Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 10

Đề cương ôn tập học kì 2 môn toán 10  
Giaùo Vieân: Thaân Vaên Döï ÑT: 0984 214 648 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 10 
NĂM HỌC 2015 – 2016 
Vấn đề 1 Tam thức bậc hai 
1. Dạng 1 Xét dấu của tam thức bậc hai 
Ví dụ 1 Xét dấu các biểu thức sau: 
1)   2 3 10f x x x   
2)   23 2 1g x x x   
3)   22 3 5h x x x    
4)   24 4 1f x x x    
Ví dụ 2 Xét dấu các biểu thức sau: 
1)     3 2 1f x x x   
2)  
2 1
4
x
f x
x



3)     22 4 21f x x x x    
4)     2 24 9f x x x   
5)  
2 6
2 4
x x
f x
x
 


2. Dạng 2 Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai để giải một số bài toán chứa tham số 
Ví dụ 1 Cho biểu thức     22 2 1f x m x mx    
1) Tìm m để biểu thức trên luôn dương với mọi x 
2) Tìm m để biểu thức trên luôn âm với mọi x 
Ví dụ 2 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu 2 22 3 2 0x mx m m     
Ví dụ 3 Cho phương trình:  22 2 2 2 0x m x m     (*) 
1) Tìm m để phương trình đã cho vô nghiệm 
2) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 
3) Tìm m để phương trình đã cho có hai nhiệm phân biệt lớn hơn 1. 
Ví dụ 4 Cho phương trình:  4 22 1 3 5 0x m x m     (*) 
1) Tìm m để phương trình (*) vô nghiệm 
2) Tìm m để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt 
3) Tìm m để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt 
4) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 
5) Tìm m để phương trình (*) có 1 nghiệm. 
Đề cương ôn tập học kì 2 môn toán 10  
Giaùo Vieân: Thaân Vaên Döï ÑT: 0984 214 648 
Ví dụ 5 Cho phương trình 2 22 2 3 2 1 0x x x x m       (*) (m là tham số thực) 
1) Tìm điều kiện của m để PT (*) vô nghiệm 
2) Tìm điều kiện của m để PT(*) có nghiệm 
3) Tìm điều kiện của m để PT (*) có 4 nghiệm phân biệt 
4) Tìm điều kiện của m để PT (*) có 3 nghiệm phân biệt 
5) Tìm điều kiện của m để PT (*) có 2 nghiệm phân biệt 
Vấn đề 2 Phương trình, bất phương trình 
1. Phương trình 
Ví dụ 1 Giải các phương trình sau: 
1) 2 5 5 3x x x    
2) 24 2 2x x x   
3) 1 2 2 5 1x x x     
4) 4 5 3 1 2 7 3x x x x       
5) 3 3 1 2 2 2x x x x      
6) 2 22 2 2 2 5x x x x     
7) 22 3 6 2 3 9 20 3 2 3x x x x x         
8)   2 23 10 12x x x x     
9) 2 23 2 1x x x x      
10) 2 24 2 3 4x x x x     
2. Bất phương trình 
- Giải bất phương trình bậc hai 
- Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu 
- Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 
- Giải bất phương trình vô tỷ 
Ví dụ 1 Giải các bất phương trình sau: 
1) 2 7 10 0x x   
2) 23 4 1 0x x    
3)  2 3 1 3 0x x    
4) 
2 1
0
2
x
x



Ví dụ 2 Giải các bất phương trình sau: 
1) 
2 2 3
0
2
x x
x
 


Đề cương ôn tập học kì 2 môn toán 10  
Giaùo Vieân: Thaân Vaên Döï ÑT: 0984 214 648 
2) 
2
1 1
0
1 1
x
x x

 
 
3) 2 2 3 9 0x x    
4) 2 2 8 2x x x   
5) 4 1 2 2x x x     
Ví dụ 3 Giải các bất phương trình sau: 
1) 2 22 2 3x x x x      
2) 24 2 2 2 3x x x    
3) 2 4 3x x x   
4) 2 6 5 2 8x x x     
5) 22 6 1 2 0x x x     
6) 1 4 3x x    
7) 2 25 13 5 7x x x x     
8) 2 22 5 6 10 15x x x x     
9)   2 1 9 2 3 2 1 9 2 13x x x x       
10) 2 5 ( 2)(5 ) 4x x x x       
Vấn đề 3 Lượng giác 
Chú ý: Cần nắm được các công thức lượng giác 
Ví dụ 1 Tính các giá trị lượng giác của góc  biết: 
1) 
2
sin
5
  với 0
2

  
2) 
1
cos
3
   với 
2

   
3) 
5
tan
7
   với 
3
2
2

   
4) 
2
cot
3
  với 
3
2

   
Ví dụ 2 Tính giá trị của biểu thức: 
1) A cos cos
3 6
 
 
   
      
   
 biết 
1
sin ,
5 2

     
2) B sin
4


 
  
 
 biết 
2
tan ,0
7 2

    
3) tan
4
C


 
  
 
 biết 
1
cos
3
   và 
3
2

   
Đề cương ôn tập học kì 2 môn toán 10  
Giaùo Vieân: Thaân Vaên Döï ÑT: 0984 214 648 
4) 
2 2sin sin .cos 2cos
2sin .cos 1
D
   
 
 


 biết 
2
tan
5
  
Ví dụ 3 Chứng minh các đẳng thức sau: 
1) 2
1 1
1 1 tan 0
cos cos
x
x x
  
     
  
2) 6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
x x x   
3)   1 sin cos tan 1 cos 1 tanx x x x x      
4) 
1 tan
sin cos 1 2
sin cos 1
1 tan
2
x
x x
xx x

 

 

Ví dụ 4 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: 
1) 4 4 2cos sin 2sinA x x x   
2) 4 2 2 2cos sin .cos sinB x x x x   
3)    4 2 4 2cos 2cos 3 sin 2sin 3C x x x x    
4) 



cosx cos5x
2sin x
sin 4x sin2x
Vấn đề 4 Giải tam giác 
 Xác định các yếu tố cạnh, góc, đường trung tuyến, diện tích, bán kính đường tròn nội 
tiếp, ngoại tiếp tam giác. 
Ví dụ 1 
 Cho tam giác ABC có 60oBAC  , 4, 6AB AC  . Tính các góc và cạnh còn lại của tam 
giác ABC. 
Ví dụ 2 
 Cho tam giác ABC biết 8, 30 , 45o oBC B C   . Tính: 
1) Các góc và cạnh còn lại của tam giác ABC 
2) Tính diện tích tam giác ABC 
3) Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC 
4) Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC 
Ví dụ 3 
 Cho tam giác ABC biết 4, 7, 6AB AC BC   . Tính: 
1) Các góc của tam giác ABC 
2) Độ dài đường trung tuyến BN của tam giác ABC 
3) Diện tích tam giác ABC 
4) Độ dài đường cao AH của tam giác ABC 
Đề cương ôn tập học kì 2 môn toán 10  
Giaùo Vieân: Thaân Vaên Döï ÑT: 0984 214 648 
Ví dụ 4 
1) Cho tam giác ABC thỏa mãn 2b c a  . Chứng minh rằng: 
2 1 1
a b ch h h
  
2) Cho tam giác ABC thỏa mãn 2bc a . Chứng minh rằng: 2sin .sin sinB C A 
Vấn đề 5 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
- Viết phương trình đường thẳng 
- Viết phương trình đường tròn 
- Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 
- Tìm tọa độ điểm 
Ví dụ 1 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng   biết: 
1)   đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; 1) 
2)   là đường thẳng trung trục của đoạn thẳng MN biết M(1; 0) , N(-3; 2) 
3)   đi qua M(1; 4) và song song với đường thẳng   : 2 3 0d x y   
4)   đi qua A(2; 3) và vuông góc với đường thẳng   : 3 0d x y   
5)   đi qua N(1 ; 0) và song song với đường thẳng  
2
:
1 3
x t
d
y t
 

 
Ví dụ 2 Viết phương trình đường thẳng   đi qua M(2; 1) và tạo với đường thẳng 
  : 4 3 2 0d x y   góc 60o . 
Ví dụ 3 Viết phương trình tham số của đường thẳng   biết: 
1)   đi qua hai điểm M(2; -1), N(-3; 4) 
2)   đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng AB biết A(3; 1) và B(1; 2) 
3)   đi qua A(1; 2) và song song với đường thẳng  
2 3
:
1 2
x t
d
y t
 

 
4)   đi qua M(3; 5) và vuông góc với đường thẳng   : 3x 4 y 1 0d    
Ví dụ 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông A DBC có tâm  2; 3I  . Biết đỉnh 
A,C lần lượt thuộc các đường thẳng 1 2d : 3 0, : 2 3 0x y d x y      .Tìm tọa độ các đỉnh của 
hình vuông. 
Ví dụ 5 Viết phương trình đường tròn biết : 
1) Đường tròn tâm I(2 ; -1), bán kính R = 4 
2) Đường đường kính AB biết A(2 ; 3), B(-4 ; 5) 
3) Đường tròn tâm I(2 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng   : 3 4 9 0x y     
4) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1 ; 1), B(2 ; 3), C(-1 ; 0) 
Đề cương ôn tập học kì 2 môn toán 10  
Giaùo Vieân: Thaân Vaên Döï ÑT: 0984 214 648 
Ví dụ 6 Cho điểm A(2 ; 3), B(-1 ; 1) và   : 3 11 0x y    . Viết phương trình đường tròn có tâm I 
năm trên đường thẳng   và đi qua hai điểm A, B. 
Ví dụ 7 Cho hai điểm A(-2; 6), B(1; -3) và đường thẳng   : 3 4 15 0x y    . Viết phương trình 
đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng   tại B. 
Ví dụ 8 
 Cho đường tròn   2 2: 6 4 12 0C x y x y     
1) Xác định tâm và bán kính của đường tròn  C 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn  C tại điểm M(1; 5) 
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn  C song song với đường thẳng 
  : 4 3 5 0x y    
4) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
(d): 2 0x y   
5) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm 
1
2;
3
A
 
 
 
 . 
Vấn đề 6 Bất đẳng thức 
- Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 
- Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 
Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có: 
6
a b b c c a
c a b
  
   
Ví dụ 2 Cho 2 số a, b thỏa mãn 0a b  . Chứng minh rằng: 
33 3
2 2
a b a b  
  
 
Ví dụ 3 Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 3ab bc ca   . Chứng minh rằng: 
6 6 6 6 6 61 1 1 3 3a b b c c a         
Ví dụ 4 Cho các số thực dương , ,a b c . Chứng minh rằng:  4 4 4a b c abc a b c     
Ví dụ 5 Cho các số thực dương , ,a b c . Chứng minh rằng: 
 
21
3
a bc b ca c ab a b c     
Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 216 2A x x  , x