Công thức và bài tập Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
23 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 
ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong mặt phẳng 
1
2
2 2
1 2 1 2
Véc e
Véc e
e e 1 ;e e 0
x Ox y Oy
x Ox
y Oy
′ ′⊥

′∈

′∈

 = = ⋅ =








 

 

 


 t¬ ®¬n vÞ
 t¬ ®¬n vÞ
II. TỌA ĐỘ CỦA 1 ĐIỂM 
1. ( ),M x y ⇔ ( ),OM x y



 ⇔ 1 2e eOM x y= ⋅ + ⋅




 

 


2. Tọa độ các điểm đặc biệt 
Cho 
( )
( )
( )
1 1
2 2
3 3
,
,
,
A x y
B x y
C x y





 ⇒ Trung điểm của AB có tọa độ là: 1 2 1 2,
2 2
x x y y
I
+ + 
 
 
Điểm chia AB tỉ số k là điểm thoả mãn JA k
JB
=





 ⇔ Tọa độ: 1 2 1 2,
1 1
x kx y ky
J k k
− − 
 
− − 
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: 1 2 3 1 2 3,3 3
x x x y y y
G
+ + + + 
 
 
III. TỌA ĐỘ CỦA 1 VÉCTƠ 
1. ĐN: 
( )
( )
1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 2 2
, e e
, e e
a a a a a a
b b b b b b
 = ⇔ = +


 = ⇔ = +


 

 


 

  . Nếu 
( )
( )
1 1
2 2
,
,
A x y
B x y




 thì ( )2 1 2 1,AB x x y y= − −




. 
2. Phép toán: ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2, ; ,a b a b a b a b a b a b± = ± ± α ⋅ ± β ⋅ = α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅
  
IV. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI 
1. ( )cos ,a b a b a b⋅ = ⋅     
2. 1 1 2 2a b a b a b⋅ = +

3. 2 2 2 21 2 1 2;a a a b b b= + = +

7. a b a b+ ≤ +
  
 8. a b a b− ≤ +
  
9. a b a b+ ≥ −
  
 10. a b a b− ≥ −
  
11. a b a b⋅ ≤ ⋅
  
y 
x 
1e


2e


O 
M 
P 
Q 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
24 
4. ( ) ( )2 21 1 2 2a b a b a b+ = + + + 
5. ( ) ( )2 21 1 2 2a b a b a b− = − + − 
6. ( ) ( )2 22 1 2 1AB x x y y= − + −


 
12. ( ) 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos ,
a b a b
a b
a a b b
+
=
+ +

; 
13. ( ) 1 2 2 1
2 2 2 2
1 2 1 2
sin ,
a b a b
a b
a a b b
−
=
+ +

V. SỰ THẲNG HÀNG 
( ) 1 2 1 2 2 1
1 2
det ,
a a
a b a b a b
b b
= = −

 ; ( ) 1 2 2 1// det , 0a b a b a b a b⇔ = − =   
A, M, B thẳng hàng ⇔ ( )det , 0AB AM =


 



 
VI. DIỆN TÍCH TAM GIÁC 
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, ; , ; ,A x y B x y C x y ( ) 2 1 2 1
3 1 3 1
1 1det ,
2 2ABC
x x y y
S AB AC
x x y y∆
− −
= =
− −



 



VII. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( ) ( ) ( )3; 1 ; 1;2 ; 5;5A B C− . 
 Tìm tọa độ điểm D sao cho: 4. 3.AD AB AC= −



 


 



. 
Giải 
Cách 1: Đặt D(x; y) suy ra: ( ) ( ) ( )3; 1 ; 2;3 ; 2;6AD x y AB AC= − + = − =


 


 


 
Ta có: 4. 3.AD AB AC= −



 


 



 ⇔ 
3 8 6 11
1 12 18 7
x x
y y
− = − − = − 
⇔ 
+ = − = − 
Vậy tọa độ điểm D là (−11; −7) 
Cách 2: 4. 3.AD AB AC= −



 


 



 ⇔ ( )3 3AD AB AB AC BD BC− = − ⇔ = − ⋅


 


 


 


 


 


 
Do ( )4;3BC =


 nên ( )12; 9BD = − −


 suy ra tọa độ điểm D là D(−11; −7) 
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( ) ( ) ( )3; 4 ; 1; 2 ; 4; 1A B I− − . Xác định tọa 
độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm 
cạnh CD. Tìm tọa độ tâm O của hình bình hành ABCD. 
Giải 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
25 
Cách 1: Do I(4; −1) là trung điểm CD nên đặt ( )4 ; 1C x y− − − và 
( )4 ; 1D x y+ − + ⇒ ( )2 ; 2CD x y=


 . 
Để tứ giác ABCD là hình binh hành thì ( )4; 2CD BA= =


 


 ⇔ 2; 1x y= = . 
Vậy tọa độ các điểm C, D là ( ) ( )2; 2 ; 6;0C D− 
Tâm O của hình bình hành là trung điểm của AD suy ra 9 ; 2
2
O   
 
Cách 2: Gọi ( );C x y , khi đó ( )1 2; 1
2
IC AB= = − −


 



. Vậy ( ) ( )2; 2 ; 6;0C D− 
Cách 3: Lập phương trình đường thẳng AB. 
Qua I dựng đường thẳng (d) song song với (AB). 
Khi đó C và D là 2 điểm nằm trên đường thẳng (d) thỏa mãn 1
2
IC ID AB= = . 
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( ) ( )3;1 ; 1; 3A B − . Xác định tọa độ các 
điểm C, G sao cho điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Biết C nằm trên đường 
thẳng 2x = và G cách trục hoành 1 đơn vị. 
Giải 
Cách 1: Điểm C nằm trên đường thẳng 2x = nên có tọa độ (2; y) 
Điểm G cách trục hoành 1 đơn vị nên có tọa độ (x; 1) 
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: 
( )
3 1 2 33 2
3 51 3 3
A B C G
A B C G
xx x x x x
y y y y yy
+ + =+ + = = 
⇔ ⇔  
+ + = =+ − + =  
Vậy tọa độ các điểm C và G là: ( ) ( )2;5 ; 2;1C G 
Cách 2: Trung điểm M của AB có tọa độ ( )2; 1M − nên M cũng thuộc đường 
thẳng 2x = . Trọng tâm G nằm trên trung tuyến CM do đó có hoành độ là 2. 
Vậy G(2; 1) suy ra C(2; 5) 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
26 
Bài 4. Cho ∆ABC với ( ) ( ) ( )1, 3 ; 3, 5 ; 2, 2A B C− − − . Tìm tọa độ của M, N là giao 
của các đường phân giác trong và ngoài của góc A với đường thẳng BC. 
Xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. 
Giải 
AM là phân giác trong của tam giác ABC suy ra: 
2 2 2
2
MB AB
ACMC
= − = − = −



 ⇔ 
( )( ) ( )5 2 23 2.2 7M ; M ; 31 2 1 2 3− + −+ ⇔ −+ + 
AN là phân giác ngoài của tam giác ABC suy ra: 
 2NB AB
ACNC
= =



 ⇔ 
( )( ) ( )5 2 23 2.2N ; N 1;11 2 1 2− − −− ⇔− − 
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC suy ra BI là phân giác trong ∆ABM 
2 2 3
2 5103
IA BA
BMIM
= − = − = −



 ⇔ 
( )
( )
3 7 31 3 335 5I ; I 4 5; 33 31 1
5 5
 + ⋅ − + −
 
⇔ − − 
 + + 
 
Bài 5. Cho ( ) ( ) ( )6,3 ; 3, 6 ; 1, 2A B C− − 
 a. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I. 
 b. CMR: H, G, I thẳng hàng. 
Giải 
a. Tọa độ trọng tâm G: 74 ;3 3 3 3
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y
+ + + +
= = = = ⇒ ( )74G ;3 3 
i H là trực tâm ∆ABC nên ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
4 6 8 3 0 2. 0
15 3 5 6 0
. 0
H H H
HH H
x y xAH BC AH BC
yx yBH AC BH AC
   − − − = =⊥ =    
⇔ ⇔ ⇔   
=
− + − − =   ⊥ =  

 
 
 


 
 
 
 ⇔ ( )H 2;1 
i I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nên: IA IB IC= = 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 26 3 3 6 1 2I I I I I Ix y x y x y− + − = + + − = − + + 
⇔ 12 6 45 6 12 45 2 4 5I I I I I Ix y x y x y− − + = − + = − + + 1; 3I Ix y⇔ = = ⇔ ( )I 1;3 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
27 
b. Phương trình đường thẳng IH là: 12 2 5 0
1 2 3 1
yx x y−− = ⇔ + − =
− −
Ta có: 8 72 5 5 03 3G Gx y+ − = + − = suy ra G ∈ (IH) suy ra G, H, I thẳng hàng. 
Bài 6. Cho ∆ABC với ( ) ( ) ( )3; 4 ; 2;1 ; 1; 2A B C − − . 
a. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 
b. Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích 13ABM ABCS S∆ ∆= 
Giải 
a. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇔ IA IB IC= = 2 2 2IA IB IC⇔ = = 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 4 2 1 1 2I I I I I Ix y x y x y− + − = − + − = − − + − − 
⇔ 6 8 25 4 2 5 2 4 5I I I I I Ix y x y x y− − + = − − + = + + 5; 5I Ix y⇔ = − = ⇔ ( )I 5;5− 
b. Do hai tam giác ABM và ABC có cùng đường cao nên để 13ABM ABCS S∆ ∆= 
thì 3.BC BM= . Gọi ( );M x y suy ra ( )2; 1BM x y= − −



 ; ( )3; 3BC = − −


 
Ta có: 3.BC BM= ⇔ 13BM BC= ± ⋅




 



 ⇔ 
1; 0
2 1 1
3; 2
x y
x y
x y
= =
− = − = ± ⇔ 
= =
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là ( ) ( )1 21;0 , 3;2M M . 
Bài 7. Cho ( ) ( )3; 4 , 1; 2A B − . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho 
tam giác ABM vuông. 
Giải 
Gọi tọa độ điểm M là ( );0M x suy ra ( ) ( )3; 4 , 1;2AM x BM x= − − = −



 



 
Để ∆ABM vuông tại M thì ( ) ( )0 3 1 8 0AM BM x x⋅ = ⇔ − − − =



 



 
( ) ( )2 4 5 0 5 1 0 5 1x x x x x x⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = − . 
Để ∆ABM vuông tại A thì ( )0 2 3 24 0 15AM BA x x⋅ = ⇔ − − = ⇔ =



 


 . 
Để ∆ABM vuông tại B thì ( )0 2 1 12 0 5BM BA x x⋅ = ⇔ − + = ⇔ = −



 


 . 
Vậy có 4 điểm M trên trục hoành thỏa mãn ∆ABM vuông là 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 25;0 , 1;0 , 15;0 , 5;0M M M M− − 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
28 
Bài 8. Cho A(1; 0), B(0; 3), C(−3; −5). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 1 
trong các điều kiện sau: 
a. ( ) ( )2 3 2 0MA MB MA MB− − =
 
 
 
 b. ( ) ( ) 22 3MA MB MA MB MC BC− + + =
 
 
 
 
 
c. 2 2 3 .MB MC MB MC+ =

 

 d. 2 2 22 2MA MB MC+ = 
Giải 
Gọi M ( );x y suy ra ( ) ( ) ( )1 ; , ;3 , 3 ; 5MA x y MB x y MC x y− − − − − − − −
 
 
 
a. ( )2 3 2 ; 9MA MB x y− = + −
 
 và ( )2 1; 6MA MB x y− = + −
 
 
( ) ( )2 3 2 0MA MB MA MB− − =
 
 
 
 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 1 9 6 0x x y y+ + + − − = 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 223 15 31 02 2 2 2x y+ − + − − = ⇔ ( ) ( )
22 2 103 15
2 2 2
x y
 
+ + − =  
 
Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( )3 15;2 2− bán kính 102 
b. ( )2 3 ; 2 3MA MB MC x y+ + = − − − −
 
 
 
( ) ( ) 22 3MA MB MA MB MC BC− + + =
 
 
 
 
 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 9 2 3 73x x y y+ − − + − − − = 
⇔ ( ) ( ) 22 25 85743 3 733 6 12x y− + − − + = ( ) ( )22 25 194 03 6 36x y⇔ + + − + = 
Phương trình trên vô nghiệm nên không có điểm M nào thỏa mãn yêu cầu. 
c. 2 2 3 .MB MC MB MC+ =

 

 ⇔ ( ) 2 2. .MB MC MB MC BC MB MC− = ⇔ =
 
 
 
 
 
 
⇔ ( ) ( ) ( )3 3 5 73x x y y− − − + − − − = ⇔ ( ) ( )2 23 36512 4x y+ + + = 
Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( )3 ; 12− − bán kính 3652 
d. 2 2 22 2MA MB MC+ = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 22 1 3 2 3 5x y x y x y    − + + + − = + + +      
⇔ ( ) ( )222 2 16 26 57 0 8 13 290x y x y x y+ − − − = ⇔ − + − = 
Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( )8;13 bán kính 290 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
29 
Bài 9. Giả sử ( ) ( )1,3 ; 2,0M N− chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau. 
 Tìm tọa độ A, B. 
Giải 
Gọi tọa độ các điểm A, B là ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 
Cách 1: Ta có: AM MN NB= = hay M là trung điểm AN, N là trung điểm MB 
1 1
2 1
2 4 ; 2 6
2 5 ; 2 3
M N M N
N M N M
x x x y y y
x x x y y y
= − = − = − =
⇒ 
= − = = − = −
. 
Vậy tọa độ các điểm A, B là ( ) ( )4;6 , 5; 3A B− − . 
Cách 2: Ta có: AM MN NB= =




 



 



1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 ( 1) 2 4 ; 5
3 0 3 0 6 ; 3
x x x x
y y y y
− − = − − = − = − = 
⇔ ⇔ 
− = − = − = = −  
Vậy tọa độ các điểm A, B là ( ) ( )4;6 , 5; 3A B− − . 
Bài 10. Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi M là điểm bất kì trên đường tròn ngoại 
tiếp hoặc nội tiếp của ∆ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2MA MB MC const+ + = 
Giải 
Xét ( ) ( ) ( )2MB MC MA AB MA AC MA AB AC MA AB AC⋅ = + + = + ⋅ + +


 



 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 
( )2 2 cos 60 2MB MC MA a MA AM MB MC⇔ ⋅ = + ° + + +


 



 


 



 


 



 
( )22
2
aMB MC MA MA MB MC⇔ ⋅ = − + + +



 



 


 


 




. Tương tự ta có: 
( ) ( )2 22 2;
2 2
a aMC MA MB MB MC MA MA MB MC MC MA MB⋅ = − + + + ⋅ = − + + +




 


 


 



 


 


 


 



 


 



Cộng các vế của 3 đẳng thức trên ta được: 
2
2 2 2 3
2
aMB MC MC MA MA MB MA MB MC⋅ + ⋅ + ⋅ = + + −



 



 



 


 


 



( ) 22 2 2 2 2 2 2 32
2
aMB MC MA MA MB MC MA MB MC
 
⇔ + + = + + + + + − 
 



 



 



( ) ( )2 2 2 2 23 3 3MO MA MB MC a⇔ ⋅ = + + −



 (với O là trọng tâm tam giác ABC) 
2 2 2 2 23MA MB MC MO a⇔ + + = + . 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
30 
Ta có tam giác ABC đều suy ra O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp, do đó 
MO chính là bán kính và 
3
aMO = . Vậy ta có: 
2
2 2 2 2 23 2
3
aMA MB MC a a+ + = ⋅ + = = const (đpcm) 
Bài 11. Cho ( ) ( ) ( )2, 3 ; 3,7 ; 5,4A B C− − − . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các 
đoạn AB, BC, CA theo các tỉ số: 3
2
−
, 
1
2
,
4
3
−
. Chứng minh rằng: 
 M, N, P thẳng hàng và M chia đoạn NP theo tỉ số 7
3
−
. 
Giải 
Cách 1: Ta có: ( ) ( ) ( )5;10 ; 2; 3 ; 7; 7AB BC CA= − = − − = −


 


 


 
3 1 4
; ;
2 2 3
MA NB PC
MB NC PA
= − = = −



 


 






 


 



3 4
; ;
5 7
AM AB BN BC CP CA⇔ = ⋅ = − = ⋅




 


 


 


 


 



( ) ( ) ( )3;6 ; 2;3 ; 4; 4AM BN CP⇔ = − = = −



 


 


 
( ) ( ) ( )1;3 ; 1;10 ; 1;0M N P⇔ − − − 
Vậy M, N, P cùng thuộc đường thẳng 1x = − . 
Ta có: ( ) ( )0;7 ; 0; 3MN MP= = −



 


 
7
3
MN
MP
−
⇒ =








 (đpcm) 
Cách 2: Ta có: 3 1 4; ;
2 2 3
MA NB PC
MB NC PA
= = = 
Gọi N1 là giao điểm của MP và BC. 
Ta có: 1
1
4
3
MN C MPC
MN A MPA
S S PC
S S PA
= = = và 1
1 1
1
3 2
2
AMN
MN C BMN
BMN
S AM S S
S MB
= = ⇒ = ⋅ 
1
1 1
1
12.
2
N B NBCN BN
N C NC
⇒ = ⇔ = = ⇒ 1N N≡ . Vậy M, N, P thẳng hang (đpcm). 
C 
M 
B 
A 
N1 
P 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
31 
Bài 12. Cho tứ giác ABCD có A(0; 1), B(−2; −1), C(−1;−4), D(1; 0) 
a. Chứng minh rằng: Các tam giác ABD và BCD là những tam giác vuông 
b. Tính diện tích tứ giác ABCD. 
c. Tìm M trên Oy để diện tích ∆MBD và diện tích ∆BCD bằng nhau. 
Giải 
a. Ta có ( ) ( )2; 2 , 1; 1 0AB AD AB AD= − − = − ⇒ ⋅ =
 
 
 
 ⇒ AB ⊥ AD 
 ( ) ( )1; 3 , 3;1 0BC BD BC BD= − = ⇒ ⋅ =
 
 
 
 ⇒ BC ⊥ BD 
Vậy ∆ABD vuông tại A và ∆BCD vuông tại B (đpcm) 
b. 1 12 ; 5
2 2ABD BCD
S AB AD S BC BD= ⋅ = = ⋅ = ⇒ 7ABCD ABD BCDS S S= + = 
c. Gọi ( )M 0; Oy y∈ . Sử dụng công thức ( )22 212MBDS MB MD MB MD= − ⋅

 

suy ra để MBD BCDS S= thì ( )22 2 10MB MD MB MD− ⋅ =

 

( ) ( ) ( ) 22 24 1 1 2 1 10y y y y   ⇔ + + + − − + + =    
( ) ( ) ( )22 2 22 5 1 2 100y y y y y⇔ + + + − + − = ⇔ 29 6 99 0y y+ − = 
⇔ ( ) ( )3 3 3 11 0y y− + = ⇔ 113 3y y
−
= ∨ = 
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là ( )M 0;3 hoặc ( )11M 0; 3− 
Bài 13. Cho ( ) ( ) ( )1, 3 ; 3,1 ; 4;6A B C− − . Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số (−1) 
và N là điểm chia AC tỉ số 4. Tìm I BN CM= ∩ 
Giải 
Ta có: 1; 4MA NA
MB NC
= − =



 






 


 
( )
( )
( )
( )
2; 2 1; 12
5;93 1;3
AM MAB AM
NAC CN CN
 = − − −= ⋅  
⇔ ⇔ ⇔  
  = ⋅ =  







 







 


 


 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
32 
Cách 1: Ta có: ( ) ( )8;8 , 5; 7BN CM= = − −


 



 . Gọi tọa độ điểm I là ( )0 0,x y suy ra: 
0 0 00 0 0 0
0 0 0
1 3 9// 3 1 4 6
;
8 8 5 7 5 30 7 28 13//
y x xBI BN x y x y
y x yCI CM

− = + = + − − −  
⇔ = = ⇔ ⇔  
− −
− = − =   


 





 



 
Vậy tọa độ điểm I là ( )9;13I . 
Cách 2: PT đường thẳng BN là (BN): ( )9 11 3 4
5 ( 3)y x y x
−
− = + ⇔ = +
− −
. 
PT đường thẳng CM là (CM): ( )1 6 7 26 4
1 4 5 5
y x y x− −− = − ⇔ = +
− −
. 
I BN CM= ∩ nên tọa độ I là nghiệm của hệ 
7 2 9
5 5
134
xy x
yy x

== +  
⇔ 
= 
= +
Cách 3: Ta có: 1
3
BCN
BCA
S CN
S CA
= = . Mặt khác: 
3.
CNI CAI CBI CNI CNB
CNB CAB CAB BCN
S S S S S
S S S S
+
= = = 
Suy ra: 2. 2CNB CNI
BNS S
NI
= ⇒ = 
3 39 ; 13
2 2
N B N B
I I
x x y y
x y
− −
⇒ = = = = 
Vậy tọa độ điểm I là ( )9;13I . 
Bài 14. Chứng minh rằng: 2 22 5 2 5 2 5a a a a− + + + + ≥ (1) 
Giải 
Cách 1: (1) ⇔ 2 2 2 2( 1) 2 ( 1) 2 2 5a a− + + + + ≥ 
Đặt ( ) ( )1 ; 2 , 1;2a a b a= − = +

 ⇒ ( )2;4a b+ =

 
Ta có: 2 2 2 2 2 2( 1) 2 ( 1) 2 2 4 2 5a a a b a b− + + + + = + ≥ + = + =
   
 (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra 1 1 0a b a a a⇔ ↑↑ ⇔ − = + ⇔ =  . 
C 
M 
B 
A N 
I 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
33 
Cách 2: ( ) ( )2 2 2 242 5 2 5 2 2 5 2 5a a a a a a a a− + + + + ≥ ⋅ − + + + 
42 2 2 4 2 442 ( 5) 4 2 6 25 2 25 2 5a a a a= ⋅ + − = ⋅ + + ≥ ⋅ = (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra 
2 22 5 2 5
0
0
a a a a
a
a

− + = + +
⇔ ⇔ =
 =
. 
Bài 15. Giải phương trình: 2 3(4 ) 2 7 2 85 57 13x x x x x x− − + − = − + − (1) 
Giải 
Ta có: (1) ⇔ ( ) ( )2(4 ) 2 7 2 5 8 17x x x x x x− − + − = − − + 
( ) ( )2(4 ) 2 7 2 5 4 1x x x x x ⇔ − − + − = − − +  (ĐK: 722;x  ∈   ) 
Xét ( ) ( )4 ;1 , 2; 7 2a x b x x= − = − −

 ⇒ ( )4 2 7 2a b x x x⋅ = − − + −

 
và ( ) ( ) ( )24 1; 2 7 2 5a x b x x x= − + = − + − = −

 

Khi đó (1) ⇔ a b a b⋅ = ⋅

 
 
 

 ⇔ ( )cos 1a b⋅ =
 
 ⇔ 4 1
2 7 2
x
x x
−
=
− −
( ) ( )2 3 24 7 2 2 2 23 89 114 0x x x x x x⇔ − − = − ⇔ − + − + = 
( ) ( )23 2 17 38 0x x x⇔ − − + = . Do 722;x  ∈   nên 22 17 38 0x x− + > . 
Vậy phương trình có nghiệm 3x = . 
Bài 16. CMR: 2 2 2 2 2 2x xy y y yz z z zx x+ + + + + ≥ + + , , ,x y z∀ ∈ 
Giải 
Ta có: ( ) 222 2 32 2xx xy y y x + + = + +    ; ( )
22
2 2 3
2 2
zy yz z y z
 
+ + = + +  
 
Xét ( )3 3; , ;2 2 2 2x za y x b y z   = + = − +      

 ⇒ ( )3;2 2x za b x z −+ = +  

 
⇒ 
( ) ( )2 2 2 23
4 4
x z x z
a b z zx x− ++ = + = + +



. 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
34 
Do a b a b+ ≥ +

 
 
 

 nên 2 2 2 2 2 2x xy y y yz z z zx x+ + + + + ≥ + + (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra ⇔ a b↑↑  ⇔ 0x z= = hoặc 
2 2 2
2 2
y x y xx x
z y z z y
+ − −
= − ⇔ =
+
 0y y x xy yz zx
y z y
− − −
⇔ = ⇔ + + =
+
. 
Hay là ( )0 , 1
1
k
x z x kz y z k
k
−
= = ∨ = = ≠ −
+
Cách 2: Trong 3 số , ,x y z có ít nhất 
2 số cùng dấu, giả sử là x và y . 
Lấy các điểm O, A, B, C1, C2 sao cho 
1 2, ,OA x OB y OC OC z= = = = và 
   
1 1 2 2120 ; 60BOC C OA AOC C OB= = ° = = ° . 
Ta có: 2 2 2 2 cos120AB x y xy= + − ° 
2 2AB x y xy⇔ = + + . Tương tự suy ra: 
2 2 2 2
1 1,BC y z yz C A z x zx= + + = + + 
và 2 2 2 22 2,BC y z yz C A z x zx= + − = + − . 
Nếu z cùng dấu với ,x y thì sử dụng 1 1AB BC C A+ ≥ suy ra (đpcm) 
Nếu z cùng dấu với ,x y thì sử dụng 2 2AB BC C A+ ≥ suy ra (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra ⇔ Trong 3 điểm A,B,C có ít nhất 2 điểm trùng O 
 ⇔ 2 trong 3 số , ,x y z có ít nhất 2 số bằng 0. 
Trong trường hợp ,x z cùng dấu và khác dấu với y thì dấu bằng xảy ra khi độ 
dài đường là phân giác từ đỉnh O của tam giác OAC chính là OB 
A 
O 
C1 
B 
|x| 
|y| 
|z| 
C2 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
35 
VIII. BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI 
Dạng 1: Xác định tọa độ của 1 điểm 
Bài 1. Cho ( ) ( ) ( )1, 2 ; 0, 4 ; 3, 2A B C− . Tìm D với: 
 a. 2 3CD AB AC= −



 


 



 b. 2 4 0AD BD CD+ − =



 


 


 
Bài 2. Cho ( ) ( ) ( )1, 2 ; 2,1 ; 3,5A B C− − . Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
Bài 3. Cho A(1, −2). Tìm trên Ox điểm M để đường trung trực của AM đi qua gốc O 
Bài 4. Cho ( ) ( )1, 3 ; 3,3A B− − . Tìm M, N để chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau 
Bài 5. Giả sử ( ) ( )1, 2 ; 0, 4M N chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau. 
 Tìm tọa độ A, B. 
Bài 6. Cho ( ) ( ) ( )2, 6 ; 10,6 ; 11,0A B C− − − . Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số 
(−3) và N là điểm chia AC tỉ số (−2). Tìm I BN CM= ∩ 
Bài 7. Cho ( ) ( ) ( )1, 1 ; 2,4 ; 6,1A B C− − . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các đoạn 
AB, BC, CA theo các tỉ số: −1, 2, 12
−
. Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng. 
Bài 8. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, tâm 
đường tròn nội tiếp I. 
 a. ( ) ( ) ( )6, 2 ; 4,7 ; 0, 1A B C− − 
 b. ( ) ( ) ( )2, 4 ; 5,5 ; 6, 2A B C− − 
 c. ( ) ( ) ( )3, 2 ; 6,3 ; 8, 1A B C − 
Bài 9. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm AB; E là trọng tâm ∆ACD; I 
là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACD. CMR : IE CD⊥ 
Bài 10. Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đường tròn (I, R). Gọi M là điểm bất kì 
trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. CMR: 4 4 4MA MB MC const+ + = 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
36 
Dạng 2: Sự thẳng hàng 
Bài 1. Cho ( ) ( ) ( ) ( )2; 2 , 4; 1 , 7;5 , 5;1A B C E− − . 
a. Chứng minh rằng: B, C, E thẳng hàng 
b. Tìm tọa độ điểm D trên Oy sao cho ABCD là hình thang đáy AB, CD 
Bài 2. Cho A(−3, 12); B(2, −4); C(5, −4); D(5, 5). Tìm AC BD∩ . 
Bài 3. Cho A(1, 3); B(5, −5). Tìm M ∈ Ox để ( ) MinMA MB+ . 
Bài 4. Cho A(1, 2); B(3, 4). Tìm M ∈ Ox để ( ) MinMA MB+ . 
Bài 5. Cho ( ) ( )1;6 , 3; 4A B − − . Tìm M∈(∆): 2 1 0x y− − = để ( ) MinMA MB+ 
Bài 6. Cho ( ) ( )1 1 2 2, ; ,A x y B x y . Tìm M∈(∆): 0ax by c+ + = để ( ) MinMA MB+ 
Bài 7. Chứng minh rằng: 2 22 2 6 10 2 2a a a a− + + − + ≥ 
Bài 8. Cho 3 7 0a b− + = . CMR: 2 2 2 22 12 37 6 6 18 5a b a b a b a b+ − − + + + + − + ≥ 
Bài 9. Chứng minh rằng: 2 22 5 12 136 13a a a a− + + − + + ≥ 
Bài 10. Cho a, b, c > 0 và ab bc ca abc+ + = . Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 22 2 2 3a b b c c a
ab bc ca
+ + ++ + ≥ 
Bài 11. Cho ( ) :2 1 0x y∆ − − = và 5 điểm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10, 1 ; 2,3 ; ,0 ; 1,6 ; 3, 42A B C E F− − − 
 a. Tìm D ∈ (∆) sao cho (A, B, C, D) là hàng điểm điều hòa. 
 b. Tìm M(x, y) ∈(∆) sao cho: EM FM+




 




 là nhỏ nhất. 
www.VNMATH.com