Đáp án đề thi vào lớp 10 môn Toán (chuyên) trường thpt chuyên Quang Trung Bình Phước 2011-2012

ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (CHUYÊN)
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC 2011-2012
Thời gian làm bài 150’
Ngày thi 08/07/2011
Câu 1 (2điểm):
Cho biểu thức: 
Rút gọn P
Tính giá trị của P tại 
Giải:
ĐKXĐ: 
b)
 Thay x=2 vào P ta có 
Câu 2 (2điểm):
Giải phương trình: 
Số học sinh giỏi quốc gia của trường THPT chuyên Quang Trung, tỉnh Bình Phước năm học 2010-2011 là một số tự nhiên ; với a, b thỏa mãn hệ phương trình: hãy tìm số học sinh giỏi của trường năm học trên.
Giải:
a) Giải phương trình: 
 (vì )
Vậy tập nghiệm của pt là: 
b) 
từ (1) suy ra thế vào (2) ta có 
	với từ (1) suy ra .
Vậy số học sinh giỏi của trường là: 53
Câu 3 (2điểm):
a) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: 
Chứng minh: Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Giải:
a) Theo BĐT Côsi ta có 
Áp dụng BĐT trên ta có
Ta có BĐT phụ 
Ta có
mà nên 	
Do đó: Dấu bằng xảy ra khi 
Cách 2: 
Tương tự ta có
Cần chứng minh BĐT phụ
Tương tự như trên
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là (x;y)=(2;0); (2;16); (-2;-16); (-2;0).
Cách 2: 
Đặt: khi đó ta có pt: 
Cách 3: 
Đặt: khi đó ta có pt: 
Pt có nghiệm 
Thế y vào pt ta tìm được x.
Câu 4 (4điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O dường phân giác trong của góc A cắt đường tròn (O) tại điểm M ( khác điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ M của (O) cắt các tia AB và AC lần lượt ở D và E.
Chứng minh: BC song song với DE.
Chứng minh: DAMB~DMEC ; DAMC~DMDB Cho . 
Chứng minh: 
( lưu ý: thí sinh có thể sử dụng định lí Ptô-lê-mê “nếu VLTC là tứ giác nội tiếp, thì VT.LC=VL.TC+VC.LT” để chứng minh ý d ) 
O
C
B
A
M
D
E
1
1
2
1
B'
a) Chứng minh: BC song song với DE.
mà 
Do đó và đồng vị 
nên BC song song DE.
b) Chứng minh: DAMB~DMEC ; DAMC~DMDB .
ta có 
 ( cùng bằng góc )	 (1)
 ( cùng chắn cung ) (2)
 ( đồng vị )	 (3)
từ (2) và (3) suy ra 	 (4)
từ (1) và (4) suy ra DAMB~DMEC (g-g)
* chứng minh tương tự ta có DAMC~DMDB (g-g) - thí sinh phải chứng minh
c) Cho . Chứng minh: 
Vì DAMB~DMEC Þ và AC=CE (gt) nên (5)
Lại có: DAMC~DMDB Þ 	 (6)
từ (5) và (6) suy ra (đpcm)
d) Chứng minh: 
trên tia đối của tia AC lấy điểm B’ sao cho CB’=AB (7)
ta có AM là tia phân giác của góc (gt) Þ (8)
 ( cùng bù góc ) (9)
từ (7), (8) và (9) suy ra DMBA=DMCB’ (c-g-c) 
Þ MA=MB’ 
Mặt khác: 
Theo BĐT tam giác
DAMB’ có AM+MB’>AB’
Mà AB’= AC+CB’=AC+AB
Do đó AM+MB’>AB’=AB+AC
Hay AM+AM > AB+AC Þ 2AM > AB+AC
Þ (đpcm)