Chuyên đề Phương trình đường tròn OXY - Luyện thi đại học

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
M 0
D
R
I
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 
I- LÝ THUYẾT: 
1. Phương trình đường tròn: 
 Dạng 1: Phương trình đường tròn ( )C có tâm ( ; )I a b , bán kính 0R > : 
( ) ( )2 2 2x a y b R- + - = 
 Dạng 2: Phương trình tổng quát: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = (*) 
 có tâm ( ; )I a b , bán kính 2 2R a b c= + - 
Lưu ý: Điều kiện để (*) là phương trình của một đường tròn là: 2 2 0a b c+ - > 
THUẬT TOÁN 
Lập phương trình đường tròn 
 Bước 1: Xác định tâm ( ; )I a b của ( )C . 
 Bước 2: Xác định bán kính 0R > . 
 Kết luận: Phương trình đường tròn ( )C có tâm ( ; )I a b , bán kính 0R > : 
( ) ( )2 2 2x a y b R- + - = 
 Nhận xét: Phương trình (*) hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số , , a b c . Như vậy 
chúng ta cần 3 giả thiết để xác định , , a b c . 
2. Tiếp tuyến của đường tròn: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = 
 a. Tiếp tuyến của ( )C tại 0 0 0( ; )M x y ( 0M : tiếp điểm) 
 Tiếp tuyến của ( )C tại 0 0 0( ; )M x y có phương trình: 
0 0 0 0( ) ( ) 0xx yy a x x b y y c+ - + - + + = 
 (CT phân đôi toạ độ) 
Nhận xét: 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; )Râ rµng tiÕp tuyÕn ®i qua vµ cã 1 vect¬ ph¸p M x y IM x a y b   

 0 0 0 0: ( ) ( )( ) 0 a x x x b y y y       
b. Điều kiện tiếp xúc: 
 Đường thẳng : 0ax by cD + + = là tiếp tuyến của ( ) ( );C d I RÛ D = 
Lưu ý: Để tiện trong việc tìm phương trình tiếp tuyến của ( )C , chúng ta không nên xét 
phương trình đường thẳng dạng y kx m= + (tồn tại hệ số góc k ). Vì như thế dẫn đến sót 
trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x C= (không có hệ số góc). 
Nhắc: 
 * §­êng th¼ng cã hÖ sè gãc .
 * §­êng th¼ng (vu«ng gãc ) kh«ng cã hÖ sè gãc. 
y kx m k
x C Ox
 

 0 0
( ; )0Do ®ã, trong qu¸ tr×nh viÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) tõ 1 ®iÓm M (ngoµi (C)) ta cã thÓ 
thùc hiÖn b»ng 2 p.ph¸p: 
x y
 * Ph­¬ng ph¸p 1: 0 0( ; )0Gäi ®­êng th¼ng bÊt k× qua M vµ cã h.s.g k: x y 
0 0( ) y y k x x   
R
I
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
0
¸p dông ®k tiÕp xóc, gi¶i ®­îc k. 
 * NÕu kÕt qu¶ 2 hÖ sè gãc k (t­¬ng øng 2 t.tuyÕn), bµi to¸n gi¶i quyÕt xong. 
 * NÕu gi¶i ®­îc 1 h.g.gãc k, th× xÐt ®­êng th¼ng (®©y lµ tiÕp tuyÕn thø hai)x x .
 * Ph­¬ng ph¸p 2:  2 2 0 0( ; ) 0 ( ; )0Gäi lµ 1 v.t ph¸p cña ®.th¼ng ®i qua Mn a b a b x y   
0 0( ) ( 0 ) a x x b y y    
, .¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta ®­îc 1 ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai theo a b 
Nhận xét: Ph­¬ng ph¸p 2 tá ra hiÖu qu¶ vµ khoa häc h¬n. 
3. Vị trí tương đối của hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: 
 Cho hai đường tròn ( )1C có tâm 1I , bán kính 1R và ( )2C có tâm 2I , bán kính 2R . 
Trường hợp Kết luận Số tiếp tuyến chung 
R 2R 1
I 2I 1
1 2 1 2+ <R R I I 
( )1C không cắt ( )2C 
(ngoài nhau) 
4 
I 1 I 2
R 1 R 2
1 2 1 2R R I I+ = 
( )1C tiếp xúc ngoài với 
( )2C 
3 
I 1 I 2
R 1 R 2
1 2 1 2 1 2R R I I R R+ > > - 
( )1C cắt ( )2C tại hai điểm 
phân biệt 
2 
I 1 I 2R 1
R 2
1 2 1 2R R I I- = 
( )1C tiếp xúc trong với 
( )2C 
1 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
I 1
I 2
R 1
R 2
1 2 1 2R R I I- < 
( )1C không cắt ( )2C 
(lồng vào nhau) 
0 
VẤN ĐỀ 1: Nhận dạng 1 phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. 
Tìm tâm và bán kính đường tròn. 
 Phương pháp: 
 Cách 1: Đưa phương trình về dạng 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = (1) 
 Kiểm tra, nếu biểu thức: 2 2 0a b c+ - > thì (1) là phương trình đường tròn 
ìï
í
= + -ïî 2 2
T©m ( ; )I a b
R a b c
 Cách 2: Đưa phương trình về dạng: - + - =2 2( ) ( )x a y b m và kết luận. 
LUYỆN TẬP: 
Bài tập 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và 
bán hính nếu có: 
+ - + + = + + - - =
+ + + + = + - + - =
+ - = + - + + =
+ + + - =
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
) 6 8 10 0 ) 4 6 12 0
) 2 4 5 0 ) 2 2 4 8 2 0
) 4 0 ) 2 4 8 1 0
) 2 4 5 0
a x y x y b x y x y
c x y x y d x y x y
e x y y f x y x y
g x y xy y
Bài tập 2: Cho phương trình + - + + - =2 2 2 4 6 1 0x y mx my m (1) 
 a. Với giá trị nào của m thì pt(1) là phương trình của đường tròn? 
 b. Nếu (1) là phương trình đường tròn, hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn 
đó theo m . 
Bài tập 3: Cho phương tr×nh : 2 2 26 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m+ + - - + + - = . 
a. T×m điều kiện của m để pt trªn là l ph­¬ng tr×nh đường trßn. 
b. T×m quỹ tÝch t©m đường trßn. 
Bài tập 4: Cho phương trình: 2 2 1) 2(sin 1) 2 02(cosx y x ya a       . 
;10
a. Víi gi¸ trÞ nµo cña th× ph­¬ng tr×nh trªn lµ p.tr×nh cña mét ®­êng trßn.
b. T×m gi¸ trÞ ®Ó ®­êng trßn cã b¸n kÝnh nhá nhÊt, lín nhÊt.
c. T×m quü tÝch t©m ®­êng trßn, khi thay ®æi trªn ®o¹n 0
a
a
a 080 .   
Bài tập 5: Cho phương tr×nh ( )mC : 2 2 2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y+ + - - - + = . 
a. T×m m để ( )mC là phương tr×nh của một đường trßn. 
b. T×m m để ( )mC là đường trßn t©m (1; 3).I - Viết phương tr×nh đường trßn. 
c. T×m m để ( )mC là đường trßn cã b¸n kÝnh 5 2.R = Viết phương tr×nh đường trßn. 
d. T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn ( )mC . 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 
Phương pháp: 
 Cách 1: Tìm tâm ( ; )I a b , bán kính > 0R . Suy ra ( ) ( )- + - =2 2 2( ) :C x a y b R 
 Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = 
 - Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số , , a b c . 
 - Giải hệ phương trình tìm , , a b c . 
LUYỆN TẬP: 
Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: 
 a. (C) có tâm ( 1;2)I - và tiếp xúc với đường thẳng : 2 7 0x yD - + = . 
 b. (C) có đường kính là AB với (1;1), (7;5)A B 
Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm với (1;4), ( 7;4), (2; 5)A B C- - . 
Bài tập 3: Cho 3 điểm (1;2), (5;2), (1; 3)A B C - . 
 a. Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. 
 b. Xác định tâm và bán kính của (C). 
Bài tập 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với (1;5), (4; 1),A B - 
( 4; 5)C - - 
Bài tập 5: Lập phương trình đường tròn (C), có tâm (2;3)I trong các trường hợp sau: 
 a. (C) có bkính là 5 b. (C) qua điểm (1;5)A . 
 c. (C) tiếp xúc với trục Ox d. (C) tiếp xúc với trục Oy 
 e. (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4 3 12 0x yD + - = 
Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm ( 1;2), ( 2;3)A B- - và có tâm ở 
trên đường thẳng : 3 10 0x yD - + = . 
Gợi ý: 
Cách 1: Gọi ( ;3 10) ΔI a a + Î . Do (C) qua A, B nên ( )IA IB R= =
 
Cách 2: 
 Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. 
 Bước 2: Tâm I của (C) là giao điểm của d và Δ . 
Bài tập 7: Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua 2 điểm (1;2), (3;4)A B và tiếp xúc với 
đường thẳng : 3 3 0x yD + - = . 
Gợi ý: 
Cách 1: Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn. 
Theo giả thiết: 
( );Δ
IA IB
d I IA
=ìï Þí =ïî
 giải ra I. 
Cách 2: 
 Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. 
 Bước 2: Gọi tâm của (C) là I dÎ (tọa độ 1 ẩn). 
Do Δ tiếp xúc với (C) nên ( );Δd I IA= Þ giải ra I. 
Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) đi điểm (4;2)M và tiếp xúc với các trục toạ độ. 
Gợi ý: 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a b R= = . 
TH 1: ( ; ), a b I a a R a= Þ = 
 Phương trình (C): ( ) ( )2 2 2x a y a a- + - = 
Do ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2(4;2) 4 2 12 20 0
10
=éÎ Û - + - = Û - + = Û ê =ë
a
M C a a a a a
a
Vậy có 2 đường tròn: ( ) ( ) ( )2 21 : 2 2 4 C x y- + - = và ( ) ( ) ( )
2 2
2 : 10 10 100 C x y- + - = . 
TH 2: ( ; ), a b I a a R a= - Þ - = 
 Phương trình (C): ( ) ( )2 2 2x a y a a- + + = 
Do ( ) ( ) ( )2 2 2 2(4;2) 4 2 4 20 0 v« nghiÖmÎ Û - + + = Û - + =M C a a a a a 
Bài tập 9: Cho 3 đường thẳng: 1 2: 3 4 1 0, : 4 3 8 0, : 2 1 0D + - = D + - = + - =x y x y d x y . Lập 
phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d và (C) tiếp xúc với 1 2, D D . 
Gợi ý: 
Cách 1: 
Gọi ( ;1 2 )I a a d- Î là tâm của đường tròn (C). 
Do 1 2, D D là các tiếp tuyến của (C) nên suy ra: ( ) ( )1 2; ;D = D Þd I d I giải ra I. 
Cách 2: 
 Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 1D và 
2D . 
2 2 2 2
3 4 1 4 3 8
3 4 1 4 3 8
3 4 4 3
+ - + -
= Û + - = + -
+ +
x y x y
x y x y 
( )
1
2
3 4 1 4 3 8 : 7 0
3 4 1 4 3 8 : 7 7 9 0
+ - = + - - - =é é
Û Ûê ê+ - = - + - - - =ëë
x y x y T x y
x y x y T x y
 Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của d và 1 2, . T T 
Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm (0;1), (2; 3) A B  và có bán kính 
5R  . 
Gợi ý: 
Cách 1: 
Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn (C). Theo giả thiết 
5
IA IB
IA R
=ì
í = =î
Cách 2: 
 Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của AB. 
 Bước 2: Gọi I dÎ (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết 5IA = Þ giải ra I. 
Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm (1;1)I , biết đường thẳng 
: 3 4 3 0 x y    cắt (C) theo dây cung AB với 2.AB  
Gợi ý: 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
 Dễ thấy ( )
22;Δ
4
ABR d I= é ù +ë û 
Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có (0;2), ( 2; 2)A B - - và (4; 2)C - . Gọi H là 
chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường 
tròn qua các điểm H, M, N. 
Gợi ý: 
Bước 1: Xác định tọa độ M, N. 
Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d của MN. 
Dễ thấy tâm I của (C) thuộc d . 
Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và d . Suy ra IM R= . 
Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm (1;1)A và có bán kính 10R  , tâm 
(C) nằm trên Ox. 
Gợi ý: 
 Gọi ( ;0)I a OxÎ là tâm của (C). Theo giả thiết, 10IA = , từ đây giải ra I. 
Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm (2;3)M và tiếp xúc đồng thời với hai 
đường thẳng 1 2: 3 4 1 0, : 4 3 7 0. x y x y        
Gợi ý: 
 Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Theo giả thiết 
( ) ( )
( ) ( )
1
1 2
;Δ
;Δ ;Δ
IM d I R
d I d I
ì = =ï Þí
=ïî
 giải ra I. 
Bài tập 15: Viết phương trình đường tròn đi qua gốc toạ độ, bán kính 5R  và tiếp xúc với 
đường thẳng : 5 0 2x y    . 
Gợi ý: 
 Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Theo giả thiết 
( )
( )
5
;Δ 5
OI R
d I
ì = =ï Þí
=ïî
 giải ra I. 
Bài tập 16: Cho đường thẳng : 3 0 d x y   và đường tròn 2 2( ) : 7 0. C x y x y    
Chứng minh rằng d cắt ( )C . Hãy viết phương trình đường tròn ( ')C đi qua ( 3;0)M  và các 
giao điểm ...  ^ IM tại trung điểm H của đoạn 
AB. Ta có 
2
3
2
ABBHAH === . Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. 
 Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB. Gọi H' là trung điểm của A'B' 
 Ta có: 
2
2 2 3 3' 3
2 2
IH IH IA AH
æ ö
= = - = - =ç ÷
è ø
 Ta có: ( ) ( )2 25 1 1 2 5MI = - + + = 
 và 
2
7
2
35HIMIMH =-=-= 
 3 13' ' 5
2 2
MH MI H I= + = + = 
 Ta có: 2 2 2 21
3 49 52 13
4 4 4
R MA AH MH= = + = + = = 
 43
4
172
4
169
4
3'MH'H'A'MAR 22222 ==+=+== 
 Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: ( ) ( )2 25 1 13x y- + - = hay ( ) ( )2 25 1 43x y- + - = . 
22) (ĐH A-2009) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( ) 2 2: 4 4 6 0C x y x y+ + + + = và 
đường thẳng Δ : 2 3 0x my m+ - + = . Gọi I là tâm đường tròn (C), tìm m để Δ cắt (C) tại hai 
điểm phân biệt A, B sao cho IAB có diện tích lớn nhất. 
Gợi ý: 
Đường tròn ( )C có 
( )2; 2
2
I
R
ì - -ï
í
=ïî
T©m 
B¸n kÝnh 
. 
* Ta có: ( )2 3 0 2 3+ - + = Û = - - +x my m x my m thay vào phương trình ( )C , ta được: 
 ( ) ( )2 22 3 4 2 3 4 6 0 (*)- + + - - + + + =my m y my m y 
và chỉ rõ lúc đó, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. 
Hai giao điểm ( )2 3;- + -A AA my m y và ( )2 3;- + -B BB my m y , với Ay , By là nghiệm của 
phương trình (*). 
* Để ý rằng,   21 1. .sin sin 2sin
2 2IAB
S IA IB AIB R AIB AIB= = = 
Lập luận ( )   02sin sin 1 90IABS AIB AIB AIB IA IBÛ Û = Û = Û ^ max max (**) 
Ta có: ( ) ( )2 1; 2 , 2 1; 2A A B BIA my m y IB my m y= - + - + = - + - +
 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Từ (**) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ). 0 2 1 2 1 2 . 2 0A B A BIA IB my m my m y y= Û - + - - + - + + + =
 
Sử dụng định lí Vi-et đối với phương trình (*), suy ra kết quả. 
23) (ĐH B-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( )2 2 4: 2
5
C x y- + = và hai 
đường thẳng 1 2Δ : 0, Δ : 7 0 x y x y- = - = . Xác định tâm K và bán kính của đường tròn ( )1C , 
biết đường tròn ( )1C tiếp xúc với 1 2Δ , Δ và tâm K thuộc đường tròn (C). 
Gợi ý: 
Gọi tâm của ( )1C là ( ) ( )
2 2 4( ; ) 2
5
K a b C a bÎ Û - + = (1) 
Theo giả thiết, đường tròn ( )1C tiếp xúc với 1 2Δ , Δ ( ) ( ) ( )1 2 1; ;d K d K RÛ D = D = 
15 5 77
5 7 2
5 5 72 50 2
a b a ba b a b a b
a b a b
a b b a a b
é- = -- - = -é êÛ = Û - = - Û Ûê ê- = -ë =ë
Thay vào (1), giải ra kết quả. 
24) (ĐH D-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( )2 2: 1 1C x y- + = . Gọi I là 
tâm của (C). Xác định điểm M thuộc (C) sao cho  030IMO = . 
Gợi ý: 
Cách 1: Gọi ( ) ( ) ( )2 2; : 1 1M x y C x yÎ - + = (1) 
Xét tam giác IAB : 2 2 2 2 22 . . 1 1 2OM IM OI IM OI MIO x y= + - Û + = + - 0cos cos120 
 2 2 3x yÛ + = (2) 
Giải hệ (1) và (2), đưa ra kết quả bài toán. 
Cách 2: Để ý rằng, với các giả thiết đã cho của bài toán, thấy được  030MOI = . 
Lúc đó, điểm M là giao điểm của 2 đường thẳng 1D , 2D qua O và có các hệ số góc tương ứng 
0
1
1tan30
3
k = = và 01
1tan150
3
k = = - . 
Ta có 1D : 
1
3
y x= và 1D : 
1
3
y x= - 
Kết hợp với giả thiết ( ) ( ) ( )2 2; : 1 1M x y C x yÎ - + = (1) , giải hệ và đưa ra kết quả. 
25) (ĐH A-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 : 3 0d x y+ = và 
2 : 3 0d x y- = . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với 1d tại A, cắt 2d tại hai điểm B, C sao cho 
tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T) biết tam giác ABC có diện tích bằng 3
2
và điểm A có hoành độ dương. 
Gợi ý: 
 Để ý rằng: 1 3.
2 2ABC
S AB BC= = (*) 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Do ( )1 : 3 0 ; 3Î + = Þ -A d x y A a a . Mặt khác, (T) cắt 2d tại hai điểm B, C nên gọi 
( ) ( ); 3 , ; 3B b b C c c . 
Ta có: ( ); 3 3AC c a c a= - + và 1d có 1 vectơ chỉ phương ( )1 1; 3da = - . 
Do ABCD vuông tại B nên tâm I của (T) là trung điểm AC. Và (T) là đường tròn tiếp xúc với 
1d tại A nên suy ra: ( ) ( )1. 0 3 3 3 0 2dAC a c a c a c a= Û - - + = Û = -

 . 
Lúc đó: ( )2 ; 2 3C a a- - . 
Từ (*) giải ra được tọa độ A, chọn hoành độ dương. XEM LẠI TÍ!!!! 
26) (ĐH B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm ( )2; 3A và elip ( )
2 2
: 1
3 2
x yE + = . 
Gọi 1 2, F F là các tiêu điểm của (E) ( 1F có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương 
của đường thẳng 1AF với (E), N là điểm đối xứng của 2F qua M. Viết phương trình đường 
tròn ngoại tiếp tam giác 2ANF . 
Gợi ý: 
NhËn thÊy vµ §­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh: 
 lµ giao ®iÓm cã tung ®é d­¬ng cña víi (E), suy ra:
Do N lµ ®iÓm ®èi xøng cña qua M nªn 
1 2 1
1
2
2 2
1( 1;0) (1;0).
3 3
2 3 2 31;
3 3
,
x yF F AF
M AF
M MA MF
F MF MN
+
- =
æ ö
Þ = =ç ÷
è ø
=
( )
suy ra: 
Ph­¬ng tr×nh (T): 
2
2
2
.
2 3 41
3 3
MA MF MN
x y
= =
æ ö
- + - =ç ÷
è ø
27) (ĐH D-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh (3; 7)A - , trực tâm 
(3; 1)H - , tâm đường tròn ngoại tiếp ( 2;0)I - . Xác định tọa độ đỉnh C biết đỉnh C có hoành độ 
dương. 
Gợi ý: 
 Lấy điểm A’ đối xứng với điểm A qua I. Gọi ( ) /; : . 0C x y AC A C =


 (1) . 
Để ý rằng, BHCA’ là hình bình hành nên IA IC= (2) 
Từ (1) và (2) suy ra, kết luận bài toán. 
28) (ĐHDLHV) Cho điểm ( )8; 1A - và đường tròn ( ) 2 2: 6 4 4 0C x y x y+ - - + = 
 a. Viết các phương trình các tiếp tuyến của ( )C kẻ từ A. 
 b. Gọi M, N là các tiếp điểm. Tính độ dài MN. 
29) (CĐMGTW3-2004) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 4 0C x y x y+ + - = và đường thẳng 
: 1 0d x y- + = 
 a. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và tiếp xúc ( )C . 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
 b. Viết phương trình đuờng thẳng song song với d và cắt đường tròn tại hai điểm M, N 
sao cho độ dài MN bằng 2. 
 c. Tìm toạ độ điểm T trên d sao cho qua T kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với ( )C 
tại hai điểm A, Bvà góc ATB bằng 060 . 
30) (CĐCNHN 2004) Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phương trình 
2 0x y+ - = và 2 6 3 0x y+ + = , cạnh BC có trung điểm ( 1;1)M - . Viết phương trình đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
31) (CĐCNHN 2005) Cho tam giác ABC, biết phương trình các cạnh AB, BC, CA lần lượt là 
2 5 0, 2 2 0, 2 9 0x y x y x y+ - = + + = - + = . Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác 
ABC. 
32)(CĐSPQB 2005) Viết phương trình đường tròn ( )C qua 3 điểm (2;3), (4;5), (4;1)A B C 
Chứng tỏ điểm (5;2)K thuộc miền trong của ( )C . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm 
K sao cho d cắt ( )C theo dây cung AB nhận K làm trung điểm. 
33) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 8 8 0C x y x y+ - - - = 
 a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm (4;0)M . 
 b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm (4;6)N . 
34) Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 2 4 9C x y- + - = và điểm (3;4)M 
 a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm M . 
 b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó hợp với chiều dương của 
trục Ox một góc 045 . 
35) (ĐHGTVT) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ - - - = và điểm (2;2)A . Viết phương 
trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm A . Giả sử hai tiếp điểm là MN, tính AMNS . 
Gợi ý: 
Cách 1: Viết phương trình tiếp tuyến 1 2 ,D D của (C) qua A như trên. 
 Xác định tọa độ M, N tương ứng là các tiếp điểm của 1 2 ,D D và (C). 
 Tính AMNS . 
Cách 2: Dùng công thức phân đôi tọa độ, suy ra phương trình MN là: 4 0+ =x . 
 Xét ( ) 22 : ;IMH MH IM d I MNé ùD = - ë û 
 ( ) 22 2;R d I MN MN MHé ù= - Þ =ë û 
 Từ đó suy ra: ( )1 ; .
2
=AMNS d A MN MN 
Cách 3: Dùng công thức  
21 . .sin sin
2 2AMN
RS MA NA MAN MAND = = 
Với  2MAN MAI= . Tính MAI : sin IMMAI
IA
= 
36) Cho hai đường tròn ( ) 2 21 : 4 8 11 0C x y x y+ - - + = và ( ) 2 22 : 2 2 2 0C x y x y+ - - - = 
D2
D1
I
A
N
M
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
 a. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn 
 b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 
37) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( ) ( ) ( )2 2: 1 3 9C x y- + + = và đường thẳng : 1 0d x y- + = . 
Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên d sao cho O là trung điểm MN. Tìm M, N. 
Gợi ý: 
 Gọi ( ; 1)N t t d+ Î . Do M, N đối xứng nhau qua O nên ( ; 1)M t t- - - . 
Mặt khác, ( ) ( )2 2 2
1
( ) 1 1 3 9 2 0
2
t
M C t t t t
t
= -éÎ Û - - + - - + = Û - - = Û ê =ë
Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán 
 (1;0), ( 1;0) M N - và ( 2; 3), (2;3) M N- - 
38) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( ) ( ) ( )2 2: 1 1 1C x y+ + - = và đường thẳng : 1 0d x y- - = . 
Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên d sao cho M, N đối xứng nhau qua Ox. Tìm M, N. 
Gợi ý: 
 Gọi ( ; 1)N t t d- Î . Do M, N đối xứng nhau qua Ox nên ( ; 1)M t t- + . 
Mặt khác, ( ) ( )2 2 2
1
( ) 1 1 1 1 0
0
t
M C t t t t
t
= -éÎ Û + + - + - = Û + = Û ê =ë
Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán 
 ( 1;2), ( 1; 2) M N- - - và (0;1), (0; 1) M N - 
39) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho tam giác ABC có (1;0)A , hai đường thẳng tương ứng chứa 
đường cao kẻ từ B, C của tam giác thứ tự có phương trình: 2 1 0x y- + = và 3 1 0x y+ - = . 
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Gợi ý: 
Phương trình : 3 1 ( 5; 2) AB x y B- = Þ - - . 
Phương trình : 2 ( 1;4) 2AC x y C+ = Þ - . 
Sử dụng kỹ năng gọi đường tròn đi qua 3 điểm (1;0)A , ( 5; 2)B - - và ( 1;4)C - ta tìm được 
phương trình ( ) 2 2 36 10 43: 0
7 7 7
C x y x y+ + - - = . 
40) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( ) 2 2 3:
2
C x y+ = và parabol 2( ) :P y x= . Tìm 
trên (P) điểm M sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C) và hai tiếp 
tuyến này tạo với nhau một góc 600. 
Gợi ý: 
Cách 1: Gọi ( )20 0; ( )M x x PÎ và A, B là hai tiếp điểm. Dễ thấy yêu cầu bài toán khi và chỉ khi 

060 2 6.AMB OM OA= Û = = 
 Từ đó ta tìm được { }0 2; 2x Î - . 
Vậy có hai điểm thỏa y.c.b.t là ( ) ( )1 22; 2 , 2; 2 M M - . 
Cách 2: Tương tự cũng tính được  060 2 6.AMB OM OA= Û = = 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Suy ra ( ) ( )/ ; 6M C OÎ º vậy điểm M là giao điểm của hai đường: 
( )/ 2 2: 6C x y+ = và 2( ) :P y x= . 
41) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( ) 2 2: 6 4 8 0C x y x y+ - - + = và đường thẳng 
: 2 6 0d x y- + = . Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d 
có giá trị nhỏ nhất. 
Gợi ý: 
 Đường tròn (C) có tâm (3;2)I , bán kính 5R = . Hai tiếp tuyến của (C) song song với 
d là 1Δ : 2 1 0 x y- + = và 2Δ : 2 9 0 x y- - = . 
 Xác định các tiếp điểm 1 2, M M tương ứng 1Δ và 2Δ với (C). So sánh ( )1;d M d và 
( )2;d M d . 
Đáp số: ( )1 1;3M 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com