Khung thiết kế đề kiểm tra thpt Môn toán

khung thiết kế đề kiểm tra thpt Môn toán
I. Những vấn đề chung
Để đáp ứng được mục tiêu mới của giáo dục nói chung và giáo dục THPT nói riêng là đào tạo ra những con người chủ động, sáng tạo, thích ứng với yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, cũng như hoà nhập lao động khu vực và thế giới, việc đánh giá cần phải được đổi mới một cách toàn diện và đồng bộ trên những mặt sau:
I. Đổi mới mục đích đánh giá kết quả học tập
• Xác nhận kết quả học tập các phân môn ở từng học kỳ, từng giai đoạn của quá trình học tập của học sinh trong những năm học ở bậc THPT theo từng lĩnh vực, nội dung học tập đã được quy định trong chương trình môn học hat hoạt động giáo dục và trong quy định về trình độ chuẩn của môn học.
• Cung cấp những thông tin quan trọng và chính xác về quá trình học tập môn học cho học sinh, cũng như quá trình dạy môn học trong trường THPT cho giáo viên (GV), Ban giám hiệu của trường THPT, cho cán bộ quản lý môn học ở những cơ quan quản lý giáo dục cấp Sở và cấp Bộ; để từ những thông tin căn bản này rút ra được những quyết định đúng đắn và kịp thời tác động đến việc dạy – học các môn học nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
II. Đổi mới nội dung đánh giá kết quả học tập
Nội dung đánh giá phải bao quát đầy đủ những nội dung học tập của môn học được quy định trong Chương trình và trong quy định về trình độ chuẩn của môn đó. Như vậy về nguyên tắc, chương trình có bao nhiêu học phần kiến thức và kĩ năng thì cần phải đánh giá đủ những kiến thức và kĩ năng đó. Đề kiểm tra và đề thi không chỉ thể hiện đủ các kiến thức, kĩ năng mà còn phải thể hiện đúng mức độ, bảo đảm sự phân hoá trình độ của học sinh qua các kiến thức, kĩ năng, thái độ học tập mà trình độ chuẩn quy định (về tư duy, về biến đổi đại số, về tính toán, về hình ảnh hình học, về ỏp dụng...) và tương thích với thời lượng, thời điểm và các mục tiêu đánh giá. 
III. Đổi mới cách đánh giá
Ngay từ lúc chuẩn bị bài học cho từng tiết, từng mục trong chương trình người giáo viên phải tính đến việc đánh giá kết quả học tập nhằm giúp cho HS và bản thân kịp thời nắm được những thông tin phản hồi để điều chỉnh hoạt động dạy và học. Ngoài việc đánh giá thông qua điểm số của bài kiểm tra (miệng hoặc viết) GV còn cần phải chú trọng đến việc đánh giá bằng hồ sơ (thông qua hoạt động, giao lưu, tham gia xây dựng bài, các phiếu học tập, nhận xét của tập thể với mỗi HS). Khắc phục thói quen chấm bài chỉ thiên về cho điểm mà ít đưa ra lời phê chỉ rõ ưu, khuyết điểm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra hoặc thi; thói quen ít hướng dẫn học sinh phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học của mình.
Thực hiện đối tượng được đánh giá bởi cá nhân, tập thể thầy giáo và bạn bè. Thông tin đánh giá đưa ra ở hình thức chấm điểm, ở hình thức đối thoại thầy trò, trò với bạn bè. Không chỉ ở giờ trên lớp mà còn ở các hội thi, ở các xêmina, thực hành ngoài trời,...
IV. Đổi mới công cụ đánh giá kết quả học tập
Có nhiều loại công cụ dùng để đánh giá kết quả học tập của học sinh. Mỗi loại công cụ có ưu thế khác nhau trong việc kiểm tra đánh giá từng lĩnh vực nội dung học tập.
Môn Toán THPT sử dụng chủ yếu các loại công cụ đánh giá sau: bài kiểm tra viết trong đó sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan và tự luận, vở bài tập, sơ đồ, biểu bảng, mô hình, đề cương, chuyên đề, xêmina, thực hành giải toán trên máy tính cầm tay, thực hành đo đạc ngoài trời... trong kiểm tra thường xuyên hoặc định kỳ.
Trong việc biên soạn và sử dụng câu hỏi, bài tập để kiểm tra đánh giá cần bảo đảm các yêu cầu: phù hợp với chương trình và chuẩn kiến thức kĩ năng, sát với trình độ học sinh; phát biểu chính xác, rõ ràng để học sinh hiểu đơn trị; cần có cả câu hỏi, bài tập ở mức trung bình lẫn câu hỏi, bài tập phân hóa đối tượng, câu hỏi ở mức đào sâu, vận dụng kiến thức tổng hợp, đòi hỏi tư duy bậc cao nhằm phân hoá học sinh.
	Những công cụ đánh giá môn Toán THPT
Các loại công cụ đánh giá
Bài kiểm tra viết
Các loại câu hỏi
Câu hỏi tự luận
Câu hỏi trắc nghiệm
	Quy trình biên soạn đề kiểm tra môn toán
Biên soạn một đề kiểm tra có thể bao gồm các bước(B):
B1: Xác định mục đích, yêu cầu đề kiểm tra
Đề kiểm tra là một công cụ đánh giá kết quả học tập sau khi học xong một chủ đề, một chương, một học kỳ hay toàn bộ chương trình một lớp, một cấp học.
B2: Xác định mục tiêu dạy học
Để xác định nội dung đề kiểm tra, cần liệt kê chi tiết các mục tiêu dạy học về kiến thức, kĩ năng, thái độ của phần chương trình đề ra để đánh giá kết quả học tập của học sinh về các hành vi và năng lực cần phát triển tương thích với Chuẩn nêu trong Chương trình giáo dục phổ thông của Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ–BGD&ĐT ngày 05/5/2006 
B3: Thiết lập ma trận hai chiều
B. S. Bloom đưa ra một thang 6 mức như sau để đánh giá kết quả học tập:
Mức 1: Nhớ lại (nhớ các mẩu thông tin, thuật ngữ, kĩ năng, cách sử dụng,)
Mức 2: Lĩnh hội (Hiểu điều đọc hay nghe được, có thể: tóm tắt, so sánh những điểm giống nhau và khác nhau, giải thích, mô tả bằng ngôn ngữ của chính mình,);
Mức 3: Vận dụng (Sử dụng điều được học trong tình huống cụ thể, vào tình huống tương tự hoặc đổi khác, giải quyết vấn đề được đặt ra,);
Mức 4: Phân tích (Chia vấn đề thành các phần nhỏ hơn để có thể thấy được mức độ thống nhất của các phần phát hiện ra các sơ hở logic);
Mức 5: Tổng hợp (Ghép các phần lại theo cách riêng mới, trong đó các thông tin được kết hợp từ nhiều nguồn khác nhau và tạo ra vấn đề mới, dự đoán, đề xuất giả thuyết, kết luận, ý tưởng,);
Mức 6: Đánh giá (Nhận xét giá trị của tài liệu với mục đích đặt ra)
Để biên soạn đề kiểm tra đáp ứng các mức độ nhận thức của học sinh, giáo viên cần lập một bảng có hai chiều, một chiều thường là nội dung hay mạch kiến thức chính cần đánh giá, một chiều là các mức độ nhận thức của học sinh đánh giá theo các mức độ nhận thức (có thể theo thang của B.S. Bloom). Trong mỗi ô là hình thức câu hỏi và số lượng câu hỏi. Xác định số lượng câu hỏi cho từng mục tiêu tuỳ thuộc vào mức độ quan trọng của mục tiêu đó và lượng thời gian làm bài kiểm tra. Song nhìn chung, càng nhiều câu hỏi ở nhiều mạch kiến thức khác nhau thì kết quả đánh giá càng có độ tin cậy cao hơn. Hình thức câu hỏi càng đa dạng càng tốt bởi sẽ gây hứng thú, tập trung chú ý, tránh nhàm chán đối với học sinh. Mỗi hình thức đều có những ưu điểm và nhược điểm khác nhau, người giáo viên cần thử nghiệm nhiều lần để có những kinh nghiệm thực tiễn khả thi.
Ví dụ:
Ma trận thiết kế đề kiểm tra cuối năm lớp 12
Chủ đề
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Tổng
TNKQ
TL
TNKQ
TL
TNKQ
TL
ƯDĐH
1
0,5
1
1,0
1
0,5
1
1,0
4
3,0
Hs luỹ thừa, mũ và logarit
1
0,5
1
1,0
2
1,5
Nguyên hàm, Tớch phân
1
0,5
1
0,5
2
1,0
Số phức
1
0,5
1
0,5
Khối đa diện. Khối tròn xoay
1
0,5
1
1,0
2
1,5
PPTĐKG
1
0,5
1
0,5
1
1,5
3
2,5
Tổng
3
2,0
6
3,0
5
5,0
14
10,0
Chữ số ở bên trên , góc trái mỗi ô là số câu hỏi;
Chữ số ở bên dưới ,góc phải là trọng số điểm của các câu hỏi trong mỗi ô đó
ở ma trận trên, các chủ đề cơ bản 1 ; 2 ; 3 ; 4; 5 được xác định trọng số điểm tương ứng là 1,0; 4,5 ; 2,5 ; 1,0; 1,0 (căn cứ vào số tiết qui định trong phân phối chương trình là chủ yếu); các mức độ Nhận biết , Thông hiểu , Vận dụng được xác định trọng số điểm tương ứng là 3,5 : 3,5 : 3. Từ đó suy ra được số câu hỏi trong từng ô và trọng số điểm trong từng ô tương ứng (số câu hỏi ghi ở chính giữa mỗi ô, trọng số điểm tương ứng được ghi ở phía cuối, bên phải mỗi ô đó ). Đặc biệt trong ma trận có lưu ý đến trọng số điểm của từng hình thức câu hỏi (trắc nghiệm khách quan hoặc tự luận)
B4. Thiết kế câu hỏi theo ma trận
Mức độ khó của câu hỏi được thiết kế theo hệ thống mục tiêu dạy học đã được xác định ở công đoạn 2; hình thức câu hỏi dạng tự luận hay trắc nghiệm khách quan dựa trên ma trận đã xác định ở công đoạn 3. 
B5. Xây dựng đáp án và biểu điểm
Theo qui chế, thang đánh giá gồm 11 bậc: 0, 1, ... 10 điểm, có thể có điểm lẻ ở bài kiểm tra cuối kỳ, cuối năm.
Ta có thể xây dựng biểu điểm chấm tương ứng với hình thức kiểm tra tự luận, trắc nghiệm khách quan hoặc kết hợp cả hai, cụ thể:
a) Biểu điểm của đề kiểm tra tự luận: như cũ.
b) Biểu điểm của đề kiểm tra trắc nghiệm khách quan: có hai cách.
c) Biểu điểm của đề kiểm tra kết hợp cả tự luận và trắc nghiệm khách quan.
Cách 1: Điểm tối đa toàn bài là 10, được phân chia cho từng phần tự luận, trắc nghiệm khách quan theo nguyên tắc: tỉ lệ thuận với thời gian dự định học sinh hoàn thành mỗi phần (được xây dựng khi thiết kế ma trận); mỗi câu hỏi trắc nghiệm khách quan nếu trả lời đúng đều có số điểm như nhau. 
Ví dụ: Nếu ma trận thiết kế dành 60% thời gian cho tự luận, 40% thời gian cho trắc nghiệm khách quan, thì điểm tối đa của phần tự luận là 6, các câu trắc nghiệm là 4; nếu có 16 câu trắc nghiệm khách quan thì mỗi câu trả lời đúng là 0,25 điểm, sai là 0 điểm.
Cách 2: Điểm tối đa toàn bài phụ thuộc vào số lượng câu hỏi của đề. Sự phân phối điểm theo nguyên tắc: tỉ lệ thuận với thời gian dự định học sinh hoàn thành mỗi phần (được xây dựng khi thiết kế ma trận); mỗi câu hỏi trắc nghiệm khách quan nếu trả lời đúng được 1 điểm, sai là 0 điểm. Điểm tối đa ĐTNKQ của phần TNKQ bằng số câu hỏi trắc nghiệm khách quan; còn điểm tối đa ĐTL của phần tự luận là (TSĐ – ĐTNKQ), trong đó TSĐ là tổng số điểm tối đa của đề được tính theo phần trăm thời gian dự kiến cho tự luận và trắc nghiệm khách quan. Chuyển đổi về thang điểm 10 theo công thức: , trong đó X là số điểm đạt được của học sinh. 
Ví dụ: Ma trận thiết kế dành 60% cho tự luận, 40% cho TNKQ, đề có 16 câu TNKQ; thì điểm tối đa của trắc nghiệm khách quan là 16; điểm tối đa của phần tự luận là . Giả sử một học sinh đạt 23 điểm, qui về thang điểm 10 là .
Cách 1 có ưu điểm là không phải chuyển đổi về thang 10, nhưng hạn chế cơ bản là điểm của từng câu trắc nghiệm phải lấy lẻ tới hai chữ số thập phân.
Cách 2 có ưu điểm là toàn điểm nguyên (điểm tự luận được làm tròn đến phần nguyên), nhưng hạn chế là phải quy về thang điểm 10.
Giới thiệu một số Đề kiểm tra
Đề 1. Bài kiểm tra chương 1
Số tiết: 1
A. Phần chuẩn bị:
Mục tiêu
Thông qua bài kiểm tra viết 45’ nhằm:
Về kiến thức:
Đánh giá mức độ tiếp thu các kiến thức cơ bản đã học trong chương I, bao gồm: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số; Cực trị của hàm số; Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; Tiệm cận; Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
- Trên cơ sở kết quả của bài kiểm tra, nắm bắt được trình độ để giáo viên kịp thời điều chỉnh phương pháp giảng dạy, có hướng giúp học sinh điều chỉnh việc học tập cho phù hợp.
Về kĩ năng:
Rèn kĩ năng vận dụng các kiến thức tổng hợp đã học vào giải các bài toán trong bài kiểm tra viết chương I, kĩ năng trình bày bài kiểm tra.
Rèn kĩ năng khảo sát hàm số, kĩ năng vẽ đồ thị hàm số, kĩ năng giải các bài toán thường gặp về đồ thị hàm số.
Về tư duy và thái độ:
Phát triển khả năng tư duy lôgic, tổng hợp, sáng tạo.
Biết tự đánh giá kết quả học tập
Rèn luyện thái độ bình tĩnh, tự tin khi làm bài thi.
Kích thích sự hứng thú, yêu thích môn học của học sinh.
Chuẩn bị của GV và HS
Chuẩn bị của GV: 
Giáo án
Đề bài, đáp án, thang điểm chi tiết.
Chuẩn bị của HS: 
- Đồ dùng học tập, giấy kiểm tra, giấy nháp.
- Kiến thức ôn tập chương I và các kiến thức có liên quan.
B. Phần lên lớp
Đề bài
A. Phần trắc nghiệm: 
Mỗi bài tập dưới đây đều có 4 phương án lựa chọn là A, B, C và D, trong đó chỉ có một phương án đúng. Hãy điền phương án mà em cho là đúng tương ứng với mỗi bài vào bảng trả lời ở phần cuối trang.
1. Giỏ trị lớn nhất của hàm số : f(x) = -2x4 – 4x2 + 5 là:
A. 5	
B. 4
C. 3
	D. 
2. Hàm số f(x) = chỉ cú 
A. tiệm cận đứng
B. tiệm cận ngang
C. tiệm cận xiờn
D. tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
3. Đồ thị của hàm số nào dưới đõy đối xứng qua gốc toạ độ?
	I. f(x) = 3x3 -2x 
	II. f(x) =3x + x5 
	III. f(x) = x + 5x2 
A. Chỉ cú hàm I và II
B. Chỉ cú hàm II
C.Chỉ cú hàm II và III
Chỉ cú hàm I và III
4. Đồ thị hàm số cú đường tiệm cận là
Bảng trả lời
Câu số
1
2
3
4
Phương án đúng
B. Phần tự luận: 
Cho hàm số: y = x3 + (m - 1)x2 - (m + 2)x - 1 (1) với m là tham số
Khi m= 1, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 - 3x - 1 = m (*).
Chứng minh rằng, hàm số (1) luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Đáp án, thang điểm chi tiết:
Câu
Đáp án
Thang điểm
A. Phần trắc nghiệm: 
 Câu1: A
	Câu 2: D
	 	Câu 3: A
	Câu 4: D
Mỗi câu
 (1 điểm)
B. Phần tự luận: 
Phần a:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
10. Tập xác định: R.
20. Sự biến thiên:
 . Chiều biến thiên:
 y’ = 3x2 - 3 = 0 x = 1.
 Dấu của y’: 
x
- -1 1 +
y’
 + 0 - 0 +
 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; -1) và 
 (1 ; + ).
 Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1 ; 1).
 . Cực trị:
 Hàm số đạt giá trị cực tiểu bằng -3 tại x = 1
 Hàm số đạt giá trị cực đại bằng 1 tại x = -1. 
 . Giới hạn tại vô cực:
 ; ;
 . Bảng biến thiên:
x
- -1 1 +
y’
 + 0 - 0 +
y
 1 +
 -3
-
 30. Đồ thị:
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (*):
 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m, m là số thực. Vậy:
 . Với m (- ; -3) (1 ; + ) phương trình (*) có một nghiệm.
 . Với m = -3 hoặc m = 1, phương trình (*) có hai nghiệm.
 . Với m (-3 ; 1) phương trình (*) có ba nghiệm.
c. Chứng minh rằng, hàm số (1) luôn có một cực đại và một cực tiểu.
 Ta có: y’ = 3x2 + 2(m - 1)x - (m + 2).
 Vì y’’ = m2 + m + 7 > 0 R nên phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó, hàm số (1) luôn có một cực đại và một cực tiểu với mọi giá trị của m.
(4 điểm)
0.5 điểm
0.75 điểm
0.5 điểm
0.25 điểm
0.5 điểm
1.5 điểm
(1 điểm)
(1 điểm)
Đề Số 2. KIEM TRA HOC KY HAI (90’)
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan (3 điểm)
 Mỗi bài tập dưới đây đều có 4 phương án lựa chọn là A, B, C và D, trong đó chỉ có một phương án đúng. Hãy điền phương án mà em cho là đúng tương ứng với mỗi bài vào bảng trả lời ở phần cuối trang.
Câu 1. Cho hàm số. Tập xác định của hàm số là
Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên ?
Câu 3. Cho hàm số có hai điểm cực trị . Tích là 
Câu 4. Hàm số có điểm cực đại là:
Câu 5. Hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng là:
Câu 6. Biểu thức có giá trị là
Câu 7. Hàm số có nguyên hàm F(x) là biểu thức nào sau đây, nếu biết đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm : 
Câu 8. Số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường có giá trị là:
Câu 9. Cho hình chữ nhật ABCD với các kích thước AB = 1, BC = 2; M là trung điểm của cạnh AD. Góc MBD bằng argumen của số phức nào sau đây?
2
 Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; –5). Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng . Khoảng cách từ M(t; 2; –1) đến mặt phẳng (P) bằng 1 khi và chỉ khi 
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm là 
Bảng trả lời
Câu số
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Phương án đúng
A. BàI TậP Tự LUậN (7 điểm)
Giải tích (4 điểm)
Bài 1. (2,5 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = .
Bài 2. (1,5 điểm) Giải bất phương trình log3 (x + 2) > log9 (x + 2).
Hình học (3 điểm)
Bài 3. (1 điểm) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45°. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 4. (2 điểm)
a) Xác định giao điểm G của ba mặt phẳng sau đây
(a) : 2x – y + z – 6 = 0; (a’) : x + 4y – 2z – 8 = 0 và (a”) : y = 0.
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng k qua điểm G, đồng thời k nằm trong mặt phẳng (a”) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (a), (a’).
Hướng dẫn – Đáp số
A. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan (3 điểm)
Câu 1. 
Câu 2. 
Câu 3. 
Câu 4. B. (1; 2).
Câu 5. B. 1.
Câu 6. 
Câu 7. 
Câu 8. 
Câu 9. 
Câu 10. 
Câu 11. 
Câu 12. 
B. BàI TậP Tự LUậN (7 điểm)
Bài 1. y = .
1) Tập xác định : R\ {}.	
2) Sự biến thiên :
+ Chiều biến thiên :
	 ;
	y' không xác định khi x = ;
	y' > 0 nếu x 0 và y' < 0 nếu – 1 < x < 0. 
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-; –1) và (0 ; +),
nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; ) và ( ; 0).
+ Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và yCĐ = y(– 1) = - 4.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yCT = y(0) = -1.
+ Tiệm cận :
Ÿ .
Vì vậy đường thẳng x =là tiệm cận đứng.
Ÿ .
Vì, nên đường thẳng y = là tiệm cận xiên.
+ Bảng biến thiên
x
-Ơ
– 1
0
+Ơ
y'
+
0
-
-
0
+
y
-Ơ
- 4
CĐ
-Ơ
+Ơ
CT
–1
+Ơ
3) Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; -1), cắt trục hoành tại hai điểm (1; 0), (; 0). Gọi I ( ;) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Nếu ta tịnh tiến các trục toạ độ theo véctơ thì áp dụng công thức đổi trục
ta sẽ đưa hàm số về dạng. Đây là một hàm số lẻ. Vậy đồ thị nhận điểm I làm tâm đối xúng.
Bài 2. log3 (x + 2) > log9 (x + 2).
Điều kiện x > - 2, có, do đó có
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > - 1.
Bài 3. 
Ta có:
Do vậy:
Bài 4. 
a) Toạ độ của giao điểm G được xác định bởi hệ :
	Û 
	Û .Vậy điểm phải tìm là G(4; 0 ; –2).
b) Các mặt phẳng (a), (a’), (a”) lần lượt có vectơ pháp tuyến là ; và .
Giao tuyến g = (a) ầ (a’) có vectơ chỉ phương là = (- 2;5;9).
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua G và vuông góc với g, thì là vectơ pháp tuyến của (P), nên (P) có phương trình :
	– 2(x – 4) + 5(y – 0) +9(z + 2) = 0 hay –2x + 5y – 9z + 26 = 0.
Giao tuyến của (P) và (a”) chính là đường thẳng k cần tìm. 
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là , mặt phẳng (a”) có vectơ pháp tuyến .
Vậy đường thẳng k có vectơ chỉ phương = (–9; 0; –2).
Đường thẳng k đi qua G nên phương trình tham số và chính tắc của nó là :