Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán học

	Sở Giáo dục và đào tạo	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC 
	Thừa Thiên Huế	Môn: TOÁN - Năm học 2007-2008
	Đề chính thức	Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (2 điểm)
 Giải hệ phương trình: 
Bài 2: (2 điểm)
 Chứng minh rằng phương trình: luôn có 4 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của . 
 Tìm giá trị sao cho .
Bài 3: (3 điểm)
 Cho hình vuông cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (MP, MQ). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (FQ). Đường thẳng RF cắt cạnh SP của hình vuông PQRS tại N.
Chứng tỏ rằng: .
Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vuông PQRS thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.
Bài 4: (2 điểm) 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho đẳng thức sau đúng:
Bài 5: (1 điểm)
 Chứng minh với mọi số thực luôn có:
Hết 
 Sở Giáo dục và đào tạo	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
	Thừa Thiên Huế	Môn: TOÁN - Năm học 2007-2008
 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM 
BÀI
 NỘI DUNG 
Điểm
B.1
(2đ)
Ta có : .
0,25
Hay .
0,25
+ Nếu , thay vào phương trình đầu thì: 
0,25
Giải ra : 
0,25
Trường hợp này hệ có hai nghiệm : ; 
0,25
+ Nếu , thay vào phương trình đầu thì: .
0,25
Giải ra: .
0,25
Trường hợp này hệ có hai nghiệm: 
 ; 
0,25
B.2
 (1)
(2đ)
Đặt :, ta có : (2) () . 
0,25
Ta chứng tỏ (2) luôn có hai nghiệm : .
0,25
 với mọi .Vậy (2) luôn có hai nghiệm phân biệt .
0,25
 với mọi .
0,25
 với mọi .
0,25
Do đó phương trình (1) có 4 nghiệm : , , , .
0,25
 .
0,25
0,25
B.3
3 đ
Câu3.1
(1đ)
Hình vẽ đúng
0,25
Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ có đường kính RM .
 (3)
0,25
F nằm trong đọan ES.
Do đó : (4)
0,25
Từ (3) và (4) : .
0,25
Câu3.2
(1đ)
Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn qua điểm cố định P.
0,25
Ta có :. Do đó N, S, R, E ở trên đường tròn đường kính NR.
0,25
Ta cũng có:. Do đó N, F, E, M ở trên đường tròn đường kính MN.
0,25
Do nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF đi qua điểm P.
0,25
Câu3.3
(1đ)
Tam giác RMN có hai đường cao MF và NE. Gọi H là giao điểm của MF và NE, ta có RH là đường cao thứ ba. RH vuông góc với MN tại D. Do đó : . 
0,25
Ta có: (do M, N, F, E ở trên một đường tròn); (do M, F, R, Q ở trên một đường tròn). Suy ra:. D nằm trong đọan MN.
0,25
Hai tam giác vuông DRM và QRM bằng nhau, suy ra : MQ = MD
0,25
Tương tự : Hai tam giác vuông DRN và SRN bằng nhau, suy ra : NS = ND .
Từ đó : MN = MQ+NS
0,25
B. 4
 ()
(2đ)
 Điều kiện: (p, q là các số nguyên) 
0,25
Bình phưong hai vế của () : 2. 
0,25
Hay : . 
0,25
Tiếp tục bình phương : . 
0,25
+ Nếu thì () trở thành:+=, đúng với mọi số nguyên tùy ý.
0,25
+ Nếu thì () trở thành:+=,đúng với mọi số nguyên tùy ý.
0,25
+ Xét và . Ta có : ( p, q là các số nguyên)
Chỉ xảy ra các trường hơp : 
 1/ ; 2/ ; 3/ .
0,25
Ta có thêm các cặp (p; q): (3; 7) , (4; 5) , (6, 4) .
Kiểm tra lại đẳng thức ():+= ; += ;+=
0,25
B.5
 (*)
(1đ)
Đặt: . Trong ba số a, b, c bao giờ cũng có ít nhất hai số cùng dấu, chẳng hạn: . 
Lúc này : +=+== 2
0,25
Ta có : ; ; . Do đó để chứng minh (*) đúng, chỉ cần chứng tỏ : ++ (**) đúng với .
0,25
Ta có: 
(**) (***)
0,25
Đặt: ; , ta có (do a.b0) ta có: (***)+. AB AB . 
Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp các số: a, b, c, a + b + c chia làm 2 cặp cùng dấu. Ví dụ: và .
0,25
Chú ý: Có thể chia ra các trường hợp tùy theo dấu của a, b, c (có 8 trường hợp) để chứng minh(*)
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI
NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút
NGÀY THỨ NHẤT
Câu 1. (3 điểm) 
Giải hệ phương trình và phương trình sau
	a) .
	b) .
Câu 2. (3 điểm)
Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm dương của phương trình x2 – 4x + 1 = 0. Chứng minh rằng là một số nguyên.
Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và b + 2007 đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng 4a + a + b chia hết cho 6.
Câu 3. (3 điểm)
	Cho M là trung điểm của cung nhỏ AB của đường tròn tâm O (AB không phải là đường kính). C và D là 2 điểm phân biệt, thay đổi nằm giữa A và B. Các đường thẳng MC, MD cắt (O) tương ứng tại E, F khác M.
Chứng minh các điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn.
Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACE và BDF. Chứng minh rằng khi C và D thay đổi trên đoạn AB thì giao điểm của hai đường thẳng AO1 và BO2 là một điểm cố định.
Câu 4. (1 điểm)
	Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mản abc = 1. Chứng minh rằng:
bài 1
a. bài này đặt ẩn phụ là ra
b. đặt x+y=a
xy=b
ta có hệ ab=2
+a-3ab=4
thay ab=2 vào phương trình 2 ta tính đc a= 2=> b=1
thay a và b ta tính đc x=y=1
1. a)đk 
Đặt
phương trình trở thành:
Đặt 
Câu 2
a)PT có 2 nghiệm và 
Do đó là số nguyên đpcm
b) và a,b lẻ(1)
(2)
Từ(1)(2)=>đ.p.c.m
-----------------------------------------------------------
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN TOÁN AB ( Chung cho các lớp Toán , Tin , Lý , Hoá , Sinh )
Thời gian làm bài : 150 phút.
Câu 1. Cho phương trình : (1)
Tìm m để x = -1 là một nghiệm của phương trình (1)
Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
Câu 2. a) Giải bất phương trình : 
b) Giải hệ phương trình : 
Câu 3. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện :
Chứng tỏ rằng : 
b) Cho : 
Hãy tìm tất cả các giá trị của x để
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và góc BAC bằng 60 . Gọi M , N , P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A , B , C của tam giác ABC là I là trung điểm của BC .
Chứng minh rằng tam giác INP đều
Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC . Chứng minh các điểm I , M , E và K cùng thuộc một đường tròn
Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Hãy tính số đo của góc BCP
Câu 5. Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng một lúc . Nếu sau 6 ngày , tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B . Nếu tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày. Hãy xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ . Biết rằng , mỗi công nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm . 
HẾT 
	Sở Giáo dục-đào tạo	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Thành Phố Huế
	Thừa Thiên Huế 	Khóa ngày 12.7.2007	
	Đề chính thức 	Môn: TOÁN
	Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1: (1,75 điểm) 
Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị của biểu thức:
Rút gọn biểu thức . 
Bài 2: (2,25 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và .
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng . Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox.
Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C. Tính góc tạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút).
Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bài 3: (2 điểm)
Tìm hai số và biết: . 
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h.
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E.
Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông.
Chứng minh rằng: .
Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất.
Bài 5: (1,5 điểm) 
Một cái xô dạng hình nón cụt có bán kính hai đáy là 19 cm và 9 cm, độ dài đường sinh . Trong xô đã chứa sẵn lượng nước có chiều cao 18 cm so với đáy dưới (xem hình vẽ).
Tính chiều cao của cái xô. Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít nước để đầy xô ? 
	Sở Giáo dục và đào tạo	KỲ THI TUYẺN SINH LỚP 10 THPT TP. Huế
	Thừa Thiên Huế	Môn: TOÁN - Khóa ngày: 12/7/2007
	Đề chính thức	Đáp án và thang điểm
Bài
ý
Nội dung
Điểm
1
1,75
1.a
+ 
+ 
+ 
0,25
0,25
0,25
1.b
Ta có:
+ 
 + = 
+ 
+ (vì và ).
0,25
0,25
0,25
0,25
2
2,25
2.a
+ Đường thẳng (d) song song với đường thẳng , nên phương trình đường thẳng (d) có dạng .
+ Đường thẳng (d) đi qua điểm nên: . 
Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là: .
+ Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm nên . Suy ra: 
0,25
0,25
0,25
2.b
+ Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua và nên ta có hệ phương trình: 
+ Giải hệ phương trình ta được: .
0,25
0,25
+ Đường thẳng BC có hệ số góc , nên tang của góc kề bù với góc tạo bởi BC và trục Ox là: .
+ Suy ra: Góc tạo bởi đường thẳng BC và trục Ox là 
0,25
0,25
2.c
+ Theo định lí Py-ta-go, ta có: 
+Tương tự: .
Suy ra chu vi tam giác ABC là: 
0,25
0,25
3
2,0
3.a
+ u, v là hai nghiệm của phương trình: 
+ Giải phương trình ta có: 
+ Theo giả thiết: , nên 
0,25
0,25
0,25
3.b
+ Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nước yên lặng. Điều kiện: x > 1.
+ Thời gian xuồng máy đi từ A đến B: , thời gian xuồng ngược dòng từ B về C : 
+ Theo giả thiết ta có phương trình : 
+ Hay 
 Giải phương trình trên, ta được các nghiệm: ; 
+ Vì x > 1 nên x = 11 . Vậy vận tốc của xuồng khi nước đứng yên là 11km/h.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
2,5
4.a
+ Hình vẽ đúng (câu a):
+ Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D, nên OD là tia phân giác góc AOM. Tương tự: OE là tia phân giác góc MOB.
+ Mà và là hai góc kề bù, nên . Vậy tam giác DOE vuông tại O.
0,25
0,50
0,50
4.b
+ Tam giác DOE vuông tại O và nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: (1)
+ Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2).
+ Từ (1) và (2) ta có: 
0,25
0,25
0,25
4.c
+ Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là:
+ S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. Mà DE là đường xiên hay đường vuông góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH (DH vuông góc với By tại H).
0,25
 Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) (hoặc OM AB). Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là: 
Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn cho điểm tối đa.
0,25
5
1,5
5.a
5.b
+ Cắt hình nón cụt bởi mặt phẳng qua trục OO', ta được hình thang cân AA’B’B. Từ A hạ AH vuông góc với A’B’ tại H, ta có: 
Suy ra:
.
+ Mặt nước với mặt phẳng cắt có đường thẳng chung là IJ, IJ cắt AH tại K. Theo giả thiết ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = 6 (cm).
+ Bán kính đáy trên của khối nước trong xô là .
 KI//A’H .
 Thể tích khối nước cần đổ thêm để đầy xô là:
+ . 
+ lít.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú: 
Học sinh làm cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
Điểm toàn bài không làm tròn.
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ... ông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường tròn (O) tại N . Gọi J là trung điểm của MN . Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường trỏn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định .
b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tam giác AMB lớn nhất .
Bài 5:
a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho mỗi sốvà đều là lập phương của một số nguyên dương .
b) Cho các số thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
Ngày thứ II:
Bài 1:
a) Giải hệ phương trình : 
b) Với những giá trị nào của câu a thì phương trình sau đây có nghiệm :
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
Bài 3:
a) Cho a, b, c là các số thỏa mãn : 
i. 
ii. phương trình vô nghiệm 
Chứng minh rằng : 
b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 4:
Cho bảng ô vuông kích thước (bảng gồm 1998 hàng và 2000 cột ) . Kí hiệu (m,n) là ô vuông nẳm ở giao hàng thứ m (tính từ trên xuống) và cột n ( tính từ trái sang phải ) . Cho các số nguyên với và . Tô màu các ô vuông con của bảng theo quy tắc :
a) Lần thứ nhất tô màu năm ô : 
b) Từ lần thứ hai trở đi, mỗi lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp trong cùng một hàng hoặc cùng một cột .
Hỏi bằng cách đó ta có thể tô màu hết tất cả các ô vuông con của bảng hay không ? Giải thích tại sao ?
Bài 5:
Cho tam giác đều ABC . Trong tam giác ABC, vẽ ba vòng tròn, có bán kính bằng nhau, tiếp xúc ngoài lẫn nhau và mỗi vòng tròn đều tiếp xúc với hai cạnh của tam giác . Gọi là vòng tròn tiếp xúc ngoài với cả bà vòng tròn . Biết bán kính của vòng tròn là , hãy tính độ dài cạnh của tam giác ABC .
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 1999-2000
Ngày thứ I:
Bài 1: Cho các số thỏa mãn : 
Tính giá trị của biểu thức .
Bài 2:
a) Giải phương trình : 
b) Giải hệ phương trình :
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho .
Bài 4: Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây cung bất kì MIN và EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF .
 a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp .
 b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi .
 c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau . Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất .
Bài 5:
Các số dương thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Ngày thứ II:
Bài 1: Giải phương trình : 
Bài 2: Cho các số được xác định bởi công thức với mọi . Tính giá trị của tổng 
Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của số đó bằng 1999 
Bài 4: Cho vòng tròn tâm O bán kính R . Giả sử A và B là hai điểm cố định trên vòng tròn với .
a) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn . Vòng tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA tại E và tiếp xúc với MB tại F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M thay đổi .
b) Tìm tập hợp tất cả điểm P sao cho đường thẳng vuông góc với OP tại P cắt đoạn thẳng AB .
Bài 5:Cho hình tròn (O') bán kính bằng 1 . Giả sử là 8 điểm bất kì nằm trong hình tròn (kể cả trên biên) . Chứng minh rằng trong các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 2000-2001
Ngày thứ I:
Bài 1: 
a) Tính 
b) Giải hệ phương trình : 
Bài 2:
a) Giải phương trình 
b) Tìm tất cả các giá trị của a ( a R ) để phương trình : có ít nhất một ngiệm nguyên .
Bài 3: Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB//CD), tiếp xúc với cạnh AB tại E và với cạnh CD tại F .
 a) Chứng minh rằng .
 b) Cho biết , . Tính diện tích hình thang ABCD .
Bài 4: Cho x, y là hai số thực bất kì khác không. Chứng minh rằng : 
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Ngày thứ II:
Bài 1:
a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn : .
b) Cho cặp số thỏa mãn : , . Chứng minh : , .
Bài 2:
a) Giải phương trình .
b) Cho có tính chất , , đều là các số hữu tỉ . Chứng minh rằng là các số hữu tỉ . 
Bài 3:
a) Cho tứ giác lồi ABCD . Chứng minh rằng, nếu các góc B và D của tứ giác là vuông hoặc tù thì .
b) Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động . Hãy tìm tập hợp các điểm B để tam giác ABC là tam giác không tù và góc là góc bé nhất của tam giác ABC .
Bài 4: Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa các cặp điểm là các số khác nhau . Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng. Chứng minh rằng, trong các đoạn thẳng vừa thu được có một đoạn thẳng là cạnh bé nhất của một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác cũng có 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho .
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 2005-2006
Vòng 2:
Bài 1 : 
Bài 2: Giải hệ phương trình
Bài 3: thỏa mãn 
a)CMR 
b)Tìm min của 
Bài 4: Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong :delta ABC 
 a)Giả sử độ .CMR: 
 b)Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tại M,N.Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN.Chứng minh rằng khi P thay đổi trong :delta ,đường thẳng PQ luôn đi qua D
Bài 5:
a)Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh .CMR trong 6 đỉnh bất kỳ của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của 1 hình thang
b)Có bao nhiêu phân số tối giản (m,n là các số nguyên dương ) thỏa mãn 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
NĂM HỌC 2006-2007 
VÒNG I
Câu I: Giải PT:
Câu II: Với những giá trị x thỏa mãn điều kiện 
Câu III: Tìm số tự nhiên gồm 4 chữ số thỏa mãn đồng thời 2 tính chất:
(i) Khi chia số đó cho 100 ta được số dư là 6
(ii) Khi chia số đó cho 51 ta được só dư là 17
Câu IV: Cho hình vuong ABCD có cạnh AB=a. Trên các cạnh AB, BC,CD,DA láy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho: luôn là tổng bình phương của 2 đa thức bậc hai.
VÒNG II
Câu I:
Chứng minh rằng: 
Câu III:
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
2)Ký hiệu [x] là phần nguyên của số x(số nguyên lớn nhất không vượt quá x).Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:
Câu IV:
Cho :delta ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là điểm nằm trong :delta ABC.Các đường thẳng AI,BI,CI cắt (O) lần lượt tại A',B',C'(khác A,B,C).Dây cung B'C' cắt các cạnh AB,AC tương ứng tại các điểm M,N.Dây cung C'A' cắt các cạnh AB,BC tương ứng tại các điểm Q,P.Dây cung A'B' cắt các cạnh BC,CA tương ứng tại các điểm F,E.
1.Giả sử AM=AN,BP=BQ,CE=CF xảy ra đ�ìng thời.Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp :delta ABC. 
2.Giả sử AM=AN=BP=BQ=CE=CF.Chứng minh rằng 6 điểm M,N,P,Q,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
Câu V:
Chứng minh rằng đa giác lồi có 2n cạnh(n N,n 2) luôn có ít nhất n đường chéo không song song với bất kỳ cạnh nào của đa giác đó
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)
Bài 1:a) GiảI phơng trình 
b) Tìm nghiệm nguyên cảu hệ 
Bài 2: Cho các số thực dơng a và b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004 .
Bài 3: Cho D ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm. Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn, có hai đờng chéo AC, BD vuông góc với nhau tại H (H không trùng với tâm cảu đờng tròn ). Gọi M và N lần lợt là chân các đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB và BC; P và Q lần lợt là các giao điểm của các đờng thẳng MH và NH với các đờng thẳng CD và DA. Chứng minh rằng đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đờng tròn .
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP TOÁN 10 
 ĐHKHTN - ĐHQGHN _ V 1 ‎
I (3đ)
1,Giải hệ: 
2,Giải pt:
II(3đ)
1)Tìm số có 4 chữ số t/m:
2)Tìm để pt có nghiệm nguyên. 
III(3đ)
vuông ở A. AH BC. . 
1) C/m tâm đường tròn ngoại tiếp AMN trùng tâm đ/tròn nt ABC
2) d1,d2 là 2 đt vuông với BC ở M,N. C/m d1,d2 tiếp xúc đường tròn nt ABC
IV(1đ)
Giả sử a,b nguyên dương t/m 
Tìm max:
P= 
Câu 1 : 
Câu 2 :
2) Đk cần là là số cp--> Đặt . Tách xong ta đc :
NX : và cùng tính chẵn lẻ , từ đó làm nốt ra kết quả.
Cách 2:
 ta có: 
Ta có 2 nghiệm của phương trình là 
Do chúng đều nguyên vậy, suy ra 
Do đó , mặt khác 16072 không chia hết cho 16 vậy không có p thỏa mãn cho phương trình trên có nghiệm nguyên
Cách 3:
Gọi và là nghiệm của phương trình ( , là các số nguyên ) 
Theo hệ thức Viét :
+ = 
= 
Vì và là các số nguyên nên 
là nguyên p lẻ 
là nguyên p chẵn 
VÔ LÝ 
Vậy không tồn tại p thỏa mãn
Câu 3 :
1) Gọi O là tâm nội tiếp . CM đc O là trung trực AM , AN--> O là tâm ngoại tiếp AMN.
2) Kẻ --> EF là đg kính--> đpcm.
Câu 4 :
Ta có Do đó vậy 
Giả sử và , ta có 
Do đó trong 2 số có một số nhỏ hơn 3.
Giả sử , xét ta có , lúc này 
Xét ta có
Mặt khác ta có 
Vậy 
Tóm lại đẳng thức xảy ra khi 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP TOÁN 10 
 ĐHKHTN - ĐHQGHN _ V 2 ‎ 
Câu 1
1.Giải hệ phương trình :
2. Tìm giá trị lớn nhất của biều thức:
với 
Câu 2:
1.Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức:
.
2.Tìm số nguyên dương a,b,c sao cho là một số nguyên.
Câu 3: Cho nột tiếp (O). Giả sử các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhâu tại P nằm khác phía với A đối với BC. Trên cung BC không chứa A ta lấy điểm K(K khác B và C). Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại điểm Q khác A.
1) Chứng minh rằng các đường phân giác của các góc và đi qua cùng một điểm trên đường thẳng PQ.
2)Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng AQ // BC
Câu 4:Cho phương trình (1) 
Trong đó các hệ số chỉ nhận một trong ba giá trị và . Chứng minh rằng là nghiệm của (1) thì 
Câu 1:
trừ vế theo vế dc
vì ko thể bằng 0 nếu bằng thì thay vào bài toán thấy vô lý
=>
thay ngược vào đề là ra
Bài 4:
->(vì các a nhận giá trị 1 0-1)
-> (): ()
giả sử |x| 2
->|x|-1 1-> VP < ( vô lí)
->đpcm
ĐỀ THI VÀO 10 HỆ THPT CHUYÊN 
NĂM 2004 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN(VÒNG 2)
giảI phơng trình 
GiảI hệ phơng trình 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với x, y là các số thực lớn hơn 1.
Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.
a) Tìm tất cả các vị trí của M sao cho Ð MAB = Ð MBC = Ð MCD = Ð MDA.
b) Xét điểm M nằm trên đờng chéo AC. Gọi N là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đờng chéo AC.
c) Với giả thiết M nằm trên đờng chéo AC, xét các đờng tròn (S) và (S’) có các đờng kính tơng ứng AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của (S) và (S’) tiếp xúc với (S’) tại P và Q. Chứng minh rằng đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S).
Bài 5 : Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vợt quá a và kí hiệu là [a]. Dãy số x0, x1, x2 , xn,  đợc xác định bởi công thức . Hỏi trong 200 số {x1, x2, , x199} có bao nhiêu số khác 0 ?