Hệ phương trình Đại số 10

Chuyªn ®Ò sè 2: §¹i sè
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
I. 	Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn số.
1. Dạng tổng quát: 
2. Phương pháp toán:
 Tính 
	- 	Nếu D ≠ 0 	
	-	Nếu D = 0	Dx = 0 Hệ vô số nghiệm.
	Dx ≠ 0 Hệ vô nghiệm. 
3. Bài tập luyện.
Giải biện luận các hệ phương trình sau:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. Cho hệ phương trình: 
	Tìm b để hệ có 1 nghiệm duy nhất "a Î R.
9. Cho hệ phương trình: 
	a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
	b) Tìm m để hệ có nghiệm.
10. Cho hệ phương trình: 
	a) Tìm k để hệ có nghiệm.
	b) Tìm k để hệ có nghiệm x, y > 0.
	c) Tìm k để hệ có nghiệm x0, y0 > 1
11. Cho hệ phương trình:
	a) Tìm m để hệ vô nghiệm.
	b) Giải biện luận theo m.
12. Giải biện luận bất phương trình:
13. Giải biện luận hệ phương trình:
14. Tìm a, b để hệ sau có nghiệm "m:
15. (ĐH Y - 97) Tìm a, b để hệ sau có nghiệm:
16.(ĐHCĐ - 98) Tìm các giá trị của Y để với "a thuộc R hệ:	có nghiệm
17. (ĐHAN-A - 98)
a) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thoả mãn x ≥ y
b) Với m tìm được tìm GTNN của tổng x + y
HÖ gåm mét ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt vµmét ph­¬ng tr×nh bËc hai hai Èn
D¹ng 
PP gi¶i: Rót x hoÆc y ë (1) råi thÕ vµo (2).
1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh
1) 2)
3)
2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh
1) 2)
 3. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng 
c¾t parabol t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I - Hệ phương trình bậc 2 giải theo phương pháp thế
II. 	Hệ phương trình bậc 2 đối xứng kiểu 1.
1. Phương pháp toán: 
	+	Đặt:	
Điều kiện có nghiệm x, y: S2 ≥ 4P
	+	Đưa hệ (x, y) về hệ (S, P) đơn giản hơn.
	+	Giải S, P x, y
	+	Nếu cặp số S, P thỏa mãn S2 ≥ 4P có nghiệm x, y
	 S2 > 4P có 2 nghiệm x, y 
	 điều kiện nghiệm.
2. Bài tập luyện.
Giải các hệ phương trình:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ với m = 12
	b) Tìm m để hệ có nghiệm
10. Gải hệ: 
11. Giải hệ phương trình: 
12. Giải hệ: 
13. Giải hệ: 
14. Giải hệ: 
15. Cho hệ phương trình: 
 Tìm m để hệ có nghiệm.
16. Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ pt với a = 7/2
	b) a = ? hệ có nghiệm.
17. Cho hệ: 
	a) a = ? hệ có 4 nghiệm.
	b) a = ? hệ có 2 nghiệm.
18. Cho hệ: 
Tìm m để hệ có ít nhất 1 nghiệm thoả mãn x > 0, y > 0.
19. Tìm a để hệ sau có nghiệm.
20. Giải hệ: 
21. Giải hệ: 
22. Giải hệ: 
23. Cho hệ phương trình: 
 Xác định a > 0 để hệ có nghiệm
24. Giải hệ: 
25. Giải hệ: 
26. Cho hệ: 
	a) Giải hệ khi m = 3
	b) m = ? để hệ có nghiệm duy nhất, xác định nghiệm đó.
27. Giải biện luận hệ: 
28. Giải hệ:
29. Giải hê: 
30.Cho hệ: 
x, y, z là 3 số thoả mãn hệ trên. Chứng minh rằng: xy +yz + zx ≤ 8
31. Cho hệ: 
	a) Giải hệ khi m = 1
	b) Tìm a để hệ có nghiệm
32. Cho hệ: 
	a) Giải hệ khi a = 1
	b) a = ? hệ có nghiệm.
33. Gải hệ: 
34. Giải hệ: 
35. Giải hệ: 
36. Giải hệ: 
37. Giải hệ: 
38. Giải hệ: 
39. Giải hệ: 
40. ĐHQG - D - 99. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
41. Cho hệ: (ĐHQG - A - 99)
	a) Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm.
	b) Tìm m để hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
42. Giải hệ: 
43. Giải hệ:(ĐHNT - A - 99)
44. Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ với m = -3
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
45. Giải hệ phương trình (ĐHAN - A - 99):
46. Giải hệ: (ĐHAN - G - 99)	
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
T×m a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i hÖ khi a=2
T×m GTNN cña F=xy+2(x+y) biÕt (x,y) lµ nghiÖm cña hÖ 
Gi¶i hÖ khi m=6
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 
Bµi 2: 
 HD: Nhãm nh©n tö chung sau ®ã ®Æt 
	S=2x+y vµ P= 2x.y 
§s : (1,3) vµ (3/2 , 2)
Bµi3: 
 HD: tõ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hµm sè :
 trªn [-1,1] ¸p dông vµo ph­¬ng tr×nh (1) 
Bµi 5: CMR hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt 
 HD: 
 xÐt lËp BBT suy ra KQ
Bµi 6: 
 HD B×nh ph­¬ng 2 vÕ, ®ãi xøng lo¹i 2
Bµi 7: x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
 HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ a=8	
Bµi 8: 
 HD : Rut ra 
 C« si 
 theo (1) suy ra x,y
Bµi 9: (KB 2002)
	HD: tõ (1) ®Æt c¨n nhá lµm nh©n tö chung (1;1) (3/2;1/2)
Bµi 10: T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm
	HD: tõ (1) ®Æt ®­îc hÖ dèi xøng víi u, - v
ChØ ra hÖ cã nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh bËc hai t­¬ng øng cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
Bµi tËp ¸p dông
 KD 2003
 HD: t¸ch thµnh nh©n tö 4 nghiÖm
 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 
 dÆt t=x/y cã 2 nghiÖm
 ®Æt X=x(x+2) vµ Y=2x+y
 ®æi biÕn theo v,u tõ ph­¬ng tr×nh sè (1)
§Æt x=1/z thay vµo ®­îc hÖ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
 (KA 2003)
 HD: x=y V xy=-1
	CM 	v« nghiÖm b»ng c¸ch t¸ch hoÆc hµm sè kq: 3 nghiÖm
 HD b×nh ph­¬ng 2 vÕ 
HD nh©n 2 vÕ cña (1) víi 
HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI HAI
I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
1) Định nghĩa:
Hệ đối xứng loại hai là hệ mà khi thay đổi vai trò x, y thì hệ vẫn không đổi nhưng hai phương trình đổi vị trí cho nhau.
2) Phương pháp giải:
Giả sử phải giải hệ đối xứng kiểu hai có dạng:
+) Nhận xét: Phương trình đối xứng kiểu hai nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm dạng x = y.
+) Để xuất hiện được nghiệm dạng x = y ta trừ hai phương trình (1) và (2) khi đó ta được phương trình có dạng: (x - y)[f(x, y)] = 0 trong đó f(x, y) là quan hệ đối xứng kiểu I đối với x, y.
+) Với x = y ta kết hợp với (1) hoặc (2) để giải.
+) Với f(x, y) = 0 thì:
Nếu hệ (1)(2) là bậc hai thì f(x, y) là bậc nhất để giải ta có thể kết hợp với (1) hoặc (2) và sử dụng phương pháp thế.
Nếu hệ (1)(2) là bậc 3 trở lên thì F(x, y) = 0 có bậc lơn hơn 2 ta không thể sử dụng được phương pháp thế. Để giải ta phải kết hợp với (1) + (2) để được một hệ đối xứng kiểu I.
Chú ý:
+) Nếu f(x, y) là quan hệ bậc hai thì bài toán rất hay cho vô nghiệm vì vậy ta nên thử xem có thể có nghiệm hay không. Nếu có thể có nghiệm mới tiến hành giải.
+) Do khi thay đổi vai trò x, y thì hệ vẫn không đổi nên trong bài toán tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất ta có thể sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ.
II - BÀI TẬP
1. Giải hệ : 
2. Giải hệ: 
3. Cho hệ phương trình: 
	a) Chứng minh rằng hệ có nghiệm duy nhất với a > 0.
	b) Khi a < 0 điều đó còn đúng không?
4. Giải hệ: 
5. ĐHHH - 97. Cho hệ phương trình: 
	a) Giải khi m = 1.
	b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
6. Giải hệ: 
7. Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ khi a = b = 1.
	b) Xác định a, b để hệ có 4 nghiệm phân biệt.
8. Giải hệ: 
9. Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ khi a = 1.
	b) Chứng minh rằng hệ có nghiệm duy nhát khi a ≠ 0.
10. Cho hệ: 
	a) Giải hệ khi a = 4.
	b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
11. Cho hệ: 
	a) Giải hệ khi m = 5.
	b) Tìm m để hệ có nghiệm.
12. Tìm a để các phương trình sau có nghiệm chung
13. Tìm a để hệ: 
	có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y = 0.
14. Tìm a để hệ: có nghiệm duy nhất.
15. Tìm a để hệ: có nghiệm duy nhất.
16. Tìm a để hệ: Có nghiệm duy nhất.
17. Cho hệ: 
	a) Cho m = -3. Giải hệ.
	b) Tìm m để hệ có nghiệm.
	c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
18. Giải hệ:
19. Giải hệ: 
20. Giải hệ: 
21. Giải hệ: 
22. Chứng minh rằng: có 3 nghiệm phân biệt.
23. Giải hệ:
24. Tìm m để hệ sau có nghiệm
25. Giải và biện luận số nghiệm x, y > 0 của hệ: 
26. ĐHCĐ - 99. Giải hệ phương trình 
27. ĐHQG - 99. Giải hệ phương trình 
28. ĐHTL - 01. Giải hệ: 	
29. ĐHTN - A - 01. Giải hệ: 
30. ĐHNT - 01. Giải hệ phương trình: 	
31. ĐHTCKT - 01. Giải hệ: 
32. ĐHTM - 01. Giải hệ: 
33. HVQHQT - D - 01. Giải hệ: 
34. ĐHAN - A - 01. Giải: 
35. HV QUÂN Y - 01. Giải hệ: 
 a) 
 b) 
36. ĐHSP TPHCM - A - 01. Xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
 37. (KB 2003)
 HD: 
 Th1 x=y suy ra x=y=1
 TH2 chó ‏‎y: ‏‎ x>0 , y> 0 suy ra v« nghiÖm 
38.
 HD B×nh ph­¬ng 2 vÕ, ®ãi xøng lo¹i 2
39. x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
 HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ a=8	
40.Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
41.CMR hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt 
 HD: 
 xÐt lËp BBT suy ra KQ
HỆ ĐẲNG CẤP
I - PHƯƠNG PHÁP .
1) Định nghĩa:
+) Phương trình đẳng cấp: Là phương trình mà trong các biểu thức tổng cấp của các biến là bằng nhau.
+) Hệ đẳng cấp là hệ có 1 phương trình là đẳng cấp hoặc có thể biến đổi được hệ sao cho có 1 phương trình là đẳng cấp.
2) Phương pháp giải:
+) Từ phương trình đẳng cấp ta tìm được quan hệ đối với x, y.
+) Thay vào một trong hai phương trình đầu để giải.
Chú ý: Để tìm điều kiện nghiệm cho hẹ đẳng cấp ta thường đặt x = ty. Khi đó bài toán điều kiện nghiệm đối với x, y trở thành bài toán điều kiện nghiệm đối với t, y.
II - BÀI TẬP.
1. Giải hệ: 
2. giải hệ: 
3. Giải hệ: 
4. Cho hệ: 
	a) Giải hệ khi m = 0.
	b) Tìm m để hệ có nghiệm.
5. Cho hệ: 
	a) Giải hệ với k = 1.
	b) Tìm k để hệ có nghiệm.
6. Giải hệ: 
7. Giải hệ: 
8. ĐHSPII - 99. Giải hệ: 
9. ĐHKTQD - 99. Tìm tất cả các cặp số dương x, y thỏa mãn hệ phương trình: 
10. ĐHNNI - 99. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
11. ĐH LUẬT - 99. Biết rằng hệ phương trình: 
	Có nghiệm với " b. Chứng minh rằng a = 0.
12. HVNH TPHCM - 01. Giải: 
13. CĐSPHN - 01.Giải hệ phương trình: 
14. TSĐH - A - 2004. Giải hệ phương trình: 
15. TSĐH - A - 2003. Giải hệ: 
16. TSĐH - B - 2003. Giải hệ:
Mét sè HÖ ph­¬ng tr×nh kh¸c
1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
1) 2) 
3) 4)
5) 6) 
2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh
1) 3) 
2) 
3. T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung 
a) vµ 
b) vµ
4. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
T×m m, n ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nhiÒu
h¬n 5 nghiÖm ph©n biÖt 
 ## 
C¸c ®Ò thi nh÷ng n¨m gÇn ®©y vÒ hÖ ph­¬ng tr×NH
Bµi tËp 1: §HC§ B 2002 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh .
Bµi tËp 2 §HC§ A 2003 . Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 3: §HC§ A 2003 . Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 4: : §HC§ B 2003 . Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 5: Bµi tËp 9: §HC§ D 2004
 T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm 
Bµi tËp 6: C§ A 2002 . Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 
a) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho.
b) Trong tr­êng hîp hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, h·y t×m nh÷ng gi¸ trÞ cña m sao cho nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn 
Bµi tËp 7: : C§SP Hµ TÜnh Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 8: §H Hïng V­¬ng 2004 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 9 : C§GTVT 2004 . Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 10: C§GTVT 2004 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 11: : C§KT A 2004 Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 
T×m a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn 
Bµi tËp 12: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 13: : C§YTTB 2004 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
Bµi tËp 14: C§ §µ N½ng Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 15: §HC§ B 2005 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 16 : : §HC§ DB 2005 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 17: §HC§ DB 2005 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 18: : §HC§ A 2006. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 19: : §HC§ DB 2006 . Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 20: : §HC§ DB 2006 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 21: §HC§ DB 2006 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 22 : : §HC§ DB 2006 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 23: : C§ B¸ch Khoa 2006 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 24: §HC§ D 2007 T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm thùc 
Bµi tËp 25: : §HC§ DB A 2007 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 26: : §HC§ DB B 2007 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 27: §HC§ DB D 2007 T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
Bµi tËp 28: §HC§ A 2008 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 29 : §HC§ B 2008 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 30: §HC§ D 2008 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 31 : : T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt: 
Bµi tËp 32: : Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 	1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi m = 4.
 	2) T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nhiÒu h¬n hai nghiÖm. 
Bµi tËp 33: : Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 34 : §HNT A 1999 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp 35. §HNN 1997 Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh khi m = 12
T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm .
Bµi tËp 36: §H Y D­îc 1998 T×m a ®Ó hÖ sau cã ®óng 2 nghiÖm 
Bµi tËp 37: : §HQG A 1999 chøng minh víi mäi m hÖ ph­¬ng tr×nh .T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
§HNN 2001 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 38: §HTCKT 2001 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 39: §HGTVT 1998 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 40: §HAN 1997 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 41: §H Má - §Þa chÊt 1997 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 42: §HNN I A 2001 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp43: §HC§ 2000 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 44: §HVH D 2001 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi tËp 45: SP 1 2000 A Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
1, 	
2,
3,	
4,
5,	
6,
7,	
8,
9,	
10,
11,
12,
13,
14 .
15.
16 
17.
18
19
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28,
29,
30,
31,
32,
33,
34,