Chuyên đề Phương trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ
PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
PHAÀN 0: 
COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC
1. Baûng giaù trò cuûa caùc goùc ñaëc bieät
 Góc
GTLG
00
(0)
300
450 
600
900
Sin
0
1
Cos
1
0
2. Caùc heä thöùc löôïng giaùc cô baûn
Heä quaû:
3. Giaù trò caùc cung, goùc lieân quan ñaëc bieät
 	“Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch p”
3. Coâng thöùc löôïng giaùc
Công thức cộng:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb 
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb 
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb 
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) = 
tan(a + b) = 
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa Þ 
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 
 = 1 – 2 sin2a
tan2a = 
Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin3a
cos3a = 4cos3a – 3cosa
Công thức hạ bậc:
cos2a = 
sin2a = 
tg2a =
Công thức tính sinx, cosx, tanx, cotx theo :
sinx = 
cosx = 
tanx = 
cotx = 
Công thức biến đổi tổng thành tích:
Công thức biến đổi tích thành tổng:
PHAÀN 1: 
CAÙC HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC
1. Haøm soá y = sinx
Tập xác định . 
Tập giá trị là [–1; 1]. 
Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ . 
Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng . 
Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua gốc tọa độ O. 
2. Haøm soá y = cosx
Tập xác định . 
Tập giá trị là [–1; 1]. 
Là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kỳ . 
Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua trục tung Oy.
3. Haøm soá y = tanx
Tập xác định . 
Tập giá trị là . 
Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ .
Đồng biến trên mỗi khoảng .
Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.
4. Haøm soá y = cotx
Miền xác định . 
Tập giá trị là . 
Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ . 
Nghịch biến trên mỗi khoảng .
Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.
5. Chu kì cuûa haøm soá löôïng giaùc
5.1. Định nghĩa: 
Ta nói hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x).
Ví dụ 1: Hàm số y = sin5x có chu kỳ vì:
. Hơn nữa, là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ .
5.2. Chú ý:
Hàm số và đều là những hàm số tuần hoàn với cùng chu kì .
Hàm số và đều là những hàm số tuần hoàn với cùng chu kì .
Ví dụ 2: 
Hàm số y = cos7x có chu kỳ . 
Hàm số có chu kỳ .
Hàm số y = cotg6x có chu kỳ .
Hàm số có chu kỳ .
PHAÀN 2: 
PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A. BIEÅU DIEÃN CUNG – GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC TREÂN ÑÖÔØNG TROØN LÖÔÏNG GIAÙC
Nếu cung (hoặc góc) lượng giác có số đo là (hoặc ) với , thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau.
Ví dụ 1. Nếu sđ thì có 1 điểm M tại vị trí (ta chọn k = 0).
Ví dụ 2. Nếu sđ thì có 2 điểm M tại các vị trí và (ta chọn k = 0, k = 1).
Ví dụ 3. Nếu sđ thì có 3 điểm M tại các vị trí , và (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2).
Ví dụ 4. Tổng hợp hai cung và .
Giải
Biểu diễn 2 cung và trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm , , và cách đều nhau.
Vậy cung tổng hợp là: .
B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
Œ Phöông trình löôïng giaùc cô baûn:
1) 
2) 
3) 
4) 
Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 8) 
Ví dụ. Giải phương trình: (2).
Giải
Điều kiện: .
Ta có: .
So với điều kiện và tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) có họ nghiệm là: .
Chú ý: Các họ nghiệm và cũng là các họ nghiệm của (2).
 Moät soá daïng phöông trình löôïng giaùc:
1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác:
1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0
3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0
Phương pháp giải toán:
Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có). 
Bước 2. Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0.
Ví dụ 1. Giải phương trình (1).
Giải
Đặt t = sinx, ta có:
 (loại)
 .
Vậy (1) có các họ nghiệm .
Ví dụ 2. Giải phương trình (2)
Giải
Đặt t = cot3x, ta có phương trình : 
Vậy (2) có các họ nghiệm là và , .
Ví dụ 3. Giải phương trình (3).
Giải
Điều kiện , ta có: 
.
Đặt t = tgx, ta được:
 (thỏa điều kiện).
Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau.
Vậy (3) có họ nghiệm là .
2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx :
asinx + bcosx + c = 0 (*)
(a và b khác 0)
Phương pháp giải toán:
Cách 1:
Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt .
Bước 2. Biến đổi (*) .
Cách 2:
Bước 1. Chia hai vế (*) cho và đặt: .
Bước 2. Biến đổi (*) .
Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
a2 + b2 c2
Ví dụ 1. Giải phương trình (1).
Giải
Cách 1
 .
Cách 2
.
Vậy (1) có họ nghiệm .
Ví dụ 2. Giải phương trình (2).
Cách 1
 .
Cách 2
 . Vậy (2) có các họ nghiệm .
3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx :
3.1. Đẳng cấp bậc hai:
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*)
Phương pháp giải toán:
Cách 1:
Bước 1. Kiểm tra có là nghiệm của (*) không.
Bước 2. Với , chia hai vế của (*) cho cos2x ta được: (*) atg2x + btgx + c = 0.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x.
Ví dụ 1. Giải phương trình:
 (1).
Giải
Nhận thấy không thỏa (1).
Với , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:
 . Vậy các họ nghiệm của (1) là .
Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + 2sinxcosx + 1 = cos2x (2).
Giải
Cách khác:
.
Vậy (2) có các họ nghiệm là .
Chú ý:
Đối với mỗi cách giải khác nhau, ta có thể thu được nghiệm ở các dạng khác nhau nhưng sau khi tổng hợp nghiệm thì chúng giống nhau.
3.2. Đẳng cấp bậc cao:
Phương pháp giải toán:
Cách 1:
Bước 1. Kiểm tra có là nghiệm của phương trình không.
Bước 2. Với , chia hai vế cho cosnx (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc n theo tgx.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trình tích.
Ví dụ 3. Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3).
Giải
Cách 1
Nhận thấy không thỏa (3).
Với , chia hai vế của (3) cho cos5x ta được:
 .
Cách 2
 .
Vậy (3) có họ nghiệm là .
Chú ý: 
 (đẳng cấp).
4. Dạng đối xứng đối với sinx và cosx:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*)
Phương pháp giải toán:
Bước 1. Đặt t = sinx + cosx = và .
Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t.
Chú ý: 
Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx.
Ví dụ 1. Giải phương trình: ( + 1)(sinx + cosx) + sin2x + + 1 = 0 (1).
Giải
Đặt t = sinx + cosx và sin2x = t2 – 1.
Thay vào (1) ta được: .
 . 
Vậy (1) có các họ nghiệm: , , .
Ví dụ 2. Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2)
Giải
Đặt t = sinx – cosx và .
Thay vào (2) ta được: 
Vậy (2) có các họ nghiệm , .
5. Dạng phương trình khác:
Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi để đưa về các dạng đã biết cách giải.
Ví dụ 1. Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1).
Giải
.
Vậy (1) có họ nghiệm là .
Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2).
Giải
 . 
Vậy (2) có họ nghiệm là , .
Ví dụ 3. Giải phương trình (3) 
Giải
c¸C D¹NG PH¦¥NG TR×NH l­îng gi¸c
š&›
I. Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi mét hµm sè l­îng gi¸c:
Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 	
h) 	i) 	j) 
II. Ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l­îng gi¸c:
Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
k) 	l) 	
m) 	n) 
p) 	q) 
Bµi 3. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
III. Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx:
Bµi 4. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 	
g) 	h) 	
i) 	j) 	
k) 
Bµi 5. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
a) 	b) 
Bµi 6. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) b) 	c) d) 
IV. Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc Hai ®èi víi sinx vµ cosx:
Bµi 7. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 	c) d) 	e) 	
f) 	g) 
h) 	
i) 
V. Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng vµ nöa ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx:
Bµi 8. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 	g) 
Bµi 9. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 
f) 	g) 
Bµi 10. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 	
c) 	d) 	e) 	
f) 	g) 	
h) 	i) 	
Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c
š&›
Bµi 1: T×m c¸c nghiÖm xÎ(0;2p) cña ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
Bµi 3: T×m c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 4: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 
a. b. 
c. 
d. e.
Bµi 5: T×m tæng c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh sau: 
Bµi 6: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
a.
b. c. 
d. e. 
Bµi 7: T×m mäi nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: tho¶ m·n bÊt ph­¬ng tr×nh 
Bµi 8: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
Bµi 9: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 
a. 	b. 
c. 	d.
e. f.
Bµi 10: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 
a. 
b. 
Bµi 11: T×m tæng c¸c nghiÖm x cña ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 12: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
a. 
b. 
c. 
d. e. 
f. g. h. 
i. 
Bµi 13: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
a. b. 
c. d. 
Bµi 14: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
a. 
b. 
c. 
d. 
Bµi 15: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
a. 
b. 
c. 
d. 
e. f. 
Bµi 16: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
a. b. 
c. d. 
e. f. 
Bµi 17: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
a. 
b. 
c. 
Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c trong c¸c ®Ò thi ®¹i häc
(TrÝch trong ®Ò thi tuyÓn sinh vµo c¸c tr­êng §¹i häc tõ 1996 tíi nay)
š&›
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
a. §HBK97: 
b. §HBK98: 
c. §HBK 2000: 
Bµi 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
a. PVBC 98: 
b. §HCS 99: T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: tho¶ m·n 
Bµi 3: §HCS 2001 T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:
 tho¶ m·n hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh
Bµi 4: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
a. BCVT 98: b.CVT 99: 
c. BCVT 01: 
d. D­îc 98: 
e. D­îc 99: 
f. D­îc 01: 
g. §µ N½ng 97: 
h. §H §µ N½ng 2001: ; 
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
§HGT 97: ; 
§HGT 98: 
§HGT 99: 
§HGT 2000: 
§HGT 2001: 
Bµi 6: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
a. HVHC 2001: b. §H HuÕ 98: 
c. §H HuÕ 2000: 
Bµi 7: §H HuÕ 2001 – Cho ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c 
a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1. 
b. Chøng minh r»ng víi mäi tham sè m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn th× ph­¬ng tr×nh trªn lu«n cã nghiÖm.
Bµi 8: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:
a. §HKTQD 97: 
b. §HKTQD 98: 
c. §HKTQD 99: 
d.KTQ00: 
e. §HKTQD 2001: 
Bµi 9: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:
§HKT 97: 
§HKT 99: 
§HKT 2000: 
Bµi 10: §HKT 97 – Cho ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi . 
Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm?
Bµi 11: §HKT 2001-Gi¶i vµ biÖn luËn theo m ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 12: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:
HVKTQS 98: 
HVKTQS 99: 
HVKTQS 2000: 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1. 
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm trong ®o¹n 
HVKTQS 2001: 
Bµi 13: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
§H LuËt 98: 
 §H LuËt 99: 
Bµi 14: §H LuËt TPHCM 2001: Cho ph­¬ng tr×nh: 
- Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 2. - T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc .
Bµi 15: §H Má §C:
a.97: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
b.98: Cho ph­¬ng tr×nh 
+ Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi . +T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó mäi nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trªn ®Òu lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .
c.99: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
d.00: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
e.01: e.1)Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
e.2)Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i tam gi¸c mµ c¶ ba gãc cña nã ®Òu lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 17: HVNHTPHCM.Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
Bµi 18: N.Th­¬ng a. 1998: GPT 
b. 1999: GPT 
c. 2000: GPT 
Bµi 19 §HNN a. 1997: Cho ph­¬ng tr×nh . X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm vµ t×m nghiÖm cña nã khi m=-1.
b. 1998: GPT c. 2000: 
Bµi 20. §HNL©mHCM 2001: GPT 
Bµi 21. HVQHQT
a.97: GPT b.98: 
c. 00: Cho hµm sè . TÝnh ®¹o hµm f'(x) vµ gi¶i PT f'(x)=0
Bµi 22.HVQY2000 GPT 
Bµi 23.§HQG
a.97 GPT b.98 GPT 
c.99: d.00. 
e. 01: 
Bµi 24.§HQGHCM
a. 97: Cho PT 
+BiÕt lµ mét nghiÖm cña pt trªn. H·y gi¶i ph­¬ng tr×nh trong tr­êng hîp ®ã.
+Cho biÕt lµ mét nghiÖm cña pt trªn. H·y t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña pt trªn tháa m·n:
b.99: Cho 
+GPT f(x)=0 víi m=-3.
+ TÝnh theo m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña f(x). Tõ ®ã t×m m sao cho 
c.00: Cho pt 
+ Gpt khi m=-1. +T×m m sao cho pt trªn cã ®óng hai nghiÖm .
Bµi 25. §HSPHN
a.00: T×m nghiÖm cña pt tháa m·n 
b.01: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña 
Bµi 26. §HSP2 a.99: Gpt 
 b.00. T×m cña pt 
Bµi 27. SPHCM 00: Gpt 
Bµi 28. SPVinh a.97. Gi¶i hÖ b.98. 
c.99: d.00: 
Bµi 29.TCKT
a.97. b.99. c.00. 
Bµi 30. TNguyªn a.97. 
b.00. +Gi¶i pt
 + T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬n tr×nh
Bµi 31. §HT.M¹i. a.97: b.99. 
c.00. d.01.
Bµi 32. Thñy Lîi a.97. Cho 	
+ TÝnh + Gi¶i ph­¬ng tr×nh + T×m ®iÒu kiÖn ®Ó pt cã nghiÖm.
b.98. c.99. d.00. 
e.01. 
Bµi 33.X©y dùng a. 97. 
b.98. Gi¶i vµ BL c.99. 
Bµi 34: §Ò chung cña Bé GD-§T
a.2002A: T×m nghiÖm thuéc kho¶ng cña pt: 
b.2002B: Gpt 
c.2002D: T×m nghiÖm cña pt: 
d.2003A. Gpt 
e.2003B. Gpt f.2003D. Gpt 
g. 2004B. Gpt 
h.2004D. Gpt