Đề cương ôn tập Toán lớp 11

A - ĐẠI SỐ.
Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác.
Tìm TXĐ của các hàm số sau:
Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác.
Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
Tìm GTLN & GTNN của các hàm số sau:
Dạng 4: Giải phương trình lượng giác.
 4.1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
 4.2) Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
 4.3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
 4.4) Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
 4.4.1/ Dạng:(asin2x + bcosx + c = 0; acos2x + bsinx + c = 0)
 4.4.2/ Dạng: atanx + bcotx + c = 0.
 4.4.3/ Dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d.(PP: xét cosx = 0 có thoã pt không; xét cosx 0: chia 2 vế cho cos2x)
	(HD: chia hai vế cho cosx)
 4.5) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
	1)	2) 	3)
	4) Cho phương trình: .
	 a) Giải phương trình với m = 1.
	 b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
	5) Cho phương trình: .
	 a) Giải phương trình khi m = .
	 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
	 c) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Chương II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT.
I. NHỊ THỨC NEWTON
Bài 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển 
Bài 2: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển 
Bài 3: Biết rằng trong khai triển có hệ số của số hạng thứ ba bằng 5.
Hãy tìm n, và số hạng chính giửa trong khai triển
II. QUY TẮC ĐẾM
Bài1: Cho tập A={1;2;3;5;7;9}
 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số 
 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi môt khác nhau
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau
Có bao nhiêu số tự nhiên lẽ có 5 chữ số đôi một khác nhau
Bài 2: Cho tập A={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số 
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi môt khác nhau
c) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau
d) Có bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số đôi môt khác nhau chia hết cho 5
Bài 3: Cho tập A={1;2;3;4;5;6;7;8;9} Tìm các số tự nhiên gôm 5chữ số lấy ra từ các số trên sao cho:
Chữ số đầu tiên là 3
Không tân cung bằng chư số 4
Các chữ số đều khác nhau
Bài 4: Cho tập A={1;2;3;4;5;6;7;8;9} Tìm các số tự nhiên gôm 5chữ số lấy ra từ các số trên sao cho:
Bắt đầu bằng chữ số 5
Bắt đầu bằng 23
Không băt đầu bằng 23
Không băt đầu bằng chữ số 1
Bài 5: Đề thi môn toán của khối 12 gồm hai loại: đề tự luận và đề trắc nghiêm. Môt học sinh phải thực hiên hai đề: đề tự luận và đề trắc nghiệm trong đó có 22 đề tự luận và 15 đề trắc nghiệm. Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn đề 
III. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
Bài 1: Xếp 6 người A,B,C,D,E,F ngồi vào một ghế dài 
6 người ngồi bất kỳ
A và F ngồi ở hai đầu ghế
A và F luôn ngồi cạnh nhau
Bài 2: Có 6 người gồm 3 nam và 3 nữ có bao nhiêu cách sắp xếp
6 người thành một hàng dọc
6 người thành một hàng dọc nam nữ xen kẽ nhau
6 người này sao cho hai người A và B không đứng cạnh nhau. 
Bài3: Có 7 người gồm 4 nam và 3 nữ có bao nhiêu cách sắp xếp
7 người thành một hàng dọc
7 người thành một hàng dọc nam nữ xen kẽ nhau
3 người nữ đứng sát nhau
Bài 4:Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 7 bi đỏ, có bao nhiêu cách chọn bốn viên bi
4 viên bi bât kỳ
Có hai viên bi xanh hai viên bi đỏ
Các viên bi cùng màu
Có ít nhất 1 viên bi màu đỏ
Bài 5: Lớp học có 48 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự gồm ba người: một lớp trưởng, một lớp phó học tâp, môt thủ quỹ ( biết mỗi người chỉ giữ môt chức vụ).
Bài 6: Môt cuộc thi chạy có 22 vân động viên, có ba giải một nhất, môt giải nhì một giải ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xãy ra cho giải biêt không có trương hợp hai vận động viên về cùng đích.
Bài 7: Cho 20 điểm phân biệt 
Có bao nhiêu véc tơ được lập từ 20 điểm đó
Có bao nhiêu đoạn thẳng được lập từ 20 điểm đó
Bài 8: Cho hình lục giác lồi
Có bao nhiêu đường chéo 
Có bao nhiêu đoạn thẳng được lập từ các đỉnh của hình trên
Có bao nhiêu véc tơ được lập từ các đỉnh của hình trên
Bài 9: Bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 quân bài sao cho
4 quân bài đều là quân át
2 quân at và 2 quân ka
Có ít nhất một quân át
Bài 10: Có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Môt giáo viên cần chọn ra 3 học sinh để đi lao động trong đó ít nhất một học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 11: Một lớp học gồm có 20 hs nam và 23 hs nữ cần chọn ra 4 hs đi lao động sao cho
có 2 hs nam và 2 hs nữ
có it nhất 1 hs nữ
Bài 12: Một lớp học gồm có 20 hs nam và 24 hs nữ cần chon ra 6 hs di lao động trong đó phải có nam, nữ và số hs nam ít hơn hs nữ.
IV. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Bài 1:Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 7 bi đỏ, lấy ngẩu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất của các biến cố sau
A: “có hai viên bi xanh hai viên bi đỏ”
B: “ 4 viên bi cùng màu”
C: “Có ít nhất 1 viên bi màu đỏ”
Bài 2: Bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài, lấy ngẩu nhiên 4 quân bài. Tính xác suất tính các biến cố sau.
A: “4 quân bài đều là quân át”
B: “2 quân át và 2 quân ka”
C: “Có ít nhất một quân át”
Bài 3:Gieo con súc sắc đồng chất cân đối hai lần liên tiếp
Mô tả không gian mẩu
Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “ Lần đầu xuất hiên mặt năm chấm”
B: “ Tổng số châm hai lần gieo là 7”
C: “ Tích số chấm hai lần gieo là 12”
D: “ Tổng số chấm hai lần gieo không lớn hơn 5”
Bài 4:Gieo cùng một lúc hai con súc sắc đồng chất cân đối
Mô tả không gian mẩu
Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “xuất hiên mặt năm chấm”
B: “ Tổng số châm là 7”
C: “ Tích số chấm là 12”
Bài 5: Gieo con súc sắc đồng chất cân đối ba lần liên tiếp. Tính xác suất mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần
Bài 6:Gieo ngẩu nhiên đồng xu đồng chất cân đối hai lần liên tiếp
Mô tả không gian mẩu
Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “ Lần đầu xuất hiên mặt ngữa”
B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhât một lần”
Bài 7:Gieo ngẩu nhiên 3 đồng xu đồng chất cân đối một lần
Mô tả không gian mẩu.
Tính xác suất của biến cố:
	A: “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp”.
	B:” Mặt ngữa xuất hiện ít nhất một lần”.
	C:” Cả 3 lần xuất hiện cùng một mặt”.
Bài 8: Bốn khẩu đại bác A,B,C,D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác bắn trúng mục tiêu của từng khẩu đại bác lần lượt là: .
Tính xác suất để khẩu A bắn trúng mục tiêu còn 3 khẩu kia bắn trượt.
Tính xác suất để mục tiêu bị trúng đạn.
Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN.
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.
Bài 1: Chứng minh rằng với thì:
Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
BÀI 2: DÃY SỐ.
1) Cho dãy số (un) với .
Viết 6 số hạng đầu của dãy.
Tìm xem là số hạng thứ mấy của dãy.
2) Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:(HD: xét hoặc ).
3) Xét tính bị chặn trên, chặn dưới và bị chặn của các dãy số sau:
BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG.
1) Tính tổng:
55 + 60 + 65 ++ 855.
999 + 996 + 993 + + 3.
2002 – 1992 + 1982 – 1972 ++ 22 – 12	
2) Cho cấp số cộng (un) thoã .
Tìm số hạng đầu tiên và công sai.
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Tính tổng .
3) Cho cấp số cộng (un) thoã u7 – u3 = 8 và u2.u7 = 75. Tìm số hạng đầu tiên và công sai.
4) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm 3 góc đó?
BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN.
1) Cho cấp số nhân (un) thoã .
Tìm số hạng đầu và công bội.
Tính tổng 10 số hạng đầu tiên.
Tính tổng .
2) Cho cấp số nhân (un) thoã: u3 = 15 và u5 = 21.
Tìm số hạng đầu và công bội.
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên.
3) Tính tổng:
2 + 4 + 6 + + 13122.
3 – 15 + 75 -  + 234375.
Chương IV: GIỚI HẠN.
I – Giới hạn dãy số.
Lý thuyết:
Các giới hạn đặc biệt.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với 
Định lý:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	
(HD: nhân với lượng liên hợp)	
(HD: Đặt n làm nhân tử chung)
m) 	n) (HD: chia cả tử và mẫu cho 4n áp dụng: )
Bài 2: Tính tổng:
a) 	b) 	c) 
Bài 3: Một cấp số nhân có . Tính ?
II – Giới hạn hàm số.
Lý thuyết:
Các giới hạn đặc biệt.
	 (k là số lẻ)	 (k là số chẵn).
Giới hạn một bên: 
Nếu thì .
Nếu thì không tồn tại .
Một vài quy tắc về giới hạn vô cực.
a/ Giới hạn của tích f(x).g(x).	b/ Giới hạn của thương 
L>0
+
+
-
-
L<0
+
-
-
+
Dấu của g(x)
L
Tùy ý
0
L>0
0
+
+
-
-
L<0
+
-
-
+
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
Bài 2: Cho hàm số: . Tính: (nếu có).
Bài 3: Cho f(x) = |x – 2| + 1. Tính: ( nếu có)
III – Hàm số liên tục.
Phương pháp:
	* Hàm số f(x) liên tục tại xo Û .
	* Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b).
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 0: .
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 0: .
Bài 3: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x0 = 1: .
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm thuộc (-1; 1): .
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1): .
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) .
b) sinx = x.
c) cosx = x. 
d) sinx – x + 1 = 0.
Chương IV: ĐẠO HÀM.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong.
Phương pháp: Phương trình tiếp tyến có dạng: y- y0 = f’(x0)(x – x0)
Bài 1: Cho đường cong (C): y = x3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
Tại M(-1; -1).
Tại điểm có hoành độ bằng 1.
Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Bài 2: Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Dạng 2: Tính đạo hàm dựa vào quy tắc.
Lý thuyết:
Quy tắc tính đạo hàm:
Bảng đạo hàm:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sau:
	 ( a là hằng số)	
Dạng 3: Đạo hàm cấp hai.
Phương pháp: y(n) = (yn – 1)’
Bài 1: cho hàm số: y = acosx + bsinx (a; b là các hàng số tùy ý). Chứng minh: y” + y = 0.
Bài 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Bài 3: Chứng tỏ rằng mỗi hàm số sau đây thõa mãn một hệ thức tương ứng:
B – HÌNH HỌC.
Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG.
Bài 1: Cho đường thẳng d: 2x – y – 1 = 0 và điểm A(1; 1).
Xác định ảnh của A và d qua phép tịnh tiến biết .
Xác định ảnh của A và d qua phép đối xứng trục Ox.
Xác định ảnh của A và d qua phép đối xứng trục Oy.
Xác định ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.
Xác định ảnh của A và d qua phép quay . 
Xác định ảnh của A và d qua phép quay .
Bài 2: Tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục d trong các trường hợp sau:
 vuông góc với d.
//d.
 cắt d.
( vẽ hình minh hoạ)
Bài 3: Cho tam giác ABC đều. Xác định phép đối xứng trục biến tam giác ABC thành chính nó.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A ( AB = AC BC). Xác định phép đối xứng trục biến tam giác ABC thành chính nó.
Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A’; B’; C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.
Dựng ảnh A”B”C” của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm G.
Chứng minh A’B’C’~A”B”C”. Xác định tỉ số đồng dạng.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD tâm O.
Xác định ảnh của tam giác AOB qua việc thực hiện liên ti ... -2).
Xác định ảnh của (C) qua phép .
Xác định ảnh của (C) qua phép với I(1;-2).
Xác định ảnh của (C) qua phép quay biết I(1; - 2).
Xác định ảnh của (C) qua phép quay biết I(1; - 2).
Chương II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
	BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 1: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Bài 2: Cho S là một điểm không thuộc mp hình thang ABCD ( AB//CD và AB > CD ). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ diện ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mp:
	a, (SBM) và (SCD);
	b, (ABM) và (SCD);
	c, (ABM) và (SAC);
Bài 4: Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mp. M là một điểm thuộc miền trong của tam giác DAB và N là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Tìm giao tuyến của các mp:
	a, (AMN) và (DBC);
	b, (BMN) và (DCA);
	c, (CMN) và (DAB);
Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD với . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mặt phẳng (BCD).
Bài 6: Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD ( K không là trung điểm của BD ). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mp(MNK).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD. M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mp(AMN).
Bài 8: Cho tứ diện SABC. Gọi I và J là hai điểm theo thứ tự thuộc miền trong của các tam giác SAB, ABC. Giả sử IJ cắt mp(SAC). Xác định giao điểm của IJ với (SAC).
Bài 9: Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hang.
Bài 10: Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 11: Trong mp(P) cho tứ giác lồi ABCD. Một điểm S nằm ngoài mp(P )và M, N là hai điểm theo thứ tự lấy trên các đoạn thẳng AB và SC.
	a, Xác định giao điểm I của đường thẳng AN với mp(SBD) và giao điểm J của
 đường thẳng MN với mp(SBD).
	b, Chứng minh ba điểm B, J, I thẳng hàng.
	c, Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SAD).
BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mp(MNQ). Chứng minh rằng PQ // MN và PQ // AC.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD và S là điểm không thuộc mp của hình bình hành. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mp sau đây:
	a, (SAC) và (SBD);
 b, (SAB) và (SCD) ;
	c, (SAD) và (SBC);
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Cho I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC, M là một điểm tùy ý trên cạnh AD.
	a, Tìm giao tuyến d của hai mp (MIJ) và (ABD).
	b, Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểm của IN và JM. Tìm
 tập hợp điểm K khi M di chuyển trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD).
	c, Tìm giao tuyến của hai mp (ABK) và (MIJ).
Bài 5: Cho tứ diện BCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Bìa 6: Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng IJ // CD.
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trong taam của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF.
	a, Chứng minh răng OO’ song song với hao mp (ADF) và (BCE).
	b, Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN // (CEF).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM.
	a, Tìm giao tuyến của hai mp (SAD) và (SBC).
	b, Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng: NG // (SCD).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
	a, Chứng minh rằng OG // (SBC).
	b, Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB).
	c, Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho . Chứng minh rằng
 SA // (BID).
Bìa 6: Cho tứ diện ABCD. Qua M nằm trên AC ta dựng một mp() song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.
	a, Tứ giác MNPQ là hình gì ?
	b, Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các
 điểm O khi M di động trên đoạn AC. 
Chương III:
Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Phương pháp:
Các quy tắc về vecto: 
a ) Quy tắc 3 điểm: .
b) Quy tắc hình bình hành: 
c) Quy tắc hình hộp: 
d) Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác.
I là trung điểm của AB: (M tùy ý).
G là trọng tâm : (M tùy ý) 
Điều kiện đồng phẳng của 3 vecto:
Ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mp.
Cho hai vecto không cùng phương. Khi đó ba vecto đồng phẳng ( cặp (m; n) là duy nhất).
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành . Chứng minh rằng: .
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng.
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng.
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D”.
a. Hãy biểu diễn các vectơ theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đó
b. Chứng minh rằng: .
Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho . Chứng minh răng ba vectơ đồng phẳng.
Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp:
	Cách 1: Chứng minh một trong hai đường thẳng ấy vuông góc với mp chứa đường thẳng còn lại.
	Cách 2: Nếu hai đường thẳng đồng phẳng ta có thể dùng các phương pháp trong hình học phẳng.
	Cách 3: dùng định lý ba đường vông góc.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều.
a. Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau.
b. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh răng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng đường thẳng AO vuông góc với đường thẳng CD.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DA’.
b. Chứng minh BDAC’
Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng ABCD.
Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a. a. Tính góc giữa hai vectơ và .
b. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD trong đó ABAC, ABBD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.
Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp: Chứng minh đường thảng a vuông góc với mp(P)?
	Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
	Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b//(P).
	Cách 3: Chứng minh a vuông góc với (Q)//(P).
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên cạnh SB, SC và SD.
a. Chứng minh: BC(SAB), CD(SAD), BD(SAC).
b. Chứng minh: SC(AHK) và điểm I thuộc (AHK).
c. Chứng minh: HK(SAC), từ đó suy ra HKAI.
Bài 2: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh SO(ABCD).
b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK(SBD) và IK(SD).
Bài 3: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh:
a. OABC, OBCA, OCAB.
b. H là trực tâm của tam giác ABC.
c. .
Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA(ABC). Gọi D là điểm đối xứng với điểm B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng: CDCA và CD(SCA).
Bài 5: Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khac nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a. Chứng minh: BCAD.
b. Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH(BCD).
Bài 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp:
	Cách 1: Chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.
	Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mp bằng 900.
	Cách 3: Chứng minh (P) // (R) (Q).
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB(BCD). Trong tam giácBCD vẽ các đường cao BE; DF cắt nhau tại O. Trong (ADC) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Chứng minh:
(ADC) (ABE)
(ADC) DFK)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. M; N là hai điểm nằm trên cạnhBC; DC sao cho . Chứng minh rằng: (SAM) (SMN).
Bài 5: KHOẢNG CÁCH
Phương pháp:
Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d: Kẻ MHd (Hd). Khi đó MH chính là khảng cách cần tìm.
Dạng 2: Tính Khoảng cách từ điểm M đến mp(P): Kẻ MH(P) với H(P). Tính MH.
Dạng 3: Tính khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau:
	Cách 1: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
	Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 
	Cách 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh là a; SA(ABCD) và SA = a. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của SC, AB.
Chứng minh: IO(ABCD)
Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a. O là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh: SO(ABCD).
Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung diểm của BC. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng:
OA và BC.
AI và OC. 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa các cặp dường thẳng:
SB và CD.
SC và BD.
SC và AB.