Giáo án phụ đạo Môn Toán lớp 10

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THễNG YấN PHONG 2 
TỔ TOÁN 
----- 
 ----- 
NGUYỄN VĂN XÁ 

 
 GIÁO ÁN PHỤ ðẠO  
MễN TOÁN 
LỚP 10A13 





 
 2010 − 2011  
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
1 
1 
A - Hàm số bậc nhất và Ph−ơng trình bậc nhất 

 
i. hàm số bậc nhất 
1. định nghĩa và tính chất 
a. Định nghĩa 
 Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b (a ≠ 0), ở đó a và b là hằng số 
thực, x là biến số hay đối số. 
 VD: Các hàm số y = 2x – 1, y = -3x + 5, y = 
1
2
x là hàm số bậc nhất. Hàm y = (m – 
2).x + 5 chỉ là hàm bậc nhất khi m ≠ 2, với m = 2 thì hàm số này là hàm hằng, không phải là hàm 
bậc nhất. 
b. Tập xác định và tập giá trị 
 Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) có tập xác định D = ℝ , tập giá trị G =ℝ . 
c. Chiều biến thiên 
Vì ∀ x1, x2∈ ℝ , x1 ≠ x2, ta có y1 = a x1+ b, y2 = ax2 + b, và 
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )y y ax b ax b
a
x x x x
− + − +
= =
− −
, 
nên nếu a > 0 thì hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến trên tập ℝ , nếu a < 0 thì hàm số bậc nhất 
y = ax + b nghịch biến trên tập ℝ . Chẳng hạn hàm số y = 2x-1 đồng biến trên tậpℝ , hàm số y = 
-3x + 5 nghịch biến trên tập ℝ , còn hàm số y = (m – 2)x đồng biến trên tậpℝ khi m > 2, và 
nghịch biến trên tập ℝ khi m < 2. 
 Ta có bảng biến thiên: 
x - ∞ + ∞ x - ∞ + ∞ 
y=ax+b 
(a>0) 
+ ∞ 
- ∞ 
 y=ax+b 
(a<0) 
+ ∞ 
- ∞ 
d. Đồ thị hàm bậc nhất 
 Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) là một đ−ờng thẳng không song song và không 
trùng với các trục toạ độ Ox, Oy, cắt Ox, Oy lần l−ợt tại các điểm 
A(
b
a
− , 0), B(0, b), có h−ớng đi lên (đi xuống) từ trái sang phải nếu a > 0 (t−ơng ứng 
a < 0). Nếu b = 0 thì đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O(0, 0) và điểm C(1, a). Xem hình 1.1 và 1.2. 
Để vẽ đồ thị hàm bậc nhất ta chỉ cần xác định hai điểm tuỳ ý thuộc đồ thị rồi vẽ đ−ờng 
thẳng đi qua hai điểm đó. 
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
2 
2 
Hình 1.1 
Hình 1.2 
2. đ−ờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ 
1) Đ−ờng thẳng có ph−ơng trình y = ax + b (d) 
 Nếu a ≠ 0 thì (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất, nó cắt cả hai trục toạ độ Ox và Oy. Xem 
hình 1.1 và 1.2. 
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
3 
3 
Nếu a = 0 thì (d) là đồ thị của hàm hằng y = b, nó là một đ−ờng thẳng cùng ph−ơng với Ox 
(vuông góc với Oy) và đi qua điểm B(0, b). Xem hình 1.3. 
Hình 1.3 
 Trong cả hai tr−ờng hợp trên, mỗi đ−ờng thẳng vuông góc với Ox luôn cắt (d) tại duy nhất 
một điểm. 
Gọi α là góc tạo bởi chiều d−ơng trục Ox và phần đ−ờng thẳng (d) nằm phía trên Ox. Nếu a 
= 0 thì coi α = 0o. Rõ ràng 0o ≤ α < 180o và α ≠ 90o. Ng−ời ta chứng minh đ−ợc rằng tanα = a. Vì 
thế hệ số a đ−ợc gọi là hệ số góc của (d). Xem hình 1.4 và 1.5. 
Đ−ờng thẳng (d) luôn cắt Oy tại điểm B(0, b) nên hệ số b đ−ợc gọi là tung độ gốc của (d). 
Cho hai đ−ờng thẳng (d) y = ax + b, (d/) y = a/x + b/ và xét hệ ph−ơng trình 
/ /
y = ax + b (1)
y = a x + b



. 
. d ≡d/ ⇔ a = a/ và b = b/ ⇔ Hệ (1) vô số nghiệm. 
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
4 
4 
Hình 1.4 
Hình 1.5 
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
5 
5 
Hình 1.6 
. d//d/ ⇔ a = a/ và b ≠ b/ ⇔ Hệ (1) vô nghiệm. 
. d cắt d/ ⇔ a ≠ a/ ⇔ Hệ (1) có nghiệm duy nhất (khi đó nghiệm của (1) là toạ độ giao điểm duy 
nhất của d và d/). Đặc biệt d ⊥ d/ ⇔ a. a/ = -1. 
2) Đ−ờng thẳng x = x0 
 Trong mặt phẳng Oxy đ−ờng thẳng có ph−ơng trình x = x0 cùng ph−ơng với Oy, vuông góc 
với Ox tại điểm có hoành độ bằng x0, và vuông góc với tất cả các đ−ờng thẳng có ph−ơng trình 
dạng y = b. Xem hình 1.6. 
 Đ−ờng thẳng x = x0 không phải là đồ thị của hàm số. 
3) Đ−ờng thẳng Ax + By + C = 0 
 Trong mặt phẳng Oxy có hai loại đ−ờng thẳng, loại thứ nhất là những đ−ờng thẳng không 
cùng ph−ơng với Oy, chúng có ph−ơng trình dạng y = ax + b, và là đồ thị của hàm số y = ax + b, 
loại thứ hai là những đ−ờng thẳng cùng ph−ơng với Oy, chúng có ph−ơng trình dạng x = x0, và 
không là đồ thị của hàm số nào. Ph−ơng trình của cả hai loại đ−ờng thẳng nói trên đều có thể đ−a 
đ−ợc về dạng Ax + By + C = 0, với A2 + B2 ≠ 0. Nh− vậy, mọi đ−ờng thẳng trong mặt phẳng đều 
có dạng Ax + By + C = 0 (A2+ B2 ≠ 0). Ng−ợc lại, tập hợp tất cả các điểm trong mặt 
phẳng có toạ độ (x, y) thoả mkn ph−ơng trình Ax + By + C = 0 (A2+ B2 ≠ 0) là một đ−ờng thẳng 
gọi là đ−ờng thẳng Ax + By + C = 0. Nếu A = 0 thì đ−ờng thẳng này cùng ph−ơng với Ox (vuông 
góc với Oy), nếu B = 0 thì đ−ờng thẳng này cùng ph−ơng với Oy (vuông góc với Ox), nếu C = 0 thì 
đ−ờng thẳng này đi qua gốc toạ độ O(0, 0). Nếu A, B, C đồng thời khác 0 thì ph−ơng trình Ax + 
By + C = 0 có thể đ−ợc viết ở dạng 
x
a
 + 
y
b = 1 và đ−ờng thẳng này cắt hai trục toạ độ Ox, Oy 
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
6 
6 
lần l−ợt tại M(a, 0), N(0, b) khác O(0, 0). Và ng−ợc lại nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đ−ờng thẳng đi qua hai 
điểm M(a, 0), N(0, b) có ph−ơng trình dạng 
x
a
 + 
y
b = 1, gọi là ph−ơng trình viết theo đoạn chắn. 
 Ph−ơng trình Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0) đ−ợc gọi là ph−ơng trình tổng quát của đ−ờng 
thẳng trong mặt phẳng. 
Cho hai đ−ờng thẳng (D1) A1x + B1y + C1 = 0 (A1
2 + B1
2 ≠ 0) 
 (D2) A2x + B2y + C2 = 0 (A2
2 + B2
2 ≠ 0) 
và xét hệ ph−ơng trình
1 1 1
2 2 2
A x + B y + C = 0 (2)
A x + B y + C = 0 



. Có ba khả năng sau xảy ra: 
. D1 ≡ D2 ⇔ Hệ (2) vô số nghiệm ⇔ 
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= = (nếu A2, B2, C2 ≠ 0). 
. D1// D2 ⇔ Hệ (2) vô nghiệm ⇔
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= ≠ (nếu A2, B2, C2 ≠ 0). 
. D1 cắt D2 ⇔ Hệ (2) có nghiệm duy nhất (khi đó nghiệm của (2) là toạ độ giao điểm duy nhất 
của D1 và D2) ⇔
1 1
2 2
A B
A B
≠ (nếu A2, B2 ≠ 0). Đặc biệt D1 ⊥ D2 ⇔ A1A2+ B1B2= 0. 
4) Lập ph−ơng trình đ−ờng thẳng 
- Đ−ờng thẳng song song với đ−ờng thẳng Ax + By + C = 0 có PT dạng Ax + By + C/ = 0. 
- Đ−ờng thẳng vuông góc với đ−ờng thẳng Ax + By + C = 0 có PT dạng Bx - Ay + C/ = 0 
hoặc -Bx + Ay + C/ = 0. 
- Đ−ờng thẳng đi qua điểm M(xo, yo) có PT dạng A(x – xo) + B(y – yo) = 0, với A
2 + B2 ≠ 0. 
- Đ−ờng thẳng đi qua điểm M(xo,yo), hệ số góc k, có PT là y – yo= k(x – xo) hay y = k(x – xo) + yo. 
- Đ−ờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt M1(x1,y1), M2(x2,y2) có ph−ơng trình dạng 
(x2 – x1)(y – y1)= (y2 – y1)(x – x1). Trong đó nếu x1 = x2 thì đ−ờng thẳng M1M2 có PT là x = x1, nếu 
y1 = y2 thì nó có ph−ơng trình y = y1, và nếu x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 thì nó có ph−ơng trình 
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
− −
=
− −
. 
5) Khoảng cách từ một điểm tới đ−ờng thẳng 
 Khoảng cách từ điểm M(xo,yo) tới đ−ờng thẳng (
)Ax + By + C = 0 ( với A
2 + B2 ≠ 0) đ−ợc 
tính theo công thức d(M/ ∆ ) 2 2
o oAx By C
A B
+ +
=
+
. 
6) Góc giữa hai đ−ờng thẳng 
1) Cho hai đ−ờng thẳng (
1) A1x + B1y + C1 = 0 (A1
2 + B1
2 ≠ 0) 
 (
2) A2x + B2y + C2 = 0 (A2
2 + B2
2 ≠ 0) 
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
7 
7 
và góc giữa chúng là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 
2
pi
). Ta có công thức cosϕ = 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2.
A A B B
A B A B
+
+ +
. Nh− vậy 
1 ⊥ 

2 ⇔ A1A2+ B1B2= 0. 
 2) Nếu 
1, 
2 lần l−ợt có hệ số góc là k1, k2 và chúng không vuông góc với nhau thì tanϕ 
=
1 2
1 21
k k
k k
−
+
, còn 
1 ⊥ 
2 ⇔ k1k2 = -1. 
7) Chùm đ−ờng thẳng 
 Tập hợp tất cả những đ−ờng thẳng trong mặt phẳng và đi qua điểm M cho tr−ớc gọi là chùm 
đ−ờng thẳng tâm M. 
Cho hai đ−ờng thẳng (d1) a1x + b1y + c1 = 0 (a
2
1 +b
2
1 ≠ 0), (d2) a2x + b2y + c2 = 0 (a
2
2 +b
2
2 ≠ 
0), cắt nhau tại M. Mọi đ−ờng thẳng thuộc chùm đ−ờng thẳng tâm M đều có ph−ơng trình dạng 
λ( a1x + b1y + c1) + à( a2x + b2y + c2) = 0, với λ2 + à2 ≠ 0. 
8) Ph−ơng trình đ−ờng phân giác 
 Đ−ờng phân giác của các góc tạo bởi hai đ−ờng thẳng (d1) a1x + b1y + c1 = 0 (a
2
1 +b
2
1 ≠ 0), 
(d2) a2x + b2y + c2 = 0 (a
2
2 +b
2
2 ≠ 0) có ph−ơng trình dạng 
1 1 1
2 2
1 1
a x + b y + c
a b+
=
2 2 2
2 2
2 2
a x + b y + c
a b+
. 
9) Vị trí tr−ơng đối của hai điểm so với đ−ờng thẳng 
 Cho hai điểm M1(x1, y1), M2(x2, y2) và đ−ờng thẳng (
)Ax + By + C = 0. Nếu 
(Ax1 + By1 + C).( Ax2 + By2 + C) > 0 thì M1 và M2 nằm cùng phía so với (
), còn nếu (Ax1 + By1 
+ C).( Ax2 + By2 + C) < 0 thì M1 và M2 nằm khác phía so với (
). 
3. VÍ DỤ 
1. Lập bảng biến thiờn và vẽ ủồ thị hàm số 
x
a)y 2x 3. b)y 1. c)y 3x 1 . d)y 2 x 3. e)y 3x x 1 . f )y x 2x 1 .
2
x 1 khi x 1
g)y .
2x khi x 1
= − = + = − = − = + + = − −
− ≥ −
= 
− < −
2. Tỡm a, b ủể ủường thẳng y = ax + b ủi qua hai ủiểm A, B trong mỗi trường hợp sau: 
a) A(2; 1), B(1; 2). b) A(1; 3), B(3; 2). c) A(1; 2), B(2; 0). d) A(2; −5), B(−1; −1). 
3. Tỡm a, b ủể ủồ thị hàm số (d) y = ax + b: 
a) Song song với ủường thẳng (d’) y = 2x, và cắt Ox tại ủiểm cú hoành ủộ bằng 3. 
b) Vuụng gúc với ủường thẳng 1( ) : y x 1,
3
∆ = − + và cắt ( ') : y x 1∆ = − tại ủiểm cú tung ủộ bằng 1. 
c) ði qua M(1; 3) và gúc giữa chiều dương Ox với phần ủường thẳng (d) nằm phớa trờn Ox là 600. 
4. Cho (d) : y (m 1)x m; ( ) : y 5x 1.= − + ∆ = − + Tỡm m ủể: 
a) (d) cắt Oy tại ủiểm cú tung ủộ bằng 1 2.− b) (d) //( ).∆ c) (d) ( ).⊥ ∆ 
d) (d) và ( )∆ ủối xứng với nhau qua Ox. e) (d) và ( )∆ ủối xứng với nhau qua Oy. 
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
8 
8 
f) (d) và ( )∆ ủối xứng với nhau qua O. g) Hàm số (d) ủồng biến trờn R. 
h) Hàm số (d) nghịch biến trờn R. i) Tỡm ủiểm cố ủịnh mà (d) luụn ủi qua với mọi m. 
5. Tỡm a ủể ba ủường thẳng 1 2 3
1 3(d ) :3x y 1, (d ) : 2x ay a, (d ) : y x
2 2
− = − + = = − ủồng quy. 
6. Tỡm a ủể hai ủường thẳng (d) : x ay a 0; ( ) : y ax 2a 1+ + = ∆ = + − cắt nhau tại ủiểm 0 0M(x ; y ) thỏa 
món 0 0x 0, y 0.< < Cũng cõu hỏi tương tự nhưng với hai ủường thẳng 
(d) : x ay a;− = − ( ) : y ax 1.∆ = − − 
7. Tỡm m, n ủể hai ủường thẳng (d) : mx (n 1)y 1 0; ( ) : nx 2my 2 0− + − = ∆ + + = cắt nhau tại 
M( 1;3).− 
8. Cho (d) : y (1 4m)x m 2.= − + − 
a) Tỡm m ủể d//Ox. 
b) Tỡm m ủể (d) ủi qua gốc tọa ủộ. 
c) Khi nào thỡ gúc α (là gúc giữa chiều dương Ox với phần ủường thẳng d nằm phớa trờn Ox) là 
gúc nhọn, là gúc tự? 
d) Tỡm m ủể (d) cắt Oy tại ủiểm cú tung ủộ bằng 5 .
2
− Vẽ ủồ thị với m vừa tỡm ủược. 
e) Tỡm m ủể (d) cắt Ox tại ủiểm cú hoành ủộ õm. 
9. Tỡm a ủể ba ủường thẳng 1 2 3
x(d ) : ax y 2, (d ) : x ay 3, (d ) : y
2
− = + = = ủồng quy. 
ii. ph−ơng trình bậc nhất 
1. Định  ... 2
2 2
(x y) 4
.
x y 2(a 1)
 + =

+ = +
1) Giải hệ PT khi a = 1. 2) Tỡm a ủể hệ cú ủỳng hai nghiệm. 
17. Cho hệ phương trỡnh 
3 3
x y m(x y)
.
x y 1
 − = −

+ = −
 1) Giải hệ PT khi m = 3. 
2) Tỡm m ủể hệ cú 3 nghiệm (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3) thoả món x1 + x3 = x2 và trong 3 số x1, x2, x3 
cú 2 số cú giỏ trị tuyệt ủối lớn hơn 1. 
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
57 
57 
18. Cho hệ phương trỡnh 2 2
x y xy m 1
.
x y xy m
+ + = +

+ =
1) Giải hệ PT khi m = 2. 2) Tỡm m ủể hệ PT cú ớt nhất một nghiệm thoả món x > 0, y > 0. 
19. Giải biện luận theo m hệ phương trỡnh 
1
x 2y 5
x y m x y 1x 2y x 4 y 1 41) . 2) . 3) . 4) .
x 2y x y 3mx y xy m x x y y 1 3mm
x 2y

+ + =  + = + = 
−
− + − =   
   
+ + =+ − = + = −     =

−
20. Giải cỏc hệ phương trỡnh 
2 2
2 2 2
x xy y 3(x y)
1) .
x xy y 7(x y)

− + = −

+ + = −
2 2
2 2
(x y)(x y ) 13
2) .
(x y)(x y ) 25

− + =

+ − =
2 2
3 3
2x y xy 15
3) .
8x y 35
 + =

+ =
3( x y) 4. x. y4) .
xy 9
 + =

=
2 2
x y x y 85) .
xy x y 5
 + + + =

+ + =
2 2
x y 4(x y) 76) .
xy 6
 + + + = −

=
2 2
x y 3xy 1 4 2
7) .
x y 3
 + + = +

+ =
2 2
x y xy 21
8) .x y 5
y x 2
 + + =


+ =

2 2
3 3
x y xy 20
9) .
x y 65
 + =

+ =
 2 2
x y 1 2xy
10) .
x y 1
+ = −

+ =
2 2
x xy y 1
11) .
x y xy 6
− − =

− =
2 2 2
2 2
x xy y 19(x y)
12) .
x xy y 7(x y)
 + + = −

− + = −
 3 3
x y 2xy 2
13) .
x y 8
+ + =

+ =
2 2
3 3
x y 1
14) .
x y 1
 + =

+ =
3 3
6 6
x 3x y 3y
15) .
x y 1

− = −

+ =
3 3
x y 6
16) .
x y 126
− =

− =
x y 2
17) .
x 3 y 3 4
 + =

+ + + =
3
3
x 2x y
18) .
y 2y x

= +

= +
4 4
6 6
x y 1
19) .
x y 1
 + =

+ =
5 5
9 9 4 4
x y 1
20) .
x y x y
 + =

+ = +
2 2
5
x y xy
421) .
1
x y xy
4

+ + =

 + =

2 2
x y y x 6
22) .
x y xy 20
 + =

+ =
x 1 y 2 3
23) .
y 1 x 2 3
 + + − =

+ + − =
2 2x xy y 424) .
x xy y 2
 + + =

+ + =
2 2
2 2
x x y 1 x y x y 1 y 18
25) .
x x y 1 x y x y 1 y 2
 + + + + + + + + + =

 + + + − + + + + − =
3
3
x 1 2y
26) .
y 1 2x
 + =

+ =
2 2
2 2
1(x y)(1 ) 5
xy
27) .
1(x y )(1 ) 49
x y

+ + =


 + + =

1 32x
y x
28) .
1 32y
x y

+ =


 + =

2
2
32x y
x29) .32y x
y

+ =

 + =

x y 7 1
y x xy30) .
x xy y xy 78

+ = +


+ =
x 1 7 y 4
31) .
y 1 7 x 4
 + + − =

+ + − =
x 9 y 7 4
32) .
y 9 x 7 4
 + + − =

+ + − =
2
2
x 3x 2y
33) .
y 3y 2x
 = +

= +
2 2
2 2
x 2y 2x y
34) .
y 2x 2y x

− = +

− = +
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
58 
58 
2
2
2
2
y 23y
x35) .
x 23x
y
 +
=


+
=


2 2
2 2
1 1
x y 4
x y
36) .1 1
x y 4
x y

+ + + =


 + + + =

2 2 2 2
x y x y 2
37) .
x y x y 4
 + − − =

+ − − =
2 2
2 2
3x 5xy 4y 38
38) .
5x 9xy 3y 15
 + − =

− − =
2 2x 2xy 3y 039) .
x | x | y | y | 2
 + − =

+ = −
2 2
2 2
x 2xy y 9
40) .
2x 13xy 15y 0

− + =

− + =
2
2
| xy 10 | 20 x
41) .
xy 5 y

− = −

= +
2 2
2 2
x 2xy y 4 0
42) .
2x xy y 4 0
 + + − =

+ + − =
2 2
2 2
x 3x y 4y 1
43) .
3x 9x 2y 8y 3

− + + =

− − − =
2
3 3
(x y) y 2
44) .
x y 19

− =

− =
3 3 3
2 2
1 x y 19x
45) .
y xy 6x
 + =

+ = −
2x 2y 3
46) .y x
x y xy 3

+ =


− + =
2 2
2 2
3x 8xy 4y 0
47) .
5x 7xy 6y 0

− + =

− − =
48)
3 x y x y
.
x y x y 2

− = −

+ = + + 3
1 1
x y
x y49) .
2y x 1

− = −


= +
2x y 1 1 x y50) .
3x 2y 4
 + + = + +

+ =
2 2
x y x y 451) .
x(x y 1) y(y 1) 2
 + + + =

+ + + + =
3 3
3 2
x 8x y 2y
52) .
x 3 3(y 1)

− = +

− = +
2x y 2 x y 753) .
2y 3x 23
 + + + + =

+ =
20y
x y x y
x54) .
16x
x y x y
y

= + + −



= + − −

2 2
5 2 2
x y x 4y 2
55) .
x . x 4y 0

− + − =


− =
3
3
x y x y
56) .
x y x y 12
 + = +

− = − −
3x 5y 9 2xy
57) .
2x 3y 10 xy
+ = +

+ = −
3 3
3 3
3x 5y 6 2xy
58) .
2x 3y 8 3xy
 + = +

+ = −
2 2 2
2 2
x y 2x y 0
59) .
2x 4x 3 y 0

− + =

− + + =
2
x(x 2)(2x y) 9
60) .
x 4x y 6
+ + =

+ + =
2 2 82x y
961) .1 10 10 1| x | | x y | y
y 3 3 y

+ =

 + + − + = + +

 2 3
| x | | y | 1
62) .
x y 1
+ =

+ =
2 2
2 2
(x y)(x y ) 3
63) .
(x y)(x y ) 15

− − =

+ + =
21. Cho hệ phương trỡnh
2 2
x y 1 k.( x y 1) 1
.
x y xy 1
 + − − + − =

+ = +
a) Giải hệ PT khi k = 0. b) Tỡm k ủể hệ cú nghiệm duy nhất. 
22. Cho hệ PT 2 2 2
x y a
.
x y 6 a
+ =

+ = −
a) Giải hệ PT khi a = 2. b) Tỡm GTNN của F = xy + 2(x + y). 
23. Tỡm m ủể hệ phương trỡnh cú nghiệm 
2 2 2
x y 45(x y) 4xy 4x 4 y 1 4 x 3 y 1 3 x 1 y1) . 2) . 3) . 4) .
x y xy 1 m x y mx y 3m x y m
+ = + − =
− + − =  − − = − −  
   
+ − = − + =+ = + =   
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
59 
59 
24. Cho hệ phương trỡnh 2
x xy y 2m 1
.
xy(x y) m m
+ + = +

+ = +
1) Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trỡnh trờn luụn cú nghiệm. 
2) Xỏc ủịnh m ủể hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất. 
25. Cho hệ phương trỡnh 2 2 2
x y m 1
.
x y xy 2m m 3
+ = +

+ = − −
1) Giải hệ phương trỡnh khi m =3. 
2) Chứng minh rằng với mọi m hệ PT luụn cú nghiệm. 
26. Cho hệ phương trỡnh 3 3
x y 1
.
x y m(x y)
+ =

− = −
1) Giải hệ PT khi m = 1. 
2) Tỡm m ủể hệ PT cú 3 nghiệm phõn biệt. 
27. Giải biện luận hệ PT 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y m3x my x x(1 y ) m(1 m )
1) .2) .3) .
3y mx y y(1 x ) m(1 m ) x y x y m
 + − − = + = − = −  
  
+ = − = −  + − − =  
28. Tỡm m ủể hệ cú nghiệm duy nhất 
3 2 2 2 3 2
3 2 2 2 3 2
1 x 6 y m x y 1 1x y 7x mx x y 4y my
1) . 2) . 3) . 4) .
1 y 6 x m y x 1 my x 7y my y x 4x mx
   + + − = + + == + − = − +   
   
+ + − = + + == + − = − +      
29. Tỡm m ủể hệ PH cú nghiệm 
x 1 y 2 m
1) .
y 1 x 2 m
 + + − =

+ + − =
2 3
2 3
2x y 1 m y my x x y m
2) . 3) . 4) .
2y x 1 m x mx y y x m
  + − = = + − =  
  
+ − = = + − =    
30. Cho hệ phương trỡnh 
2 2
2
x 4xy y k
.
y 3xy 4

− + =

− =
1) Giải hệ PT khi k = 1. 2) Chứng minh hệ PT luụn cú nghiệm với mọi k. 
31. Tỡm m ủể hệ 
3 3 2
3 2 2
1
x my (m 1)
2
x mx y xy 1

− = +

 + + =
 cú nghiệm và mọi nghiệm của hệ ủều thoả món x + y = 
0. 
32. Biết rằng hệ phương trỡnh 
2 2a(x y ) x y 0
y x b
 + + + =

− =
 cú nghiệm với mọi giỏ trị của b, chứng 
minh rằng a = 0. 
33. Cho hệ phương trỡnh 2 2
x my m
.
x y x 0
+ =

+ − =
 a) Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trỡnh. 
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
60 
60 
b) Giả sử (x1;y1), (x2;y2) là cỏc nghiệm của hệ. Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
2 1 2 1F (x x ) (y y ) .= − + − Cũng với 2 cõu hỏi như trờn, nhưng với hệ 
2 2
2 2
(2m 1)x (m 1)y x y
.
(x 1) y 4y

− − + = +

+ + =
34. Tỡm a ủể hệ PT 
2
2 2
x 3 | y | a
y 5 | x | x 5 3 a
 + + =

 + + = + + −
 cú ủỳng một nghiệm. 
35. Cho hệ PT 
x y a(1 xy)
.
xy x y 2 0
− = +

+ + + =
a) Giải hệ PT khi 1a .
2
= b) Giải biện luận theo a hệ phương trỡnh. 
36. Giải biện luận hệ phương trỡnh 
2 2
x y m
1) .
x y 2x 2
+ =

− + =
x y xy m2) .
x y m
 + + =

− =
2 2 2 2
2 2 2 2
x a y b
3) .
x a (x b) (y a)
 + = +

+ = − + −
 4 4 4
x y a
4) .
x y b
+ =

+ =
2 2
4 4 3 3
x y x y 0
5) .
x y x y 2(x y ) m
 + − − =

+ + + − + =
 4 4 2 2
x y m
6) .
x y 12x y
+ =

+ =
 5 5 5
x y b
7) .
x y a
− =

− =
37. Giải hệ phương trỡnh 
xy 13
1) yz 15 .
zx 20
=

=

=
x y 15
2) y z 25.
z x 20
+ =

+ =
 + =
xy 1
x y
yz3) 2.
y z
zx 3
z x

= +


=
+

=
+
 4) 2 2 2
2
x y z 13
x y z 91.
y zx
+ + =

+ + =

=
2 2 2
x y z 6
5) xy yz zx 7.
x z 14
 + + =

+ − =

+ + =
xy xz 7
6) xy yz 15.
yz zx 16
+ =

+ =
 + =
x(x y z) 2 yz
7) y(x y z) 3 xz .
z(x y z) 6 xy
+ + = −

+ + = −
 + + = −
x y xy 1
8) x z xz 2.
y z yz 5
+ + =

+ + =
 + + =
xy(x y) 6
9) yz(y z) 30.
zx(z x) 12
+ =

+ =
 + =
xyz x y z
yzt y z t
10) .
ztx z t x
txy t x y
= + +

= + +

= + +
 = + +
zx y 2
11) .
x z 2 y( x y z)
= +

+ = − +
2
2
z 1 2 xy
12) .
x 1 2yz 1 4xy
 + =

− = −
3 2
3 2
3 2
y 9x 27x 27 0
13) z 9y 27y 27 0 .
x 9z 27z 27 0

− + − =

− + − =

− + − =
2 2
2 2
2 2
x y z 1
14) x y z 1.
x y z 1
 + + =

+ + =

+ + =
2 2 2
3 3 3
x y z 1
15) x y z 1.
x y z 1
+ + =

+ + =

+ + =
Thi đua dạy tốt– học tốt TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
Nguyễn Văn Xá – Chuyờn ủề phụ ủạo mụn Toỏn – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 
61 
61 
3
2
2 4
y 2 (3 x)
16) (2z y)(y 2) 9 4y.
x z 4x
 + = −

− + = +

+ =
2 3
2 3
2 3
2005 x 2005y z 0
17) 2005 y 2005z x 0.
2005 z 2005x y 0
 + + =

+ + =

+ + =
2 2
2 2
x y 12
y x18) .
1 1 1
x y 3

+ =


 + =

38. Giải biện luận hệ phương trỡnh 
2 2
2 2
2 2
x y z a
1) x y z a.
x y z a
 + + =

+ + =

+ + =
1 1 1
a
x y z
1 1 1 b
x y t2) .
1 1 1
c
x z t
1 1 1 d
y z t

+ + =


+ + =

 + + =


 + + =

2
2
2
xyzy z x
a
xyz3) x z y .
b
xyz
x y z
c

+ − =


+ − =


+ − =

39. Tỡm ủiều kiện của tham số ủể hệ PT cú nghiệm duy nhất 
2
2 2 2
xyz z a
1) xyz z b .
x y z 4
+ =

+ =

+ + =
 2 2
x y z a
2) .
z x y
+ + =

= +
40. Cho (x; y; z) là nghiệm của hệ PT 
2 2 2x y z 8
.
xy yz zx 4
 + + =

+ + =
 CMR: 8 8x, y,z .
3 3
− ≤ ≤ 
41. Giả sử hệ phương trỡnh 
ax by c
bx cy a
cx ay b
+ =

+ =
 + =
 cú nghiệm. CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc. 
42. Giả sử (x; y; z) là nghiệm của hệ PT 2 2 2
x y z a
x y z b.
1 1 1 1
x y z c

 + + =

+ + =

 + + =

 Tớnh 3 3 3S x y z .= + + 
Năm thỏng sẽ trụi qua một cỏch vụ vị ủối với những ai nhỡn tương lai qua một cặp kớnh viễn 
vọng của nhà thụng thỏi và chỉ biết hỏi hoa của hiện tại, nhưng ai biết sử dụng thời gian giống như một 
cỏi cõy cứ mỗi năm cao thờm một ngấn, thỡ họ sẽ cú hạnh phỳc!