Đề olympic toán học lớp 10 trường THPT Nguyễn Gia Thiều

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 ĐỀ OLYMPIC TOÁN HỌC LỚP 10 
 Năm học 2010 – 2011 
 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4 điểm) 
 Cho parabol (P) 
2
4
x
y  , đường thẳng bất kỳ qua điểm F(0 ; 1) cắt (P) tại 
hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng 
1 1
FA FB
 không đổi. 
Câu 2 (5 điểm) 
1. Giải phương trình 
33 312( 1) 2 3x x x    . 
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 
2 6
6 2
x y m
x y m
    

   
. 
Câu 3 (5 điểm) 
Cho , ,x y z là ba số thực dương. Chứng minh rằng bất đẳng thức 
1 1 1 9
16 16 16 4
x y z
x y z
yz zx xy
    
         
    
. 
Câu 4 (4 điểm) 
Cho tam giác ABC biết BC = a , CA = 2a , AB = 3a . Gọi H là điểm 
được xác định bởi HA 2HB 3HC 0   . 
1. Chứng minh rằng HA2 – 2 HB2 + 3 HC2 = 0. 
2. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn MA2 – 2 MB2 + 3 MC2 = 6 2a . 
Câu 5 (2 điểm) 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(1 ; 2) và đường thẳng d có 
phương trình 4 3 23 0x y   . Đoạn thẳng EF trượt trên d có độ dài bằng 5. 
Tìm toạ độ E và F sao cho chu vi tam giác AEF nhỏ nhất. 
C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm 
Hä vµ tªn häc sinh:  Sè b¸o danh: