứi 2 : Daởt Aồn soỏ phuù : 
a) 
ẹaởt : 
T=x2-3x+3 
b) 
- ẹaởt : 
ptút2-3t +2 =0 t =1 ; t=2 Vn
t=1 ú x=0 ; x=1 .
c) 
HDẹS:
ẹK : 
Giaỷi pt khi m=2 .** Tỡm m pt coự nghieọm .
HDẹS : ẹK: b) f(t) = -t2/2 + t +2 = m (1) . Laọp baỷng bieỏn thieõn : Tacoự : 
Bỡnh phửụng : ẹaởt t= 
KsHSd)
HDẹS:ẹaởt : 
Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh.
Baứi3:
1-
BAỉI TAÄP : I- GIAÛI PT:
 Laọp phửụng hai veỏ ta coự : x3-4x2+5x-2 =0ú x=1 ; x=2 . Thửỷ laùi x=1 khoõng thoaỷ .Vaọy x=2 .
 Laọp phửụng hai veỏ ta coự : x2+31x-1830 =0ú x=-1061 ; x=75 . 
-Laọp phửụng hai veỏ ta coự : x3-4x2+5x-2 =0ú x=1 ; x=2 . Thửỷ laùi x=1 khoõng thoaỷ .Vaọy x=2 .
-Laọp phửụng hai veỏ ta coự : ptú x=1 ; x=2 ;x=3/2. Thửỷ laùi ẹeàu thoaỷ .
--Laọp phửụng hai veỏ ta coự : ptú x=0 ; x=3 ;x=-6/5. Thửỷ laùi ẹeàu thoaỷ .
ptú 18X = 14a ú x=7a/ 9 ; a# 0 . Thửỷ laùi thoaỷ.
II- PHệễNG TRèNH CAấN THệÙC CHệÙA THAM SOÁ m :
Baứi 1: : BLs ngh pt.
HdẹS : 
Tớnh ủaùo haứm : Baỷng bieỏn thieõn ,Ta coự :
m<1 : 1ngh; m=1: coự 2ngh: 1<m<2: 2ngh
m=2 : 2ngh ; 2<m<: 0 Vn .
BAÁT PHệễNG TRèNH CAấN THệÙC
KIEÁN THệÙC CAÀN NHễÙ :
Daùng cụ baỷn :
Daùng khaực :
Coự nhieàu caờn thửực :ẹaởt ẹK – Luyừ thửứa- khửỷ caờn – Dửa veồ bpt cụ baỷn nhử caực daùng treõn .
Chuự yự : - Hai veỏ khoõng aõm ta ủ7ụùc bỡnh phửụng – Hai veỏ laứ soỏ thửùc ta ủửùục laọp phửụng .
BAỉI TAÄP :
 GIAÛI CAÙC BAÁT PHệễNG TRèNH
1-Pt : 
ptú -3/2
PHệễNG TRèNH CAấN THệÙC
PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trỡnh 
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuục vào độ phức tạp của hay 
Dạng 2: Phương trỡnh 
Dạng 3: Phương trỡnh 
+) (chuyển về dạng 2)
 +) 
và ta sử dụng phộp thế :ta được phương trỡnh : 
Bài tập trong cỏc đề thi tuyển sinh.
Bài 1 : 
a)(ĐHXD) Giải pt 
b) (CĐSP MG 2004) 
c) (CĐSP NINH BèNH) 
d) (CĐ hoỏ chất) 
e) (CĐ TP 2004) 
g) (CĐSP bến tre) 
h) (CĐ truyền hỡnh 2007) 
ĐS: 
a) x=1.	b) x=14/5	c) x=9.	d)x=1
e) x=5	g) x=2	h) x=-1.
Bài 2: 
a)(ĐHNN-2001) Giải phương trỡnh 
b) (CĐ Nha trang 2002) : 
Hdẫn: 
a) ĐK: -1≤x≤4.
Đặt t=. Giải được t=-5 (loại), t=3. Giải t=3 được x=0.
b) x=
Bài 3 
a)(ĐHQG KD-2001) Giải phương trỡnh .
b) (CĐXD 2003)
Hdẫn: 
a) ĐK: x≥1/2
Xột hàm số y= . HSĐB trờn [1/2;+∞). Và f(1/2)=1.
Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x=1/2.
b)x=-1 là nghiệm .
Cỏc hàm số y=; y=; y=ĐB 
Bài 4 : Giải pt .
ĐK : x≤-3,x=-1,x≥1.
-Với x=-1 Thoả món pt 
-Với x≤-3 thỡ VP<0 loại
-Với x≥1 pt 
Tiếp tục bỡnh phương 2 vế thu được x=1.
Vậy pt cú 2 nghiệm x=1 ; x=-1.
Bài 5 : (ĐH mỏ điạ chất) Giải pt 
ĐK : . Đặt t=. Giải được t=2 ; t=-4/3.
+t=2 được x=0, x=2
+t=-4/3 được (loại)
KL : Pt cú 3 nghiệm.
Bài 6 : (HV CNBCVT) Giải pt .
Giải : ĐK : x≥2/3.
Trục căn thức ta được .
PT trờn cú nghiệm x=2.
HS y=ĐB do vậy x=2 là nghiệm duy nhất.
Bài 7: Giải phương trỡnh .
ĐK: x≥2.
pt
KL: x=3; x=
Bài 8: Giải phương trỡnh 
ĐK:x-7.
Đặt .
Phương trỡnh trở thành 
Giải được x=2; x=
a) 
- Phương trình được chuyển thành hệ 
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
c)
-ẹaởt : 
d) 
.ẹK : x
Bài 9: Giải phương trỡnh 
ĐK: x≥2.
Đặt .
Thế vào phương trỡnh giải được t=1; t=-2. từ đú giải được x=2.
Bài 10: (Tham khảo 2002) giải phương trỡnh 
ĐK:x≥4.
Phương trỡnh 
Đặt t=≥0. giải phương trỡnh ẩn t được t=4; t=-3 (loại).
Giải được x=5.
Bài 11 : 
a)(CĐSP 2004) Giải pt 
b) (ĐH-KD-2005) 
a) ĐK ; x≥1.
Pt .
Xột 1≤x≤2 : giải được nghiệm x=1
xột x>2 giải được x=5
b)x=3
3. Phương phỏp đặt ẩn phụ khụng hoàn toàn 
Từ những phương trỡnh tớch ,
Khai triển và rỳt gọn ta sẽ được những phương trỡnh vụ tỉ khụng tầm thường chỳt nào, độ khú của phương trỡnh dạng này phụ thuộc vào phương trỡnh tớch mà ta xuất phỏt .
Từ đú chỳng ta mới đi tỡm cỏch giải phương trỡnh dạng này .Phương phỏp giải được thể hiện qua cỏc vớ dụ sau .
Bài 1. Giải phương trỡnh :
Giải: 
 , ta cú : 
Bài 2. Giải phương trỡnh : 
Giải:
Đặt : 	Khi đú phương trỡnh trở thnh : 
Bõy giờ ta thờm bớt , để được phương trỡnh bậc 2 theo t cú chẵn :