Giải toán trên máy tính casio fx 500ms-570ms: Dạng toán về dãy truy hồi (phibonacci)

Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio Fx 500ms-570ms
DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI
(Phibonacci)
Bài 1: Cho dãy số: u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 )
a) Tính u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7
b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị của un với 
u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 )
	c) Sử dụng quy trình trên, tính giá trị của u22 ; u23 ; u24 ; u25
Bài 2: cho dãy số u0 = 2 ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, 3 )
Lập một quy trình tính un+1 
Tính u2, u3, u4 , u5, u6
Tìm công thức tổng quát của un
Bài 3: Cho dãy số u0 = 2 ; u1 = 3 ; un+1 = un2 + un-12 
Lập quy trình tính un
Tính u2 , u3, u4 , u5.
Bài 4: Cho dãy số sắp thứ tự u1 , u2 , u3 , , un, un + 1. Biết u1 = 1; u2 = 2 ; u3 = 3 
và un = un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3
Tính u4 , u5 ; u6 ; u7.
Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với n 4
c) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị của u22 , u25 ; u28 ; u30
Bài 5: Cho dãy số: Un = 
Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy số.
Chứng minh: Un + 2 = 6Un + 1 – 4Un
Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio
Bài 6: Cho dãy số : Un = Với n = 1; 2; 3; .
Tính 6 số hạng đầu tiên của dãy.
Lập công thức truy hồi để tính Un + 2 theo Un và Un + 1
Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + 2 trên máy casio
Bài 7: Cho dãy số u1 = 8 ; u2 = 13 , un+1 = un + un-1 (n = 2; 3; 4 )
Lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un+1 với mọi n 2
Sử dụng quy trình trên tính giá trị u13 ; u17
Bài 8: Cho dãy số un = n = 0; 1; 2; 3 
Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy số này.
Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un
Lập một quy trình tính un trên máy casio
Tìm tất cả các số tự nhiên n để un chia hết cho 3
Bài 9: Cho dãy số un = n = 0; 1; 2; 3 
Tính 5 số hạng đầu tiên
Lập một công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un-1
Lập một quy trình tính un+1 trên máy casio
Chứng minh rằng un = 5m2 khi n chẳn và un = m2 khi n lẻ
Bài 10: cho un với u1 = 0 ; u2 = 14 ; u3 = -18 và un+1 = 7un-1 – 6un-2 với n = 3; 4 
Lập công thức tính un và tính u4; u5 ; u6  u20
Lập và chứng minh công thức tổng quát của un
Chứng minh với mọi số nguyên tố p thì up chia hết cho p
Bài 11: Cho dãy số: un = (1)
Lập công thức truy hồi.
Lập quy trình tính trên máy casio để tính un và tính u1; u2 ; u3  u10
Bài 12: Cho dãy số un = 
Lập công thức truy hồi.
Lập công thức tính trên máy casio để tính un và tính u0 đến u4
Bài 13: Cho u1 = 1 ; u2 = 2 và dãy số được xác định
Nếu n chẳn: u2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - 1 
Nếu n lẻ : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1
a) Lập quy trình tính trên máy casio để tính u12, u13 , S12 ; S13
 (S12 bằng tổng các số hạng của dãy ứng n = 12) 
b) Tính u12 ; u13 và tính tổng S12 ; S13 
Chú ý1: Dãy số un = aun-1 + bun-2 (1) gọi là công thức truy hồi để tính un.
	 Dãy số : un = c1u1n + c2u2n (2) gọi là công thức tổng quát để tính của un
Công thức (1) và (2) cùng biểu diễn để tính giá trị của un và có quan hệ với nhau.
Ở công thức (2) u1 và u2 là nghiệm của phương trình: u2 = au + b hay u2 – au – b = 0
Do vậy nếu biết được công thức truy hồi ta tìm được công thức tổng quát và ngược lại.
D·Y FIBONACCI
1) Cho u1 = 1 , u2 = 1 u n+1 = un + un -1 víi mäi n 2
Quy tr×nh Ên phÝm trªn Casio 500MS hoÆc 570MS : 
BÊm phÝm : 1 SHIFT STO A + 1 SHIFT STO M
Vµ lÆp l¹i d·y phÝm :
+ ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA M SHIFT STO M
 2) D·y LUCAS Cho u1 = a , u2 = b , u n+1 = un + un -1 víi mäi n 2
Quy tr×nh tÝnh sè Lucas trªn Casio 500MS hoÆc 570 MS
BÊm phÝm : b SHIFT STO A + a SHIFT STO M
Vµ lÆp l¹i d·y phÝm :
+ ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA M SHIFT STO M
 VÝ dô 1: víi u1 = 1 , u2 = 3
1, 3 , 4 , 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123 , 199, 322, 521 , 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349 , 15127, 24476 ,39603 , 64079 , 103682 , 167761, 271443, 439204 , 710647 , ..
 VÝ dô 2 : víi u1 = -2 , u2 = 4 
1 ,5 , 6 , 11 , 17 , 28 , 45 , 73 , 118 , 191 , 309 , 500 , 809 , 1309 , 2118 , 3427 , 5545 , 8972 , 14517 , 23489 , 
3) D·y Fibonacci suy réng 
 Cho u1 = a , u2 = b , u n+1 = Aun + Bun -1 víi mäi n 2
Quy tr×nh tÝnh sè Fibonacci suy réng ( sè Lucas ) trªn Casio 500MS hoÆc 570 MS
BÊm phÝm : b SHIFT STO A x A +B x a SHIFT STO B
Vµ lÆp l¹i d·y phÝm :
 x A+ ALPHA A x B SHIFT STO A 
 x A+ ALPHA B x B SHIFT STO B
VÝ dô3 : Vãi A = 4 , B = 5 , u1 = a = 2 , u2 = b = 3 , u n+1 = 4un + 5un -1 víi mäi n 2
Thùc hiÖn quy tr×nh: 3 SHIFT STO A x 4+5 x 2 SHIFT STO B
Vµ lÆp l¹i d·y phÝm :
 x 4+ ALPHA A x 5 SHIFT STO A 
 x 4+ ALPHA B x 5 SHIFT STO B 
 Ta ®­îc d·y : 2 , 3 , 22 , 103 , 522 , 2603 , 13022 , 65103 , 325522 , 162 7603 , 8138022 , 40690103 , 203450522 , 1017252603 , 
4) D·y Fibonacci ( d·y Lucas ) suy réng bËc hai d¹ng
u1 = a , u2 = b , u n+1 = u 2n + u 2n -1 víi mäi n 2
Quy tr×nh tÝnh sè Fibonacci suy réng ( sè Lucas ) trªn Casio 500MS hoÆc 570 MS
BÊm phÝm : b SHIFT STO A x2 + a x2 SHIFT STO B
Vµ lÆp l¹i d·y phÝm : x2 + ALPHA A x2 SHIFT STO A 
 x2 + ALPHA B x2 SHIFT STO B
 VÝ dô : u1 = 1 , u2 = 1 , u n+1 = u 2n + u 2n -1 víi mäi n 2
 Thùc hiÖn quy tr×nh trªn ta ®­îc d·y : 1, 1 , 2 , 5 , 29 , 866 , 705797 , ..
5) d·y Fibonacci bËc ba : 
 VÝ dô4 : Cho u1 = 1 , u2 = 1 , u3 =2 , u n+1 = un + un -1 + un-2 víi mäi n 3
 Quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y u1 = 1 , u2 = 1 , u3 =2 , u n+1 = un + un -1 + un-2 víi mäi n 3
 Trªn m¸y tÝnh Casio 500MS hoÆc 570 MS
 §­a u2 vµo A : 1 SHIFT STO A
 §­a u3 vµo B : 1 SHIFT STO B
 TÝnh u4 : ALPHA B + ALPHA A + 1 SHIFT STO C (u4 )
 Vµ lÆp l¹i d·y phÝm 
 +ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A (u5 ) 
 +ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B (u6 ) 
 +ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C (u7 ) 
 Ta ®­îc d·y : 1 , 1 , 1 , 3 , 5 ,9 , 17 , 31 , 57 , 105 , 193 , 355 , 653 , ..
MéT Sè BµI TËP VÒ D·Y Sè FIBONACCI
Bµi 1 : Cho d·y sè u1 = 25 ; u2 =100 ; .un+1 = un + un-1 víi mäi n> 1. TÝnh u10 ; u29 .
Bµi 2 : Cho d·y sè u1 = 1 ; u2 = 2 ; .un+1 = 3un + un-1 víi mäi n> 1. TÝnh u15 ; u16 
Bµi 3 : Cho d·y sè u1 = 1 ; u2 = 1 ; .un+1 = u 2n + u 2n-1 víi mäi n> 1. TÝnh u7 ; u8
Bµi 4 :Cho d·y sè a1 = 2 ; a2 = 5 ; a3 = 11 ; a4 = 23 ;. ; an ( n . TÝnh a15 ; a32 . 
Bµi 5 : Cho d·y sè u1 =17 ; u2 = 29 ; .un+2 = 3un+1 +2 un víi mäi n 1. TÝnh u15 . 
Bµi 6 : Cho d·y sè u1 =3 ; u2 = 2 ; .un= 2un-1 +3 un-2 víi mäi n 3. TÝnh u21
Bµi 7 :TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc : 
a) 
A= §S : A = 172207296
b)
 B = §S : B = 35303296
c) Cho d·y sè un = (n lµ sè tù nhiªn )
 TÝnh u6 ; u18 ; u30 §S : u6 = 322 ; u18 = 33385282 ; u30 = 3461452808002 
 Bµi 8 ; Cho un= ( n lµ sè tù nhiªn ) 
a) TÝnh un+2 theo un+1 vµ un §S : un+2 = 2 ( -un+1 + un)
b) TÝnh u24 ; u25 ; u26 §S : u24 = -8632565760 ; u25 = 23584608256 ; 
u26 = -64434348032