Đề tài Sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh một số bất đẳng thức phức tạp khác

Lời cảm ơn
 Tôi xin trân thành cảm ơn:
 Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên.
 Ban Giám hiệu trường THPT Nam Khoái Châu.
 Các thầy, cô giáo tổ Toán trường THPT Nam Khoái Châu.
Đã động viên, khích lệ và tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này!
Hưng Yên:11. 2008.
Phần i. Mở Đầu
Lý do chọn đề tài
 Chúng ta đang bước vào những thập niên đầu tiên của thế kỉ XXI, thế kỉ của khoa học, công nghệ và thông tin. Trong thế kỉ này với sự tiến bộ nhanh chóng của khoa học công nghệ, một sự chuyển biến mang tính cách mạng về kinh tế đang diễn ra trên phạm vi toàn cầu. Người ta gọi là sự chuyển dịch lên nền kinh tế tri thức, trong đó tri thức đóng vai trò then chốt đối với sự phát triển kinh tế xã hội loài người. Một xã hội muốn có được sự phồn vinh phải dựa vào “tri thức”, dựa vào tư duy sáng tạo và tài năng sáng chế của con người. Xã hội càng phát triển thì người ta càng quan tâm và đòi hỏi nhiều hơn đến giáo dục. Bởi thế ngành giáo dục phải không ngừng đổi mới và nâng cao chất lượng giáo dục góp phần vào việc đào tạo ra những con người mới phù hợp với xu hướng phát triển của thời đại. Để đáp ứng được những điều đó nền giáo dục trên thế giới nói chung và Việt Nam nói riêng đã và đang có một số phương hướng nhằm đổi mới PPDH đảm bảo cho việc đào tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất, năng lực, tri thức đáp ứng được nhu cầu đòi hỏi cấp bách về nguồn nhân lực trong xu thế hiện nay. Những phương pháp chủ yếu đang được triển khai là: tích cực hoá quá trình dạy học; cá thể hoá việc học tập; thực hiện công nghệ đào tạo; dạy học lấy học sinh làm trung tâm
 Trong chương trình Đại số ở trường phổ thông, Bất đẳng thức là một phần toán chứa đựng lượng kiến thức rất rộng, rất hay nhưng cũng được coi là rất khó đối với HS, kể cả một số GV còn chưa nhiều kinh nghiệm. Việc dạy HS giải toán Bất đẳng thức cũng gặp nhiều khó khăn do đa phần các bài toán đòi hỏi tư duy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt khi đi tìm cách giải do đó dẫn đến việc tiếp thu kiến thức và cách giải phần toán này cũng có nhiều hạn chế: HS ngại phải đào sâu suy nghĩ, thường thụ động khi giải toán, thường HS chỉ quen dùng phương pháp biến đổi tương đương khi gặp bài toán Bất đẳng thức, khi điều này không khả quan thì trở lên lúng túng không biết nên bắt đầu từ đâu, đặc biệt là đối với những bài toán có sử dụng bất đẳng thức phụ. Với những lý do trên đây tôi xin trình bày một số bài toán có sử dụng Bất đẳng thức phụ để chứng minh các BĐT phức tạp khác đem lại lời giải ngắn gọn, tự nhiên, dễ hiểu và dễ trình bày phần nào đó giúp cho việc khai thác, dạy học chủ đề BĐT được thuận lợi hơn và có hiệu quả cao hơn; với tên đề tài: “Sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh một số bất đẳng thức phức tạp khác” hay “Sử dụng bất đẳng đơn giản để chứng minh bất đẳng thức phức tạp ”.
 * Mục đích của ta không phải là giải bài toán phụ mà chỉ vì ta hy vọng rằng khi xét nó ta sẽ đi gần tới cách giải bài toán ban đầu. Cái đích ta muốn đạt tới là cách giải bài toán ban đầu, cách giải bài toán phụ chỉ là một phương tiện ta nhờ đó mà đạt tới mục đích. Việc tìm bài toán phụ là một quá trình suy luận quan trọng, khả năng đặt bài toán phụ một cách rõ ràng, hiểu thấu được mục đích của nó chỉ là một phương tiện để đạt tới mục đích chính, là một thành công tinh tế của trí tuệ. Vì vậy việc dạy hay học cách vận dụng những bài toán phụ một cách thông minh là rất quan trọng .
Cái lợi mà ta có được khi xét bài toán phụ, có thể mang những tính chất khác nhau. Ta có thể dùng kết quả của bài toán phụ để làm cách giải cho bài toán khác. Ta khảo sát một cách thông minh bài toán phụ loại tương tự với hy vọng là nó sẽ bổ ích, nó cho ta điều kiện làm quen với những phương pháp nhất định, những phép tính nhất định, với các công cụ mà cuối cùng chúng ta có thể dùng nó để giải bài toán ban đầu. Tuy nhiên thời gian và sức lực của chúng ta để giải bài toán phụ, không phải được dùng trực tiếp cho mục đích của chúng ta. Nếu việc khảo sát bài toán phụ không có kết quả thì thời gian và sức lực bỏ ra là vô ích. Vì vậy cần phải có kinh nghiệm chọn bài toán phụ theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn bài toán phụ có thể dễ làm hơn bài toán xuất phát, nó có thể tỏ ra bổ ích và quyến rũ ghê gớm. Đôi khi bài toán phụ chỉ có lợi ở chỗ là nó mới và nó đem lại những khả năng chưa khai thác. Chúng ta chọn bài toán phụ vì việc tìm ra cách giải trực tiếp bài toán ban đầu không có kết quả và chỉ dẫn tới sự mệt mỏi. Vậy làm thế nào để tìm ra bài toán phụ?
 Việc giải bài toán ban đầu thường phụ thuộc vào chỗ có tìm ra bài toán phụ thích hợp hay không?. Khổ nỗi trong khi lại không có một phương pháp nào toàn năng cho phép tìm được bài toán phụ, cũng như không có một phương pháp toàn mỹ luôn dẫn tới cách giải. 
Phần II. Nội Dung
Trông phần này tôi xin được trình bày 4 bài toán Bất đẳng thức đơn giản có trong chương trình phổ thông, qua đó khai thác – vận dụng các Bất đẳng thức đó vào chứng minh một số Bất đẳng thức phức tạp khác.
 Bài toán 1. (Bài 6, Đại số 10 nâng cao, trang 110; Bài số 4, Đại số 10 ban cơ bản, trang 79).
Chứng minh rằng: Nếu a 0 và b 0 thì a3+b3 a2b + ab2. (1)
Chứng minh.
Cách 1: (Dùng PP biến đổi tương đương).
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a3+b3 - a2b + ab2 0 a2(a-b) – b2(a - b) 0
 (a-b)(a2 – b2) 0 (a-b)(a-b)(a-b) 0 (a-b)2(a+b) 0. BĐT sau cùng này luôn đúng với mọi a, b nên BĐT đã cho đúng với mọi a 0 và b 0, và dấu bằng xảy ra khi a = b hoặc a = b = 0.
Cách 2: (Dùng PP biến đổi tương đương).
Ta có: : a3+b3 a2b + ab2 (a+b)(a2 – ab + b2) ab(a+b)
 (a+b)(a2– ab +b2 - ab) 0 (a-b)2(a+b) 0.Đây là BĐT đúng.
Cách 3: (Dùng PP biến đổi tương đương).
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a(a2-b2)–b(a2 – b2) 0 (a2-b2)(a-b) 0
 (a-b)2(a+b) 0. Đây là BĐT đúng.
Cách 4: (Dùng PP đặt ẩn phụ ).
Ta xét các trường hợp sau:
+) Nếu a = 0 thì BĐT đã cho trở thành b3 0. (Luôn đúng vì b 0 ).
+) Nếu a > 0 thì đặt b = t.a, t 0. Thay vào BĐT đã cho ta được:
a3+t3a3 ta3+t2a3 1+t3 t +t2 (t+1)(t2-t +1) t(t +1) 
 (t +1)(t2 –t +1 -t) ) 0
 (t +1)(t - 1)2 0. Đây là BĐT đúng.
Cách 5: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số không âm).
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm là a3 và ab2, b3 và a2b ;Ta có:
a3 + ab2 2= 2a2b; b3 + a2b 2 = 2ab2 .
Cộng theo từng vế 2 BĐT trên lại với nhau,ta có BĐT cần chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0 hoặc a=b.
Cách 6: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số ).
Ta xét các trường hợp:
+) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì BĐT luôn đúng.
+) Nếu a > 0 và b > 0 thì ta chia cả 2 vế của BĐT cho ab > 0 ta được: 
 + = a+b.
Khi đó áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là và b, và a, Ta được:
 +b 2 = 2a, +a 2 = 2b;
Cộng theo từng vế hai BĐT lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Cách 7: (Dùng BĐT Côsi cho 3 số không âm).
Ta áp dụng BĐT thức Côsi cho 3 số không âm a3, a3 và b3; b3, b3 và a3; Ta có:
a3 + a3 +b3 3a2b; b3 +b3 +a3 3ab2 . Cộng theo từng vế 2 BĐT lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Cách 8: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số không âm).
Ta biến đổi vế trái của BĐT đã cho, như sau
VT(1) = a3+b3 = (a +b)(a2 +b2-ab), mà áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm a2 và b2.
Ta có: a2 +b2 2ab.
Do đó VT(1) = (a +b)(a2 +b2-ab) (a +b)(2ab - ab) = (a +b)ab = a2b + ab2 = VP(1).
Vậy BĐT được chứng minh.
Bây giờ ta sẽ áp dụng BĐT(1) để chứng minh một số BĐT phức tạp khác:
Bài toán 1.1: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (1.1)
Chứng minh.
Ta sẽ sử dụng BĐT (1) như sau:
Ta có a3+b3 a2b + ab2 a3+b3 ab(a+b) ; Tương tự, ta cũng có: .Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 1.2: Cho a, b, c. Chứng minh rằng:
 (1.2)
Chứng minh.
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a3 - b3 + a2b + ab2 a3 b(-b2+ a2b + ab2)
-b2+ ab + a2 .Tương tự ta có: . Khi đó cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 1.3: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (1.3)
Chứng minh.
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a3+b3 + abc a2b + ab2 +abc a3+b3 + abc ab(a+b+c)
 Tương tự , ta có:
Cộng các BĐT này lại với nhau theo từng vế ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 1.4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (1.4)
Chứng minh.
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a3 - b3 + a2b + ab2 2a3 +a3 2a3 - b3 + a2b + ab2
 3a3 a3 - b3 +a3+ a2b + ab2 3a3 ( a3 - b3 ) + (a3+ a2b + ab2)
3a3 (a - b)(a2 + ab +b2) +a(a2 +ab +b2) 3a3 (a2 + ab +b2)(2a - b) . Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại, ta có:
Khi đó cộng các vế của 3 BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 1.5: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (1.5)
Chứng minh.
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 -a3 b3 - a2b - ab2 5b3- a3 5b3+b3 - a2b - ab2
5b3- a3 6b3 - a2b - ab2 5b3- a3 2b(ab + 3b2) – a(ab + 3b2)
5b3- a3 (ab + 3b2)(2b –a) .Tương tự, ta có:
.
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta có BĐT cần chứng minh.
Bài toán 1.6: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (1.6)
Chứng minh.
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 -b3 a3 - a2b - ab2
19a3 – b3 20b3 - a2b - ab2 19a3 – b3 4b(ab+5b2) - a(ab+5b2)
19a3 – b3 (ab+5b2)(4b – a) .Tương tự ta có:
Cộng theo từng vế ta có BĐT cần chứng minh.
Bài toán 1.7: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (1.7)
Chứng minh.
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 -b3 a3 - a2b - ab2 29a3-b3 30a3 - a2b - ab2
29a3-b35a(ab+6a2)–b(ab+6a2) 29a3-b3 (ab+6a2)(5a-b) .
Tương tự ta có: Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 1.8: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (1.8)
Chứng minh.
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 -b3 a3 - a2b - ab2 41a3 –b3 42a3 - a2b - ab2
 41a3 –b3 6a(ab + 7a2) - b(ab + 7a2) 41a3 –b3 (ab + 7a2)(6a – b)
 Tương tự ta có : 
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 1.9: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (1.9)
Chứng minh.
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 3a3+7b3 2a3 +6b3 + a2b + ab2
3a3+7b3 (2a +3b )(a2 +2b2) - ab(2a + 3b ) 3a3+7b3 (2a +3b )(a2 + 2b2 –ab)
Tương tự ta có: 
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại vố nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 1.10: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
Chứng minh.
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3 3a3 +4b3-2 a2b +11ab2
 4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3 (3a +b)(a2 +4b2) - ab(3a +b)
 4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3 (3a +b)(a2 +4b2- ab)
 Tương tự ta có:
Cộng các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 2: Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:
 (2)
Chứng minh.
Cách 1: (Dùng PP biến đổi tương đương).
Ta có BĐT 
(a+b)2 4ab (a-b)2 0. BĐT này luôn đúng với mọi a, b nên BĐT (2) đúng với a,b dương.
Cách 2: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số dương ).
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là ta có:
, lại áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có:
a+b. Từ 2 BĐT trên ta được BĐT (2).
Bài toán 2.1: Cho a, b là các số dương.Chứng minh rằng:
 . (2.1)
Chứng minh.
Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.1) như sau: 
Ta áp dụng BĐT (2) cho 2 số dương là 4a2 +4b2  và 8ab. Ta có: .
Đây là BĐT (2.1) cần chứng minh.
Bài toán 2.2: Cho a, b, c là các số dương.Chứng minh rằng:
 . (2.2)
Chứng minh.
Ta chứng minh BĐT (2.2) bằng BĐT (2) như sau: 
. Lại có .Do đó:. Tương tự ta cũng có: . Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 2.3: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 . (2.3)
Chứng minh.
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a+b-c và a-b+c đều là ác số dương.
Ta áp dụng BĐT (2) như sau:
 .
 Tương tự ta cũng có:
 .
 Cộng các kết quả trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 2.4: Cho a, b, c đều dương. Chứng minh rằng:
 . (2.4)
Chứng nminh.
Để vận dụng được BĐT (2) để chứng minh BĐT(2.4), ta viết lại BĐT(2.4) như sau:
BĐT (2.4). Khi đó, ta có: . Tương tự ta có: . Cộng theo từng vế 2 BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 2.5: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: .
 (2.5)
Chứng minh.
Ta áp dụng BĐT (2) như sau:
.
Tương tự ta có: 
Cộng các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 2.6: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:
 . (2.6)
Chứng minh.
Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.6) như sau; Ta có:
Cộng theo từng vế 2 BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 2.7: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:
 (2.7)
Chứng minh.
Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.7) như sau; Ta có:
.
Tương tự ta có: 
Cộng các BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 2.8: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 . (2.8)
Chứng minh.
Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.8) như sau; Ta có: . Tương tự, ta có:
.
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta có BĐT cần chứng minh.
Bài toán 2.9: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
 (2.9) 
 Với p là nửa chu vi của tam giác.
Chứng minh.
Ta áp dụng BĐT (2) cho 2 số dương là p - a và p – b ; Ta được: . 
 Tương tự ta có:
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau, ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 2.10: 
Bài toán 3: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (3)
Chứng minh.
Để chứng minh BĐT (3) ta sử dụng BĐT Cối cho 3 số dương là và a, b, c như sau:
Ta có: 
Khi đó ta có: . Đây là BĐT cần chứng minh.
Bây giờ ta sẽ sử dụng bài toán (3) để chứng minh một số BĐT khác.
Bài toán 3.1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
 . (3.1)
Chứng minh.
Ta vận dụng BĐT (3) cho 3 số dương là 2a+b, 2b+c, 2c+a ta có:
Đây là BĐT cần chứng minh.
Bài toán 3.2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (3.2)
Chứng minh.
Ta vận dụng BĐT (3) để chứng minh BĐT (3.2) như sau; Ta áp dụng cho 3 số dương là: 2a+b, 2b+c và 2c+a, ta có:
Bài toán 3.3: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 . (3.3)
Chứng minh.
Ta vận dụng BĐT (3) cho 3 số dương là a, a và b ta có: 
Tương tự ta có: . Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 3.4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (3.4)
Chứng minh.
áp dụng BĐT (3) cho 3 số dương là b+c, c+a, a+b ta có:
Đây là BĐT cần chứng minh.
Bài toán 3.5: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 
 (3.5)
Chứng minh.
Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau: 
 . 
Ta áp dụng BĐT (3) cho 3 số dương là a4 + b4 + c4, a2b2 + b2c2 + c2a2 và 
 a2b2 + b2c2 + c2a2; Ta được:
 .
Đây là BĐT cần chứng minh.
Bài toán 3.6: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn a+b+c 3. Chứng minh rằng:
 . (3.6)
Chứng minh.
Ta áp dụng BĐT (3) cho 3 số dương là 1+a, 1+b và 1+c; Ta được: 
 Đây là BĐT cần chứng minh. 
Bài toán 3.7: Cho a, b, c là các số dương và thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 
 (2.7)
Chứng minh.
Vì a, b, c là các số dương nên a2+2bc, b2+2ca và c2+2ab cũng là các số dương. Ta áp dụng BĐT(3) cho 3 số dương là a2+2bc, b2+2ca và c2+2ab. Ta được: 
Đây là BĐT cần chứng minh.
Bài toán 3.8: Cho x thoả mãn . Chứng minh rằng: 
 (2.8)
Chứng minh.
Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau: . Vì nên 3x-2 > 0, 10- x >0, 13-2x >0. Do đó áp dụng BĐT (3) cho 3 số dương là 3x-2, 10- x, 13-2x; 
Ta có:
Đây là BĐT cần chứng minh.
Bài toán 4: Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:
 (4)
Chứng minh.
Cách 1:(Dùng PP biến đổi tương đương)
Ta có BĐT (4) . Đây là BĐT đúng.
Bây giờ ta sẽ vận dụng BĐT (4) để chứng minh các BĐT khác.
Cách 2: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số dương ).
Ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có: ab 
Bài toán 4.1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (4.1)
Chứng minh.
Ta vận dụng BĐT (4) cho 2 số dương là 2a+b và 2c+b ta có:
Tương tự ta có:
.
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau tađược BĐT cần chứng minh.
Bài toán 4.2: Cho a, b, c ,d là các số dương. Chứng minh rằng:
 . (4.2)
Chứng minh.
Ta áp dụng BĐT(4) cho 2 số dương là a+b và c+d, ta có:
.
Tương tự cho 2số dương a+d và b+c ta có: .
Cộng vế với vế 2BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 4.3: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:
 . (4.3)
Chứng minh.
Ta có: .
áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương là a+b và c+d
Ta có:.
Do đó, ta có: .
Tương tự ta cũng có:.
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 4.4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 . (4.4)
Chứng minh.
Ta có: .
áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương là a+b-c và c ta có:
. Do đó 
Tương tự, ta có:
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 4.5: Cho a, b dương và thoả mãn a+b =1. Chứng minh rằng; 
 (4.5)
Chứng minh.
Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau: .Bây giờ ta áp dụng BĐT (2) cho 2 số dương là 2ab và 2ab và a2 + b2 ; áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương là a và b; Ta có:
Cộng theo từng vế 2 BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 4.6: Cho a, b dương và thoả mãn a+b 1. Chứng minh rằng: 
 (4.6)
Chứng minh.
Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau: . Bây giờ ta áp dụng BĐT (2)cho 2 số dương là 2ab và a2 + b2; áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương là 
 a và b; ta có: 
Cộng theo từng vế 2 BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Bài toán 4.7: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (4.7)
Chứng minh.
Ta áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương là a và b, b và c, c và a; Ta được:
. Cộng theo từng vế ta được: 
Mặt khác, ta có:
Cộng theo từng vế 2 BĐT (4.7.1) và (4.7.2) ta được BĐT cần chứng minh.
Phần III. Kết luận
Như vậy chúng ta thấy rằng bất đẳng thức trong toán học ở trường phổ thông đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức nói chung đều là các bài toán khó. Nhưng nếu chúng ta biết vận dụng một cách linh hoạt và sáng tạo các bất đẳng thức phụ đơn giản đã có để chứng minh các bất đẳng thức phức tạp khác thì ta sẽ đạt được mục đích một cách dễ dàng. Chúng ta biết rằng: “ Giải toán là một nghệ thuật, thực hành cũng giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành. Không có chìa khoá thần kì để mở mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kì để biến mọi kim loại thành vàng”. 
Mục lục
 Lời cảm ơn ......1
Phần I. Mở đầu....... 2
Lí do chọn đề tài... 2
Phần II. Nội dung.. 4
Bài toán 1 . 4
Bài toán 2 . 9
Bài toán 3 14
Bài toán 4 17 
Phần III. Kết luận.. 21