Hệ thống bài tập Toán vào 10

Bài 1. Giải các phương trình bậc nhất sau: 
1/ 
2/ 2(x-1) - 3 = 5x + 4
3/ 5(x-2) + 3 = 1 – 2(x-1)
4/ 
5/ 
6/
Bài 2. Giải các phương trình bậc hai khuyết b,c
1/ 2x2 - 7x = 0
2/ x2 + x = 0
3/ 5x - 3x2 = 0
4/ 
 5/ -4x2 + 18 = 0
6/ - 5x2 - 7 = 0
7/ 4x2 - 64 = 0
8/ 4x2 + 25 = 0
9/ 9x2 + 16 = 0
10/ 36 x2 – 7 = 0
11/ 25x2 - 1 = 0
12/ - 4+ = 0
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
1. (x- 1)( x - 2) = 10 - x
2. x2+ 2( 1 + ) x + 2 = 0
3. (2x + 1) ( x+4) = (x-1) (x- 4)
4.a) x2 + ( x + 2)2 = 4 b) x( x + 2) - 5 = 0
5/ 5x2 - 2x + 6 = 13
6/ x2- 2x - 6 = 0
Bài 4. Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
7/ 
8/ 
9/ 
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1/ 3x3 + 6x2 - 4x = 0
3/ x3 - 5x2 - x + 5 = 0
2/ (x + 1)3 - x + 1 = (x- 1)(x-2)
4/ ( 5x2+ 3x+ 2)2 = ( 4x2 - 3x- 2)2
Dạng 4. Đưa về PT bậc hai bằng PP đặt ẩn phụ
1/ 36x4 + 13x2 + 1 = 0
2/ x4 - 15x2 - 16 = 0
3/ 3x4 + 2x3 - 40x2 + 2x + 3 = 0
4/ 
5/ x (x+1) (x +2 ) (x + 3 ) = 3
6/ ( 12x - 1 )(6x - 1)( 4x - 1)(3x-1) =330
7/ (x2 - 3x + 4 ) ( x2 - 3x +2 ) = 3
8/ 
Bài 6. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và phương trình vô tỉ
1/ 
2/ 
3/ 
4/ x- 
5/ 
6/ 
7/ 3x2 - 14|x| - 5 = 0
8/ | x2 - 3x + 2| = x - 2 
9/ | x2 - 3x - 4 | = |2x2 - x - 1|
10/ x2 - - 6 = 0
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: 
1. 
5. 
2.
6.
3. 
7.
4. 
8. 
Phần II: Rút gọn biểu thức.
Dạng 1: Tìm điều kiện để các biểu thức xác định
Dạng 2: Rút gọn biểu thức.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến
Dạng 4: - Tính giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
 - Tìm x để giá trị của biểu thức thoả mãn một điều kiện nào đó.
Dạng 5: Tìm x để biểu thức đạt GTLN; GTNN
Dạng 6: Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên
Dạng 7: CM biểu thức thoã mãn 1 điều kiện với mọi x
Kiến thức bổ trợ:
Phép tính trên căn thức và 4 phép biến đổi.
Các PP phân tích đa thức thành nhân tử ( Nhân tử chung, HĐT, Nhóm, tách )
PP quy đồng mẫu thức các phân thức
Phép tính trên căn thức.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Bài 1: Cho biểu thức:
 A = : ; Với x 0 và x 1
Rút gọn biểu thức A b.Tính giá trị của biểu thức A tai x = 3 - 2.
Bài 2: Cho biểu thức:
 A = :; Với x > 0 và x 1
1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm x để > 2.
Bài 3: Cho biểu thức:
	A = 
1. Tìm x để A có nghĩa 2. Rút gọn. 3. CMR A< 4. Tính A tại x = 3- 2
Bài 4: Cho biểu thức: 
	A = 
	1. Rút gọn. 2. Tìm số nguyên x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.
Bài 5: Cho biểu thức:
	M = 
	a) Rút gọn. b) Với giá trị nào của x thì M đạt GTLN, tìm GTLN đó.
Bài 6: Cho biểu thức: A = 
	a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 6 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
1. Rút gọn P 2. Tìm x để P = 
Bài 7: Cho biểu thức:
	P = , với x ≠ 1, x > 0
Bài 8: Cho biểu thức: A = 	( 0 ≤ x ≠ 1)
 1. Rút gọn A 2. Tính khi x = 4 + 2
Bài 9: Cho biểu thức:
	A = 1. Tìm x để A có nghĩa. 2. Rút gọn A
Bài 10: Cho biểu thức: K = 
 1. Rút gọn với x > 0 ; x ≠ 2. Tính giá trị của K tại x = 
 3. Tìm x để K < 0. 4. Tìm x để K có giá trị nguyên.
Bài 11: Cho biểu thức: A = 
	1. Tìm điều kiện của x để A xác định.
	2. CMR: giá trị của A không phụ thuộc vào x, với mọi x thuộc TXĐ
Bài 12: Cho biểu thức:P = với a
Rút gọn. 2. Tìm a để đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 13. Cho biểu thức:A = , với x 0 và x ≠ 4, x ≠ 9
1. Rút gọn. 2. Tính giá trị của A biết |x| = 
3. Tìm x để A ≤ 1 4. Tìm x N / x > 4 để A là 1 số nguyên.
Bài 14: Cho biểu thức:A = 
 a) Tìm TXĐ b) Rút gọn c) Tính A khi x = 9 d) Tìm giá trị của x để A = 1
Bài 15: Cho biểu thức: Y = , ( x > 0; x ≠ 1 )
Rút gọn biểu thức Y 2.Coi y là hàm số và x là biến số hãy vẽ đồ thị của hàm số y.
Bài 16: Cho biểu thức: A = : , với x > 0, y > 0, x ≠ y.
 1.Rút gọn biểu thức A 2.Tính giá trị của biểu thức A khi x = , y = 
Bài 17: Cho biểu thức: A = : với x0
Rút gọn biểu thức A 2. Tìm giá trị của x để A > 1
Bài 18: Cho biểu thức:A = ( a 0, a4 )
Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A khi a = 9.
Bài 19: Cho biểu thức: A = ( x 0; x 1 )
Rút gọn biểu thức A 2.Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 20: Cho biểu thức: A = với x 0; x 1
Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A khi a = 3 - 2.
Bài 21: Rút gọn các biểu thức sau:
	A = ( x 0; x 1 )
 với x
	C= 
 	D = 
E = với 
F = với b và .
G = với a > 0 và .
 H = với a > 0 và .
I= với mọi x)
K =( 
L=(-) : ( 
M= 
Chú ý: - Tất cả các biểu thức trên coi như đã xác định
Phần III: hệ phương trình hai ẩn và Hàm số y = ax + b
Hàm số y = ax + b
Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất
Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến.
Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số tạo với trục Ox một góc nhọn, góc tù.
Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số đi qua một điểm A ( x0; y0) cho trước.
Tìm điều kiện của tham số để 2 đồ thị hàm số: cắt nhau, cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung, hoành; song song; trùng nhau; vuông góc;
Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số cắt hai trục tạo thành một tam giác có chu vi hay diện tích thoả mãn điều kiện cho trước.
Tìm cố định của đồ thị hàm số
Giải hệ phương trình thông thường bằng PP cộng đại số; PP thế và PP đặt ẩn phụ.
Tìm điều kiện để hệ phương trình nhận 1 cặp số cho trước làm nghiệm: - Cặp số cho sẵn hoặc cặp số phải tìm.
 Tìm điều kiện để hệ có nghiệm.
 Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số.
 Tìm điều kiện để hệ có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó cho trước.
 Tìm điều kiện để hệ có nghiệm nguyên
 ứngs dụng của hệ
 Tìm điều kiện để hệ có nghiệm và tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa nghiệm.
 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với 2 trục và của 2 đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’.
 Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy.
Lập phương trình của một đường thẳng:
Đi qua 2 điểm A (x1; y1) và B(x2; y2) cho trước.
Đi qua điểm A (x1; y1) và vuông góc với đường thẳng cho trước.
Đi qua điểm A (x1; y1) và song song với đường thẳng cho trước.
Hàm số y = ax + b
Bài 1: Với giá trị nào của m thì các hàm số sau là hàm số bậc nhất:
a) y =( 2m + 1 )x - 3m + 2
b) y = ( x - 1 )
c) y = x + 
d) y = 4mx + 3x - 2
e) y = ( m2 - 4m )x2 + ( m- 4 )x + 3
Bài 2. Chứng minh các hàm số sau:
y = (6 + 2)x - 9x + 3 nghịch biến x R
y = ( - ) x + 2x - 4 đồng biến x R
Bài 3. Cho hàm số y = (m-1)x + 2m - 1
Tìm m để hàm số luôn nghịch biến.
Tìm m để hàm số đi qua điểm A(-1;3). Vẽ đồ thị với m vừa tìm được.
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với chiều dương trục hoành một góc tù.
Bài 4. Cho hàm số y = (m-1)x + 2m - 1
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đi qua điểm (- 1; 2 ).
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với chiều dương trục hoành một góc nhọn.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích = 
Tìm điểm cố định của hàm số.
Bài 5. Cho hàm số y = (m2 - 2)x + m + 2
Tìm giá trị của m để đồ thị h/s song song với đồ thị hàm số y = - x + 1
Tìm m để đồ thị của hàm số cắt đường thẳng x = 1 và cắt đồ thị của hàm số 
 y = 3x - 1 tại một điểm.
Bài 6.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2;1) và B(-1;5 )
 Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị trên với hai trục toạ độ.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai trục toạ độ và đường thẳng trên.
Bài 7. 
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;5) và vuông góc với đường thẳng y = 3x - 2
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(4;1) và song song với đường thẳng y = 2x + 3
Bài 8.
Cho hàm số y = ( m-1)x + m + 3
1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đồ thị y= -3x +1
2. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2; -3 )
3. CMR đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định giá trị của m. Tìm giá trị ấy.
4. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 ( đơn vị diện tích )
Bài 9.
Cho hàm số y = (m + 2)x + m-3
Tìm m để đồ thị hàm số luôn nghịch biến.
Tìm m để đồ thị của hàm số tạo với chiều dương trục hoành một góc bằng 450
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3
Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2
Tìm m để đồ thị của các hàm số y = 2x-1, y = -3x + 4 và y=(m+2)x + m -3 đồng quy
Bài 10.
 Cho 2 điểm A(1; 1) và B( 2; -1)
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B.
Tìm m để đường thẳng y = (m2 + 3m )x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C ( 0; 2 ).
Bài 11.
 Cho hàm số y = (2m - 3)x + m- 1
1. Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;4)
 2.Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m, tìm điểm cố định ấy.
3. Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = - 1
Bài 12. Cho hàm số y = 2x + m (d)
Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm B ( ; -5 ) 
Tìm m để đồ thị của hàm số (d) cắt đồ thị hàm số y = 3x+2 trong góc phần tư thứ IV.
Bài 13
Cho hàm số y = x + 2m - 1 (d). Tìm m để đồ thị của hàm số (d) cắt đường thẳng 
 y = 2x + 1 trong góc phần tư thứ II.
Bài 14. 
Tìm m để đồ thị hàm số y = (m-3)x+2m +1 và y = 4x - m +2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Bài 15.
 Cho đt y = (1- 4m )x + m- 2
Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ.
Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ tới đồ thị hàm số bằng 1
Tìm m để đồ thị của hàm số song song với đt y = -x - 1
Bài 16. 
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m+1)x - 4m – 1 và điểm A( -2; 3 ). Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng trên là lớn nhất.
Bài 17.
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(2; 3) và điểm B (1; -4) và điểm C nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ điểm C để tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Hệ phương trình
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1. 
2. 
3.
4.
5.
6.
7. 
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14.
15. 
16.
17.
Bài 2. Tìm giá trị của a và b: 
 a. Để hệ phương trình có nghiệm (x,y)=(1;5)
 b. Để hệ phương trình có nghiệm là (x,y) = (3;-1)
Bài 3 . Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d1): (3a-1)x + 2by = 56 
 và (d2): ax - (3b + 2 )y = 3 cắt nhau tại điểm M(2;5).
Bài 4. Tìm a,b để đường thẳng ax- 8y = b đi qua điểm M( 9;- 6) và đi qua giao điểm của 2 đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17 và (d2): 4x -10y = 14
Bài 5. Tìm m để.
Hai đường thẳng (d1): 5x - 2y = 3, (d2) y+x = m cắt nhau tại một điểm trên Ox . Vẽ hai đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
Hai đường thẳng (d1): 5x - 2y = 3, (d2) y+x = m cắt nhau tại một điểm trên Oy . 
Bài 6. Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình cũng là nghiệm
của pt: 3mx- 5y = 2m + 1.
Bài 7. Cho hệ phương trình:
1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất . Giải hệ phương trình theo tham số m.
2. Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x;y).Tìm các giá trị của m để x- y = -1
3. Tìm m để hệ có nghiệm dương.
Bài 8. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ với m = -1
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Tìm m để biểu thức x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị ấy
Bài 9 . Cho hệ phương trình :
1. Tìm a để hệ có nghiệm (x;y)
2. ... c chữ số của nó, còn bình phương của tổng các chữ số gấp 3 lân số đã cho. Tìm số đó.
Bài 5. Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì được 405. Nêu lấy số được viết bởi hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số của nó thì được 486. Tìm số đó (54)
Bài 6. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm 2 số đó.
Dạng 5 : Làm chung công việc:
Bài 1. Hai người cùng làm chung một công việc mất 3giờ. Người thứ nhất làm đến nửa công việc người thứ hai làm nốt cho hoàn thành cả thảy hết 8 giờ. Nếu mỗi người làm riêng thì mất mấy giờ ?
Bài 2 Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?.
Phần Hình Học 
Bài 1 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O; R), hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H ( D BC; EAC; AB < AC ).
Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh CE.CA = CD. CB và DB.DC = DH.DA.
Chứng minh OC vuông góc với DE.
Đường phân giác trong AN của cắt BC tại N và đường tròng ( O ) tại K ( K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CAN. Chứng minh rằng KO và CI cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn (O)
Bài 2. 
Trên đường tròn (O; R) đường kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B. AM cắt BE tại C; AE cắt MB tại D.
Chứng minh MCED là tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.
Gọi H là giao điểm cảu CD và AB. Chứng minh rằng BE. BC= BH. BA.
Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD.
Bài 3. 
Cho đường tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến SA và SB. Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt đường tròn (O) tại M; N với M nằm giữa S và N. (Oa). 
Chứng minh SO vuông góc với AB
Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh ISHE nội tiếp.
Chứng minh OI.OE = R2.
Cho SO = 2R và MN = R. Tính diến tích tam giác ESM theo R.
Bài 4: 
Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH ( H trên cạnh NP ). Đường tròn đường kính MH cắt các cạnh MN tại A và cắt cạnh MP tại B.
Chứng minh AB là đường kính của Đường tròn đường kính MH.
Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp.
Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP tại I. Chứng minh rằng IN = IP.
Bài 5: 
Cho tam giác nhọn ABC, đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh Ccắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoịa tiếp tam giác ABC lần lượt tại E và F.
Chưng minh AE = AF
Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH.
Kẻ đường kính BD . Chứng minh tứ giác ADCH là hình bình.
Bài 6: 
Cho tam giác vuông PQR ( = 900 ) nội tiết đường tròn tâm O, kẻ đường kính PD.
Chứng minh tứ giác PQDR là hình chữ nhật .
Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của Q, R trên PD. PH là đường cao của tam giác ( H trên cạnh QR ) . Chứng minh HM vuông góc với cạnh PR.
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN.
Gọi bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác vuông PQR là r và R . 
Chứng minh: r + R 
Bài 7: 
Cho tam giác vuông ABC vuông tại C. O là trung điểm của AB và D là điểm trên cạnh AB ( D không trùng với A, O, B ) . Gọi I và J thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD và tam giác BCD.
 Chứng minh OI // BC
Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng CD là phân giác của góc khi và chỉ khi OI = OJ.
Bài 8: 
Cho đường tròn tâm O và M là điểm ở ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B là tiếp điểm ) và một cát tuyến cắt đường tròn tại C, D.
Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh bốn điểm A, B, O, I nằm trên một đường tròn.
AB cắt CD tại E. Chứng MA2 = ME.MI
Giả sử AD = a và C là trung điểm của MD. Tính đoạn AC theo a.
Bài 9: 
Cho điểm A ở bên ngoài đường tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn(B, C là tiếp tuyến). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M≠B, M≠C). Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF.
Chứng minh:
MECF là tứ giác nội tiếp.
MF vuông góc với HK.
Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất.
Bài 10:
 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự ấy). Gọi (O) là đường tròn đi qua B và C. Từ A vẽ các tiếp tuyến AE và AF với đường tròn(O) (E và F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F năm trên một đường thẳng.
Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh EG//AB.
Nối EF cắt AC tại K. Chứng minh AK.AI = AB.AC
Bài 11:
 Cho hình vuôngABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC, AD.
Chứng minh tam giác MIC bằng tam giác HMK.
Chứng minh CM vuông góc với HK.
Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 12: 
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại M và N, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự là A và B. Qua M kẻ cát tuyến song song với AB cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đường thẳng CA và đường thẳng DB cắt nhau tại I.
Chứng minh IM vuông góc với CD.
Chứng minh tứ giác IANB là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh đường thẳng MNđi qua trung điểm của AB.
Bài 13:
 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đường tròn đường kính AB, BC, gọi D và E thứ tự là hai tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đường tròn đường kính AB và BC, và M là giao điểm của AD với CE.
Chứng minh tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh MB là tiếp tuyến của hai đường tròn đường kính AB và BC
Kẻ đường kính DK của đường tròn đường kính AB. Chứng minh K, B, E thẳng hàng.
Bài 14: Cho tam giác vuông MNP (góc M = 900). Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía tam giác MNP sao cho NP = NQ và góc MNP = góc PNQ, và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E.
	1.Chứng minh góc PMI và góc QNP bằng nhau.
	2. Chứng minh tam giác MNE là tam giác cân.
	3. Chứng minh MN.PQ = NP.ME
Bài 15:
 Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đường tròn (D≠A và D≠B). Dựng hình bình hành ABCD. Từ D kẻ DM vuông góc với đường thẳng AC tại M và từ B kẻ BN vuông góc với đường thẳng AC tại N.
Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm trên một đường tròn.
Chứng minh AD.ND = BN.DC
Tìm vị trí của D trên nửa đường tròn sao cho BN.AC lớn nhất.
Bài 16: 
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N.
	Chứng minh: 
CEFD là tứ giác nội tiếp.
Tia FA là tia phân giác của góc BFM
BE.DN = EN.BD
Bài 17: 
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một dây CD cắt AB tại H. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt các tia AC, AD lần lượt tại M và N.
Chứng minh tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM.
Các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) cắt MN lần lượt tại E và F. Chứng minh EF = MN/2
Xác định vị trí của dây CD để tam giác AMN là tam giác đều.
Bài 18:
 Cho đường tròn (O) và một đường thẳng a không có điểm chung với đường tròn(O). Từ một điểm A thuộc đường thẳng a, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (B, C thuộc đường tròn (O)). Từ O kẻ OH vuông góc với đường thẳng a tại H. Dây BC cắt OA tại D và cắt OH tại E.
Chứng minh từ giác ABOC nội tiếp được trong một đường tròn.
Gọi R là bán kính đường tròn (O). Chứng minh OH.OE = R2
Khi A di chuyển trên đường thẳng a, chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 19: 
Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 450, nội tiếp đường tròn (O ; R). Tia AO cắt đường tròn (O;R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB (M khác A, B). Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME=MB. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.
Chứng minh rằng:
BE song song với DM.
Tứ giác DCKI là tứ giác nội tiếp.
2. Không dùng máy tính hoặc bảng lượng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.
Bài 20: 
Cho đường thẳng (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.
Tính tích AH.AK theo R.
Bài 21: 
Cho hình thoi ABCD , có góc A = 600, M là một điểm trên cạnh BC, đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại N.
Chứng minh đẳng thức: AD2 = BM.DN.
Đường thẳng DM cắt BN tại E. Chứng minh rằng tứ giác BECD là tứ giác nội tiếp.
Khi hình thoi ABCD cố định. Chứng minh rằng điểm E năm trên cung tròn cố định khi điểm M thay đổi trên cạnh BC.
Bài 22:
 Cho đường tròn tâm ( 0 ), AB là dây cố định của đường tròn không đi qua tâm. M là một điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB là tam giác nhọn. Gọi D và C thứ tự là điểm chính giữa của cung nhỏ MA, MB, đường thẳng AC cắt đường thẳng BD tại I, đường thẳng CD cắt cạnh MA và MB thứ tự tại P, Q.
Chứng minh tam giác BCI là tam giác cân.
Chứng minh tứ giác BCQI là tứ giác nội tiếp
Chứng minh QI = MP
Đường thẳng MI cắt đường tròn tại N, khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung điểm của MN chuyển động trên đường nào ?
Bài 23
 Cho tam giác vuông cân ABC ( AB = AC ), trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là tâm đường tròn tâm 01 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi ( O2 ) là tâm đường tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn ( O1) và ( O2 ) cắt nhau tại D ( D M )
CMR tam giác BDC là tam giác vuông
Chứng ming 01D là tiếp tuyến của đường tròn tâm ( O2 )
B01 cắt C02 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C năm trên một đường tròn.
Xác định vị trí của M sao cho đoạn thẳng O102 là ngắn nhất.
Bài 24: 
Cho tam giác vuông ABC ( AC > AB, = 900 ). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, AC lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông.
Đường thẳng AI cắt PN tai D. Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đường tròn.
Đường thẳng BI và CI kéo dài cắt AC, AB lần lượt tại E và F. 
 Chứng minh BE. CF = 2 BI . CI
Bài 25: 
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C (C không trùng với A, B và CA > CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E.
Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp.
Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh .
BD cắt CH tại M . Chứng minh EM//AB. 
Bài 26: 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 0 , đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và đường tròn ngoại tiếp tại I.
chứng minh OI vuông góc vứi cạnh BC.
Chứng minh đẳng thức BI 2 = AI. DI.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh góc 
 4.Chứng minh góc HÂO = 
-------------------------------------------------------------------------------------------------