Đề và đáp án thi thử đại học, cao đẳng môn thi: Toán (số 132)

 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010	 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 132 )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 ĐIỂM)
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số: có đồ thị là (C).
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N thuộc trên hai nhánh của (C). Khi đó hãy tìm các giá trị của m để đoạn MN ngắn nhất.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phương trình: .
2. Giải phương trình: .
Câu III. (1 điểm) Tính tích phân: 
Câu IV. (1 điểm)
 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a, I là là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng của A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại D lấy một điểm S sao cho . Gọi H là hình chiếu của I trên SA. Chứng minh rằng và tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC.
Câu V.(1 điểm) Cho a, b, c là các số dương thuộc khoảng và . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
II. PHẦN RIÊNG (3 ĐIỂM)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a. (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hai đường tròn và nằm cùng phía đối với trục tung. Biết và tiếp xúc với trục tung tại gốc tọa độ, có đường kính bằng 4. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của và .
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz. Viết phương trình đường thẳng qua điểm đồng thời cắt cả hai đường thẳng và .
Câu VII.a. (1 điểm)
 Cho số tự nhiên n thỏa: . Tìm số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của .
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b. (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông tâm , có một cạnh nằm trên đường thẳng . Viết phương trình các cạnh của hình vuông đó.
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.b. (1 điểm)
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
–––––––––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––––––––––
Ghi chú: Học sinh trình bày bài làm rõ ràng, sạch sẽ, không sử dụng bút xóa và bút chì.
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010	 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 132 )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 ĐIỂM)
Câu I. (2 điểm)
1. (học sinh tự giải)
2.
O
-1
x
y
-1
1
1
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 
Đặt: 
Ta có: 
 (d) luôn cắt (C) tai hai điểm phân biệt M và N
Mặt khác: 
Vậy M, N luôn thuộc hai nhánh của (C).
Ta có: 
Vậy: 
Câu II. (2 điểm)
 1. 
Phương trình (1) có nghiệm
Phương trình (2) có nghiệm
 phương trình (2) vô nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi 
2. Nhận xét: Theo định nghĩa của lũy thừa số mũ hữu tỉ, cơ số phải dương nên điều kiện có nghĩa của biểu thức là: .
Đặt: với 
Ta có: 
 (thỏa)
Câu III. (1 điểm) 
t
x
0
1
1
Đặt: 
Đổi cận: 
Khi đó: 
u
t
1
0
Ta lại đặt tiếp: 
Đổi cận: 
Vậy: .
Câu IV. (1 điểm) 
Chứng minh: .
Ta có: 
Như vậy: và .
Ta có: với: , 
A
H
B
I
C
D
S
Tam giác HBC có vuông tại H
Vậy: (đpcm)
Tính theo thể tích của khối chóp H.ABC
Ta có: 
 (đvtt).
SH là đường cao của hình chóp S.HBC 
Tam giác IHC có vuông cân tại I.
 vuông cân tại I (đvdt)
Tam giác AHB vuông tại H
 (đvtt).
Vậy: (đvtt).
Câu V. (1 điểm) 
Vẻ đường tròn tâm O đường kính 
Do , trên đường tròn ta lấy điểm M sao cho . 
Gọi C là điểm chính giữa của nửa cung tròn chứa điểm M 
(Chú ý rằng các tam giác MAB và CAB vuông tại M và C).
Ta có: (Vì MHOC)
 (1). Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) và (3).
Cộng (1) , (2) và (3) vế theo vế ta được: 
Vậy đạt được khi a = b = c =. 
II. PHẦN RIÊNG (3 ĐIỂM)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a. (2 điểm)
1. Ta có:
Đường tròn có tâm và bán kính nên tiếp xúc với Oy (1)
Do hai đường tròn và nằm cùng phía với trục tung và đường tròn tiếp xúc với trục tung tại gốc tọa độ, có đường kính bằng 4 nên có tâm nằm trên trục hoành và có bán kính (2)
Mà: và cắt nhau tại hai điểm.
 và có hai tiếp tuyến chung.
Từ (1) và (2) suy ra trục Oy: là một tiếp tuyến chung của và .
Đường nối tâm IJ có phương trình là: 
M
y
O
I
J
N
1
2
4
2
4
x
Gọi tọa độ điểm M thỏa hệ: 
Gọi H là trung điểm của ON (với )
OH đi qua gốc tọa độ O và 
Tọa độ điểm H thỏa hệ: 
Tiếp tuyến chung thứ hai của và là MN có phương trình: .
Vậy và có hai tiếp tuyến chung là: và 
2.
Gọi (d) là đường thẳng cần tìm và (d) cắt và theo thứ tự tại B và C
Ta có: và 
, 
Ba điểm A, B, C thẳng hàng 
Vậy 
Câu VII.a. (1 điểm)
Xét nhị thức: .
Lấy đạo hàm hai vế ta có: . 
Cho x = 1 ta được: 
Ta có: 
Yêu cầu bài toán 
Vậy số hạng cần tìm là: .
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b. (2 điểm)
1.
Gọi k là hệ số góc của đường chéo (d) của hình vuông
Ta có: 
Vậy phương trình hai đường chéo của hình vuông là: và 
M
P
I
Q
N
Gọi tọa độ điểm M thỏa hệ: 
I là trung điểm MP
Vậy phương trình các cạnh của hình vuông là: 
 (chính là )
 tại M )
 (qua P và )
 (qua P và )
2. 
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính 
Ta có: (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
Đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) và bán kính là 
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là 
Gọi (d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P)
 thay vào (P) ta được: 
Vậy đường tròn cần tìm có tâm và bán kính bằng .
Câu VII.b. (1 điểm)
Đặt: 
Ta có : 
Từ (*) suy ra điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn tâm và bán kính .
Ta có: M nằm trên đường tròn và gần gốc tọa độ O nhất. Đó là điểm trên hình vẽ (là một trong hai giao điểm của OI với đường tròn)
2
-3
I
y
x
O
H
Kẻ ta có: 
Theo Talet ta có: 
Vậy số phức cần tìm là: 
________________________________________________________________________________________