Đề tài Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán "tam thức bậc hai"

SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄMÙ Á ÄÙ Á ÄÙ Á Ä 
-------------------- o0o -------------------- 
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP 
KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN 
Giáo viên: Buøi Coâng Luaânø â âø â âø â â 
Lệ Thủy, tháng 5 năm 2010 
THPT BC 
Lệ Thủy 
Tổ 
TOÁN 
Sáng kiến kinh nghiệm 
Trang 1 
A – ĐẶT VẤN ĐỀ 
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ 
học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo 
đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. 
 Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải 
tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như 
phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói riêng. 
 Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng. 
 Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông, nó đòi hỏi tư duy rất 
tích cực của học sinh. 
 Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo 
đề cập tới. Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận 
dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh 
dễ hiểu nhất. 
 Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức 
lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc 
lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận 
dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để 
giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn. 
 Tuy thực tế một số ít giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền thụ kiến thức 
đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của học sinh. 
 Thông qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 10, đồng thời qua quá trình kiểm 
tra đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức để giải các bài toán tam 
thức bậc hai. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học trong phần giải 
các bài toán tam thức bậc hai còn nhiều hạn chế và thiếu sót. 
 Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học vào từng bài 
toán cụ thể. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 10, bởi lẽ 
từ trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức 
hoặc giải những phương trình cho sẵn. Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn 
Sáng kiến kinh nghiệm 
Trang 2 
hạn chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề toán, suy luận để tìm ra một lời 
giải chính xác và đầy đủ. 
 Đối với việc giải các bài toán tam thức bậc hai, các em mới được học nên chưa 
quen với dạng toán này. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa 
cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải không được. 
 Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng để giải các bài toán tam thức 
bậc hai, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng linh hoạt vào từng bài 
toán cụ thể, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi 
học nhằm nâng cao chất lượng học tập. 
 Do đó, trong phạm vi nghiên cứu. Bản thân tôi mong rằng: nếu có sự sáng tạo 
của quý thầy giáo, cô giáo thì đề tài có thể giúp học sinh lớp 10 phát triển tư duy, cũng 
có thể làm dùng đề tài để dạy tự chọn môn toán 10, chủ đề bám sát. 
 Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghĩ từng bước để hoàn thiện phương 
pháp giảng dạy của mình. Mặt khác, theo suy nghĩ của riêng tôi, mỗi người chỉ cần tập 
trung suy nghĩ thấu đáo một vấn đề và nhiều người góp lại chắc chắn hiệu quả giáo 
dục qua từng năm sẽ được nâng lên rõ rệt. Từ suy nghĩ đó tôi quyết định thực hiện đề 
tài này. Bản thân tôi dù đã cố gắng hết sức mình nghiên cứu bổ sung nội dung mới để 
đề tài đáp ứng chương trình đổi mới sách giáo khoa lớp 10 và cả chương trình tự chọn 
lớp 10, tuy nhiên sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được ý kiến 
đóng góp của quý thầy cô giáo để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn. 
 B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
 I – Kiến thức lý thuyết 
1. Định nghĩa về tam thức bậc hai 
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng 2( )f x ax bx c= + + , trong đó 
a, b, c là những số cho trước, 0a ≠ . 
2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai 
Cho tam thức bậc hai 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ , 2 4b ac∆ = − 
Nếu 0∆ < thì ( )f x cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc R . 
Nếu 0∆ = thì ( )f x cùng dấu với hệ số a với mọi 
2
bx
a
≠ − . 
Sáng kiến kinh nghiệm 
Trang 3 
Nếu 0∆ > thì ( )f x có 2 nghiệm x1 và x2 (x1 < x2). Khi đó, ( )f x trái dấu với hệ 
số a với mọi x nằm trong khoảng (x1 ; x2) và ( )f x cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm 
ngoài đoạn [x1 ; x2]. 
II – Các sai lầm thường gặp khi giải các bài toán "tam thức bậc hai" 
Khi giải các bài toán tam thức bậc hai, các sai lầm xuất hiện chủ yếu là do 
không chú ý đến giả thiết của định lí mà đã vội vàng áp dụng hoặc lạm dụng suy diễn 
những mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu các trường hợp cần biện luận. 
Bài toán 1: Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với mọi x: 
 2( 1) 2( 1) 3 3m x m x m+ − − + − . 
Biểu thức có nghĩa với mọi x khi và chỉ khi: 
2( ) ( 1) 2( 1) 3 3 0f x m x m x m x= + − − + − ≥ ∀ 
' 2
0 1 0
0 ( 1) 3( 1)( 1) 0x
a m
m m m
> + > 
⇔ ⇔ ∆ ≤ − − − + ≤
1
1
11
2( 1)( 2) 0
2
m
m
mm
m m
m
> −
> − 
⇔ ⇔ ⇔ ≥≥ 
− + ≥  ≤ −
. 
 Ta có kết quả 1m ≥ 
Nhớ rằng 2( )f x ax bx c x= + + ∀ 
'
0
0
0
0
a b
c
a
 = =
 ≥⇔  >
∆ ≤
. Lời giải xét thiếu trường hợp 0a = . 
Lời giải đúng là: 
 Biểu thức có nghĩa với mọi x ( ) 0f x x⇔ ≥ ∀ 
- Trường hợp 1: 
1 0 1
0
2( 1) 0 1
0
3 3 0 1
m m
a b
m m
c
m m
+ = = − 
= =  
⇔ − − = ⇔ =  ≥  
− ≥ ≥ 
, không có m thoả mãn. 
- Trường hợp 2: 
'
0
1
0
a
m
>
⇔ ≥∆ ≤
 Tóm lại kết quả là 1m ≥ . 
? 
! 
Sáng kiến kinh nghiệm 
Trang 4 
Bài toán 2: Tìm m sao cho: 
2
2
2 3 2
1
2 2
x mx m x R
x mx
− + + ≤ ∀ ∈
− +
 (*). 
(*) 2 22 3 2 2 2x mx m x mx x R⇔ − + + ≤ − + ∀ ∈ 
2 23 0 x R 0 m 12 0 12 0x mx m m m⇔ + − ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
Sai lầm là nhân hai vế với 22 2x mx− + khi chưa biết dấu của biểu thức 
này. 
Lời giải đúng là: 
Vế trái tồn tại x R∀ ∈ 22 2 0x mx x R⇔ − + ≠ ∀ ∈ 
22 2 0x mx⇔ − + = vô nghiệm 20 16 0 4 4m m⇔ ∆ < ⇔ − < ⇔ − < < . 
Khi đó 22 2 0x mx x R− + > ∀ ∈ nên: 
(*) 
2 2 2
2
4 4 4 4
2 3 2 2 2 3 0
4 44 4 4 4
4 0
0 12 012 0
m m
x mx m x mx x R x mx m x R
mm m
m
mm m
 − < < − < <
⇔ ⇔ 
− + + ≤ − + ∀ ∈ + − ≥ ∀ ∈ 
− < < − < < − < <
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤  ∆ ≤ − ≤ ≤+ ≤ 
 Tóm lại kết quả là 4 0m− < ≤ 
Bài toán 3: Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ: 
2 2 2 6
x y m
x y m
+ =

+ = − +
. 
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 6( )F xy x y= − + . 
Ta có ( )22 2 2 26 2 6x y m x y xy m+ = − + ⇔ + − = − + 
2 2 22 6 3.m xy m xy m⇔ − = − + ⇔ = − 
Do đó 2 23 6 ( 3) 12F m m m= − − = − − . 
Vậy min 12 3.F m= − ⇔ = Không có maxF vì F là hàm bậc hai với hệ số bậc hai 
dương. 
Lời giải không đặt điều kiện để tồn tại x và y. Do đó đã xét F với mọi 
m R∈ . 
Lời giải đúng là: 
 Ta có 
2 2 2 26 3
x y m x y m
x y m xy m
+ = + = 
⇔ 
+ = − + = − 
. 
Theo định lí Viét đảo thì x, y là các nghiệm của phương trình 2 2 3 0t mt m− + − = (*). 
Ta thấy x, y tồn tại khi và chỉ khi (*) có nghiệm 
? 
! 
! 
? 
Sáng kiến kinh nghiệm 
Trang 5 
 21 0 3 12 0 2 2m m⇔ ∆ ≥ ⇔ − + ≥ ± ⇔ − ≤ ≤ . 
Khi đó 2 6 3F m m= − − với [ ]2;2m ∈ − . 
Lập bảng biến thiên của F với [ ]2;2m∈ − : 
m -2 2 3 
F 
Từ đó ta có: min 11 = 2F m= − ⇔ 
 max 13 2F m= ⇔ = − . 
Bài toán 4: Tìm m sao cho phương trình: 2 2(2 1) 0x m x m− + + = chỉ có một nghiệm 
thoả mãn 3x > 
Cách 1: Phương trình có nghiệm duy nhất 0⇔ ∆ = . Khi đó phương trình có 
nghiệm 
1 2
.
2
S
x x= = Do đó phương trình chỉ có một nghiệm thoả mãn 3x > 
2 2 14 1 0(2 1) 4 0
4
52 1
53
22
2
m mm m
m
m
m
+ = = −+ − =    
⇔ ⇔ ⇔  +
>>   > 
, không có m thoả mãn bài toán. 
Cách 2: Xét 2 trường hợp: 
- Trường hợp 1: 1 2
1
0
4
3
53
2
2
m
x x S
m
∆ = = −  
< = ⇔ ⇔ 
>  > 
, không có m thoả mãn T.H này. 
- Trường hợp 2: 
2
1 2
(3) 0 6 6 0 3 3 3 3
5
3 3 32 1 5
23 3
2 2 2
af m m m
x x mS m
m
≤  − + ≤ − ≤ ≤ +
  ≤ < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ +  +
 >    
Tóm lại 
5
;3 3
2
m
 
∈ +  
13 
-11 
? 
Sáng kiến kinh nghiệm 
Trang 6 
Cách 1 tỏ ra người giải chưa hiểu cụm từ "chỉ có một nghiệm" nên đã 
"phiên dịch" từng đoạn theo yêu cầu, thành ra khác với nghĩa của bài toán. Nhớ cho: 
phương trình chỉ có một nghiệm x > 3 không có nghĩa là phương trình không được có 
2 nghiệm ! Cách 2 là lời giải của người hiểu đúng bài toán nhưng cố gắng làm gọn 2 
trường hợp x1 < 3< x2 và 3 = x1< x2 thành một trường hợp 1 23x x≤ < . Tiếc rằng khi viết 
điều kiện "tương đương" với yêu cầu này lại không đúng. Như vậy sẽ bỏ sót trường 
hợp 
1 23
2
S
x x< < < . Chính vì vậy mà với m = 2 phương trình trở thành 
2
1
5 4 0
4
x
x x
x
=
− + = ⇔ 
=
 thoả mãn bài toán, nhưng m = 2 không có trong kết luận của 
cách giải thứ 2. 
Lời giải đúng là: 
Xét 3 trường hợp: 
- Trường hợp 1: 1 2
1
0
4
3
53
2
2
m
x x S
m
∆ = = −  
< = ⇔ ⇔ 
>  > 
, không có m thoả mãn T.H này. 
- Trường hợp 2: 
2
1 2
(3) 0 6 6 0 3 3
3 3 32 1 5
3 3
2 2 2
f m m m
x x mS m
m
=  − + = = ±
  
= < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = +  +
 >    
. 
- Trường hợp 3: 2
1 23 (3) 0 6 6 0 3 3 3 3x x af m m m< < ⇔ < ⇔ − + < ⇔ − < < + . 
Tóm lại: (3 3;3 3 .m ∈ − +  
Bài toán 5: Tìm m sao cho phương trình 2 2( 1) 1 0mx m x m− + + + = không có 
nghiệm ở ngoài (-1; 1). 
Phương trình không có nghiệm ở ngoài (-1; 1) 1 21 1x x− < ≤ < 
' 2
1
0 ( 1) ( 1) 0 0
(4 3) 0( 1) 0 3
3
10 4(1) 0
4
01
1 11 1
12
1 1
x
m
m m m m
m maf
m
mmaf
mmS
mm
m
≥ −
 ∆ ≥ + − + ≥ >  + >− >     < −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ < −  
− > >
   <+  
− < <− < <
  +
− < <

! 
? 
Sáng kiến kinh nghiệm 
Trang 7 
Có thể thấy với m = 0 thì phương trình trở thành: 
( )12 1 0 1;1
2
x x− + = ⇔ = ∈ − nên m = 0 thoả mãn. Ngoài ra lời giải còn thiếu cả trường 
hợp phương trình vô nghiệm. 
Như vậy để có lời giải đúng phải bổ sung thêm trường hợp a = 0 (thử trực tiếp) 
và trường hợp 
'
0
0x
a ≠
∆ <
. 
Đáp số đúng là 
3
4
m < − hoặc 0m = . 
C – KẾT LUẬN 
Trên đây chỉ là một số bài toán nhỏ thường gặp trong chương trình đại số lớp 
10 và một số lỗi mà học sinh hay mắc phải. Tôi tin chắc rằng những kinh nghiệm của 
tôi cũng chỉ là một kinh nghiệm nhỏ bé trong vô vàn những kinh nghiệm được đúc kết 
qua sách vở, cũng như của quý thầy giáo, cô giáo đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì 
vậy, bản thân tôi, do thời gian lẫn kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên chắc không tránh 
khỏi nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô giáo, 
cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng 
dạy của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn. 
 Lệ Thủy, tháng 5 năm 2010 
 Người trình bày 
 Bùi Công Luân 
!