Giáo án Toán Đại số Lớp 10 - Chủ đề 8: Tích vô hướng của hai Vec tơ và ứng dụng

Chủ đề 8
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Vấn đề cần nắm:
1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 
2. Tích vô hướng của hai vectơ
3. Các hệ thức lượng trong tam giác
Trong chủ đề này, chúng tôi xin giới thiệu một chuyên đề hình học lớp 10 nữa, đó là phép nhân vô hướng của hai vecto. Phép nhân này cho kết quả là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vecto. Để có thể xác định tính vô hướng của hai vecto ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc bất kì với là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã biết ở lớp 9.
§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ đến 
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Với mỗi góc ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Tung độ của điểm M là sin của góc , kí hiệu là 
Hoành độ của điểm M là côsin của góc , kí hiệu .
STUDY TIP
- Để nhớ định nghĩa giá trị lượng giác sin, cos, tan, cot ta có các câu sau:
Cô sin (cos) là trục nằm ngang (trục hoành).
Song song với nó là chàng cô tang (cot).
Còn sin thì đứng thẳng bang.
Đối diện với nó có tang (tan) đứng chờ.
Giả sử điểm M có tọa độ . Khi đó 
Khi , tỉ số được gọi là tang của góc , kí hiệu .
Khi , tỉ số được gọi là cotang của góc , kí hiệu .
Các số được gọi là các giá trị lượng giác của góc .
Nhận xét: Với định nghĩa này, ta thấy:
+ Góc bất kì từ đến có sin thuộc đoạn .
+ Góc bất kì từ đến có cosin thuộc đoạn .
+ Với : 
+ Với : 
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1. .	4. 
2. .	5. 
3. .	6. 
3.Tính chất
a) Hai góc phụ nhau
1. .	4. 
2. .	5. 
b) Hai góc bù nhau
1. .	4. 
2. .	5. 
4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị lượng giác
0
1
1
0
0
1
||
||
1
0
Ghi nhớ:
Cách 1: Quy tắc bàn tay trái.
- Bước 1: Ghi các góc đặc biệt lên các ngón tay như hình vẽ (lòng bàn tay hứng vào trong).
 Tính giá trị lượng giác của góc nào, ta quặp ngón tay đó lại như hình vẽ.
- Bước 2: 
Cách 2: Đánh số vị trí cho các góc lần lượt theo thứ tự là 0, 1, 2, 3, 3.
Chú ý: Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn: 
5. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ và . Góc với số đo từ đến được gọi là góc giữa hai vectơ và . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và và . Nếu thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc 
STUDY TIP
Trong định nghĩa thì O được lấy tùy ý. Tuy nhiên trong giải toán ta có thể chọn vị trí điểm O thích hợp, hay chọn điểm O trùng với điểm gốc của vectơ và cho đơn giản.
Lời giải
b) Nhận xét:
Từ định nghĩa ta có .
+ khi và chỉ khi và cùng hướng.
+ khi và chỉ khi và ngược hướng.
Dạng 1
B. Các dạng toán điển hình
Xác định tọa độ của điểm M
STUDY TIP
Muốn xác định tọa độ của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị, ta xác định góc . Khi đó điểm M sẽ có tọa độ là 
Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững định nghĩa..
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Tọa độ của điểm M là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Vì hoành độ của điểm M là , tung độ của điểm M là nên tọa độ của điểm M là .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Hoành độ của điểm M là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích: Dựa vào ví dụ 1, hoành độ điểm M là .Dùng máy tính cầm tay ta suy ra kết quả là đáp án A. Ta sẽ chuẩn xác lời giải bằng 2 cách sau:
Lời giải
Cách 1: (Dùng hình học)
Xét tam iacs ABC cân tại A, . Khi đó .
Dựng phân giác CD. Suy ra tam giác ACD cân tại D, tam giác BCD cân tại C.
Do đó: .
Kẻ . Đặt 
STUDY TIP
Do . Nên .
Như vậy ta thấy ngay rằng đáp án C, D bị loại
Khi đó .
Do CD là phân giác của góc nên 
Vậy . Hoành độ của điểm M là .
Lưu ý: Từ bài toán này ta có thể tính được bằng cách làm tiếp từ bài toán trên như sau:
STUDY TIP
Ở cách 2, ta cần biết 2 công thức sau:
Do 
Nên 
Kể , do tam giác CDB cân tại C nên 
Mà nên 
Cách 2: (Sau khi học xong các công thức lượng giác)
Ta có: 
Đáp án A
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B lần lượt là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Giá trị của bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Phân tích: Với bài toán thi trắc nghiệm, với kiểu hỏi này, ta có thể cho . Từ đó ta sẽ cho ra kết quả là đáp án B
Lời giải
Từ giả thiết, ta có: và .
Dựng tam giác MON sao cho , N là giao điểm của nửa đường tròn với trục hoành, M thuộc nửa đường tròn đơn vị.
Suy ra và .
Với cách dựng hình như trên ta có: 
STUDY TIP
-Với thì - Với thì ;.
Đáp án B
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, là giao điểm của nửa đường tròn đơn vị với trục Ox (A thuộc tia Ox), M thuộc trục Ox sao cho (như hình vẽ). Dựng điểm N trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MN vuông góc với OA. Khi đó bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Do MN vuông góc với OA nên hoành độ điểm N bằng hoành độ điểm M. Do nên . Suy ra 
Tung độ điểm N dương do giả thiết bài toán.
Do .
Khi đó 
Đáp án A
Dạng 2
Tính giá trị của biểu thức lượng giác
Với dạng toán này, ta sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
Bài toán 1: Biết , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .
Phương pháp:
Ta có: 
Biết , ta sẽ tính được 
Bài toán 2: Biết , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .
Phương pháp:
Trường hợp 1: Nếu thì giá trị 
Do đó ta có thể tính đưuọc 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Trường hợp 2: Nếu thì 
Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Bài toán 3: Biết , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc . (Trường hợp biết tính tương tự)
Phương pháp: 
Trường hợp 1: Nếu thì 
Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Trường hợp 2: Nếu 
Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Bài toán 4: Biết giá trị của một biểu thức lượng giác theo , tính các giá trị lượng giác của góc 
Phương pháp: 
- Biến đổi biểu thức lượng giác đã cho về một dạng chỉ chứa một hàm lượng giác, rồi tực hiện phép đặt ẩn phụ (nếu cần) để giải một phương trình đại số.
- Biến đổi biểu thức đã cho về dạng tích.
- Sử dụng bất đẳng thức.
Bài toán 5: Biết giá trị của một biểu thức lượng giác, giả sử là biểu thức A, tính các giá trị của biểu thức lượng giác B.
Phương pháp: 
- Biến đổi A rồi thay vào B.
- Biến đổi B rồi sử dụng A.
- Biến đổi đồng thời cả hai biểu thức A, B xuất hiện biểu thức trung gian.
- Sử dụng phương pháp giải phương trình để tính các giá trị.
Ví dụ 1: Biết và 
a) Tính các giá trị lượng giác còn lại.
b) Tính giá trị của biểu thức: . 
Lời giải
a) Ta có 
b) Với câu b, ta có thể thay trực tiếp kết quả tính được ở ý a, cho ra kết quả. Ngoài ra ta có thể làm như sau:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có 
a) Tính ?
b) Tính giá trị của biểu thức: . 
Lời giải
a) Vì nên suy ra góc tù. Do đó 
Ta co: , .
b) Với ý b, ta có thể thay trực tiếp kết quả từ ý a. Sau đây chúng tôi nêu thêm một cách nữa như sau:
Ví dụ 3: Cho các số m, n dương và số thỏa mãn . Tính .
Lời giải
Với , ta suy ra . Khi đó (vô lí).
Vậy .
Cách 1: (sử dụng bất đẳng thức).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 
Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản ta có:
Cách 2: Ta có thể tính như sau:
Cách 3: Đặt . Khi đó (1) trở thành
Ví dụ 4: 
a) Với giá trị nào của thì biểu thức xác định.
b) Cho góc thỏa mãn . Tính .
Lời giải
a) Biểu thức xác định thì 
b) Ta có: 
Cách 1: 
Từ đây sẽ dễ dàng tìm ra được 
Cách 2: 
Dạng 3
Do nên . Vậy 
Chứng minh, rút gọn biểu thức lượng giác
Vấn đề 1. Chứng minh đẳng thức lượng giác 
Phương pháp:
Cách 1. Biến đổi vế phức tạp sang vế rút gọn.
Cách 2. Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian.
Cách 3. Biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức đúng.
- Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
- Chú ý tới các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. 
2. .
3. 
4. 
5. 
Vấn đề 2. Rút gọn các biểu thức lượng giác.
Phương pháp:
- Đưa về cùng một loại hàm số lượng giác.
- Rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất.
- Nếu gặp dạng phân thức thì ta thường phải biến đổi tử và mẫu duwois dạng tích rồi rút gọn cho nhân tử chung.
- Nếu gặp dạng căn thức thì thường nhân và chia cho biểu thức liên hợp, biến đổi biểu thức trong căn dạng lũy thừa rồi rút gọn.
Vấn đề 3. Chúng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số
Phương pháp:
- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.
- Nếu biểu thức chứa một biến số thì biến đổi nó bằng hằng số.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau
a) với .
b) .
c) .
Lời giải
a) 
b)
Cách 1: 
	Cách 2: 
	Cách 3:	 
	c, Đặt Khi đó: 
 	Khi đó
Ví dụ 2: Cho khác 0 và thỏa mãn Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào 
	Lời giải
	Ta xét các trường hợp sau:
	Nếu Theo giả thiết ta suy ra 
	Lúc đó không phụ thuộc vào 
Tương tự với các trường hợp Rõ ràng rằng nếu thì 
Ta xét trường hợp cả hai giá trị 
Ta có: 
Ví dụ 3: Cho biểu thức 
 Xác định để
A không phụ thuộc vào 
Lời giải
Dạng 4
Để A không phụ thuộc vào điều kiện là 
So sánh giá trị của các “hàm” lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên nửa đường tròn đơn vị (như hình vẽ) lấy hai điểm M, N sao cho 
Ta có: 
Với giả thiết ta luôn có: 
Trường hợp ta luôn có 
Trường hợp ta luôn có: 
Khi đó 
Trường hợp ta cũng xét tương tự.
Ví dụ: So sánh các cặp số:
 và 
 và 
 và .
 và .
 và 
Lời giải
Theo nhận xét trên ta dễ dàng đưa ra được kết quả:
Do nên 
Dạng 5
Hai góc bù nhau, phụ nhau.
Ví dụ 1: Giá trị của:
 là:
 B. C. D. 
Ta có: 
Tương tự: 
Vậy 
	Đáp án B.
Ví dụ 2: Tính 
1. B. 2. C. -1. D. 
Lời giải
Ta có: 
Suy ra 
	Đáp án A.
Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Do 
nên 
Lại có: 
Vậy 
Ta có: 
Vậy 
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
 b) 
c) 
Lời giải
Theo giả thiết ta có: 
Khi đó ta có: 
Dạng 6
Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
	Trong một số trường hợp, nếu để nguyên dạng đại số của phương trình, bất phương trình hay của hàm số đã cho thì việc giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sẽ gặp chút khó khăn. Trong trường hợp đó, nếu điều kiện cho phép người ta có thể tàm cách chuyển phương trình, bất phương trình, của hàm số từ dạng đại số thành dạng lượng giác (gọi là phương pháp lượng giác hóa các hàm đại số), với hi vọng dưới dạng mới bài toán sẽ dễ giải hơn.
	Các dấu hiệu phép lượng giác hóa:
Nếu bài toán có (hiệ hoặc ẩn) điều kiện thì cho phép  ... ừ (1) và (2) 
Từ (1) và (3) là hai nghiệm của phương trình:
 Vì AB < AC nên x < y, do đó 
Lại có: 
 Câu 25: Đáp án A.
Chúng ta cần tính diện tích tam giác BFH. Sử dụng tính chất dễ thấy hai tam giác ABF và EDF bằng nhau (c.g.c). Do đó tam giác FBD cân với cạnh đáy BD. Gọi FG là đường cao của tam giác FBD. Trong tam giác vuông FGD có: và 
Từ đó:
Vậy diện tích của tam giác BFD bằng:
 Câu 26: Đáp án A.
Áp dụng định lý sin cho các tam giác IBC và ABC ta có: 
Tương tự: 
Từ đó ta có: 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 27: Đáp án C.
Có 2 trường hợp xảy ra:
TH1: Điểm H nằm giữa B và C. Trên tia HC lấy điểm D sao cho . Suy ra AD là phân giác của góc nên và 
Áp dụng định lý Pytagore trong tam giác vuông Abh ta có:
Đặt Ta có: 
Lại có: 
 Vậy diện tích tam giác ABC trong trường hợp này TH2: Điểm B nằm giữa H và C. Lấy điểm D đối xứng với B qua H. Khi đó AD là phân giác ngoài của Tương tự trường hợp 1, ta tìm được BC = 30cm (bằng DC trong TH1)
Vậy diện tích ABC trong trường hợp này bằng 
Lời bình: Nhiều bạn không chú ý tới vị trí của H nên dễ mất một trong hai trường hợp.
Câu 28: a) Đáp án A.
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
 Ta có: 
 b) Đáp án A.
Câu 29: Đáp án D.
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có: 
Khi đó: 
Do a,b,c dương nên
Suy ra: 
Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: nên:
 Tương tự: 
Suy ra: 
Vậy 
Câu 30: Đáp án A.
Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó:
Theo công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có:
Tương tự ta cũng ta:
Từ đó, theo bất đẳng thức Cauchy – Schwars ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Câu 31: Đáp án A.
Theo định lý sin ta có: 
Nhân ba đẳng thức trên theo vế với vế và để ý rằng suy ra:
Tương tự: 
 Mặt khác: 
 Cộng các đẳng thức (1), (2) theo vế đồng thời kết hợp với (3) ta suy ra:
 Câu 32: Đáp án A.
Đặt 
Theo giả thiết ta có: AN là phân giác (cùng bằng NAD)
Vậy cân tại M 
Theo định lý cosin cho có:
Theo bài ra ta có:
Ta có: (vì M di động trên đoạn BC) 
 đạt giá trị nhỏ nhất khi xảy ra Câu 33: Đáp án C.
Ta có: 
 Áp dụng định lý hàm số sin trong 
Xét tam giác vuông ACD:
 Suy ra chiều cao của cột cờ là:
=1,5+ 
Câu 34: Đáp án C.
 Do nên:
Vậy tam giác ABC vuông tại A hay cân tại A (đpcm).
Câu 35: Đáp án A.
Xét tứ giác AMON có: và 
 (do (*))
Chứng minh tương tự ta có:
 Câu 36: Đáp án A.
Ta có các công thức tính diện tích:
(BĐT Cauchy). Tương tự ta có:
Và 
Do đó: 
Dấu “=” xảy ra
 là trung điểm của BC, CA, AB.
Vậy 
Câu 37: Đáp án A.
Dựa vào tính đối xứng, ta giả sử với (*)
Suy ra: Mà (**)
 không đổi (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi )
Kết hợp (*)(**): dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Câu 38: Đáp án D.
Chứng minh rằng: 
 Hay 
Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng không nhọn. Ta sẽ chứng minh:
 Ta có: 
 Mặt khác: 
(trong đó: 
).
Tương tự ta có:
Vậy (do có (**))
 Câu 39: Đáp án A.
Đặt Ta có:
 Lại có: 
 Do: 
Ta có:
(1) 
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Câu 41: Đáp án A.
Câu 42: Đáp án C.
Đặt Xét tam giác BCD:
Xét tam giác ACD: 
 Chiều sâu của con tàu đắm bằng:
Câu 43: Đáp án D.
Đặt Ta có: 
 Lại có: 
Câu 44: Đáp án A.
Ta có: 
Ta có: 
Câu 45: Đáp án A.
Ta có: Đặt 
Ta có: 
Mặt khác: 
 Lại có: 
 Vậy 
Câu 46: Đáp án A.
Ta có: 
. Khi đó:
 Câu 47: Đáp án A.
Ta có: 
 Xét tam giác POQ ta có: 
Ta có: 
 Áp dụng định lý cosin trong tam giác OPQ ta có: = 8.
Khi đó 
Áp dụng định lý sin trong tam giác PTO ta có: 
Câu 48: Đáp án A.
Xét tam giác vuông ABC tại C với AB=13, AC=5, BC=12. Gọi O là điểm nằm trong tam giác ABC thỏa mãn 
Đặt Dễ thấy thỏa mãn điều kiên trên. Ta có: Từ đó suy ra:
 Câu 49: Đáp án A.
Giả sử: là nghiệm của hệ thì: 
Đặt (a,b,c>0)
Hệ trở thành: 
Trong mặt phẳng ta vẽ ba đoạn thẳng đôi một hợp với nhau góc 
Theo định lý hàm số cosin ta dễ dàng có được AB = 4, BC = 5, AC = 6. Áp dụng công thức Herong ta có: 
Tam giác ABC nhọn, suy ra M nằm trong tam giác ABC. Khi đó:
Từ ba phương trình đầu ta có: 
 Vậy 
 Câu 50: Đáp án D.
Từ hệ phương trình suy ra 
Hệ phương trình tương đương:
Xét tam giác ABC vuông tại B, đường cao BD với 
Đặt 
Rõ ràng thỏa mãn điều kiện trên. Khi đó: 
Câu 51: Đáp án C.
Xét tam giác vuông ABC tại B có và đường cao BD. Đặt Ta thấy thỏa mãn điều kiện. Khi đó:
Câu 52: Đáp án B.
Với thì 
Trường hợp này phương trình vô nghiệm.
Với xét tam giác ABC vuông tại A có Gọi AD là phân giác góc . Trên tia AD lấy điểm M sao cho 
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACM: 
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM: 
Suy ra: 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng với D hay:
Phương trình có nghiệm duy nhất.
BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ IX
Câu 1: Đáp án A.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: 
 Do AG vuông góc với BG nên
 Câu 2: Đáp án D. 
Ta có: 
Lại có: 
 Theo yêu cầu bài toán: 
Do 
 nên 
 Câu 3: Đáp án C.
 Lại có: 
Khi đó: 
Và 
Theo giả thiết ta có: 
 Câu 4: Đáp án A.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Ta có: 
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện là đường thẳng qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng là giá của vectơ 
Câu 5: Đáp án C.
Ta có: 
 nhọn
Lại có: 
 nhọn
Câu 6: Đáp án D.
Ta có: 
Lại có: 
Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác IBC ta có:
 Gọi D là chân đường phân giác trong góc A. Khi đó ta có: 
Câu 7: Đáp án C.
Ta có: 
Cách 1: Áp dụng định lý sin trong hai tam giác ADC và ABC ta có:
 Từ đây dễ dàng tìm được . Suy ra 
Cách 2: Gọi E trên đoạn AD sao cho Xét tam giác CDE ta có: 
Suy ra hay tam giác BDE cân tại D. Suy ra 
Khi đó: 
Suy ra hai tam giác BCE, BAE cân hay 
Điều này suy ra tam giác AEC vuông cân. Hay 
Vậy 
Câu 8: Đáp án B.
Theo định lí Thales ta có:
Đặt 
Do tam giác APB vuông tại P nên 
Lại có 
Suy ra: 
Diện tích hình thang ABCD 
bằng:
Câu 9: Đáp án A.
Đặt 
ÁP dụng định lí cosin trong các tam
 giác PCA, PAB, PBC ta có:
 =1
Ta có:
Áp dụng công thức Heron ta suy ra 
Suy ra 
Vậy 
Suy ra 
Câu 10: Đáp án C.
Cách 1:
Dựa vào hình vẽ ta suy ra a, b dương.
Tam giác OAB đều nên
Cách 2: Đặt giả sử 
Góc là góc tạo bởi tia OA và tia Ox.
Khi đó, 
và 
ta có:
Từ đây suy ra
Câu 11: Đáp án A.
Và 
Áp dụng công thức Euler 
ta có:
Theo giả thiết ta có: 
Vì vậy,
Câu 12: Đáp án D.
Đặt 
Áp dụng định lý sin ta có:
Vậy 
Câu 13: Đáp án D.
Câu 14: Đáp án B.
Giả sử . Ta có: 
Câu 15: Đáp án C.
Giá trị nguyên lớn nhất của x thỏa mãn 
yêu cầu bài toán là x = 0.
Câu 16: Đáp án B.
Do tam giác ABC vuông 
cân nên
 và 
Lại có 
Câu 17: Đáp án B.
Câu 18: Đáp án D.
Ta có: 
Nếu tam giác ABC có C nhọn
thì 
Câu 19: Đáp án D.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
ABC ta có:
 Câu 20: Đáp án C.
Diện tích tam giác ABC bằng
Câu 21: Đáp án D.
Nửa chu vi tam giác ABC bằng
Ta có:
Câu 22: Đáp án D.
Dựng đường cao AE.
Đặt AB = x. Khi đó AE =x.
Ta có: 
 và
Do tam giác CAD vuông tại A nên
Diện tích hình thang cân bằng:
Câu 23: Đáp án D.
Ta có:
Câu 24: Đáp án A.
Ta có:
Diện tích tam giác ABC 
bằng:
Câu 25: Đáp án B.
Câu 26: Đáp án A.
Diện tích tam giác ABC bằng
Lại có 
Câu 27: Đáp án A.
Ta có: 
Áp dụng định lí sin trong tam giác
ABC ta có:
Nửa chu vi tam giác ABC:
Diện tích tam giác ABC bằng:
Bán kính nội tiếp đường tròn là
Diện tích đường tròn nột tiếp tam giác bằng:
Câu 28: Đáp án A.
Câu 29: Đáp án A.
Câu 30: Đáp án B.
Ta có: 
Giả sử .Trường hợp 1.
Trường hợp 2.
Câu 31: Đáp án C.
Ta có: 
Vậy 
Vậy n = 23.
Câu 32: Đáp án D.
Áp dụng công thức độ 
dài đường 
trung tuyến , ta có:
Mặt khác ta có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
AEC ta có:
Ta có:
Vậy 
Câu 33: Đáp án C.
Lại có:
Do tam giác ABC vuông tại B nên
Do AD là phân giác của 
góc 
Nên dễ dàng suy ra 
Diện tích tam giác ABC:
Suy ra 
Diện tích tam giác ABD:
Diện tích tứ giác DCFG bằng:
Câu 34: Đáp án C.
Diện tích tam giác AEF bằng
Dễ thấy: 
Diện tích hình 
lục giác DEFGHI
Câu 35: Đáp án B.
Chú ý rằng 6 tam giác bên 
trong tam
 giác ABC có thể gộp thành 
một lục
 giác đều.
diện tích lục giác đều có cạnh bằng 1 
là 
Do đó diện tích của tam giác 
ABC bằng
Câu 36: Đáp án A.
Đặt 
Do đó diện tích hình chữ nhật ABCD
bằng Theo đề bài ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong 
các tam 
giác và ta có:
Diện tích tam giác DEF bằng
Tỉ số diện tích là 
Câu 37: Đáp án C.
Đặt 
Vì và
nên các 
Tam giác KEJ, JAG, 
GDH, HFK đồng 
dạng. Sử dụng tính chất đối xứng và 
định lí Pytago ta có: 
EK = xy, 
Vì ta biết 
Nên ta có phương trình: 
Câu 38: Đáp án B.
Trong mặt phẳng với hệ 
tọa độ Oxy, giả
sử điểm và .
do sự đối xứng ta có thể cho D và E ở 
góc phần tư thứ nhất. 
Do hai tma giác 
ABD, BCE đều nên 
Do M là trung điểm của AE, 
N là trung 
điểm của BD nên
Từ đó suy ra
Diện tích tam giác BMN 
bằng
Câu 39: Đáp án B.
Đặt 
Suy ra Vậy m + n = 91.
Câu 40: Đáp án A.
Trường hợp P trùng với B, Q trùng với 
C ta có 
Khi đó 
Trường hợp P trùng với trung điểm của 
đoạn AB, Q trùng với trung điểm của 
đoạn AC ta có: 
dễ thấy 
áp dụng hệt thức Hê-rông ta có:
SABC =90.
Vậy m + n = 161
Câu 41: Đáp án B.
Do 
Vậy 
Câu 42: Đáp án A.
Gọi I là tâm đường tròn 
nội tiếp tam 
giác ABC. Ta có: 
tam giác BDI cân tại
D, tam giác CEI cân tại E.
Vậy 
Chu vi tam giác ADE là
AD + AE + DE 
= AB + AC =43.
Tỉ số chu vi vủa 
tam giác ADE và
ABC là là tỉ số 
đồng dạng của hai
Tam giác này. Do đó
Câu 43: Đáp án D.
Do tam giác ABC vuông tại C nên 
Suy ra 
Cách 1:
Gọi N là hình chiếu của C lên AB.
 Lại có:
Vậy 
Cách 2:
Ta có: và
Ta có: 
Câu 44: Đáp án B.
Ta có ABCF là hình bình hành trong đó
F là giao điểm của CE và AD và
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
ABC ta có:
Suy ra 
và 
ta có: 
Câu 45: Đáp án C
Đặt AB = x.
Gọi E là giao điểm của AD và BC.
Khi đó tam giác EAB đều.
Ta có: ED = x-10, EC = x-8.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
EAD ta có:
Vậy m + n = 150.
Câu 46: Đáp án A.
Gọi E, F, G lần lượt là các 
điểm tiếp xúc
của (I) với các cạnh 
BC, AC, AB và
PQ là giao điểm của (I) 
với AD (P
ở giữa AQ). Không mất tính 
tổng quát,
giả sử AC < AB, E nằm 
giữa D và C.
Đặt AD = 3x.
 Ta có:
Đặt CE = CF = y (y <10).
Khi đó 
Ta có:
AC = AF + CF = DE + CE = CD= 10.
Suy ra DE = AF = AG = 10-y.
Vậy BG = BE = BD+ DE = 20-y,
Suy ra AB = AG + BG = 30 – 2y.
Áp dụng công thức độ dài đường trung 
tuyến ta có:
Với y =0 bị loại. Vậy y =2.
Vậy BC = 20, AB =26, AC =10
Diện tích tam giác ABC bằng
Vậy m + n =38.
Câu 47: Đáp án D.
Gọi là tọa độ điểm H.
Ta có: 
Câu 48: Đáp án A.
Gọi l là đường thẳng 
vuông góc với d
tại A.
Khi đó l chính là phân giác của OAB.
Ta có: 
Khi đó:
Chính là vecto chỉ phương 
của đường 
thẳng l.
hệ số góc của đường thẳng 
l là:
Hệ số góc của đường thẳng d 
là:
Câu 49: Đáp án B.
Câu 50: Đáp án A.
Áp dụng AM-GM ta có:
Dấu bằng xảy ra khi