Lý thuyết và bài tập Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Oxy
Tóm tắt nội dung:
A.Lý thuyết
B.Các dạng bài tập và ví dụ minh họa
C.Bài tập tự luyện
D.Bài tập dành cho học sinh khá, giỏi
A. LÝ THUYẾT
Vectơ chỉ phương (vtcp) và vectơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng
Vectơ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng nếu giá của song song hoặc trùng với 	 
Vectơ được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của vuông góc với 	 
Mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương:
 Nếu đường thẳng có vtpt 
 thì có vtcp là hoặc 
Các dạng phương trình của đường thẳng
Phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng
	 Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtcp là 
Chú ý
Khi cho t một giá trị cụ thể ta sẽ tìm được một điểm thuộc đường thẳng (d)
Nếu có vtcp thì (d) có hệ số góc là 
Nếu đường thẳng (d) có hệ số góc là k thì (d) có vtcp là 
Phương trình đường thẳng (d) đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k là:
	 Phương trình chính tắc (PTCT) của đường thẳng: 
	 Từ PTTS , và 
 Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng.
 Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtpt là: 
 	 Chú ý:
Phương trình ax + by + c = 0 (d) có vtpt là: và vtcp là: ( b; -a ) 
Muốn tìm một điểm thuộc thì chỉ cần cho x một giá trị cụ thể và thế vào pt của sẽ tìm được y và ngược lại (cho y tìm x)
Đường thẳng (d) cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) 
Và có phương trình theo đoạn chắn là: 
Cho (d) : ax + by + c = 0 
 	Nếu () song song với (d) thì phương trình () là ax + by + m = 0 (m khác c)
	Nếu ()( d) thì phươnh trình () là : bx - ay + m = 0
Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
	 Cho hai đường thẳng 
	 Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta xét số nghiệm của hệ phương trình
	 (I)
Nếu (I) có một nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm
Nếu (I) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau
Nếu (I) vô số nghiệm thì hai đường thẳng nằm trên nhau (trùng nhau)
Chú ý 
 Với ta có
Góc giữa hai đường thẳng. 
	 Góc giữa hai đường thẳng : 	 	 	 
Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng.
	 Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến : ax + by + c = 0 là: d(M0,) = 
Điểm thuộc đường thẳng
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương.
	 Đường thẳng (d) đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương có dạng : 
Tham số: 
Chính tắc: ( Nếu a.b ≠ 0)
Tổng quát: hoặc 
Chú ý: Nếu (d) có vtcp thì d có vtpt hoặc 
ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng biết nó đi qua và có vtcp 
	 Hướng dẫn
Đường thẳng () đi qua điểm M(1;-3) và có vtcp có: 
Phương trình tham số của 
Phương trình chính tắc của là: 
Phương trình tổng quát của là: 
Dạng toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến.
	Đường thẳng (d) đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến có dạng : 
Tham số: hoặc 
Chính tắc: hoặc (Nếu A.B ≠ 0)
Tổng quát: 
Chú ý: 
Nếu d có vtpt thì d có vtcp hoặc 
Nếu d có vtpt thì d có PTTQ có dạng: 
Ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng biết nó đi qua và có vtpt 
Hướng dẫn
 có véc tơ pháp tuyến: có véc tơ chỉ phương là 
 có phương trình tham số là: 
 có phương trình chính tắc của là: 
 có phương trình tổng quát là:
Dạng toán 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc 
	Đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k là: 
Chú ý: Nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có dạng: y = k.x + m (k ≠ 0, m R, k R)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(-5; -8) và có hệ số góc bằng -3
Hướng dẫn
	phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(-5; -8) và có hệ số góc bằng -3 có dạng là:
	Nhận xét: Ta có thể viết phương trình đường thẳng này dưới dạng PTTS hoặc PTTQ
	Hướng dấn: Vì có hệ số góc nên có vtcp là rồi viết PTTS hoặc PTTQ
Dạng toán 4: Viết PTĐT (d) đi qua hai điểm phân biệt A( ) và B( )
Tính toạ độ vecto 
Khi đó cũng chính là một vtcp của đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B
Trở lại bài toán dạng: viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm (A hoặc B) và có vtcp ()
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm phân biệt 
Hướng dẫn
Vì qua điểm nên có vtcp là 
 nên có phương trình tham số là: 
Chú ý: qua nên có vtcp là hoặc ; khi viết ptts thì đi qua điểm M hoặc điểm N đều được.
Dạng toán 5: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và song song với một đường thẳng (d’) cho trước có dạng là: 
	Cách 1:
Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt (hoặc vtcp ) của đường thẳng (d)
Viết PTTS của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương 
Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến 
	Cách 2:
Vì (d) // (d’) nên (d) có dạng: (*)
Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m
Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm
Chú ý: Hai đường thẳng song song với nhau thì
 VTCP của đường thẳng này cũng chính là VTCP của đường thẳng kia.
VTPT của đường thẳng này cũng chính là VTPT của đường thẳng kia.
Ví dụ: Viết PTĐT ( ∆) đi qua một điểm Q (2;1) và song song với đường thẳng (d) : 
Hướng dẫn
	Cách 1:
 có vtpt là 
 song song với (d) nên có vtpt là: có vtcp là:
 nên có ptts là: 
	Cách 2:
Vì (∆) // (d) nên (∆) có dạng: (*)
Mặt khác Q (2;1) (∆) nên 2.2 + 1+m = 0m= -5
Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 
Dạng toán 6: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và vuông với một đường thẳng ∆ cho trước có dạng là: 
Cách 1:
Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt (hoặc vtcp ) của đường thẳng (d)
Viết PTTS của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương 
Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến 
	Cách 2:
Vì nên phương trình (d) có dạng: (hoặc) (*)
Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m 
Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm
Chú ý : 
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì: vtcp (vtpt) của đường thẳng này chính là vtpt (vtcp) của đường thẳng kia.
Nếu d vuông với một đường thẳng : y = kx + m thì đường thẳng d có phương trình dạng: (Vì hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1)
Ví dụ: Viết PTĐT( d) đi qua một điểm P (-1;1) vuông góc với đường thẳng (∆):
Hướng dẫn
	Cách 1:
 có vtpt là 
 (d) vuông góc với đường thẳng nên có vtcp là: 
 nên có PTTS là: 	
	Cách 2:
Vì (d) (∆) nên (d) có dạng: (*)
Mặt khác P (-1;1) (d) nên 3.(-1) + 2.1+m = 0m= 1
Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 
Dạng toán 7: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và tạo với đường thẳng ∆ một góc cho trước (Bài toán liên quan đến góc)
Gọi phương trình đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là: 
Sau đó áp dụng công thứ tính góc giữa hai đường thẳng d và ∆ từ đó suy ra giá trị k cần tìm
Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (d)
Ví dụ: Cho đường thẳng (∆) : 3x-2y+1=0. Viết PTĐT (d) đi qua điểm M (1;2) và tạo với (∆) một góc 450
Hướng dẫn
PTĐT (d) được viết dưới dạng: y – 2 = k ( x-1) kx – y +2 – k = 0
Vì (d) hợp với (∆) một góc 450 nên: 
Vậy phương trình (d) là: 
	 hay 
Dạng toán 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M0(x0;y0) và cách điểm ( một khoảng bằng a. (Bài toán liên quan đến khoảng cách)
Gọi phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là: 
Áp dụng công thức: d(N,∆)=a. Từ đó suy ra giá trị k cần tìm
Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (∆)
Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2;7) và cách N(1;2) một khoảng bằng 1.
Hướng dẫn
PTĐT (∆) đi qua điểm M(2; 7) và có hệ số góc k có dạng là:
Vì (∆) cách N(1;2) một khoảng bằng 1 nên:
	Ta có: d(N, ∆) =1 
Vậy phương trình (∆) là: 
Ví dụ 2: Cho đường thẳng có ptts: .Tìm điểm sao cho khoảng cách từ M đến điểm một khoảng bằng 5.
Hướng dẫn
Điểm nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d
Gọi.
Ta có:.
Theo giả thiết: . 
Vậy có 2 điểm M thỏa ycbt và .
Dạng toán 9: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm I
Lấy một điểm A thuộc ; gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I (tức I là trung điểm của AA’)
Viết pt của đường thẳng đi qua điểm A’ và song song với 
Ví dụ: A’
d1
A
d
I
Ÿ
Cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm I.
Hướng dẫn
Lấy điểm; gọi là điểm đối xứng với A qua I suy ra 
	(với I là trung điểm của AA’)
Vì nên phương trình () có dạng: 
đi qua nên: 
Vậy PTTQ của là 
Dạng toán 10:Tìm hình chiếu của điểm A xuống đường thẳng ∆ (Tìm tọa độ điểm sao cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆
Cách 1:
Viết pt đường thẳng d đi qua A và vuông góc với ∆
Gọi H là hình chiếu của A trên ∆. Khi đó
 là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của 
Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số: 
Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ thì tọa độ 
Do nên tọa độ H
 là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của 
-
Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát: 
Gọi là hình chiếu của điểm A trên ∆
Khi đó (1)
 cùng phương với 
Do đó: (2)Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H
Ví dụ: Cho đường thẳng và điểm 
 a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên 
 b) Tìm điểm là điểm đối xứng của qua 
Hướng dẫn
a) Tọa độ hình chiếu của A trên 
Gọi H là hình chiếu của A trên 
Đường thẳng AHpt AH có dạng: 
AH đi qua A nên: 
Vậy phương trình AH là 
Tọa độ H là nghiệm hệ: 
	b) Tọa độ điểm đối xứng của qua 
 là điểm đối xứng của qua là trung điểm của 
Dạng toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng qua đường thẳng ()
Để giải các bài toán này, trước tiên ta nên xét chúng cắt nhau hay song song.
 	ó Nếu (d)// ()
Lấy A(d). Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua () 
Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và song song với (d)
 	ó Nếu (d) cắt () tại điểm I
Lấy A(d) (A≠I). Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ()
Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và I.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng (d1) : và . Lập phương trình đường thẳng đối xứng với (d1) qua (d2).
Hướng dẫn
Xét (d1) và (d2) , Ta có: . Vậy () cắt ( ) tại điểm I
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ => I(0;1)
Lấy A(1;0) (d1) 
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (d2) nên A’ (tìm tọa độ A’ dựa vào dạng 10)
Vậy phương trình của là phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm I và A’
 	: 
Dạng toán 12: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng (d1) và (d2). Với: (d1) :và (d2): 
Tính tích vô hướng của 2 vecto lần lượt là vtpt của (d1) , (d2)
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2):
Khi đó: tồn tại 2 đường phân giác vuông góc với nhau của góc tạo bởi (d1) và (d2):
Tùy theo yêu cầu bài toán ta phải biết cách phân biệt đường phân giác góc nhọn, góc tù, đường phân giác trong, ngoài của tam giác để suy ra PTĐT mà ta cần tìm. Dựa vào bảng sau:
Phương trình phân giác góc nhọn
Phương trình phân giác góc tù
(∆1)
+
(∆1)
Chú ý 1: Vị trí tương đối của hai điểm đối với đường thẳng:
 	Cho đường thẳng và 2 điểm 
Đặt khi đó nếu:
 thì A, B cùng phía đối với đường thẳng .
 thì A, B khác phía đối với đường thẳng .
Chú ý 2: 
Nếu phương trình đường thẳng cho dưới dạng tham số, chính tắc thì ta trước hết phải đưa về dạng tổng quát
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng 
 a) Chứng minh d cắt d’
 b) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’
Hướng dẫn
 a) Vì: nên d cắt d’
 b) Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:
Ví dụ 1: Cho 2 đường thẳng (d1):3x+4y - 1=0 và (d2): 4x+3y+5 = 0 . Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2)
Hướng dẫn
(d1) có vtpt là 
(d2) có vtpt là 
Ta có: =3.4+4.3=24 >0
Ta có phươngtrình : 
Vì >0 nên phương trình đường phân giác góc nhọn cần tìm là: 
Dạng toán 13: Viết phương trình đường trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác và cạnh của tam giác 
	Dựa vào bảng sau để hinh thành nên cách viết PTĐT cần tìm 
Bài toán viết PT
Hình
Phương trình tham số
Phương trình tổng quát
Cạnh AB tam giác
A
A
C
B
Trung tuyến AM
B
M
C
Đường cao AH
A
H
C
A
B
Đường trung trực 
B
I
C
Đường phân giác
Dựa vào dạng toán 12 
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với . Viết phương trình tổng quát của cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH của tam giác ABC; đường trung trực của cạnh AB.
Hướng dẫn
Phương trình cạnh AB:
Đường thẳng AB đi qua 
Nên có vtcp là 
 đường thẳngcó vtpt là: 
Phương trình tổng quát của AB là: 
Phương trình đường trung tuyến AM:
M là trung điểm của BC nên
Vì AM đi qua nên AM có vtcp là 
 có vtpt là 
Phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là: 
Phương trình đường cao AH:
Đường cao AH đi qua và có vtpt 
Phương trình tổng quát của đường cao AH là: 
Phương trình đường trung trực của AB:
Gọi K là trung điểm của AB nên 
Gọi là đường trung trực của AB
 đi qua điểm và có vtpt 
Phương trình tổng quát của là
Ví dụ 1: Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của biết của biết 
Hướng dẫn
Phương trình cạnh AB: 
Phương trình cạnh AC: 
Phương trình hai đường phân giác của góc A
Xét đường phân giác 
Thế tọa độ điểm B vào vế trái của :
Thế tạo độ điểm C vào vế trái của:
Vì nên B và C nằm cùng phía đối vớilà đường phân giác ngoài
Vậy đường phân giác trong của góc A là: 
C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
Qua và có vtpt 
Qua và có vtcp 
Qua 
Qua và có hệ số góc 
Qua và song song với đường thẳng 
Qua và vuông góc với đường thẳng 
 Qua 
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) và C(1; -5).
a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác.
c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC.
e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A của DABC.
Bài tập 3: Viết PTĐT đối xứng với đường thẳng qua đường thẳng biết:
a, 	b, 
Bài tập 4: Cho A(1;1), B(3;6). Viết PTĐT (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 3
Bài tập 5: Viết phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng
Bài tập 6: Cho I(1;2) và đường thẳng 
Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A và song song với ( ).
Tìm phương trình đường thẳng (’ ) đối xứng với ( ) qua A.
Bài tập 7: Cho đường thẳng . Lập phương trình đường thẳng d đi qua và tạo với một góc 
D.BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
Bài tập 1*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng , 
	 A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng d: 3x – y – 4 = 0.
Hướng dẫn
	 PTTS của d: . Giả sử C(t; –4 + 3t) Î d.
	 = Û Û 
	Þ C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
Bài tập 2*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh 	 BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng
	 d1: và d2: . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn
	Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: Þ .
	Giả sử: Î d1, Î d2. 
	M(–1; 1) là trung điểm của BC Û Û 
	Þ , .
Bài tập 3*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2) 	 lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.
Hướng dẫn
	Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là (a2 + b2 ¹ 0) 
	=> VTPT của BC là: . 
	Phương trình 	AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0 	ax + by –2a –b =0
	BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 – bx + ay +4b + 2a =0
	Do ABCD là hình vuông nên d(P, AB) = d(Q,BC) 
	Û 
	· b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; 
	AD: 2x + y – 4 =0
	· b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; 
	CD: –x + y+ 2 =0
Bài tập 4*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có diện tích bằng 	 ; trọng tâm G của DABC nằm trên đường thẳng d: 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn 	 	 nội tiếp D ABC.
Hướng dẫn
	 Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 Þ d(C, AB) = 
	Þ ; Trọng tâm G Î d
	Þ 3a –b =4 (3)
	· (1), (3) Þ C(-2; -10) Þ r = 
	· (2), (3) Þ C(1; –1) Þ 
Bài tập 5*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình 
	 d1: . Phương trình đường cao vẽ từ B là 
	 d2: . Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên 	 	 của tam giác ABC. 
Hướng dẫn
	B(0; –1). Þ MB ^ BC. 
	Kẻ MN // BC cắt d2 tại N thì BCNM là hình chữ nhật. 
	phương trình đường thẳng MN: . N = MN Ç d2 Þ .
	NC ^ BC Þ phương trình đường thẳng NC: .
	C = NC Ç d1 Þ . 
	AB ^ CM Þ phương trình đường thẳng AB: . 
	AC ^ BN Þ phương trình đường thẳng AC: 
Bài tập 6* :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 và điểm 
	 M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho 
	 MA = 3MB.
Hướng dẫn
	M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
	Mặt khác: . Gọi H là hình chiếu của I lên AB 
	Ta có: phương trình đường thẳng d: a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).
	.
	Vậy d: y – 3 = 0 hoặc d: 12x – 5y – 69 = 0.
Bài tập 7*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1).
 	 Biết AB = 2AM, phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình đường cao 	 CH: 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của .
Hướng dẫn
	 Gọi d là đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta có: 
	(I là trung điểm MN).
	.
	AB = 2AM AB = 2AN N là trung điểm AB .
Bài tập 8*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: ,
	 d2: . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam 	 giác cân tại giao điểm của d1, d2.
Hướng dẫn
	Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: 
	Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 
	KL: và 
Bài tập 9*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các số 	 dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh . 	 	 Biết chu vi của bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn
	 , (do ).
	Gọi AH là đường cao .
	.
Bài tập 10*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), d(3;5). Tìm toạ độ 	 	 điểm M thuộc đường thẳng sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện 	 	 tích bằng nhau.
Hướng dẫn
	Phương trình tham số của D: . M Î D Þ M(t; 3t – 5)
	Û Þ 
Bài tập 11*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là 
	 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng 	 	 trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.
Hướng dẫn
	Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Þ A(0;3)
 	Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 Þ B(–4; –7)
	A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy Þ BC: y + 7 = 0
Bài tập 12*:Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng . 	 d2: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng 	 	 đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường 	 	 thẳng d1, d2.
Hướng dẫn
	d1 có VTPT ; d2 có VTPT 
	Ta có: nên và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình: 
	đường thẳng
	d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 (hoặc d2) một góc 450
	* Nếu A = 3B ta có đường thẳng 
	* Nếu B = –3A ta có đường thẳng 
	Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. ; 
Bài tập 13*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, choABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung 	 	 tuyến BM: và phân giác trong CD: . Viết phương trình đường 	 	 thẳng BC.
Hướng dẫn
	 Điểm . 
	Suy ra trung điểm M của AC là .
	Từ A(1;2), kẻ tại I (điểm ).
	Suy ra 
	Tọa độ điểm I thỏa hệ: 
	Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của .
	Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
Bài tập 14*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của 	 2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD 	 	 thuộc đường thẳng D: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Hướng dẫn
	I (6; 2); M (1; 5)
	D: x + y – 5 = 0, E Î D Þ E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của AB
	I trung điểm NE Þ Þ N (12 – m; m – 1)
	 = (11 – m; m – 6);	 = (m – 6; 5 – m – 2) = (m – 6; 3 – m)
	 Û (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0
	Û m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 Û m = 6 hay m = 7
	+ m = 6 Þ = (5; 0) Þ phương trình (AB) là y = 5
	+ m = 7 Þ = (4; 1) Þ phương trình (AB) là x – 1 – 4(y – 5) = 0 
	Þ x – 4y + 19 = 0
Bài tập 15*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác 	 	 trong góc A là d1: x + y + 2 = 0, phương trình đường cao vẽ từ B là d2: 2x – y + 1 = 0, cạnh 	 	 AB đi qua M(1; –1). Tìm phương trình cạnh AC.
Hướng dẫn
	Gọi N là điểm đối xứng của M qua d1 . 
	Ta có: cùng phương 
	Tọa độ trung điểm I của MN: 
	Giải hệ (1) và (2) ta được N(–1; –3)
	Phương trình cạnh AC vuông góc với d2 có dạng: x + 2y + C = 0.
	Vậy, phương trình cạnh AC: x + 2y + 7 = 0.