Chuyên đề: Số phức & ứng dụng

 Cao Minh Quang 
THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long 
CHUYEÂN ÑEÀ:Â ÀÂ ÀÂ À 
SOÁ PHÖÙC & ÖÙNG DUÏÁ Ù Ù ÏÁ Ù Ù ÏÁ Ù Ù ÏNG 
02/2009 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 2 
Cao Minh Quang 
THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long 
CHUYEÂN ÂÂÂ ÑEÀ:ÀÀÀ 
SOÁ PHÖÙC & ÖÙNG DUÏÁ Ù Ù ÏÁ Ù Ù ÏÁ Ù Ù ÏNG 
02/2009 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 3 
LỜI NÓI ðẦU 
***** 
 Giải bài toán tìm nghiệm phương trình ñại số là một trong những bài toán cổ ñiển ñược rất 
nhiều nhà toán học quan tâm. Trong khi các phương trình tuyến tính bậc nhất luôn có lời giải trên 
tập số thực thì phương trình bậc hai, chẳng hạn phương trình 2 1 0x + = , không có nghiệm trên 
tập hợp các số thực. 
 ðến tận thế kỉ XVIII, Leonhard Euler (1707 – 1783), thiên tài toán học Thụy Sĩ, ñã có 
bước ñột phá khi ñịnh nghĩa số 1− , ñược kí hiệu là i , còn gọi là ñơn vị ảo. ðiều này ñã giúp 
việc giải phương trình ñại số trở nên dễ dàng hơn. Ví dụ phương trình ñã xét 2 1 0x + = có 
nghiệm là i và i− . 
 Với sự xuất hiện của số i , một trong những kí hiệu thông dụng nhất trong toán học, ñã dẫn 
ñến việc ñịnh nghĩa số phức dạng z a bi= + , trong ñó ,a b là các số thực. 
 Số phức có rất nhiều ứng dụng trong toán học, gần như trong tất cả các lĩnh vực: ðại Số, 
Số Học, Giải Tích, Hình Học Bắt ñầu từ năm học 2008 – 2009, số phức ñược ñưa vào dạy 
chính thức ở các lớp 12 phổ thông trung học. 
 Chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài: “Số phức và Ứng dụng” cho hoạt ñộng nghiên cứu của 
cá nhân trong năm học 2008 – 2009. ðề tài gồm ba chương. Chương 1 là phần giới thiệu tổng 
quan về số phức: cách xây dựng số phức, các phép toán, dạng ñại số, dạng lượng giác và dạng lũy 
thừa của số phức một cách chi tiết, kèm theo ñó là các bài toán ví dụ ñiển hình. Chương 2 và 
chương 3 nêu lên mối quan hệ giữa số phức và hình học, cuối mỗi chương là các bài toán hình 
học ñược giải bằng công cụ số phức, ñó là những bài toán hình học hay và khó từ các ñề thi học 
sinh giỏi quốc gia và quốc tế trong thời gian gần ñây. 
 Mục tiêu chính của ñề tài này là cung cấp cho quý thầy cô giáo và các em học sinh, ñặc 
biệt học sinh chuyên toán, có một tài liệu tham khảo tốt về số phức cũng như ứng dụng của số 
phức. Tuy nhiên, trong quá trình biên soạn, chắc hẳn tài liệu vẫn còn những thiếu sót cần ñược 
ñiều chỉnh và bổ sung. Chúng tôi luôn mong nhận ñược những ý kiến ñóng góp quý báu và chân 
tình của quý thầy cô giáo và các em học sinh. 
Mọi góp ý xin liên hệ tác giả theo ñịa chỉ e-mail: kt13quang@yahoo.com 
Xin chân thành cám ơn! 
Vĩnh Long, Xuân 2009 
 Cao Minh Quang 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 4 
Mục lục 
***** 
Trang 
Lời nói ñầu.....................................................................................................................................3 
Mục lục ..........................................................................................................................................4 
Chương 1. ðịnh nghĩa và các phép toán........................................................................................5 
Chương 2. Số phức và hình học....................................................................................................17 
Chương 3. Tích thực và tích phức của các số phức ......................................................................31 
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................................36 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 5 
Chương 1. ðịnh Nghĩa Và Các Phép Toán 
1.1 ðịnh nghĩa. 
Xét tập hợp ( ){ }2 , ,x y x y= × = ∈ℝ ℝ ℝ ℝ . Hai phần tử ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y thuộc 2ℝ bằng nhau 
khi và chỉ khi 1 2x x= và 1 2y y= . Các phép toán cộng và nhân ñược ñịnh nghĩa trên 
2ℝ như sau: 
Với mọi ( ) ( ) 21 1 1 2 2 2, , ,z x y z x y= = ∈ℝ , ta có 
• ( ) ( ) ( ) 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , ,z z x y x y x x y y+ = + = + + ∈ℝ 
• ( ) ( ) ( ) 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1, , ,z z x y x y x x y y x y x y⋅ = ⋅ = − + ∈ℝ 
Phần tử 21 2z z+ ∈ℝ ñược gọi là tổng của 1 2,z z , phần tử 
2
1 2z z ∈ℝ ñược gọi là tích của 1 2,z z . 
Chú ý. Nếu ( ) ( )2 21 1 2 2,0 , ,0z x z x= ∈ = ∈ℝ ℝ thì ( )1 2 1 2 ,0z z x x= . 
 Nếu ( ) ( )2 21 1 2 20, , 0,z y z y= ∈ = ∈ℝ ℝ thì ( )1 2 1 2 ,0z z y y= − . 
Ví dụ. Nếu ( ) ( )1 25,6 , 1, 2z z= − = − thì ( ) ( ) ( )1 2 5,6 1, 2 4,4z z+ = − + − = − và 
( )( ) ( ) ( )1 2 5,6 1, 2 5 12,10 6 7,16z z = − − = − + + = . 
ðịnh nghĩa. Tập hợp 2ℝ với các phép toán cộng và nhân như trên ñược gọi là tập hợp các số 
phức, ñược kí hiệu là ℂ . Bất kì một phần tử ( ),z x y= ∈ℂ ñược xem là một số phức. 
Ngoài ra, ta còn kí hiệu ( ){ }* \ 0,0=ℂ ℂ . 
1.2 Một số tính chất cơ bản 
1.2.1. Tính chất ñối với phép toán cộng 
(a) Tính giao hoán. 1 2 2 1z z z z+ = + , với mọi 1 2,z z ∈ℂ . 
(b) Tính kết hợp. ( ) ( )1 2 3 1 2 3z z z z z z+ + = + + , với mọi 1 2 3, ,z z z ∈ℂ . 
(c) Phần tử ñơn vị. Tồn tại duy nhất số phức ( )0 0,0= sao cho 0 0z z z+ = + = , với mọi 
z ∈ℂ . 0 là phần tử ñơn vị ñối với phép cộng. 
(d) Phần tử ñối. Với mọi z ∈ℂ , tồn tại duy nhất z− ∈ℂ sao cho ( ) ( ) 0z z z z+ − = − + = . 
Khi ñó ta nói z− là số ñối (phần tử ñối) của z . 
Từ ñây, ta có thể ñịnh nghĩa phép trừ của hai số phức ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ,z x y z x y= = như sau: 
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , ,z z x y x y x x y y− = − = − − ∈ℂ 
1.2.2. Tính chất ñối với phép toán nhân 
(a) Tính giao hoán. 1 2 2 1z z z z= , với mọi 1 2,z z ∈ℂ 
(b) Tính kết hợp. ( ) ( )1 2 3 1 2 3z z z z z z= , với mọi 1 2 3, ,z z z ∈ℂ . 
(c) Phần tử ñơn vị. Tồn tại duy nhất số phức ( )1 1,0= sao cho .1 1.z z z= = , với mọi z ∈ℂ . 
1 là phần tử ñơn vị ñối với phép nhân. 
(d) Phần tử ñối. Với mọi ( ) *,z x y= ∈ℂ , tồn tại duy nhất ( )1 *', 'z x y− = ∈ℂ sao cho 
1 1
. 1z z z z− −= = . Khi ñó ta nói 1z− là số ñối (phần tử ñối) của z . 
Dựa vào mối quan hệ của 1,z z− như trên, ta có thể xác ñịnh ñược 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 6 
1 *
2 2 2 2
1
,
x y
z
z x y x y
−
 = = ∈  + + 
ℂ . 
Từ ñây, ta có thể ñịnh nghĩa phép chia của hai số phức. Xét hai số phức 
( ) ( ) *1 1 1, , ,z x y z x y= ∈ = ∈ℂ ℂ . 
Khi ñó ( )11 1 1 1 11 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2. , , ,
z x y x x y y x y y x
z z x y
z x y x y x y x y
−
   + − +  = = = ∈     + + + +   
ℂ . 
Ví dụ. Nếu ( )1,2z = thì 1 2 2 2 2
1 2 1 2
, ,
1 2 1 2 5 5
z−
   − −  = =       + +
. 
Nếu ( ) ( )1 21,2 , 3,4z z= = thì 1
2
3 8 4 6 11 2
, ,
9 16 9 16 25 25
z
z
   + − +   = =       + +
. 
* Lũy thừa nguyên của số phức. Lũy thừa nguyên của một số phức *z ∈ℂ ñược ñịnh nghĩa 
như sau: 
( ) ( ) ( )0 1 2 11, , . , . ... ,
n
n n
n
z z z z z z z z z z n z z n
−+ − −= = = = ∈ = ∈ℤ ℤ . 
Trường hợp 0z = , ta ñịnh nghĩa 0 0,n n += ∈ℤ . 
Các tính chất của lũy thừa nguyên của số phức cũng tương tự như số thực. 
(e) Tính phân phối của phép nhân ñối với phép cộng. 
( )1 2 3 1 2 1 3z z z z z z z+ = + , với mọi 1 2 3, ,z z z ∈ℂ . 
1.3 Biểu diễn số phức dưới dạng ñại số 
Theo ñịnh nghĩa trên, mỗi số phức tương ứng với một cặp số ( ) 2,x y ∈ℝ , ñiều này sẽ gây ít 
nhiều khó khăn cho việc trình bày các kiến thức về số phức. Vì lẽ ñó, ta sẽ biểu diễn các số phức 
dưới dạng ñại số. 
Xét tập hợp { }0×ℝ , cùng với phép toán cộng và nhân trên 2ℝ như trên. Khi ñó hàm số 
{ } ( ) ( ): 0 , ,0f f x x→ × =ℝ ℝ 
là song ánh. Hơn nữa, ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0x y x y+ = + và ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0x y xy⋅ = . 
Ta nhận thấy rằng các phép toán trên { }0×ℝ cũng tương tự như trên ℝ . Từ ñây, ta sẽ ñồng 
nhất cặp số ( ),0x với số x , ta viết ( ),0x x= . 
Bây giờ ta ñặt ( )0,1i = . Khi ñó ta có 2 1i =− . Thật vậy, ( ) ( ) ( )2 0,1 0,1 1,0 1i = ⋅ = − =− . 
Ta có mệnh ñề sau. 
Mệnh ñề. Mọi số phức ( ),z x y= ñều ñược biểu diễn duy nhất dưới dạng z x iy= + . 
Chứng minh. Thật vậy, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,0 0, ,0 0,1 ,0z x y x y x y x iy= = + = + ⋅ = + . 
Khi số phức z ñược biểu diễn dưới dạng z x iy= + , ta gọi x là phần thực của z và kí hiệu là 
( )Rex z= , còn y là phần ảo và ñược kí hiệu là ( )Imy z= ; i ñược gọi là ñơn vị ảo. 
Từ cách biển diễn trên, ta cũng có một số nhận xét ñơn giản sau: 
a) ( ) ( )1 2 1 2Re Rez z z z= ⇔ = và ( ) ( )1 2Im Imz z= . 
b) ( ) ( )Im 0, \ Im 0z z z z∈ ⇔ = ∈ ⇔ ≠ℝ ℂ ℝ . 
Ngoài ra ta có một số tính chất về các phép toán các số phức ñược biểu diễn dưới dạng ñại số. 
1. Phép cộng 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 7 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z x iy x iy x x y y i+ = + + + = + + + . 
Nhận xét. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2Re Re Re ;Im Im Imz z z z z z z z+ = + + = + . 
2. Phép nhân 
( )( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1.z z x iy x iy x x y y x y x y i= + + = − + + . 
Nhận xét. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1Re Re Re Im Im ;Im Re Im Re Imz z z z z z z z z z z z= − = + . 
Ngoài ra nếu λ là một số thực và z x yi= + thì ta có ( )z x yi x yiλ λ λ λ= + = + . 
3. Phép trừ 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z x iy x iy x x y y i− = + − + = − + − . 
Nhận xét. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2Re Re Re ;Im Im Imz z z z z z z z− = − − = − . 
1.4 Lũy thừa của i 
Từ tính chất 2 1i =− , ta dễ dàng nhận thấy rằng { }1, 1, ,ni i i∈ − − , trong ñó n là một số nguyên 
dương; trường hợp n là một số nguyên âm, ta viết ( ) ( ) ( )1 1
n n nni i i i
− − −−= = = − . 
Ví dụ. Tìm số phức ; ,z x yi x y= + ∈ℤ thỏa mãn ñiều kiện 3 18 26z i= + . 
Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )3 23 2 2 2z x yi x yi x yi x y xyi x yi= + = + + = − + + = 
 ( ) ( )3 2 2 33 3x xy x y y= − + − . 
Từ ñiều kiện 3 18 26z i= + , ta nhận ñược hệ phương trình 
3 2
2 3
3 18
3 26
x xy
x y y
 − =
 − =
. 
Từ phương trình ñầu của hệ, ta nhận thấy 0, 0x y≠ ≠ . Bằng cách ñặt y tx= , từ phương trình 
( ) ( )2 3 3 218 3 26 3x y y x xy− = − , ta có ( ) ( )3 218 3 26 1 3t t t− = − hay ( )( )23 1 3 12 13 0t t t− − − = . 
Phương trình này có nghiệm hữu tỉ 1
3
t = . Thế vào phương trình ñầu của hệ, ta nhận ñược 1y = , 
suy ra 3x = . Do ñó 3z i= + . 
1.5 Số phức liên hợp 
Cho số phức z x yi= + , khi ñó số phức có dạng z x yi= − ñược gọi là số phức liên hợp của 
số phức z . Ta có mệnh ñề sau. 
Mệnh ñề. Với mọi số phức 1 2, ,z z z ta có các tính chất sau: 
(1) z z z= ⇔ ∈ℝ . 
(2) z z= . 
(3) .z z ∈ℝ . 
(4) 1 2 1 2z z z z+ = + . 
(5) 1 2 1 2. .z z z z= . 
(6) ( )
11z z
−
− = . 
(7) 1 1 2
2 2
, 0z z z
z z
  = ≠   
. 
(8) ( ) ( )Re , Im
2 2
z z z z
z z
i
+ −
= = . 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 8 
Việc chứng minh các tính chất trên tương ñối dễ dàng, dựa trên cơ sở của ñịnh nghĩa. 
Nhận xét. Với mọi số phức *z ∈ℂ , ta có 
2 2 2 2 2 2
1
.
z x yi x y i
z x y x y x yz z
−
= = = −
+ + +
. 
Với mọi số phức *2z ∈ℂ , ta có 
( )( )1 1 2 21 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 22 2
.
.
x y i x y iz z z x x y y x y x y i
z x y x y x yz z
+ − + − +
= = = +
+ + +
. 
1.6 ðộ lớn (modul) của số phức 
Số 2 2z x y= + ... ều , ,MND PQE RSF . 
Chứng minh rằng DEF là tam giác ñều. 
8. Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác hình vuông ABEF và ADGH lần lượt 
có tâm là O và Q . M là trung ñiểm của các ñoạn thẳng BD . Chứng minh rằng OMQ là tam 
giác vuông cân tại M . 
9. [IMO shortlist 23] Về phía ngoài của tứ giác lồi ABCD , ta dựng các tam giác ñều ,ABM CDP ; 
về phía trong của tứ giác, ta dựng các tam giác ñều ,BCN ADQ . Chứng minh rằng tứ giác 
MNPQ là hình bình hành. 
10. Cho ABC là tam giác nhọn. Trên cùng một phía của ñường thẳng AC chứa ñiểm B , ta dựng 
các tam giác vuông cân , ,DAB BCE AFC tại các ñỉnh , ,A C F . Chứng minh rằng , ,D E F thẳng 
hàng. 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 31 
Chương 3. Tích Thực Và Tích Phức Của Các Số Phức 
. 
3.1 Tích thực của hai số phức 
Cho a và b là hai số phức. 
ðịnh nghĩa. Ta gọi tích thực của hai số phức a và b là một số ñược xác ñịnh bởi hệ thức 
( )12a b ab ab⋅ = +
. 
Dễ thấy rằng ( ) ( ) ( )1 1 12 2 2a b ab ab ab ab ab ab a b⋅ = + = + = + = ⋅ . Do ñó, a b⋅ là một số thực, 
ñây chính là cơ sở của ñịnh nghĩa này. 
Các tính chất sau ñây ñược suy ra từ ñịnh nghĩa. 
Mệnh ñề 1. Cho các số phức , , ,a b c z . Khi ñó 
(a) 2a a a⋅ = . 
(b) a b b a⋅ = ⋅ (tích thực có tính chất giao hoán). 
(c) ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅ (tích thực có tính chất phân phối với phép cộng). 
(d) ( ) ( ) ( ),a b a b a bα α α α⋅ = ⋅ = ⋅ ∈ℝ . 
(e) 0a b⋅ = khi và chi khi OA OB⊥ , trong ñó ( ) ( ) ( )0 , ,O A a B b . 
(f) ( ) ( ) ( )2az bz z a b⋅ = ⋅ . 
Chú ý. Giả sử ( ) ( ),A a B b . Khi ñó a b⋅ là phương tích của ñiểm ( )0O với ñường tròn ñường 
kính AB . Thật vậy, gọi 
2
a bM
 +    
 là trung ñiểm của [ ]AB , thì ñiểm M là tâm của ñường tròn, 
và 1 1
2 2
r AB a b= = − là bán kính. Phương tích của ñiểm ( )0O với ñường tròn là 
( )( ) ( )( )2 22 2
2 2 4 4 2
a b a b a b a ba b a b ab baOM r a b
+ + − −+ − +
− = − = − = = ⋅ . 
Mệnh ñề 2. Cho bốn ñiểm phân biệt ( ) ( ) ( ) ( ), , ,A a B b C c D d . Các phát biểu sau là tương ñương 
(a) AB CD⊥ ; 
(b) ( ) ( ) 0b a c d− ⋅ − = ; 
(c) *b a i
d c
−
∈
−
ℝ , tức là Re 0b a
d c
 −  =  −
. 
Chứng minh. Dựng các hình bình hành OABM và OCDN . Khi ñó ( ) ( ),M b a N d c− − . 
Ta có AB CD⊥ khi và chỉ khi OM ON⊥ hay 0m n⋅ = hay ( ) ( ) 0m n b a d c⋅ = − ⋅ − = . 
Dễ thấy rằng ( ) ( )b c⇔ theo ñịnh nghĩa của tích thực. 
Mệnh ñề 3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong ñường tròn có tâm ( )0O trong mặt phẳng phức. 
Giả sử ( ) ( ) ( ), ,A a B b C c . Khi ñó, tọa ñộ của trực tâm H là h a b c= + + . 
Chứng minh. Sử dụng tích thực của các số phức, phương trình của các ñường cao ', 'AA BB và 
'CC là 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )' : 0, ' : 0, ' 0AA z a b c BB z b c a CC z c a b− ⋅ − = − − = = − − = . 
Ta sẽ chứng minh H có tọa ñộ h a b c= + + nằm trên các ñường cao. Thật vậy, ta có 
( ) ( ) 0h a b c− ⋅ − = khi và chỉ khi ( ) ( ) 0b c b c+ ⋅ − = hay 0b b c c⋅ − ⋅ = hay 2 2b c= . 
Do ñó, 'H AA∈ . Tương tự, 'H BB∈ và 'H CC∈ . 
3.2 Tích phức của hai số phức 
Cho a và b là hai số phức. 
ðịnh nghĩa. Ta gọi tích phức của hai số phức a và b là một số ñược xác ñịnh bởi hệ thức 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 32 
( )12a b ab ab× = − . 
Dễ thấy rằng ( ) ( )1 1 02 2
a b a b ab ab ab ab× + × = − + − = . Do ñó, ( )Re 0a b× = , ñây chính là 
cơ sở của ñịnh nghĩa này. 
Các tính chất sau ñây ñược suy ra từ ñịnh nghĩa. 
Mệnh ñề 1. Cho các số phức , , ,a b c z . Khi ñó 
(a) 0a b× = khi và chỉ khi 0a = hoặc 0b = hoặc a bλ= , với λ là một số thực. 
(b) a b b a× =− × (tích phức có tính chất phản giao hoán). 
(c) ( )a b c a b a c× + = × + × (tích phức có tính chất phân phối với phép cộng). 
(d) ( ) ( ) ( ),a b a b a bα α α α× = × = × ∈ℝ . 
(e) Nếu ( ) ( ),A a B b là hai ñiểm phân biệt không trùng ( )0O thì 0a b× = khi và chỉ khi ,O A 
và B thẳng hàng. 
Chú ý. (a) Giả sử ( ) ( ),A a B b là hai ñiểm phân biệt không trùng ( )0O thì 
(i) [ ]2a b i AOB× = ⋅ nếu tam giác OAB có chiều dương. 
(ii) [ ]2a b i AOB× =− ⋅ nếu tam giác OAB có chiều âm. 
Thật vậy, trong trường hợp tam giác OAB có chiều dương, ta có 
[ ] 	( )2 2 sin sin arg bi AOB i OA OB AOB i a b
a
 ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =  
( )21 1Im 2 2
ab b bi a b a ab ba a b
a b a a
    = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − = − = ×      
. 
Trong trường hợp tam giác OAB có chiều dương, ta có 
[ ]2i AOB b a a b⋅ = × =− × . 
(b) Giả sử ( ) ( ) ( ), ,A a B b C c là ba ñiểm trong mặt phẳng phức. Khi ñó 
(i) [ ] ( )1
2
ABC a b b c c a
i
= × + × + × , nếu tam giác ABC có chiều dương. 
(ii) [ ] ( )1
2
ABC a b b c c a
i
=− × + × + × , nếu tam giác ABC có chiều âm. 
Hơn nữa, [ ] ( )1 Im2ABC ab bc cai= + +
, nếu tam giác ABC có chiều dương. 
ðể chứng minh các nhận xét này, ta sẽ tịnh tiến các ñiểm , ,A B C theo vector CO

. Khi ñó, các 
ñiểm , ,A B C trở thành các ñiểm ', ',A B O lần lượt có tọa ñộ là , ,0a c b c− − . Tam giác ABC và 
tam giác ' 'A B O ñồng dạng và có cùng hướng. Nếu tam giác ABC có chiều dương thì 
 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
' '
2 2
ABC OA B a c b c a c b a c c
i i
   = = − × − = − × − − ×    
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
c a c b a c c a c c b a b c a b b c c a
i i i
 = × − − × − = × − × − × + × = × + × + ×  . 
Nếu tam giác ABC có chiều âm thì ta cũng có chứng minh tương tự. 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 33 
Mệnh ñề 2. Giả sử ( ) ( ) ( ), ,A a B b C c là ba ñiểm phân biệt trong mặt phẳng phức. Các phát biểu 
sau là tương ñương 
(a) Các ñiểm , ,A B C thẳng hàng; 
(b) ( ) ( ) 0b a c a− × − = ; 
(c) 0a b b c c a× + × + × = . 
Chứng minh. Các ñiểm , ,A B C thẳng hàng khi và chỉ khi [ ] 0ABC = hay 
( ) ( )0 0a b b c c a b a c a× + × + × = ⇔ − × − = . 
Mệnh ñề 3. Giả sử ( ) ( ) ( ) ( ), , ,A a B b C c D d là bốn ñiểm phân biệt trong mặt phẳng phức sao 
cho không có ba ñiểm nào thẳng hàng. Khi ñó AB CD
 khi và chỉ khi ( ) ( ) 0b a d c− × − = . 
Chứng minh. Dựng các hình bình hành ,OABM OCDN , thì ( ) ( ),M b a N d c− − . Khi ñó, các 
ñường thẳng ,AB CD song song với nhau khi và chỉ khi , ,O M N thẳng hàng. Hay 0m n× = , tức 
là ( ) ( ) 0b a d c− × − = . 
3.3 Diện tích của ña giác lồi 
ðịnh nghĩa. ða giác lồi 1 2... nA A A có hướng (dương) nếu với bất kỳ ñiểm M nào nằm trong ña 
giác này thì ña giác 1, 1,2,...,k kMA A k n+ = cũng có hướng (dương), trong ñó 1n nA A+ = . 
ðịnh lý. Giả sử ña giác lồi 1 2... nA A A có hướng (dương) với các ñỉnh có tọa ñộ là 1 2, ,..., na a a . 
Khi ñó 
[ ] ( )1 2 1 2 2 3 1 1
1
... Im ...
2n n n n
A A A a a a a a a a a−= + + + + . 
Chứng minh. Dễ thấy rằng kết quả trên ñúng khi 3n = (trường hợp tam giác). Giả sử ñẳng 
thức ñúng khi n k= . Khi ñó 
[ ]1 2 1 1 2 1 1... ...k k k k kA A A A A A A A A A+ +   = +    
 ( ) ( )1 2 2 3 1 1 1 1 1 1
1 1Im ... Im
2 2k k k k k k k
a a a a a a a a a a a a a a− + += + + + + + + + 
 ( ) ( )1 2 2 3 1 1 1 1 1 1
1 1Im ... Im
2 2k k k k k k k
a a a a a a a a a a a a a a− + += + + + + + + + 
 ( )1 2 2 3 1 1 1 1
1 Im ...
2 k k k k k
a a a a a a a a a a− + += + + + + + . 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 34 
Một Số Bài Toán Áp Dụng 
Bài toán 1. (Romania 1994) Cho lục giác lồi ABCDEF . Gọi , , , , ,M N P Q R S lần lượt là trung 
ñiểm của các cạnh , , , , ,AB BC CD DE EF FA . Chứng minh rằng 
2 2 2MQ PS RN MQ PS⊥ ⇔ = + . 
Lời giải. Sử dụng các tính chất của tích thực của các số phức, ta có 
2 2 2RN MQ PS= + khi và chỉ khi 
 ( ) ( ) ( ) ( )e f b c e f b c d e a b d e a b+ − − ⋅ + − − = + − − ⋅ + − − 
( ) ( )f a c d f a c d+ + − − ⋅ + − − 
( ) ( ) 0d e a b f a c d⇔ + − − ⋅ + − − = , hay MQ PS⊥ . 
Bài toán 2. (Balkan 1985) Gọi O là tâm của ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , D là trung 
ñiểm của ñoạn thẳng AB , và E là trọng tâm của tam giác ACD . Chứng minh rằng 
CD OE AB AC⊥ ⇔ = . 
Lời giải. Ta xét bài toán trong mặt phẳng phức. Giả sử O là gốc và , , , ,a b c d e là tọa ñộ của các 
ñiểm , , , ,A B C D E . Khi ñó 
3 2
,
2 3 6
a b a c d a b cd e+ + + + += = = . 
Sử dụng các tính chất của tích thực của các số phức, nếu R là bán kính của ñường tròn ngoại 
tiếp, thì 2a a b b c c R⋅ = ⋅ = ⋅ = . Ta có CD OE⊥ khi và chỉ khi ( ) 0d c e− ⋅ = hay 
( ) ( )2 3 2 0a b c a b c+ − ⋅ + + = 
hay 3 2 3a a a b a c a b b b⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + 2 6 2 4 0b c a c b c c c⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = , tức là a b a c⋅ = ⋅ . 
Mặt khác 
 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2AB AC b a c a b a b a c a c a= ⇔ − = − ⇔ − ⋅ − = − ⋅ − 
2 2b b a b a a c c a c a a a b a c⇔ ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ 
Từ ñó ta có ñiều cần chứng minh. 
Bài toán 3. Gọi , , ,E F G H lần lượt là trung ñiểm của các cạnh , , ,AB BC CD DA của tứ giác lồi 
ABCD . Chứng minh rằng 
( )2 2 2 22AB CD BC AD EG FH⊥ ⇔ + = + . 
Lời giải. Ta qui ước chữ cái thường là tọa ñộ của ñỉnh tương ứng, chẳng hạn, a là tọa ñộ của 
ñiểm A . Ta có , , ,
2 2 2 2
a b b c c d d a
e f g h+ + + += = = = . Sử dụng các tính chất của tích thực 
của các số phức, ta có ( )2 2 2 22BC AD EG FH+ = + trở thành 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
c b c b d a d a c d a b c d a b− ⋅ − + − ⋅ − = + − − ⋅ + − − 
( ) ( )
1
2
a d b c a d b c+ + − − ⋅ + − − 
2 2 2 2c c b b d d a a b c a d a a b b c c d d a c b d⇔ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ 
( ) ( ) 0a d b c a c b d a b d c AB CD⇔ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇔ − ⋅ − = ⇔ ⊥ . 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 35 
Bài toán 4. Các ñiểm D và E nằm trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC sao cho 
3
4
AD AE
AB AC
= = . 
Các ñiểm 'E và 'D nằm trên các tia BE và CD sao cho ' 3EE BE= và ' 3DD CD= . Chứng 
minh rằng các ñiểm ', , 'D A E thẳng hàng và ' 'AD AE= . 
Lời giải. Sử dụng các tính chất của tích phức của các số phức, ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 3 3 6 6 18 0a d e d c b c b c d c d− × − = − × − = − × − = . 
Do ñó các ñiểm ', , 'D A E thẳng hàng. 
Mặt khác 
' ' 3 3 1
' ' ' ' 6 6 2
AD a d c b
D E e d c d
− −
= = =
− −
, 
suy ra A là trung ñiểm của ñoạn thẳng ' 'D E hay ' 'AD AE= . 
Bài toán 5. Cho ABCDE là ngũ giác lồi và , , , , ,M N P Q X Y lần lượt là trung ñiểm của các 
ñoạn thẳng , , , , ,BC CD DE EA MP NQ . Chứng minh rằng XY AB
 . 
Lời giải. Gọi , , , ,a b c d e lần lượt là tọa ñộ của các ñỉnh , , , ,A B C D E . Khi ñó tọa ñộ của các 
ñiểm , , , , ,M N P Q X Y là 
, , , , ,
2 2 2 2 4 4
b c c d d e e a b c d e c d e a
m n p q x y+ + + + + + + + + += = = = = = . 
Ta có 
14
4
a b
y x
b a b a
−
−
= =− ∈
− −
ℝ . 
Do ñó ( ) ( ) ( ) ( )1 0
4
y x b a b a b a− × − =− − × − = hay XY AB
 . 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 36 
Tài Liệu Tham Khảo 
***** 
[1] Arthur Engel, “Problem – Solving Strategies” Springer, 1998. 
[2] Hans Schwerdtfeger, “Geometry of Complex numbers”, Dover publications, New York, 
1979. 
[3] Kin Y.LI, “Vector Geometry”, Mathematical Excalibur, Vol.6, No.5, 2002. 
[4] Liang – shin Hahn, “Complex numbers and Geometry”, The Mathematical Association of 
America, 1994. 
[5] Titu Andreescu, Dorin Andrica, “Complex numbers from A to  Z”, Birkhauser, 2006. 
MATHVN.COM
www.MATHVN.com