Đề khảo sát chất lượng lớp 12 lần 1 môn Toán THPT năm học 2015-2016

 ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1 
 NĂM HỌC 2015-2016 
 Môn: TOÁN THPT 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1 (2,0 điểm) 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3+x2 -2x +1 tại điểm có 
hoành độ x = 1. 
b) Tìm m để phương trình:   

x 1
x m
x 2
 có hai nghiệm phân biệt. 
Câu 2 (1,0 điểm). 
a) Giải phương trình:  2cosx+s inx 1 sin2x . 
b) Cho cosα =    1 , 0
3 2
. Tính cos
6

  
 
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1 , 1
1
y x x
x
  

Câu 4 (1,0 điểm). 
a) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Niu-tơn của biểu thức 
 
 
 
8
3 2x
x
, với x 0 . 
b) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một 
khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số trong các số lập được, tính xác suất để lấy 
được số chẵn 
Câu 5 (1,5 điểm). Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng 
đáy(ABC), SA a 6 ,  AB AC a 3 , góc BAC bằng 0120 ; lấy điểm M trên cạnh BC 
sao cho MC = 2MB. 
 a)Tính góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC). 
 b)Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng 
SM và AC. 
 Câu 6(1,5 điểm) 
a)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x-y+2 = 0 và A(1;1). Viết phương 
trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với d 
b)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa 
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là 
3 5 8 0, 4 0x y x y      . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là  4; 2D  . Viết phương trình các đường 
thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3 
Câu 7 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
22 2
( 1)( 1) 2 4
x y y y
y y x x
   

    
 ( , )x y R . 
Câu 8 (1,0 điểm). Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a2+b2 + c(a+b) + 4c2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức: P =    
2 2
1a b c b a cP
a c b c c
 
  
 
Hết 
Họ và tên thí sinh:.; Số báo danh: 
Câu Nội dung Điểm 
Thay x =1 vào công thức hàm số ta có y = 1. Vậy tiếp điểm M(1;1) 0,25 
Ta có: y’ = 3x2+2x-2 y’(1) = 3 là hệ số góc của tiếp tuyến 0,25 
Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x-1) + 1 hay y = 3x-2 0,5 
2 ( 1) 2 1 0x m x m      (1) với 2x . 0,25 
+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 
 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2x 0,25 
2
2
6 5 0
2 ( 1).2 2 1 0
m m
m m
        
. 0,25 
1b 
(1,5) 
1 hoac 5
1 0
m m   
1 hoac 5m m   0,25 
Ta có:  2cosx+s inx 1 sin2x    (2cosx-1) s inx(2cosx 1) 0 
 (2cosx-1)(1- sin x) 0 0,25 
 



sinx 1
1
cosx=
2
2ª 
(0,5) 





 
 
  

x k2
2 (k Z).
x= k2
3
 0,25 
2 2 8 2 2sin 1 os , 0 sin
9 2 3
c            0,25 
2b 
(0,5) 
Khi đó: cos( ) cos cos sin sin
6 6 6
  
    
1 3 1 2 2 3 2 2
3 2 2 3 6

   0,25 
Với x > 1 ta có 
 2
1' 1 ' 0 2 ( 1)
1
y y x do x
x
      

 0,5 
x 1 2 + 
y’(x) - 0 + 
y(x) 
 +  + 
3 
Từ BBT ta có 
1
3 2
x
Min y khi x

  
0,5 
3 
(1,0) 
Chú ý: Học sinh có thể sử dụng BĐT Cô- si 
l
H
M
C
A
B
S
Số hạng tổng quát trong khai triển Niu-tơn của   
 
8
3 2x
x
là    
 
k
k 3 8 k
8
2
C (x )
x
 k k 24 4k
8
C 2 x 0,25 
Số hạng này không chứa x khi và chỉ khi 24 – 4k = 0  k = 6. 
4ª 
(0,5) 
Vậy số hạng không chứa x là 6 6
8
C 2 = 1792. 0,25 
Gọi số cần lập là abcd với a,b,c,d  0;1; 2;3; 4 , và a 0 . 
a có 4 cách chọn 
b có 4 cách chọn 
c có 3 cách chọn 
d có 2 cách chọn 
Số các số được lập là: 4.4.3.2 = 96 
0,25 
Ta xét hai trường hợp: 
Gọi số cần lập là abcd với a,b,c,d  0;1; 2;3; 4 , d chẵn và a 0 . 
Ta xét hai trường hợp: 
- Trường hợp 1: Lần lượt chọn như sau 
+ Chọn d = 0, có 1 cách; 
+ Chọn a, có 4 cách; 
+ Chọn b, có 3 cách; 
+ Chọn c, có 2 cách. 
Suy ra trường hợp 1 lập được 1.4.3.2 = 24 số. 
- Trường hợp 2: Lần lượt chọn như sau 
+ Chọn d bằng 2 hoặc 4, có 2 cách; 
+ Chọn a, có 3 cách; 
+ Chọn b, có 3 cách; 
+ Chọn c, có 2 cách. 
Suy ra trường hợp 2 lập được 2.3.3.2 = 36 số. 
4b 
(0,5) 
Vậy lập được 24 + 36 = 60 số 
Xác suất chọn được số chẵn là: P = 60 5
96 8
 
0,25 
a) Ta có: AC là hình chiếu của SC trên 
mf(ABC), nên góc giữa SC và 
(ABC) là góc SCA. 

0tanSCA 2 54,7SA SCA
AC
    
b) Diện tích tam giác ABC là: 
 01 . .sin120
2ABC
S = AB AC 
0,25 
0,25 
21 3 3 33. 3
2 2 4
a= a a . = (đvdt). 0,25 
Vậy thể tích hình chóp S.ABC là: 
2
.
1 1 3 3. . 6
3 3 4S ABC ABC
aV = S SA .a   
5 
(1,5) 
33 2
4
a= (đvtt). 
0,25 
*) Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABC ta có : 
BC2 = 2AB2 – 2AB2cos1200  BC = 3a  MB = a. 
Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABM ta có: 
2 2 2 0 22 . cos30AM AB MB AB MB a    AM a  AM BM a   . 
Do đó tam giác AMB cân tại M nên 
0 030 90 (1)BAM ABM MAC AM AC         
Mặt khác: ( )SA ABC SA AC   (2) 
Từ (1) và (2) ta có: ( ) (3)AC SAM 
Kẻ ( )AH SM H SM  (4) 
Từ (3) và (4) ta được:  ,d AC SM AH 
0,25 
Trong tam giác ASM vuông tại A ta có: 
2 2 2 2
1 1 1 7
6aAH SA AM
  
6 42
77
a aAH   . 
Vậy  ,d AC SM 42
7
a
 . 
0,25 
Tâm A(1;1). Khoảng cách từ A tới d là 
1 1 2
2
2
d
 
  . 2R  
Vậy phương trình đường tròn là: (x-1)2+(y-1)2=2 
0,5 
6 
(1,5) 
MK
H
D
CB
A
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm 
của BC và AD, E là giao điểm của BH và AC. Ta kí hiệu ,d dn u
 
 lần lượt là 
vtpt, vtcp của đường thẳng d. Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ 
của M là nghiệm của hệ phương trình: 
7
4 0 7 12 ;
3 5 8 0 1 2 2
2
xx y
M
x y y
                  

AD vuông góc với BC nên  1;1AD BCn u 
 
, mà AD đi qua điểm D suy ra 
phương trình của    :1 4 1 2 0 2 0AD x y x y        . Do A là giao điểm 
của AD và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 
E 
 
3 5 8 0 1
1;1
2 0 1
x y x
A
x y y
    
  
    
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình: 
 
4 0 3
3; 1
2 0 1
x y x
K
x y y
    
   
     
Tứ giác HKCE nội tiếp nên  BHK KCE , mà  KCE BDA (nội tiếp chắn cung 
AB ) Suy ra  BHK BDK , vậy K là trung điểm của HD nên  2; 4H . 
(Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh, 
trừ 0.25 điểm) 
Do B thuộc BC  ; 4B t t  , kết hợp với M là trung điểm BC suy ra 
 7 ;3C t t  . 
( 2; 8); (6 ;2 )HB t t AC t t   
 
. Do H là trực tâm của tam giác ABC nên 
        
2
. 0 2 6 8 2 0 2 14 2 0
7
t
HB AC t t t t t t
t

              
 
Do    3 2 2; 2 , 5;1t t B C     . 
Ta có        1; 3 , 4;0 3;1 , 0;1AB ACAB AC n n     
   
Suy ra : 3 4 0; : 1 0.AB x y AC y     
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 7: Giải hệ phương trình: 
22 2 (1)
( 1)( 1) 2 4 (2)
x y y y
y y x x
   

    
Điều kiện: 0x  , 0y  (*). 
2(2) 2 3 3 0y xy y x      2( ) (3 3 3) 0y xy y y x       
( 1) 3( 1) 0y y x y x       ( 1)( 3) 0y x y     
1 0y x    (vì 0y  )  1x y  (3) 
0,25 
 Thế (3) vào (1) ta có 22 2 2y y y y    ( 1y  ). 
2 ( 2)
2 2
y y y
y y

  
 
1( 2) 0
2 2
y y
y y
 
       
0,25 
2 (4)
1 0 (5)
2 2
y
y
y y

   
  
- Với (4) ta có (x = 1; y = 2) (thoả mãn (*)). 0,25 
- Xét (5): 
1y  ta có: 1 1 1 0
2 2 0 1
y
y y
   
  
 nên (5) 1y  . 
Từ đó ta có (x = 0; y = 1) (thoã mãn (*)). 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (x = 1; y = 2) và (x = 0; y = 1). 
0,25 
Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường tròn (C ): 2x2+2y2-2x+2y-1 = 0và hai đường thẳng d1: x-
y+4 =0; d2: 6x+4y-1=0. 
a) Tính khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d1. 
 b) Từ điểm M thuộc d 1 kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB tới (C ) với A,B là tiếp điểm. Viết 
phương trình đường thẳng AB biết tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABM thuộc d2. 
Trước hết ta có bổ đề:với a,b>0 thì  
22 2 x yx y
a b a b

 

 dấu bằng xảy ra khi x y
a b
 
(học sinh phải chứng minh) 0,25 
8 
(1,0) 
Áp dụng bổ đề ta có: 
2 2
2 21 1( )b aP a c b c b a a b c
a b c c
   
            
   
2 21 1 14 4 4 4 1
2 2
c c
c c c
         
 
Dấu “=” khi a=b=1;c=1/2. Vậy Pmax=1 khi a = b= 1 và c =1/2. 
0,5 
0,25