Giải tích hàm nâng cao

Lớp k15d2 – Cao học Toán Giải tích – Tr.ðHSP Hà Nội 2 
Nguyễn Văn Xá 
Nhóm 5 
 GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO 
ðề bài Chứng minh mọi không gian Hilbert ñều là không gian ñịnh chuẩn. 
 Chứng minh mọi không gian Hilbert ñều là không gian Banach. 
Bài làm 
 Giả sử H là một không gian Hilbert trên trường số K (K là ℝ hoặc )ℂ 
với tích vô hướng .,. . Theo ñịnh nghĩa tích vô hướng .,. thì 
x, y y,x , x, y= ∀ ∈H, nên x,x x,x , x= ∀ ∈H, hay x,x , x∈ ∀ ∈ℝ H. 
Lại có x,x 0, x H.≥ ∀ ∈ Nghĩa là với mỗi x H∈ thì x,x là một số thực 
không âm. Ta ñặt x x,x ,x H.= ∈ Rõ ràng x 0, x H,≥ ∀ ∈ và x 0= ⇔ 
x,x 0 x,x 0 x 0 H.⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ 
 Lấy tuỳ ý x H,∈ λ ∈K thì .x .x, .x . x, .x . .x,xλ = λ λ = λ λ = λ λ 
2
. . x,x . . x,x . x,x . x .= λ λ = λ λ = λ = λ Nghĩa là .x . xλ = λ 
với x H,∀ ∈ ∀λ∈K. 
 Theo bất ñẳng thức Cauchy-Schawrt thì 2x,y x,x . y,y , x,y H.≤ ∀ ∈ 
Hơn nữa với mọi số a ∈K ta luôn có a a 2. a .+ ≤ Dẫn tới 
x,y x,y 2 x,y 2 x,x . y,y 2. x . y , x,y H.+ ≤ ≤ = ∀ ∈ Với mọi x, y H∈ 
thì 2x y x y,x y x,x y y,x y x y,x x y, y+ = + + = + + + = + + + = 
x,x y,x x,y y,y x,x y,x x,y y,y x,x x,y= + + + = + + + = + +
 x, y y, y+ + = 2 2 2 2x ( x, y x, y ) y x 2. x . y y+ + + ≤ + + = 
2( x y )= + nên x y x y , x, y H.+ ≤ + ∀ ∈ 
 Vậy ánh xạ . : H , x x x,x→ =ℝ ֏ là một chuẩn trên H, và 
(H, . ) là một không gian ñịnh chuẩn trên K. 
 Ta lại xét ánh xạ 2d : H , (x, y) d(x, y) x y .→ = −ℝ ֏ Thấy ngay 
d(x, y) 0, x, y H,≥ ∀ ∈ và d(x, y) 0 x y 0 x y 0 H x y.= ⇔ − = ⇔ − = ∈ ⇔ = 
 Với mọi x, y H∈ thì d(x, y) x y ( 1).(y x) 1 . y x= − = − − = − − = 
y x d(y,x).= − = Vậy d(x, y) d(y,x), x, y H.= ∀ ∈ 
 Với mọi x, y,z H∈ thì d(x, y) x y (x z) (z y)= − = − + − ≤ 
x z z y d(x,z) d(z, y).≤ − + − = + Hay d(x,y) d(x,z) d(z,y), x,y,z H.≤ + ∀ ∈ 
 Vậy d là một mêtric trên H, và (H, d) là không gian mêtric trên K. 
 Theo ñịnh nghĩa không gian Hilbert thì (H, d) là không gian mêtric ñầy 
ñủ. 
 Xét dãy Cauchy bất kì { }nx trong không gian ñịnh chuẩn (H, . ) . Ta có 
{ }m n m n m n n
m,n m,n m,n
lim x x 0 lim d(x ,x ) lim x x 0 x
→+∞ →+∞ →+∞
− = ⇒ = − = ⇒ là 
dãy Cauchy trong không gian mêtric ñầy ñủ (H, d) { }nx⇒ hội tụ (theo 
mêtric d) tới 0x H,∈ tức là n 0
n
lim d(x ,x ) 0.
→+∞
= Rõ ràng n 0
n
lim x x
→+∞
− = 
{ }n 0 n
n
lim d(x ,x ) 0 x
→+∞
= = ⇒ hội tụ (theo chuẩn . ) ñến 0x trong không 
gian ñịnh chuẩn (H, . ) . ðiều ñó chứng tỏ mọi dãy Cauchy trong không gian 
ñịnh chuẩn (H, . ) ñều hội tụ tới một phần tử của (H, . ) . Vậy (H, . ) là một 
không gian Banach.