Đề tài Áp dụng định Vi - Ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực

 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
MỞ ĐẦU 
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
 Hiện nay trong chương trình Toán THPT phân ban của Bộ GD & ĐT không đưa 
vào nội dung định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, trong khi đó một số bài tập so 
sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực trong chương trình 
Toán THPT vẫn thường được sử dụng bằng phương pháp này gây ra khó khăn cho 
giáo viên giảng dạy và học sinh giải các bài tập này. Trong khi phương pháp “Áp 
dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với 
một hoặc hai số thực ” lại tỏ ra hữu ích với các loại bài này vì công năng đa dạng 
và đơn giản trong tư duy của học sinh. 
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 
 Đưa ra một số các dạng toán cơ bản có thể sử dụng phương pháp “Áp dụng 
định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một 
hoặc hai số thực ” để giải quyết, góp phần nâng cao năng lực giải toán của học 
sinh THPT. 
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
 Học sinh khối 10,11 &12- THPT PHẠM NGŨ LÃO từ năm 2007 đến 2011. 
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
 Để thực hiện nghiên cứu cần thực hiện phối hợp linh hoạt các phương pháp 
nghiên cứu. 
 1. Nghiên cứu lý luận 
 Phân tích chương trình môn toán SGK 10. Nghiên cứu về kỹ năng sử dụng 
phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương 
trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” trong các tài liệu lý luận, sách tham 
khảo. 
 2. Thực nghiệm và rút kinh nghiệm 
 Thông qua dự giờ thăm lớp, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, với các bạn đồng 
nghiệp, trao đổi và sát hạch học sinh bằng các bài kiểm tra. Từ đó rút ra kinh 
nghiệm giảng dạy. 
V.CẤU TRÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 Mở đầu 
 Tiềm năng và thực tiễn của việc rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp 
“Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai 
với một hoặc hai số thực ” cho học sinh THPT. 
 Định hướng và biện pháp rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp “Áp 
dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với 
một hoặc hai số thực ” cho học sinh THPT. 
 Tài liệu tham khảo. 
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
 I. Tiềm năng của phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán 
so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” 
“Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai 
với một hoặc hai số thực ” là phương pháp sử dụng mối liên hệ giữa các nghiệm 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
của phương trình bậc hai thông qua định lí Vi-ét để giải các bài toán so sánh nghiệm 
của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực. 
 Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin đưa ra một số dạng bài 
có thể giải được bằng phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh 
nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” 
 
 So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực α . 
 
 So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai với hai số thực α và β . 
 
 So sánh các nghiệm của phương trình bậc ba với số thực α . 
 
 Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện 
 cho trước. 
 
 Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại n điểm 
 (n = 2 hoặc n = 3) thảo mãn điều kiện cho trước. 
 1. Bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai f(x) ≡ ax2 + bx +c = 0 (*) 
với một số thực α 
  Kiến thức cơ bản: 


a>0 
b>0 ⇔ 
a+b>0 
ab>0 ֠ 






a>0 
b<0 


a<0 
b>0
 ⇔ ab < 0 ֠ 
0 0
0 . 0
a a b
b ab
< + < 
⇔ 
 
. 
 Điều kiện để số α nằm giữa hai nghiệm của (*) là: 
( ) ( )
1
2 2
1 2 1 2 1 2
1
2
0
0
0 ( ) 0
0
0
x
x
x x x x x x
x
x
α
α
α α α α
α
α
 − >

− < ⇔ − − < ⇔ − + + <

− <

− >
 Điều kiện để số α nhỏ hơn hai nghiệm của (*) là: 
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 21
2
2 1 2 1 21 2
0 20
0 ( ) 0. 0
x x x xx
x x x x xx x
α α αα
α α αα α
− + − > + >
− >  
⇔ ⇔  
− >
− + + >− − >  
 Điều kiện để số α lớn hơn hai nghiệm của (*) là: 
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 21
2
2 1 2 1 21 2
0 20
0 ( ) 0. 0
x x x xx
x x x x xx x
α α αα
α α αα α
− + − < + <
− <  
⇔ ⇔  
− <
− + + >− − >  
 Điều kiện để có đúng 1 nghiệm của (*) nhỏ hơn α là: 
TH1: a = 0. 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
TH2: a ≠ 0 


x
1<α=x
2 
x
1=x
2<α 
x
1<α<x
2
 ⇔ 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 21 2
2
1 2 1 21 2
( ) 0 ( ) 0
2 2
0 0
0 2
( ) 0. 0
( ) 0. 0
f f
x x x x
x x x x
x x x xx x
x x x xx x
α α
α α
α α α
α αα α
α αα α
 =  =
 + < + <  
 ∆ = ∆ =   − + − < ⇔ + < 
  
− + + >− − > 
 
− + + <
− − < 
 
 Điều kiện để (*) có nghiệm nhỏ hơn α là: 
TH1: a = 0. 
TH2: a ≠ 0 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 2
1 2 1 21 2
1 2 2
1 2 1 21 2
( ) 0 ( ) 0
2 2
0 2
( ) 0. 0
( ) 0. 0
f f
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x xx x
x x
x x x xx x
α α
α α
α
α α α
α
α αα α
α
α αα α
 =  =
 + < + <  
< =  
− + − − − >  < <  
− + + <− − < 
 

 Điều kiện để (*) có nghiệm lớn hơn α là: 
TH1: a = 0. 
TH2: a ≠ 0 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 2
1 2 1 21 2
1 2 2
1 2 1 21 2
( ) 0 ( ) 0
2 2
0 2
( ) 0. 0
( ) 0. 0
f f
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x xx x
x x
x x x xx x
α α
α α
α
α α α
α
α αα α
α
α αα α
 =  =
 + > + >  
= <  
− + − > + >  ⇔ − − >  < <  
− + + <− − < 
 

 Điều kiện để (*) có đúng 1 nghiệm lớn hơn α là: 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
TH1: a = 0. 
TH2: a ≠ 0 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 21 2
2
1 2 1 21 2
( ) 0 ( ) 0
2 2
0 0
0 2
( ) 0. 0
( ) 0. 0
f f
x x x x
x x
x x x x x x
x x x x x xx x
x x x xx x
α α
α α
α
α α α α
α α αα α
α αα α
 =  =
 + > + >  
 ∆ = = ⇔ + >     < <
− + + >− − > 
 
− + + <
− − < 
 
	

 Ví dụ minh họa: 
 
 Ví dụ 1.1: Cho phương trình f(x) = (m+1)x2 - 2(m-1)x + m2 + 4m - 5 = 0(*) . 
Hãy tìm m để phương trình (*): 
a) Có hai nghiệm trái dấu ? 
b) Có hai nghiệm lớn hơn 2? 
c) Có hai nghiệm nhỏ hơn 1? 
 G: 
 a) Phân tích: Hai nghiệm của phương trình trái dấu (có nghĩa là có mộtnghiệm âm 
và một nghiệm dương ) ⇔ x1.x2 < 0; mà x1.x2 = ca nên yêu cầu bài toán trở thành : 
tìm m để : c
a
 < 0. 
 Trình bày: Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ c
a
 < 0 ⇔ m
2+4m-5
m+1 < 0 
 ⇔ 


m<-5 
-1<m<1 . 
b) Phân tích: Hai nghiệm của phương trình lớn hơn 2 
( ) ( )
( ) ( )
1 21 1 2
2 1 2 1 21 2
2 2 02 0 4
2 0 2( ) 4 02 . 2 0
x xx x x
x x x x xx x
− + − >
− > + > 
⇔ ⇔ ⇔  
− > − + + >
− − > 
Trình bày: Phương trình (*) có hai nghiệm 
 ⇔ 
1 0 1 2 1(1)
' 0 ( 1)( 2)( 3) 0 3
m m m
m m m m
+ ≠ ≠ − − ≤ ≤  
⇔ ⇔  ∆ ≥ − + + ≥ ≤ −  
Khi đó, theo định lý Vi-ét (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
1 2
2
1 2
2( 1)
1 (2)
4 5
1
m
x x
m
m m
x x
m
−
+ = +

+ −
=
 +
Mặt khác, theo bài ra thì hai nghiệm của phương trình lớn hơn 2 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
⇔ 
( ) ( )
( ) ( )
1 21 1 2
2 1 2 1 21 2
2 2 02 0 4
2 0 2( ) 4 02 . 2 0
x xx x x
x x x x xx x
− + − >
− > + > 
⇔ ⇔  
− > − + + >
− − > 
 (3) 
Thay (2) vào (3) ta được: 
( )2
32( 1) 04
11 3 1(4)( 1) 34 5 2( 1)2. 4 0 0
1 1 1
mm
mm
m
m mm m m
m m m
− −− 
>>  + +
⇔ ⇔− < < − 
+ ++ − − 
− + > >
 + + +
 Kết hợp, (1) và (4) ta được: -2 ≤ m < -1. 
 Vậy với -2 ≤ m < -1 thì phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn 2. 
 c) Phân tích: Hai nghiệm của phương trình nhỏ hơn 1 
( ) ( )
( ) ( )
1 21 1 2
2 1 2 1 21 2
1 1 01 0 2
1 0 ( ) 1 01 . 1 0
x xx x x
x x x x xx x
− + − <
− < + < 
⇔ ⇔ ⇔  
− 
− − > 
Trình bày: Phương trình (*) có hai nghiệm 
 ⇔ 
1 0 1 2 1(1)
' 0 ( 1)( 2)( 3) 0 3
m m m
m m m m
+ ≠ ≠ − − ≤ ≤  
⇔ ⇔  ∆ ≥ − + + ≥ ≤ −  
Khi đó, theo định lý Vi-ét (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
1 2
2
1 2
2( 1)
1 (2)
4 5
1
m
x x
m
m m
x x
m
−
+ = +

+ −
=
 +
Mặt khác, theo bài ra thì hai nghiệm của phương trình lớn hơn 2 
⇔ 
( ) ( )
( ) ( )
1 21 1 2
2 1 2 1 21 2
1 1 01 0 2
1 0 ( ) 1 01 . 1 0
x xx x x
x x x x xx x
− + − <
− < + < 
⇔ ⇔ ⇔  
− 
− − > 
 (3) 
Thay (2) vào (3) ta được: 
 2 2
2( 1) 22 0
3 171 1 1 (4)
24 5 2( 1) 3 21 0 0
1 1 1
m
m m
m
m m m m m
m m m
− − 
 
− + + +
⇔ ⇔ − < < 
+ − − + − 
− + > >
 + + + 
 Kết hợp, (1) và (4) ta được: 3 171 2m
− +
− < <
. 
 Vậy với 
3 171
2
m
− +
− < <
 thì phương trình (*) có hai nghiệm nhỏ hơn 1. 
Ví dụ 1.2: Cho phương trình f(x) = (m+2)x2 - 2mx -1 = 0(1) . Hãy tìm m để phương 
trình (1) có nghiệm nhỏ hơn 1? 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
 G: Phân tích: Phương trình bậc 2 có nghiệm nhỏ hơn 1 nghĩa là có thể xảy ra 3 
trường hợp 
1 2
1 2
1 2
1
1
1
x x
x x
x x
< =
 ≤ <
 < <
. 
 Trình bày: 
 TH1: m + 2 = 0 ⇔ m = -2, phương trình trở thành 4x - 1= 0 ⇔ x = 14 thỏa mãn 
bài ra. 
 TH2: m ≠ -2, có ∆’ = m2+m + 2 > 0, ∀m ∈ R nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt 
x
1, x
2 . Theo định lí vi - ét ta có: 
1 2
1 2
2
2(2)
1
2
m
x x
m
x x
m

+ = +

−
=
 +
 . 
 Mặt khác, theo bài ra thì phương trình (1) có nghiệm nhỏ hơn 1 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 21 2
1 2
1 2 1 21 2
(1) 0 (1) 0
2 2
1
1 1 0 2
1 (3)
1( ) 1 01 . 1 0
1 ( ) 1 01 . 1 0
f f
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x xx x
x x
x x x xx x
 =  =
 + < + < < =  
− + − < + <  ⇔ ≤ < ⇔ ⇔  
− + + >
− − >  < <  
− + + <
− − < 
 

Thay (2) vào (3) ta được: 
1 0
2 2 12
22 2 22 2
1 2 2 11 0
2 2 1
1 2 21 0
2 2
m
m
m
m
m
m
mm
m
m m
m m m
m m
m m
 − =

 − − + ⇔ ⇔ ⇔ ≠ − 
− −  + + > 
−  < −− + < 
+ +

 Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình (1) đều có nghiệm nhỏ hơn 1. 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁN ... quen thuộc với định lí Vi-ét áp dụng cho 
phương trình bậc hai. 
 Thứ hai, Cũng từ việc quen thuộc với định lí Vi-ét nên việc áp dụng nó vào bài 
toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số thực chỉ là thao tác tư duy 
“Quy lạ về quen” với độ khó không nhiều và học sinh không “vất vả” trong tư duy. 
 Thứ ba, áp dụng định lí Vi-ét vào bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc 
2,phương trình bậc 3 nhẩm được nghiệm và nhiều bài toán khác đơn giản và dễ 
dàng hơn so với việc áp dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai hiện nay đã 
không có trong nội dung của chương trình Toán THPT. 
2. Thực tiễn và những ghi nhận khi nghiên cứu áp dụng định lí Vi-ét 
giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực 
cho học sinh trường THPT Phạm Ngũ Lão 
  Thực tiễn nghiên cứu: 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
 Sau hai năm giảng dạy tại trường THPT Phạm Ngũ Lão (cả 3 khối 10, 11 
và 12) tôi nhận thấy: số lượng học sinh có khả năng sử giải được bài toán so 
sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực còn rất ít (có lớp 10, 
11 ban cơ bản không có học sinh một nào làm được bài toán này). Một số học 
sinh làm được bài tập bằng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai nhưng chưa 
hiểu rõ đặc điểm và cơ sở của định lí này là gì? Các em này làm bài tập theo 
kiểu nhớ dạng bài quen thuộc nên khi gặp bài toán có nội dung không “gần gũi 
”với các dạng bài đó thì các em hoàn toàn bế tắc trong việc “Quy lạ về quen” vì 
khi áp dụng định lí này phải nhớ nhiều lí thuyết và xét nhiều trường hợp. Khả 
năng đọc đề bài và hình thành tư duy thuật giải chưa đủ để áp dụng thành thạo 
định lí này. Cá biệt, một số học sinh lớp 12 chỉ làm được một vài dạng bài này 
bằng phương pháp hàm số (căn cứ vào bảng biến thiên hoặc đồ thị) nhưng tính 
“cơ động và khả năng sẵn sàng” của các em chưa cao vì “Vũ khí chưa đủ 
mạnh”. 
 Trao đổi với một số đồng nghiệp trực tiếp giảng dạy khối lớp 10, tôi được 
biết họ định hướng cho học sinh giải các bài toán so sánh nghiệm của phương 
trình bậc 2 với một số thực bằng cách đưa ra phương pháp đặt ẩn phụ. Chẳng 
hạn, bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 <α < x 2 ta đặt t=x-α rrồi 
đưa về bài toán tìm điều kiện của m để phương trình ẩn t có 2 nghiệm trái dấu. 
Cách làm này khá dài và sẽ vướng mắc khi ta giải các bài toán so sánh nghiệm 
của phương trình bậc 2 với hai số thực vì phải đặt ẩn phụ tới 2 lần dẫn đến dài 
dòng trong trình bày bài làm của học sinh, lệch lạc kết quả khi thực hiện lời 
giải. 
 Hướng giải quyết vấn đề 
 Đưa phương pháp này vào giảng dạy trong chủ đề tự chọn nâng cao với các 
lớp 10 ban cơ bản và chủ đề tự chọn bám sát với các lớp 10 ban KHTN. 
Thường xuyên cho học sinh lớp 11 và 12 rèn luyện kỹ năng này trong các bài 
toán quy về phương trình bậc hai và liên quan đến khảo sát hàm số. 
 III. Định hướng và biện pháp rèn luyện kỹ năng áp dụng định lí 
Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số 
thực cho học sinh trường THPT Phạm Ngũ Lão 
1. Xây dựng quy trình giải một bài toán so sánh nghiệm của phương trình 
bậc 2 với một hoặc hai số thực bằng cách áp dụng định lí Vi-ét 
 Để học sinh có được một kỹ năng thành thục khi sử dụng phương pháp này 
để giải bài tập thì việc dạy học sinh đọc và nghiên cứu đề bài (giả thiết) để từ đó 
hình thành tư duy thuật giải đến gần kết quả (yêu cầu bài toán ) là hết sức quan 
trọng . Sau đây là quy trình chung cho các dạng bài phổ biến : 
 + Bước 1 : Tìm điều kiện của tham số để phương trình có đủ số nghiệm cần 
 thiết. 
 Ví dụ : Để giải bài toán : ‘’Cho phương trình f(x) = x2 -2mx + m -3 = 0(*) 
 Hãy tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;2 )?’’ thì 
 trước tiên học sinh cần tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0 ⇔ 


m>3 
m<1 
 + Bước 2 : Áp dụng định lí Vi-ét để nêu mối liên hệ giữa các nghiệm của 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
 phương trình bậc hai. 
 + Bước 3 : (Quy lạ về quen)Biến đổi yêu cầu bài toán về vị trí của các 
 nghiệm so với các số thực về các biểu thức, phương trình, bất phương 
 trình, hệ bất phương trình chứa tổng và tích các nghiệm của phương trình 
 bậc hai. 
 Ví dụ : ( ) ( )2 21 2 1 2 1 21 2 4 64 08 64x x x x x xx x − + − − ≥− ≥ ⇔ ≥ ⇔ 
 + Bước 4 : Kết hợp định lí Vi-ét và yêu cầu bài toán để đưa ra điều kiện 
 của tham số. 
 + Bước 5 : Kết luận. 
 Lưu ý : Tuỳ thuộc từng bài toán mà giáo viên đưa ra quy trình cụ thể, không 
nhất thiết phải làm theo cả 5 bước trên trong những trường hợp không cần thiết. 
2. Bồi dưỡng năng lực nhận dạng bài toán có thể sử dụng phương pháp 
“Áp dụng định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình 
bậc hai với một hoặc hai số thực” cho học sinh THPT 
 Theo kinh nghiệm của bản thân tác giả thì cần thiết phải làm cho học 
sinh tư duy theo chiều hướng rộng mở và tránh tư duy theo kiểu lối mòn. 
Học sinh được cung cấp định lí và các dạng bài tập cũng như phương pháp 
để giải các dạng bài tập đó nhưng không cho phép học sinh dừng lại ở đó mà 
phải thường xuyên tư duy, liên tưởng để củng cố kiến thức cũ đồng thời vận 
dụng những kiến thức này để giải các dạng bài tập mới (theo giáo sư Văn 
Như Cương gọi là: Dĩ bất biến ứng vạn biến, có thể hiểu là: lí thuyết bao 
gồm định nghĩa, định lí, ...là không đổi nhưng sẽ dùng nó để giải các dạng 
bài mới là cái luôn biến đổi). Chẳng hạn, gặp bài tập về phương trình bậc 3 
nhẩm được nghiệm (hay bài tập về cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước, 
tương giao của hai đồ thị hàm số,...) và cần so sánh nghiệm của nó với một 
hoặc hai số thực thì cần nghĩ ngay đến phương pháp này. 
KẾT LUẬN 
 Sáng kiến kinh nghiệm đã góp phần làm sáng tỏ sự cần thiết phải rèn luyện cho 
học sinh THPT kỹ năng sử dụng phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán 
so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” . 
 Sáng kiến cũng đã chỉ ra tiềm năng, thực tiễn và những định hướng cho việc rèn 
luyện kỹ năng sử dụng phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh 
nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” để giải Toán đối 
với học sinh THPT, đó là: 
 + Xây dựng quy trình giải một bài toán bằng phương pháp “Áp dụng định 
 Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một 
 hoặc hai số thực ” 
 + Bồi dưỡng năng lực nhận dạng bài toán có thể sử dụng phương pháp “Áp 
dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai 
với một hoặc hai số thực ” cho học sinh THPT, đặc biệt là khối lớp 10. 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
 Mặc dù điều kiện còn khó khăn và phạm vi nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở việc 
nghiên cứu thực nghiệm ở một nhà trường THPT nhưng sáng kiến đã đưa ra những 
luận điểm xác thực, đáng tin cậy và có tính ứng dụng cao. 
 Kết quả thực nghiệm phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh 
nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” 
Lớp Khóa 
học 
Chỉ biết sử dụng phương 
pháp 
Sử dụng thành thạo phương 
pháp 
10A3 07- 08 51,3% 12,5% 
10A4 07- 08 20,1% 8,5% 
11A1 08-09 62,5% 25,4% 
11A1 10-11 64% 33,7% 
 Đề xuất: Nên đưa việc áp dụng phương pháp toạ độ trong không gian vào chủ đề 
tự chọn bám sát với ban KHTN và chủ đề tự chọn nâng cao với ban cơ bản để giáo 
viên có thời lượng truyền đạt phương pháp này cho học sinh. 
 Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, các em học sinh lớp 
10A3 & 10A4 năm học 2007 - 2008, lớp 11A1 năm học 2008 - 2009 và 2009 -2010 
Trường THPT PHẠM NGŨ LÃO đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến! 
 Do kinh nghiệm giảng dạy còn chưa nhiều nên sáng kiến kinh nghiệm của tôi 
không tránh khỏi có những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng 
góp, trao đổi và chia sẻ của các thầy, cô, các bạn đồng nghiệp để sáng kiến của tôi 
ngày càng hoàn thiện hơn và trở thành một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn 
trong giảng dạy ! Mọi ý kiến đóng góp chia sẻ xin gửi về địa chỉ: 
 Phạm Trịnh Cương Chính - THPT Phạm Ngũ Lão - Ân Thi - Hưng Yên. 
 SĐT: 0989296252 hoặc email: jackychinh@gmail.com 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí - Phương pháp 
giải toán tam thức bậc hai - NXB ĐHSP – 2009. 
[2]. Trần Phương - Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán – NXB 
Hà Nội- 2008. 
 [3]. Thư viện bài giảng điện tử : www.baigiang.bachkim.vn 
 [4]. Website: www.vnmath.com 
 [5]. Website: www.mathvn.com 
 [6]. Diễn đàn: diendan.hocmai.vn 
 [7].website: thay-do.net 
 [8].Thư viện: tailieu.vn 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
MỤC LỤC 
Nội dung Trang 
A. Phần mở đầu 
 I. Lý do chọn đề tài 
 II.Mục đích nghiên cứu 
 III. Đối tượng nghiên cứu 
 IV. Phương pháp nghiên cứu 
 V. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm 
B. Phần nội dung nghiên cứu 
 I. Tiềm năng của phương pháp “Áp dụng định Vi-ét giải bài toán so 
 sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” 
1. Bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số 
thực α 
2. Bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với hai số 
thực α &β 
3. Bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc ba với số thực α 
4. Bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa 
mãn điều kiện cho trước. 
5. Bài toán tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số cắt 
nhau tại n điểm (n = 2 hoặc n = 3) thỏa mãn điều kiện cho trước 
II. Thực tiễn của việc rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng áp dụng 
định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một 
 số thực 
1.Những thuận lợi của việc rèn luyện cho học sinh THPT kỹ 
 năng áp dụng định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam 
 thức bậc hai với một số thực. 
2.Thực tiễn và những ghi nhận khi nghiên cứu áp dụng định lí 
Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một 
số thực cho học sinh trường THPT Phạm Ngũ Lão. 
III. Định hướng và biện pháp rèn luyện kỹ năng áp dụng định lí Vi-ét 
giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực cho 
 học sinh trường THPT Phạm Ngũ Lão 
1.Xây dựng quy trình giải một bài toán so sánh nghiệm của phương 
 trình bậc 2 với một hoặc hai số thực bằng cách áp dụng định lí Vi-ét 
2.Bồi dưỡng năng lực nhận dạng bài toán có thể sử dụng phương pháp 
 “Áp dụng định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình 
 bậc hai với một hoặc hai số thực” cho học sinh THPT 
C. KẾT LUẬN 
3 
3 
3 
4 
10 
13 
15 
16 
19 
19 
19 
20 
20 
21 
 TRƯỜNG THPT PHẠM NGŨ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 5/2011 
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
21 
23