Đề cương học tập môn Toán 10 – Học kỳ I

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP
MÔN TOÁN
HỌC KỲ 1
ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC
750 bài tập đại số
380 bài tập hình học
Ths. Lê Văn Đoàn
10
Trường : 
Lớp : 
Họ và tên học sinh : 
Năm học : .
MỤC LỤC
ĐẠI SỐ
Chương 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP	 1
	A – MỆNH ĐỀ 	 1
	B – TẬP HỢP 	 6
	C – SỐ GẦN ĐÚNG & SAI SỐ 	 12
Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 	 17
	A – ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 	 17
	Dạng toán 1. Tìm tập xác định hàm số	 18
	Dạng toán 2. Xét tính đơn điệu hàm số 	 21
	Dạng toán 3. Xét tính chẳn lẻ hàm số 	 23
	B – HÀM SỐ BẬC NHẤT 	 24
	C – HÀM SỐ BẬC HAI 	 30
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 	 41
	A – 	ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 	 41
	B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 	 43
	C – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 	 48
	Dạng toán 1. Giải và biện luận phương trình bậc hai 	 49
	Dạng toán 2. Dấu của nghiệm số phương trình bậc hai 	 50
	Dạng toán 3. Những bài toán liên quan đến định lí Viét 	 53
	Dạng toán 4. Phương trình trùng phương – Phương trình qui bậc hai 	 58
	Dạng toán 5. Phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối 	 64
	Dạng toán 6. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 	 66
	Bài tập qua các kỳ thi Đại học – Cao đẳng 	 73
	D – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 	 81
	E – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN SỐ 	 88
	Bài tập qua các kỳ thi Đại học – Cao đẳng 	 96
	Bài tập ôn chương 3 	 112
Chương 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
	A – BẤT ĐẲNG THỨC 	 115
	Dạng toán 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất 	 117
	Dạng toán 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy 	 122
	Dạng toán 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 	 131
	Dạng toán 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz 	 134
	Dạng toán 5. Chứng minh BĐT dựa vào phương pháp tọa độ véctơ 	 135
	Dạng toán 6. Ứng dụng BĐT để giải phương trình 	 137
	Bài tập qua các kỳ thi Đại học – Cao đẳng	 144
HÌNH HỌC
Chương 1. VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN
	A – VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ 	 151
	Dạng toán 1. Đại cương về véctơ 	 153
	Dạng toán 2. Chứng minh một đẳng thức véctơ 	 157
	Dạng toán 3. Xác định điểm thỏa đẳng thức véctơ & Cm đường qua điểm 	 166
	Dạng toán 4. Phân tích véctơ – Chứng minh thẳng hàng – Song song 	 174
	Dạng toán 5. Tìm môđun – Quỹ tích điểm – Điểm cố định 	 186
	B – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 	 189
	Dạng toán 1. Tọa độ véctơ – Biểu diễn véctơ 	 191
	Dạng toán 2. Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước 	 193
	Dạng toán 3. Véctơ cùng phương và ứng dụng 	 195
Chương 2. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 	 200
	A – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ 	 200
	B – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 	 204
	Dạng toán 1. Tính tích vô hướng – Góc – Chứng minh vuông góc 	 205
	Dạng toán 2. Chứng minh đẳng thức – Quỹ tích điểm – Cực trị 	 211
MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
 1
Chương
 Mệnh đề
Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
‚ Mệnh đề phủ định
 Cho mệnh đề P.
Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là .
Nếu P đúng thì sai, nếu P sai thì đúng.
ƒ Mệnh đề kéo theo
Cho mệnh đề P và Q.
Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: P Þ Q.
Mệnh đề P Þ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
@ Lưu ý rằng: Các định lí toán học thường có dạng P Þ Q. Khi đó:
P là giả thiết, Q là kết luận.
P là điều kiện đủ để có Q.
Q là điều kiện cần để có P.
„ Mệnh đề đảo
 Cho mệnh đề kéo theo P Þ Q. Mệnh đề Q Þ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P Þ Q.
… Mệnh đề tương đương
Cho mệnh đề P và Q.
Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P Û Q.
Mệnh đề P Û Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P Þ Q và Q Þ P đều đúng.
@ Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P Û Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.
† Mệnh đề chứa biến
 Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà 
với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
‡ Kí hiệu " và $
""x Î X, P(x)".
"$x Î X, P(x)".
Mệnh đề phủ định của mệnh đề ""x Î X, P(x)" là "$x Î X, ".
Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$x Î X, P(x)" là ""x Î X, ".
ˆ Phép chứng minh phản chứng
Giả sử ta cần chứng minh định lí: A Þ B
Cách 1. Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết 
 chứng minh B đúng.
Cách 2. (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A 
 sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.
A – MỆNH ĐỀ
¶¶¶
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến ?
	a/ Số 11 là số chẵn.	b/ Bạn có chăm học không ? 	
	c/ Huế là một thành phố của Việt Nam. 	d/ là một số nguyên dương.
	e/ .	f/ .
	g/ Hãy trả lời câu hỏi này !.	h/ Paris là thủ đô nước Ý.	
	i/ Phương trình có nghiệm.	k/ 13 là một số nguyên tố.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?
	a/ Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3.	b/ Nếu thì .
	c/ Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6.	d/ Số lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.
	e/ 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.	f/ 81 là một số chính phương.
	g/ 5 > 3 hoặc 5 < 3.	h/ Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?
	a/ Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
	b/ Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.
 	c/ Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có 
 một góc bằng 600.
	d/ Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.
	e/ Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.
	f/ Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.
	g/ Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
	h/ Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông. 
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời ?
	a/ .	b/ .
	c/ .	d/ .	
	e) .	f/ .
	g/ .	h/ .
	i/ .	k/ là hợp số.	
	l/ không chia hết cho 3.	m/ là số lẻ.	
	n/ chia hết cho 6.	o/ chia hết cho 6.
Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng ?
	a/ .	
	b/ . 	
	c/ .	
	d/ .
	e/ Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2  cho 3.
	f/ Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0  bằng 5.
Cho mệnh đề chứa biến , với x Î . Tìm x để là mệnh đề đúng ?
	a/ .	b/ .	
	c/ .	d/ 	.
	e/ .	f/ .
Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
	a/ Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3. 	
	b/ Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.	
	c/ Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
	d/ Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n. 
Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
	a/ 	b/ . 	
	c/ .	d/ .	
	e/ .	f/ .
	g/ không chia hết cho 3.	h/ là số nguyên tố.
	i/ chia hết cho 2.	k/ là số lẻ.
Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":
	a/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.	
	b/ Nếu thì một trong hai số a và b phải dương. 	
	c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
	d/ Nếu thì .
	e/ Nếu a và b cùng chia hết cho c thì chia hết cho c.
Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":
	 a/ Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba 
	 thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.	
	 b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. 	
	 c/ Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
	 d/ Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.
	 e/ Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau. 
Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ":
	 a/ Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.	
	 b/ Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. 	
	 c/ Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.
	 d/ Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.
	 e/ Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n2 là số lẻ. 
Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:
	 a/ Nếu thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.	
	 b/ Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 600.
	 c/ Nếu và thì .
	 d/ Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn.
	 e/ Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
	 f/ Nếu 1 tứ giác có tổng các góc đối diện bằng 2 góc vuông thì tứ giác nội tiếp được đường tròn.
	 g/ Nếu thì và .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào không là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề thì nó là 
mệnh đề đúng hay sai ?
Các em có vui không ?
Cấm học sinh nói chuyện trong giờ học !
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
 là một số nguyên tố.
 là một số vô tỉ.
Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam.
Một số tự nhiên chia hết cho 2 và 4 thì số đó chia hết cho 8.
Nếu là số nguyên tố thì 16 là số chính phương.
Viết mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai ?
.	b/ .
c/ 3 là số nguyên tố.	d/ 7 không chia hết cho 5.
e/ là số hữu tỉ.	f/ 1794 chia hết cho 3.
g/ là số hữu tỉ.	h/ Tổng 2 cạnh 1 ∆ lớn hơn cạnh thứ 3.
Phát biểu thành lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của các mệnh đề đó:
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
e/ .	f/ chia hết cho 3.
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai ? Giải thích ? Viết mệnh đề phủ định của chúng ?
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
e/ .	f/ .
g/ 	h/ không chia hết cho 3.
i/ không chia hết cho 3.	j/ chia hết cho 4.
Cho mệnh đề chứa biến . Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau: 
.
Cho mệnh đề chứa biến . Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau: 
.
Các mệnh đề sau đúng hay sai ? Nếu sai hãy sửa lại để có một mệnh đề đúng ?
a/ .	b/ 2001 là số nguyên tố.
c/ .	c/ .	
d/ .	e/ 
f/ ABCD là hình vuông ABCD là hình bình hành.
g/ ABCD là hình thoi ABCD là hình chữ nhật.
h/ Tứ giác MNPQ là hình vuông Hai đường chéo MP và NQ bằng nhau.
i/ Hai tam giác bằng nhau Chúng có diện tích bằng nhau.
Dùng bảng chân trị hãy chứng minh:
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
e/ .	f/ .
i/ .	j/ .
Với n là số tự nhiên lẻ, xét định lí: " Nếu n là số tự nhiên lẻ thì chia hết cho 8". Định lí 
trên được viết dưới dạng .
Hãy xác định mệnh đề và .
Phát biểu  ... ho ∆ABC biết .
a/ Tìm tọa độ hình chiếu của A lên BC.	b/ Tìm diện tích tam giác ABC.
Cho ba điểm . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên BC. Từ 
đó suy ra tọa độ điểm A1 là điểm đối xứng với A qua BC.
Cho ∆ABC, biết .
a/ Tính .	b/ Tính cos và sin góc A.
c/ Tìm tọa độ chân đường cao A1 của ∆ABC.	d/ Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC.
e/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.	f/ Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆.
g/ Chứng minh rằng I, H, G thẳng hàng.
Cho .
a/ Chứng minh: ∆ABC vuông.	b/ Chứng minh: ABCD là hình chữ nhật.
c/ Gọi C' thỏa . Tìm C', suy ra D đối xứng với C' qua B.
Cho ∆ABC có . Gọi D là trung điểm cạnh là điểm thỏa 
. Chứng minh BD vuông góc với AM.
Cho ∆ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài ∆ABC các tam giác vuông cân đỉnh A là ∆ABD, ∆ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: .
Nếu góc A tù hoặc vuông thì kết quả trên còn đúng không ? Tại sao ?
Cho ∆ABC cân tại A, H là trung điểm của BC và D là hình chiếu của H lên là trung 
điểm của HD. Chứng minh .
Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. 
a/ Chứng minh: .
b/ Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.
Chứng minh: .
Cho ∆ABC đều, trên BC, CA, AB lấy các điểm D, E, F thỏa và 
. Chứng minh: .
Cho hình vuông OACB và một điểm M thuộc OC. Kẻ đường PP' qua M và vuông góc với OA, đường QQ' qua M và vuông góc với OB.
a/ Chứng minh: .	b/ Chứng minh: .
Cho ba điểm A, B, M. Gọi O là trung điểm của AB.
Chứng minh rằng: .
Cho ∆ABC có . Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc nhau là .
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là .
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm . Gọi H là điểm xác định bởi .
a/ Tính . Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.
b/ Tìm hệ thức giữa độ dài ba cạnh tam giác ABC là a, b, c sao cho với M là trung 
	điểm của BC.
Cho hình vuông ABCD.
a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Chứng minh .
b/ Gọi P, Q tương ứng trên BC, CD sao cho .
	Chứng minh.
Cho hình chữ nhật ABCD có
a/ . Gọi K là trung điểm của AD. Chứng minh: .
b/ . Gọi K là trung điểm của AD và L trên tia DC sao cho .
	Chứng minh: .
Cho tứ giác ABCD có tại M. Gọi P là trung điểm của AD. Chứng minh rằng: .
Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên AC sao cho . Gọi N là trung điểm của 
DC. Chứng minh tam giác BMN là tam giác vuông cân.
Cho hình thang vuông ABCD có đường cao , cạnh đáy . Tìm điều kiện giữa a, b, h để:
a/ .	b/ với I là trung điểm của CD.
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao .
a/ Tính . Suy ra góc giữa AC và BD.
b/ Gọi I là trung điểm của CD, J là điểm di động trên cạnh BC. Dùng tích vô hướng để tính BJ 
	sao cho AJ và BI vuông góc.
Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy , đường cao . Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để
a/ với I là trung điểm của AB.	b/ .
c/ với M, N lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.
ĐS: a/ . b/ . c/ .
Cho tứ giác ABCD.
a/ Chứng minh: .
b/ Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
Cho ∆ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm B1, C1 trên AB và AC sao 
cho . Chứng minh: .
Cho ∆ABC cân đỉnh A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M là trung điểm của AB, E là 
trọng tâm của ∆ACM. Chứng minh: .
Cho ∆ABC cân đỉnh A, O là tâm đương tròn ngoại tiếp, gọi BB1 và CC1 là đường cao của tam 
giác ABC. Chứng minh: .
Cho đường tròn tâm O và một điểm P thuộc miền trong của đường tròn. Qua P, kẻ hai dây AB, CD vuông góc nhau. Gọi M là trung điểm của dây BD. Chứng minh: .
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức và tìm quỹ tích điểm thỏa biểu thức về tích vô hướng hay độ dài. Sử dụng tích vô hướng giải bài toán cực trị.
¶¶¶
 Chứng minh đẳng thức tích vô hướng hay độ dài
Với các biểu thức về tích vô hướng, ta sử dụng định nghĩa hoặc tích chất của tích vô hướng. Cần đặc biệt lưu ý phép phân tích véctơ để biến đổi (quy tắc ba điểm , quy tắc trung điểm, quy tắc hình bình hành, ).
Với các công thức về độ dài, ta thường sử dụng: . Cần nắm vững 
các hình tính của những hình cơ bản.
‚ Xác định điểm, quỹ tích điểm thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Bài toán: Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài.
 Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:
µ Dạng 1. , thì điểm M thuộc đường tròn tâm A, bán kinh .
µ Dạng 2. với A, B cố định và k không đổi. Khi đó:
Gọi I là trung điểm của AB, ta được: 
.
.
Khi đó:
● Nếu thì M không tồn tại.
● Nếu thì là trung điểm của AB.
● Nếu thì M thuộc đường tròn tâm I bán kính .
µ Dạng 3. với A, B cố định. Khi đó:
Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, A len BC, ta được: , có giá trị không đổi và do Ao cố 
định nên Mo cố định.
Vậy điểm M thuộc đường vuông góc với BC tại Mo. Đặc biệt, khi thì M 
thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC.
ƒ Sử dụng tích vô hướng giải bài toán cực trị
đặt
Phương pháp: Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, chẳng hạn như: 
	 với c là hằng số và I cố định.
	 đạt được khi .
@ Lưu ý: Cần nắm vững cách tìm cực trị ở phần đại số (BĐT Cauchy, BCS,)
Chứng minh đẳng thức tích vô hướng hay về độ dài
Cho hai điểm A và B. Gọi O là trung điểm của AB và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: .
Cho ∆ABC, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: .
Cho ∆ABC đều, cạnh a, có đường cao AH và trọng tâm G. Tính .
Cho ∆ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh: .
Chứng minh rằng:
a/ với mọi điểm M, A, B, C. (gọi là hệ thức Euler).
b/ với mọi điểm A, B, C.
c/ với mọi điểm M, N, P, Q.
Cho ∆ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. 
Chứng minh: .
Cho I là trung điểm của đoạn AB, M là một điểm tùy ý. Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB. Chứng minh rằng:
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh:
a/ .	b/ .
Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.
a/ Chứng minh: .
b/ Tính theo R.
Cho ∆ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh: .
Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a/ 	b/ 
c/ (O là tâm của hình chữ nhật).
Cho ∆ABC có là các trung tuyến, G là trọng tâm, M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
a/ .
b/ .
c/ .
d/ .
e/ .
Cho ∆ABC có G là trọng tâm và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
a/ .
b/ .
c/ (đẳng thức Leibnizt).
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. 
Chứng minh rằng: .
Cho ∆ABC, H là trực tâm, M là trung điểm của BC, I là trung điểm AM. Chứng minh rằng:
a/ .	b/ .
Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đường tròn tam O bán kính R, . Chứng minh rằng:
a/ .	b/ .
c/ (M thuộc cung nhỏ BC).
Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng d ở M và một điểm C trên d (C khác M). Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của đường tròn khi và chỉ khi .
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau.
Cho ∆ABC và hai điểm bất kỳ. Gọi I và I', Hvà H', K và K' theo thứ tự là hình chiếu của M và M' lên BC, CA, AB. Chứng minh: .
Cho hình thoi ABCD có cạnh a và góc . Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có .
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn , H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng: với a, b, c là độ dài tương ứng của ∆ABC.
Cho MM1 là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R và A là một điểm cố định, đặt . Giả sử AM cắt tại N.
a/ Chứng minh rằng tích vô hướng có giá trị không phụ thuộc vào điểm M.
b/ Chứng minh rằng tích vô hướng có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Cho nửa đường tròn đường kính AB, có AC, BD là hai dây cung thuộc nửa đường tròn, cắt nhau tại E. Chứng minh: .
Cho ∆ABC đều cạnh bằng a. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng: .
Tập hợp điểm và cực trị
Cho ∆ABC có . Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện
a/ .	b/ .
Cho có trung điểm I. Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện
a/ .	b/ (k cho trước).
c/ .	d/ .
d/ .	e/ (k cho trước)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp điểm M sao cho
a/ .	b/ .
c/ .	d/ (k cho trước).
e/ .	f/ .
g/ .
Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện
a/ .	b/ .
c/ .	d/ (k cho trước).
e/ .	f/ .
g/ .	h/ .
i/ .	k/ .
l/ .	m/ .
Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: .
Cho ∆ABC đều cạnh a. Tìm tập điểm M thỏa điều kiện
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
e/ .	f/ .
g/ .	h/ .
Cho hình bình hành ABCD. Biện luận theo k tập hợp những điểm thỏa mãn: .
Cho ∆ABC có G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.
a/ Chứng minh rằng: .
b/ Chứng minh rằng: . Từ đó suy ra vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐS: .
Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm bất kỳ.
a/ Chứng minh rằng: .
b/ Giả sử M di động trên đường tròn , tìm các vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐS: M là hình chiếu vuông góc của D lên .
Cho ∆ABC đều, cạnh bằng . Lấy M là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Đặt . Tìm vị trí của điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất ?
ĐS: .
Cho ∆ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.
a/ Chứng minh rằng véctơ không phụ thuộc vào vị trí M.
b/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng: .
c/ Giả sử M di động trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Cho ∆ABC nhọn. Tìm điểm M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho ∆ABC có . Tìm điểm M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho ∆ABC nhọn. Tìm trên các đường thẳng BC, CA, AB các điểm X, Y, Z sao cho chu vi ∆XYZ đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho ∆ABC có M là điểm tùy ý. Tìm vị trí M trong các trường hợp sau
a/ đạt giá trị nhỏ nhất.
b/ M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và đạt giá trị lớn nhất.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O.
a/ Chứng minh rằng: M nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
b/ Chứng minh rằng: .
c/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khi M di động trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.