Đề cương ôn tập Toán Lớp 10 - Chuyên đề: Hệ phương trình hai ẩn

Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Định nghĩa: Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c và a’x + b’y = c’. Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x0;y0) thì được gọi là nghiệm của hệ (I)
- Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
2. Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:
- Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)
- Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d’)
* Nếu (d) cắt (d) hệ có nghiệm duy nhất
* Nếu (d) // (d’) hệ vô nghiệm
* Nếu (d) trùng (d’) hệ có vô số nghiệm.
3. Hệ phương trình tương đương:
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp dùng định thức:
a/ Quy tắc thế ( Sgk Toán 9-T2-Tr 13)
b/ Quy tắc công đại số ( Sgk Toán 9-T2-Tr 16)
c/ Phương pháp dùng định thức: (Để nhớ định thức ta nhớ câu: Anh Bạn Cầm Bát Ăn Cơm)
Từ hệ phương trình (I) ta có:
- Nếu D , thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: 
- Nếu D = 0 và Dx hoặc Dy , thì hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu D = Dx = Dy = 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm
III/ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải và biện luận. 
Bài toán 1 : Giải và biện luận hệ : 
Giải
Các bạn có thể chọn một trong ba phương pháp:
* Cách 1: Phương pháp thế
 Ta có: Từ (2) y = 3 - x. Thế vào (1) ta được:
 Pt (1) mx + 2(3 - x) = 2m (m - 2)x = 2m - 6 (3).
 + Nếu m - 2 = 0 m = 2 thì (3) trở thành 0 = - 2, vô nghiệm (không được nói là phương trình... vô lí !).
 + Nếu m - 2 0 m 2 thì (3) x = 
 Thay vào (2) ta được:
 (2) : y = 3 - = 
 Hệ có nghiệm duy nhất : (x;y) = (; ).
* Cách 2: Phương pháp định thức:
Từ hệ phương trình ta có:
- Nếu D 0 m – 2 0 m2
Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
- Nếu D = 0 m – 2 = 0 m=2 
 hệ phương trình vô nghiệm - LK:.
2. Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
 Những yêu cầu về nghiệm thường gặp :
- Nghiệm của hệ thỏa mãn những bất đẳng thức. 
- Nghiệm của hệ thỏa mãn một hệ thức. 
- Nghiệm của hệ là những số nguyên.
Bài toán 2 : Tìm m để hệ :
có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0. 
Giải 
Nhân hai vế của (2) với -3, ta có:
 (2) -3x - 3my = -9 (3)
Cộng từng vế của (1) và (3) dẫn đến : - 2y - 3my = m - 9 
 (2 + 3m)y = 9 - m (4)
+ Nếu 2 + 3m = 0 m = thì (4) trở thành 0 = 29/3 vô nghiệm.
+ Nếu 2 + 3m 0 ; m thì : (4) y = 
 Thế vào (1) ta có : 3x – 2. = m x = 
Khi đó x > 0 và y > 0
Kết hợp với điều kiện có nghiệm là m 
Tóm lại : Hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0 khi và chỉ khi -2/3 < m < 9
Bài toán 3 : Cho hệ : 
a) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm x, y nguyên.
b) Tìm m sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn x2 + y2 = 0,25. 
Giải 
a) Từ (2) m y = 4x + 2 nên thế vào (1) ta có : 
 x + (m + 1) (4x + 2) = 1 
 (4m + 5)x = -2m - 1 (3) 
+ Nếu 4m + 5 = 0 m = - 5/4 thì (3) vô nghiệm. 
+ Nếu 4m + 5 0 m- 5/4 thì (3) 
Thế vào (2) thì : y = - 4. + 2 = 
Trước hết ta thấy : Vì m nguyên nên 4m + 5 là số nguyên lẻ. 
Do đó : y nguyên 4m + 5 là ước số lẻ của 6
 4m + 5 { -1;1;-3;3} m {-3/2;-1;-2;-1/2} 
- Với m = - 1 thì x = 1 ; y = 6 thỏa mãn. 
- Với m = - 2 thì x = - 1 ; y = - 2 thỏa mãn.
 Tóm lại : Hệ có nghiệm x và y là số nguyên m = - 1 hoặc m = - 2.
b) Ta có x2 + y2 = 0,25 [ - (2m + 1)/(4m + 5)]2 + [ -6/(4m + 5)]2 
 = 1/4 4(2m + 1)2 + 4.36 = (4m + 5)2 khi và chỉ khi m = 123/24 
3.Giải các hệ đưa về hệ bậc nhất hai ẩn (thông qua các ẩn phụ). 
Bài toán 4 : Giải hệ : 
Giải 
Đặt thì u = 1/(2x - y); v = 1/(2x + y) hệ trở thành : 
Giải hệ này ta có u = 1/3 ; v = 1/5 Từ đó ta có :
4. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất. 
Có khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức lại xuất hiện loại hệ này. Ta xét bài toán sau : 
Bài toán 5 :
 Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 F = (mx + 2y - 2m)2 + (x + y - 3)2 
Giải 
 Ta thấy F ≥ 0 với mọi x, y, m và F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 
 khi hệ sau có nghiệm :
Hệ này chính là hệ ở bài toán 1, có nghiệm m 2. 
Với m = 2 thì F = (2x + 2y - 4)2 + (x + y - 3)2.
Đặt t = x + y - 2 ta có : 
F = (2t)2 + (t - 1)2 = 5t2 - 2t + 1 = 5(t - 1/5)2 + 4/5 ≥ 4/5 
Khi đó F đạt giá trị nhỏ nhất là 4/5 t = 1/5 
Tóm lại :
 Nếu m = 2 thì F nhỏ nhất là 4/5 
 Và nếu m 2 thì F nhỏ nhất bằng 0.
Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
Bài toán 6: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn
Vì: x2(1 – y) + 4y = 4
 ó x2 + 4y = 4 + x2y
 ó (x2 – 4)(y – 1) = 0
Nên hệ pt đã cho tương đương với:
a/ Giải ( vô nghiệm)
b/ Giải 
Đáp số: (x; y) = ( 0; 1 )
Bài toán 7: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn
IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG
*/ Lo¹i 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng phương pháp thế, định thức:
Bài 1
Bài 2:
LOẠI 2: Hệ phương trình gồm một phương trình là bậc nhất, một phương trình không phải bậc nhất
LOẠI 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
DẠNG 1:
*/ DẠNG 2:
*/ LOẠI 4: Hệ hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích được thành nhân tử
*/ LOẠI 5: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y:
-Hệ có dạng: 
- Cách giải:
 * Cách 1:
Nhân 2 vế của phương trình (1) và phương trình (2) với k và k’ sao cho:
k.d = k’.d’
rồi trừ từng vế của hai phương trình cho nhau ta được một phương trình dạng:
Ax2 + Bxy + Cy2 = 0 (*)
+/ Xét y = 0 
+/ Xét y 0, ta đặt: x = yt
 pt (*) trở thành: Ay2t2 + By2t + Cy2 = 0
 At2 + Bt + C = 0
 Giải phương trình trên tìm t. 
* Cách 2:
Chọn hai số m và n sao cho: a.m = a’.n
+/ Nhân hai vế của phương trình (1) với m, phương trình (2) với n 
+/ Trừ từng vế của hai phương trình cho nhau, ta được phương trình dạng:
B(x, y) + Cy2 = D (3)
+/ Xét y = 0 
 +/ Xét y 0, từ (3) x = 
 Thay (4) vào (1) hoặc (2), ta được một phương trình trùng phương.
Bài tập: Giải các hệ phươ:ng trình sau
*/LOẠI 6: Hệ đối xứng loại 1
- Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi
Hệ có dạng: 
- Cách giải:
Ta quy về hệ phương trình biết tổng và tích của hai nghiệm:
Biến đổi các phương trình trong hệ về dạng: x + y và x.y
 Đặt: ĐK: S2 – 4P 0 (*)
Thay vào hệ phương trình (I), ta được một hệ phương trình có hai ẩn là S và P
 Hệ phương trình (I) có nghiệm Hệ phương trình ẩn S và P có nghiệm thỏa mãn (*).
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:
LOẠI 7: Hệ đối xứng loại 2:
- Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2) trở thành phương trình (1).
Hệ có dạng: 
- Cách giải:
Trừ từng vế của phương trình (1) và (2) ta được một phương trình dạng:
 (x – y) [A(x; y)] = 0 
 Hệ phương trình (I) 
 Giải hệ (II) và (III) để tìm nghiệm
Chú ý: Nếu trong cả hai phương trình các ẩn đề có lũy thừa là số lẻ thì ta có thể cộng và trừ từng vế của hai phương trình, khi đó ta được một hệ phương trình tương đương với hệ pt (I):
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:
LOẠI 8: Hệ có chứa căn thức:
Lưu ý: - Trước khi giải hệ phải đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa
 - Sau khi giải xong cần đối chiếu với điều kiện trên
Bài tập1: 
 Giải các hệ phương trình sau ( Đặt ẩn phụ
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 
HD
 ĐK: x 0 và y 0
 Từ đk suy ra: 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0
 Đ/s: x = y = 0 
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
HD
Nhân hai phương trình của hệ ta thu được:
Ta có bất đẳng thức: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1, suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1; y = 1
Bài 4: Giải các hệ phương trình:
HD
 a/ Ta có: 
b/ Trừ các phương trình của hệ đã cho vế theo vế
*/LOẠI 9: Hệ phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
HD
Dùng phương pháp thế, đưa hệ phương trình về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
*/LOẠI 10: Hệ có chứa tham số
 Bài 1 : Cho hệ : 
a) Tìm n để hệ có nghiệm với mọi giá trị của m. 
b) Với n = 2, hãy tìm m sao cho hệ có nghiệm thỏa mãn x < 0 và y < 0.
c) Với n = 3, hãy tìm số nguyên m sao cho hệ có nghiệm x, y là các số nguyên.
 Bài 2 : Tìm m để hệ có nghiệm :
Bài 3 : Tùy theo m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 a) F = (mx - 2y + 1)2 + (3x + y)2
 b) Q = |x - my| + |2x + y - 1|
Bài 5 : Chứng minh rằng : Nếu hệ 
có nghiệm thỏa mãn cx + ay = b thì : a3 + b3 + c3 = 3abc. 
Chñ ®Ò : mét sè bµi to¸n sö dông hÖ thøc vi- et
I/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Định lí Vi-ét:
 Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a0). Nếu phương trình có hai nghiệm x; x thì: 
2.Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: 
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: 
3. Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Hai số x; y có x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là hai nghiệm của phương trình:
Điều kiện: S 4P
BỔ SUNG
a/ Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a0) có nghiệm thì tam thức phân tích được thành nhân tử: = a(x – x1)(x – x2)
b/ Xét dầu các nghiệm của phương trình:
ax + bx + c = 0 (a0) (1)
Điều kiện để phương trình (1)
- Có hai nghiệm trái dấu P < 0.
- Có hai nghiệm cùng dấu là và P > 0
- Có hai nghiệm cùng dương là , P > 0, S > 0
- Có hai nghiệm cùng âm là , P > 0, S < 0.
II/ CÁC BÀI TẬP
*/ DẠNG THỨ NHẤT: Lập phương trình khi biết hai nghiệm
Bài 1:
a/ x1 = ; x2 = - b/ = -2 ; x2 = 3 	c/ x1 = 1; x2 = - 0,9 d/ x1 = ; x2 = 
e/ x1 = ; x2= f/ x1 = 5 +2; x2 = 	g/ x1 = 3 + 2; x2 = h/ x1 = 4 – 3; x2 = 4 + 3	i/ x1 = ; x2 = 	k/ x1 = ; x2 = 
l/ x1 = 3 - ; x2 = 3 + 	m/ x1 = 4; x2 = 1 - 	
n/ x1 = -1,9; x2 = 5,1 	o/ x1 = 3 + ; x2 = 
Bài 2: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2 – 7x – 3 = 0. Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
d/ 	 
Bài 3: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 + px – 5 = 0. Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
Bài 4: Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình 3x2 + 7x + 4 = 0. Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: 
Bài 5:
a/ Chứng minh rằng nếu a1; a2 là hai nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0; b1; b2 là hai nghiệm của phương trình: x2 + qx + 1 = 0 thì: (a1 – b1)(a2 – b2)(a1 + b1)(a2 + b2) = q2 – p2
b/ Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình: x2 + ax + 1 = 0 với một nghiệm nào đó của phương trình x2 + bx + 1 = 0 là nghiệm pt thì: 
c/ Cho phương trình: x2 + px + q = 0 Chứng minh rằng nếu 2p2 – 9q = 0 thì phương trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 
*/ DẠNG 2: Tìm tổng và tích các nghiệm
Bài 1: Cho phương trình x2 – 5x + 3 = 0. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính:
Bài 2: Cho phương trình –x2 – 4x + 1 = 0. Không giải phương trình hãy tính:
a/ Tổng bình phương các nghiệm b/ Tổng nghịch đảo các nghiệm
c/ Tổng lập phương các nghiệm d/ Bình phương tổng các nghiệm
e/ Hiệu các nghiệm f/ Hiệu bình phương các nghiệm.
Bài 3: 
Cho phương trình: x2 + 4x + 8 = 0 có hai nghiệm x1; x2. Không giải phương trình hãy tính:
DẠNG 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Bài 1: 
Tìm hai số u, v biết: 
a/ u + v = 32; u.v = 231	 	b/ u + v =-8; u.v = -105	c/ u + v = 2; u.v = 9	 d/ u + v = 42; u.v = 441	e/ u - v = 5; u.v = 24	f/ u + v = -5; u.v = -24
g/ u2 + v2 = 85; u.v = 18	h/ u - v = 3; u.v = 180	i/ u2 + v2 = 5; u.v = -2 j/ u2 + v2 = 25; u.v = -12 
DẠNG 4: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm.
Bài 1: Cho phương trình x2 – 6x + m = 0. Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 	 	 	
Bài 2: Cho phương trình: x2 – 8x + m = 0. Tính giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn một trong các hệ thức sau:
Bài 3: Cho phương trình: x2 – (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 .Tính giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 = 2x2. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của phương trình.
Bài 4: 
 a/ Tìm k để pr: x2 + (k – 2)x + k – 5 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x + x = 10 
b/ Tìm k để pr: x2 - 2(m – 2)x – 5 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x + x = 18
c/ Tìm k để pt: (k + 1)x2 – 2(k + 2)x + k – 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:
 (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
d/ Tìm k để pt: 5x2 + mx – 28 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn: 5x1 + 2x2 = 1
Bài 5: Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt: mx2 + (m – 1)x + 3(m – 1) = 0
 Chứng minh: 
*/ DẠNG 5: Các bài toán tổng hợp
Bài 1:Cho phương trình: x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0
a/ Định m để phương trình có một nghiệm là 2. Khi đó phương trình còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
b/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x + x = 1 
d/ Định m để phương trình có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 2: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – m = 0
a/ CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m
b/ Với m 0. Hãy lập PT ẩn y có hai nghiệm là: 
c/ Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 3.
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2(k + 3)x + 2k – 1 = 0
a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k
b/ CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
d/ Định k để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 
e/ Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất?
Bài 4: Cho phương trình: 
a/ Giải phương trình trên khi m = 2/3
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 16
Bài 5: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
a/ Giải và biện luận pt trên
b/ Tìm giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?
c/ Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 của pt thỏa mãn: 10x1x2 + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó?
Bài 6: Cho pt: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Đặt A = 2(
Chứng minh: A = 8m2 – 18m + 9
Tìm m sao cho A = 27
c/Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy.
Bài 7: Cho pt: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0
a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m
b/ Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu
c/ Tìm m để pt có hai nghiệm dương
d/ CMR biểu thức không phụ thuộc m.
e/ Tính giá trị của biểu thức x1 – x2
Bài 8:
a/ Phương trình: x2 – 2px + 5 = 0 có nghiệm x1 = 2. Tìm p và tính nghiệm kia?
b/ Phương trình: x2 + 5x + p = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm p và tính nghiệm kia?
c/ Biết hiệu hai nghiệm của pt: x2 – 7 + q = 0 bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
d/ Tìm giá trị của m để pt: x2 + 2(m + 2)x + 2m2 + 7 = 0 có nghiệm x1 = 5 khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?
Bài 9: 
Cho phương trình: x4 + 2mx2 + 4 = 0 (1) Tìm giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn:= 32
Hướng dẫn
Đặt x2 = t suy ra phương trình trở thành: t2 + 2mt + 4 = 0 (2)
Pt (1) có 4 nghiệm phân biệt pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1; t2
Đ/s: m < -2. Khi đó (1) có 4 nghiệm là và 
Bài 10: Cho phương trình: (1)
a/ Giải pt với m = 15
b/ Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn
	Pt (1) ; Đặt (*)
Thì pt (1) trở thành: y2 + 2y – m = 0 (2)
( Với m = 15, tìm y sau đó tìm x)
b/ Từ (*) ta thấy tồn tại hai giá trị của x khi và chỉ khi y 0
Do đó pt (1) có 4 nghiệm phân biệt pt (2) có 2 nghiệm p/b thỏa mãn: y 
Theo định lý Vi-ét: y1 + y2 = -2 nên (2) chỉ thỏa mãn khi y1 < -4 < 0 < y2
CHỦ ĐỀ: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ
Qua chủ đề này giúp học sinh:
- Biết được một số bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai như: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện
- Biết cách đưa một số phương trình bậc cao về phương trình bậc hai( phương trình quy về phương trình bậc hai)
- Rèn kỹ năng giải toán và trình bày lời giải cho học sinh
II/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Công thức nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a )
2. Một số bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai
Giả sử phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a ) có hai nghiệm x1; x2 và 
x1 + x2 = S, x1.x2 = P thì ta có các bài toán tổng quát sau:
* Bài toán 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: hoặc hoặc 
* Bài toán 2: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
* Bài toán 3: Tìm điều kiện để phương trình có một nghiệm: hoặc 
* Bài toán 4: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:
* Bài toán 5: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghệm dương ( 0 < x1 x2 ).
* Bài toán 6: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm ( x1 x2 < 0 ):
* Bài toán 7: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu ( x1 < 0 < x2 ):
P < 0
* Bài toán 8: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: 0 = x1 < x2:	
* Bài toán 9: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: x1 < x2 = 0:
* Bài toán 10: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: x1 = x2 = 0 
*/ Chú ý: Ta lưu ý đến điều kiện a # 0 để phương trình có hai nghiệm
So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số 
* Số nằm giữa hai nghệm: x1 < < x2 
* Số nằm phía trái của hai nghiệm: < x1 < x2
* Số nằm phía phải của hai nghiệm: x1 < x2 < 
* So sánh nghiệm với 2 số . 
III/ MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA:
1.Bài toán 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 (1) 
 a/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
 b/ Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
 c/ Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: -2 < x < 4
Giải
a/ Phương trình (1) có: = (- m)2 – m2 + 1
 = m2 – m2 + 1 > 0
 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu:
Vậy với m > 1 hoặc m < - 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
c/ Để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: -2 < x < 4
( I )
( II )
Giải (I) ta được: m > - 1
Giải (II) ta được: m < 3 
Vậy với - 1 < m < 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn -2 < x < 4
2.Bài toán 2: Cho phương trình: x2 – (a2 + 3 )x +a2 + 2 = 0 (*)
 CMR: phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt
HD
Để pt có hai nghiệm dương phân biệt: 
Ta có: 
Vậy (1) luôn đúng với mọi a
Ta có: S = x1 + x2 = a2 + 3 3 	Vậy (2) luôn đúng với mọi a
Ta có: P = x1.x2 = a2 + 2 2	Vậy (3) luôn đúng với mọi a
 KL: Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt dương với mọi a
3.BÀI TẬP VẬN DỤNG
Cho phương trình : .
Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi .
Chứng minh có một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm số không phụ thuộc .
Tìm những giá trị nguyên của để biệt thức của phương trình sau là số chính phương : .
Tìm để phương trình có 4 nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn 4 nghiệm đó lên trục số nó chắn trục số thành 3 đoạn bằng nhau.
Tìm để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt : 
Chứng minh rằng phương trình bậc hai : không thể có nghiệm hữu tỷ nếu đều là số lẻ.
Tìm để hai phương trình sau tương đương : 
 và 
Giả sử là các nghiệm của phương trình : 
 Chứng minh : . 
Chứng minh rằng nếu các hệ số phương trình sau luôn có nghiệm :
Chứng minh rằng nếu các hệ số của phương trình : thỏa mãn điều kiện : thì phương trình sẽ có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Chứng minh rằng nếu với là các số dương thì phương trình sau đây vô nghiệm : .
Chứng minh rằng : là nghiệm của phương trình : .
Tìm giá trị của tham số để 2 bất phương trình sau đây có đúng một nghiệm chung : .
Cho 2 phương trình . Chứng minh rằng nếu thì ít nhất có một trong 2 phương trình trên phải có nghiệm.
Cho phương trình có nghiệm là .
Tính theo các biểu thức sau : 
Cho . Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào .
Chứng minh rằng nếu phương trình có 2 nghiệm dương thì phương trình cũng có 2 nghiệm dương.
Với giá trị nào của thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung :
 .
Cho hai phương trình : 
Tìm để 2 phương trình (1), (2) có cùng tập hợp nghiệm.
Tìm để phương trình có 2 nghiệm sao cho .
Cho hàm số , tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ thỏa mãn : .
Tìm các giá trị của sao cho 2 phương trình có nghiệm chung.
Cho phương trình : ( là tham số)
Tìm để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt . Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào . Tìm để phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức : .
IV/ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp 1:
- Trường hợp phương trình có ẩn số ở mẫu, ta thu tất cả về một vế, vế còn lại bằng 0
- Đặt điều kiện các mẫu khác 0. Do đó suy ra điều kiện của ẩn trong phương trình
- Giải phương trình bằng cách quy đồng mẫu thức. So với điều kiện trước khi trả lời
Phương pháp 2:
Trường hợp ẩn x có bậc cao
- Biến đổi phương trình thành phương trình tích hoặc 
- Hoặc vận dụng cách đặt ẩn phụ
Các ví dụ:
Giải các phương trình:
HD
b/ Đặt với y 1, x 1 (*) 
Do đó (2) x2 - 5x + 6 = 0 
Phương trình có hai nghiệm là: x1 = 3; x2 = 2( thỏa mãn (*))
c/ Đặt x3 = t phương trình đã cho tương đương với: t2 – 2y – 80 = 0
d/ Phương trình đã cho tương đương với: (x + 1)2(x2 + 2)(x – 1) = 0 
V/ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 	2) 	3) 4) 	5) 6) 
7) 	8) 	9) 10) 11) 12) 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
 1) 	2) 	3) 4) 
 5) 	 6) 	7) 
Bµi 3: Gi¶i các phương trình sau:
 a/ 	b/ 	c/ d/ e/ 	f/ 
 g/ 	 h/ k*/ u/ 
Bµi 11: Gi¶i các phương trình:
a/ b/ 	c/ d/ 	e/ 	 f/ 
­/ ¬/ 
g/ 	h/ 	k/ m*/ 	n*/ 	u*/ 
s/ 	 t/ 
Bµi 5. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
Bµi 6. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 
c) 	d) 	
e)