Đề cương ôn tập Toán Lớp 10 - Chủ đề 3: Phương trình. Hệ phương trình

Vấn đề cần nắm:
1. Khái niệm phương trình
2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất
3. Phương trình bậc nhất và quy về bậc hai
4. Hệ phương trình
Chủ đề 3
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Qua chủ đề này ta hình thành cho học sinh khái niệm phương trình một cách chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến, rèn luyện cho học sinh cách giải và biện luận phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình và hệ phương trình bậc hai.
Kiến thức trong chủ đề này bổ sung và hoàn chỉnh những kiến thức ở THCS, do đó yêu cầu đối với học sinh gồm mấy điểm:
1. Biết giải và biện luận phương trình, hệ phương trình trong trường hợp có tham số.
2. Biết giải một số hệ phương trình bậc hai đặc biệt và các hệ đối xứng loại 1, loại 2 và hệ đẳng cấp.
ççç
§1. Khái niệm phương trình
A. Lý thuyết
I. Phương trình một ẩn
1. Điều kiện xác định của phương trình là những điều kiện của ẩn để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.
2. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.
3. Nếu mọi nghiệm của phương trình đều là nghiệm của phương trình thì phương trình được gọi là phương trình hệ quả của phương trình . Ta viết: .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
II. Các phép biến đổi phương trình
1. Nếu hàm xác định với mọi giá trị của x mà tại đó và đều có nghĩa thì: .
2. Nếu hàm xác định với mọi giá trị của x mà tại đó và đều có nghĩa và thì: .
3. Đối với bất kỳ các hàm và và n là số tự nhiên ta có:
.
Đặc biệt:
+ Nếu n là số tự nhiên lẻ thì: 
+ thì: 
+ 
Dạng 1
B. Các dạng toán điển hình
Tìm điều kiện của phương trình
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của phương trình sau: .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
STUDY TIP
+ Điều kiện để có nghĩa là 
+ Điều kiện để có nghĩa là 
Để phương trình có nghĩa ta phải có: .
Đáp án A.
Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Phương trình xác định khi: .
Đáp án C.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của phương trình: .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Điều kiện: .
Đáp án B.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình xác định trên .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Phương trình xác định khi: .
Khi đó để phương trình xác định trên thì:
Đáp án C.
Ví dụ 5: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình xác định trên .
A. 	B. 	C. 	D. 
STUDY TIP
Điều kiện ở biểu thức thứ 2 chỉ là: vì căn thức nằm ở mẫu.
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là:
Hay phương trình xác định trên do đó điều kiện để phương trình xác định trên là: 
 hay .
Dạng 2
Đáp án B.
Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: ?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
STUDY TIP
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. 
Ta có phương trình: do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: . Xét các đáp án:
- Đáp án A: Giải phương trình: 
STUDY TIP
Do đó tập nghiệm của phương trình là: 
- Đáp án B: Giải phương trình: 
Do đó tập nghiệm của phương trình là: .
- Đáp án C: Giải phương trình: 
Do đó tập nghiệm nên chọn đáp án C.
- Đáp án D: Có .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: ?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Giải phương trình đã cho: Tập nghiệm là .
Xét các đáp án:
- Đáp án A:
- Đáp án B:
- Đáp án C: 
.
- Đáp án D:
.
Đáp án D.
Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Đáp án A.
Ví dụ 4: Khẳng định nào sau đây là sai?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Chọn đáp án D vì 
Còn các khẳng định khác đều đúng.
Đáp án D.
Ví dụ 5: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
	A. và 
	B. và 
	C. và 
	D. và 
Lời giải
Xét các đáp án:
- Đáp án A: + Phương trình 
+ Phương trình 
Do đó cặp phương trình ở đáp án A không tương đương vì không cùng tập nghiệm.
- Đáp án B: + Phương trình 
STUDY TIP
+ Phương trình 
Vậy chọn đáp án B.
- Đáp án C: + Phương trình 
+ Phương trình 
Do đó hai phương trình trong đáp án C không tương đương.
- Đáp án D: Tập nghiệm rỗng.
Do đó phương trình và không phải là hai phương trình tương đương.
Đáp án B.
Ví dụ 6: Xác định m để hai phương trình sau tương đương:
 (1) và (2)
	A. 	B. 	C. 	D. 
STUDY TIP
Hai phương trình vô nghiệm thì tương đương với nhau. 
Lời giải
Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm.
Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vô nghiệm, tức là: .
Đáp án A.
Ví dụ 7: Hai phương trình nào sau đây không tương đương với nhau:
	A. và 
	B. và 
	C. và 
	D. và 
Lời giải
Ta xét các đáp án:
- Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là 
Khi đó nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho nên hai phương trình tương đương.
STUDY TIP
Điều kiện của phương trình là:
- Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là nên tương đương.
- Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là nên ta có thể nhận phương trình thứ nhất với ta được phương trình thứ hai.
Vậy hai phương trình tương đương.
- Đáp án D: Phương trình có 2 nghiệm và thỏa mãn điều kiện .
Còn phương trình chỉ có nghiệm vì không thỏa mãn điều kiện .
Vậy hai phương trình không cùng tập nghiệm nên không tương đương.
Đáp án D.
Ví dụ 8: Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
 và (2)
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta có: Phương trình (2) 
Do hai phương trình tương đương nên cũng là nghiệm của phương trình (1), thay vào ta có . Khi hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm nên tương đương.
Đáp án B.
Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai phương trình sau tương đương:
 (1) và (2)
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Phương trình (1) 
Do 2 phương trình tương đương nên cũng phải là nghiệm của (2) nên thay vào phương trình (2) ta có:
+ Với :
Phương trình (1) trở thành: 
STUDY TIP
Với câu hỏi trắc nghiệm ta có thể thử từng đáp án. 
Phương trình (2) trở thành 
Vậy hai phương trình tương đương.
+ Với :
Phương trình (1) trở thành: 
Phương trình (2) trở thành: 
Vậy Hai phương trình không tương đương.
Vậy thỏa mãn đề bài.
Đáp án C.
Ví dụ 10: Cho phương trình . Trong các phương trình sau đây phương trình nào không phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
STUDY TIP
Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) nếu tập nghiệm của phương trình (2) chứa tập nghiệm của phương trình (1).
Lời giải
Giải phương trình Tập nghiệm 
Ta xét các đáp án:
- Đáp án A: 
STUDY TIP
Phương trình 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
- Đáp án B: 
Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
- Đáp án C: vô nghiệm
Vậy phương trình ở đáp án C không là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
- Đáp án D: Giải phương trình ta có: 
Dạng 3
Đáp án C.
Tìm điều kiện của phương trình liên quan đến đồ thị hàm số 
- Kiến thức cần nhớ
+ Đồ thị của hàm số nằm phía trên trục hoành.
+ Đồ thị của hàm số nằm phía dưới trục hoành.
+ Đồ thị hàm số nằm trên đồ thị hàm số: .

Ví dụ 1: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ. Phương trình có điều kiện xác định là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
STUDY TIP
Đồ thị mà là những giá trị x làm cho đồ thị nằm phía trên trục hoành.
Lời giải
Điều kiện: nhìn đồ thị ta thấy: thì đồ thị nằm phía trên trục hoành hay hàm cho .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng?
	A. Phương trình xác định trên khoảng .
	B. Phương trình xác định trên đoạn .
	C. Phương trình xác định trên khoảng .
	D. Phương trình xác định trên khoảng .
Lời giải
Nhìn đồ thị ta thấy 
Đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình xác định trên tập nào sau đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta thấy đường thẳng: đi qua các điểm và .
Từ điều kiện của phương trình là: ta thấy trên đoạn .
Đồ thị nằm phía trên đường thẳng nên với thì .
Đáp án A.
Ví dụ 4: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của phương trình là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Đồ thị như hình bên.
Khi đó điều kiện: .
Đáp án B.
Ví dụ 5: Cho hàm có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phương trình xác định trên .
	A. 5	B. 1	C. 3	D. 4
Lời giải
Đồ thị như hình vẽ:
.
Đáp án C.
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 82
Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình:
 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình:
 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình:
 là
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 4: Điều kiện xác định của phương trình:
 là:
	A. 	B. và 
	C. 	D. và 
Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình thuộc tập nào sau đây?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 6: Điều kiện xác định của phương trình:
 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 7: Điều kiện xác định của phương trình:
 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 8: Điều kiện xác định của phương trình
 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 9: Cho đường thẳng có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của phương trình là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 10: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ:
Phương trình có điều kiện là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 11: Cho parabol như hình vẽ câu 10. Khi đó điều kiện xác định của phương trình:
 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:
Khi đó phương trình xác định trên tập nào sau đây?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
§2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất
A. Lý thuyết
Giải biện luận phương trình :
+ Nếu thì phương trình có nghiệm duy nhất .
+ Nếu và thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu và thì phương trình có nghiệm .
Dạng 1
B. Các dạng toán điển hình
STUDY TIP
Phương trình có nghiệm duy nhất khi 
Giải biện luận phương trình
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: có nghiệm dyu nhất là nghiệm nguyên?
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và 
Khi đó nghiệm duy nhất là: là nghiệm nguyên 
 Có 4 giá trị của m.
STUDY TIP
Phương trình hay phương trình vô nghiệm 
Đáp án D.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của p để phương trình sau đây vô nghiệm.
.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với 
Phương trình vô nghiệm 
Đáp án B.
Ví dụ 3: Cho phương trình . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Viết lại phương trình: 
Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi: 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi .
Đáp án A.
Ví dụ 4: Cho hai hàm số: và . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng đã cho cắt nhau.
	A. 	B. và 
	C. 	D. và 
Lời giải
Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi phương trình:
 có nghiệm duy nhất
 có nghiệm duy nhất 
STUDY TIP
Phương trình có vô số nghiệm 
Đáp án B.
Ví dụ 5: Cho hai hàm số và . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng trên trùng nhau.
	A. 	B. và 
	C. 	D. 
Lời giải
Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi phương trình:
 có vô số nghiệm
 vô số nghiệm .
Dạng 2
Đá ... .
Viết lại phương trình:
- Với 
Khi đó phương trình trở thành;
.
Do đó là một giá trị cần tìm.
- Với .
Ta có:
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi:
Câu 6: Đáp án B.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 
Khi đó gọi hai nghiệm là là
Câu 7: Đáp án A.
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi:
Vậy có 5 giá trị thỏa mãn yêu cầu.
Câu 8: Đáp án B.
Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt
Vậy với thỏa mãn.
Câu 9: Đáp án A.
Giả sử là hai nghiệm của phương trình khi đó ta có
Theo giả thiết ta có 
Câu 10: Đáp án C.
Gọi là hai nghiệm của phương trình: .
Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: để phương trình có nghiệm
Theo định lí Vi-et ta có:
Khi đó: 
 khi .
Câu 11: Đáp án A.
Ta có
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Vi-et ta có: 
Ta có: 
.
Khi đó:
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Câu 12: Đáp án C.
Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt và phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Theo bài ra ta có: 
 (*)
Theo hệ thức Vi-et: 
Thay vào (*) ta được:
Câu 13: Đáp án D.
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi
Một nghiệm gấp đôi nghiệm kia khi:
Câu 14: Đáp án A.
Phương trình có nghiệm
Xét 
Bảng biến thiên:



	
3
	






8


 khi 
Câu 15: Đáp án B.
Phương trình bậc hai có các nghiệm có dạng
Đặt ta có:
Vậy phương trình đã cho cần lập là:
Câu 16: Đáp án D.
Phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt
có hai nghiệm dương phân biệt 
Câu 17: Đáp án C.
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành;
 (2)
với 
Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm m để phương trình (2) có nghiệm .
Ta có: nên phương trình (2) có 2 nghiệm .
Ta đi tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm 
 vì 
 thỏa mãn yêu cầu tương đương với .
Câu 18: Đáp án A.
Đặt ta có phương trình:
 (2)
Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm .
Điều kiện cần: 
Khi đó ta có phương trình:
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu 19: Đáp án D.
Điều kiện: .
Phương trình 
Đặt 
Bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm thuộc .
Xét hàm số . 
Bảng biến thiên:

0
	

	
1


0





Từ bảng biến thiên là giá trị cần tìm.
Câu 20: Đáp án B.
Điều kiện: .
Bình phương 2 vế của phương trình ta được: 
Đặt ta có phương trình: .
Khảo sát trên .
Ta có bảng biến thiên:

0
	
1
	



9

10


Từ bảng biến thiên .
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1: Đáp án B.
Hệ có nghiệm duy nhất khi và 
Khi đó: 
Câu 2: Đáp án A.
Hệ vô nghiệm 
Câu 3: Đáp án C.
Ta có:
+ Trường hợp 1: Hệ có vô số nghiệm
+ Trường hợp 2:
Lúc đó hệ có nghiệm duy nhất:
 là ước nguyên của 2 
Câu 4: Đáp án D.
Từ (2) ta có: thế vào (1) ta có: 
- Với 
- Với 
 Hệ có nghiệm là 
.
Câu 5: Đáp án A.
Đặt 
Ta có:
Ta có hệ: 
Lại đặt: ta có:
Ta có hệ: 
Vì nên chỉ có 
thỏa mãn 
 x, y là nghiệm phương trình:
 Nghiệm của hệ là
Câu 6: Đáp án C.
Ta có:
Ta có hệ: 
Câu 7: Đáp án D.
Đặt: 
Khi đó hệ trở thành:
Suy ra u, v là nghiệm không âm của phương trình:
 (*)
Theo đề bài hệ đã cho có nghiệm
 Phương trình (*) có nghiệm không âm 
Câu 8: Đáp án B.
Điều kiện: . Khi đó ta có hệ:
Đặt: 
Ta có hệ: 
(thỏa mãn ĐK)
Câu 9: Đáp án C.
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:
- TH1: ta có hệ:
 Hệ có nghiệm là .
- TH2: ta có hệ:
 hoặc 
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm.
Câu 10: Đáp án D.
Trừ vế theo vế hai phương trình ta có:
- TH1: Với thay vào (1) ta có:
 Hệ có nghiệm là
.
- TH2: . Kết hợp với phương trình mà ta cộng vế với vế của 2 phương trình đã cho ta được:
Đặt ta có hệ:
 là nghiệm phương trình:
hay 
 Hệ có nghiệm là .
Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm , , , .
Câu 11: Đáp án A.
Nhận xét: Vế trái của hai phương trình đều là bậc hai; vế phải là hằng số nên ta có thể nhân chéo hai phương trình đưa về phương trình đẳng cấp.
Ta có: 
+ Với không là nghiệm của hệ
+ Với chia hai vế cho ta được: 
Đặt ta có phương trình:
- Với thay vào (1) ta được vô nghiệm.
- Với ta có: thay vào (1)
 hoặc 
.
Câu 12: Đáp án B.
Đặt ()
Hệ phương trình đã cho có dạng
Để hệ có nghiệm thì 
 (*)
Điều kiện (*) là điều kiện có nghiệm của hệ phương trình.
Xét: ta có bảng biến thiên trên đoạn là:
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi
.
Câu 13: Đáp án B.
Hệ đã cho biến đổi thành:
Đặt ,
hệ phương trình có dạng:
 hoặc 
- TH1: Với 
- TH2: Với 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
.
Câu 14: Đáp án C.
Dùng máy tính cầm tay nhập biểu thức:
Ấn: SHIFT SOLV gán 
Máy luận:  tức là (11,0489 , 100) là 1 cặp nghiệm của phương trình.
- Nhập tiếp: ấn “=” ta được kết quả là
12,0489=11,0489+1 = 
- Nhập tiếp: ấn bằng máy hiện 2 ta hiểu:
 tại 
.
Phương trình (1) của hệ phương trình với
Nhân liên hợp ta có:
Vì trong ngoặc vuông lớn hơn 0 nên thế vào phương trình (2) của hệ ta được:
Đến đây dùng máy tính nhẩm được hoặc .
Vậy .
V. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 3
Câu 1: Đáp án A.
Thay vào phương trình của 4 đáp án ta thấy đáp án A.
Câu 2: Đáp án D.
Câu 3: Đáp án A.
Nhận dạng hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn theo công thức:
 trong đó mỗi phương trình là 1 phương trình bậc nhất 3 ẩn với các hệ số không đồng thời bằng 0.
Câu 4: Đáp án A.
Câu 5: Đáp án A.
Phân tích phương án nhiễu:
B. Sai do tính nhầm 
C. Sai do tính nhầm
.
D. Sai do không nhìn ra điều kiện.
Câu 6: Đáp án B.
 có
 Phương trình có 2 nghiệm dương
Câu 7: Đáp án A.
ĐKXĐ: 
Câu 8: Đáp án D.
ĐKXĐ: . Ta có:
Do đó, và không phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 9: Đáp án C.
+) 
 Phương trình (1) vô nghiệm.
+) .
ĐKXĐ: 
mà 
 Phương trình (2) vô nghiệm.
+) 
 Phương trình (3) có nghiệm
+) 
 Phương trình (4) vô nghiệm.
Câu 10: Đáp án A.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3.
Câu 11: Đáp án B.
Phương trình đã cho có 2 hai nghiệm là 1 và 2.
Suy ra và là một trong hai giá trị và 1.
Hai số có tổng bằng và tích bằng 
Do đó và là nghiệm của phương trình
.
Câu 12: Đáp án B.
Điều kiện: 
Hệ phương trình
Câu 13: Đáp án A.
Gọi x là số xe chở được 4 khách và y là số xe chở được 7 khách (x, y nguyên và )
Ta có hệ phương trình:
Câu 14: Đáp án A.
ĐKXĐ: 
 (TMĐK)
Vậy .
Câu 15: Đáp án A.
Thử lại vào phương trình ta thấy thỏa mãn nên là nghiệm.
Câu 16: Đáp án B.
Đặt .
Khi đó, phương trình ban đầu trở thành .
Câu 17: Đáp án D.
. Vậy .
Câu 18: Đáp án B.
ĐKXĐ: .
Với điều kiện trên phương trình tương đương
 hoặc .
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất .
Câu 19: Đáp án C.
Ta có .
Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Xét các đáp án:
* Đáp án A. Ta có
Do đó, tập nghiệm của phương trình là .
* Đáp án B. Ta có
.
Do đó, tập nghiệm của phương trình là .
* Đáp án C. Ta có
 (vô nghiệm).
Do đó, tập nghiệm của phương trình là .
* Đáp án D. Ta có
.
Do đó, tập nghiệm của phương trình là .
Câu 20: Đáp án D.
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra
Hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất khi là nghiệm của phương trình tức là:
.
Câu 21: Đáp án C.
Nếu Phương trình có vô số nghiệm
Nếu Phương trình vô nghiệm
Nếu và Phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
Câu 22: Đáp án A.
 (1)
Với :
Phương trình vô nghiệm
Với Phương trình nghiệm đúng với mọi 
Với và :
(1) 
Do đó phương trình có nghiệm âm khi và chỉ khi .
Câu 23: Đáp án A.
Hệ phương trình có vô số nghiệm
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Với ta có hệ hệ vô nghiệm.
Câu 24: Đáp án D.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm số là: ; .
Câu 25: Đáp án D.
Gọi A, B, C lần lượt là số học sinh của 3 nhóm A, B, C.
Theo đề ta có 
Câu 26: Đáp án D.
Đặt , (với )
Ta có: 
Với 
Câu 27: Đáp án C.
ĐK (*) 
Với điều kiện (*) ta đặt (1)
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn (*)
 (**)
Với điều kiện (**), phương trình đã cho trở thành: 
Với , ta có:
(1) 
Với , ta có:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt:
Câu 28: Đáp án B.
Theo bài ra 
Câu 29: Đáp án A.
 có 2 nghiệm phân biệt cùng dương khi 
Câu 30: Đáp án B.
Câu 31: Đáp án A.
Gọi vận tốc trung bình của Thảo là x (km/h), 
Gọi vận tốc trung bình của Châu là (km/h)
Thời gian Thảo đi từ A đến B là (h)
Thời gian Châu đi từ A đến B là (h)
Ta có phương trình: 
Vậy Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 12km/h.
Câu 32: Đáp án C.
Gọi A, B, C lần lượt là số đo 3 góc của tam giác (), đơn vị độ. Không mất tính tổng quát ta giả sử 
Theo đề ta có
 hoặc 
 hoặc 
 hoặc 
Câu 33: Đáp án B.
Đặt ()
(1) thành (2)
Phương trình (1) vô nghiệm
 phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm hoặc 
Câu 34: Đáp án C.
+ Nếu thì phương trình trở thành 
Kết hợp với có nghiệm 
+ Nếu thì phương trình trở thành 
Kết hợp với ta có phương trình vô nghiệm.
Kết luận phương trình có nghiệm
Câu 35: Đáp án A.
ĐKXĐ: 
Với điều kiện trên ta có:
Vậy phương trình có 2 nghiệm 
Câu 36: Đáp án D.
Câu 37: Đáp án D.
Điều kiện: .
 (2), phương trình luôn có nghiệm là và , để phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm thì 
Câu 38: Đáp án D.
. Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn khi phương trình (2) có hai nghiệm thuộc đoạn và khác 
.
Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn.
Câu 39: Đáp án C.
Để phương trình có hai nghiệm . (*)
Theo định lí Viet, ta có
Khi đó 
Vì 
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : thỏa mãn (*).
Câu 40: Đáp án D.
Đồ thị như hình vẽ:
Câu 41: Đáp án B.
Với 
hệ có nghiệm duy nhất 
Ta có 
Câu 42: Đáp án A.
Vì c, d là hai nghiệm của phương trình suy ra .
Vì a, b là hai nghiệm của phương trình suy ra .
Khi đó, ta có hệ
.
Lại có 
.
- Với thì từ : mâu thuẫn giả thiết.
- Với thì từ và từ .
Ta có: 
.
Khi đó 
Câu 43: Đáp án B.
Ta có 
Xét (1), ta có:
+ thì phương trình nghiệm đúng với mọi .
+ thì có nghiệm .
Xét (2), ta có:
+ thì phương trình vô nghiệm.
+ thì phương trình có nghiệm .
Vì nên phương trình có hai nghiệm, phân biệt là khi và .
Mà và 
 có 9 giá trị m.
Câu 44: Đáp án D.
ĐKXĐ: 
Đặt 
.
Với mỗi t thỏa mãn thì (*) có hai nghiệm x phân biệt.
Mặt khác phương trình đã cho trở thành: (**)
 k
Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm khi và chỉ khi (**) có hai nghiệm t phân biệt thỏa điều kiện
 hay 
 Có vô số giá trị m
Câu 45: Đáp án C.
ĐK: 
 (t/m)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất 
Câu 46: Đáp án D.
+ Đặt . Khi đó ta có:
.
+ Sử dụng định lí Viet đảo hoặc phương pháp thế ta được: 
+ Vì vai trò của u, v như nhau nên ta chỉ cần xét ta có:
Câu 47: Đáp án B.
Điều kiện: (*)
Ta thấy thỏa mãn điều kiện (*) 
Nếu thì
(*) .
Do đó điều kiện xác định của phương trình là hoặc .
Thay và vào phương trình thấy chỉ có thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Câu 48: Đáp án B.
Hệ phương trình tương đương với
Đặt , hệ phương trình đã cho trở thành.
Với ta có 
Với ta có
Vậy hệ phương trình có nghiệm là và .
Câu 49: Đáp án A.
Điều kiện: 
Hệ 
(Do 
)
Thay vào hệ ta được:
.
Vậy hệ có nghiệm: .
Câu 50: Đáp án B.
Ta thấy không là nghiệm của hệ nên ta biến đổi hệ trở thành
Đặt ta có hệ:
* .
* .
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: