Một số đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Phần 4

Nguyễn Văn Xá 
Đề thi HSG môn Toán Trang 104
 
96. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1993 – 1994) 
Bài 1 Dãy số {xn} xác định bởi x1 = 1994, xn2 – xn+1.xn + 1 = 0, n = 1, 2, 3,  có giới hạn không, tại sao? 
Bài 2 Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 vuông góc với nhau và nhận OI làm đoạn vuông góc chung 
(O d1, I d2). Trên d1 lấy điểm A cố định, trên d2 lấy hai điểm M, N di động sao cho (d1, M)d1, N). 
a) Chứng minh tích IM.IN không đổi và trực tâm của AMN cố định. 
b) Chứng minh AM2 + AN2 – MN2 không đổi và (AM + AN + MN)2 ≤ 6(OA2 + OM2 + ON2). 
c) Xác định vị trí M, N để diện tích AMN đạt nhỏ nhất. 
Bài 3 Chứng minh nếu x thỏa mãn 
3 23 9 5 0
3 16
x x x
x
  


 thì 3cos 0
6 x


. 
Bài 4 Tính tổng 1
0
tan(2 )( )
cos(2 )
in
n i
i
xS x
x
 với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa. 
 
97. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 2 (1993 – 1994) 
Bài 1 Tính tổng 
1993
1
cos
997k
kS 

 . 
Bài 2 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi P, Q là trung điểm của hai cạnh đối diện. Người ta 
chiếu vuông góc tứ diện ABCD xuống một mặt phẳng (R) song song với PQ để được một tứ giác. 
a – Hình chiếu của tứ diện là tứ giác gì, tại sao? 
b – Tính diện tích hình chiếu của tứ diện, biết tứ giác hình chiếu có một góc 600. 
Bài 3 Cho bất phương trình 
2 2sin os5.25 ( 6).5 5( 5).x c xm m    
a./ Giải BPT khi m = 8. 
b./ Tìm m để BPT nghiệm đúng với mọi x ≠ k, k. 
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, tâm O; các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy 
một góc 600. Một mặt phẳng bất kì đi qua SO cắt các đường AB, BC, CA lần lượt tại M, N, P. Gọi , ,   
lần lượt là góc tạo bởi SM, SN, SP với mặ phẳng đáy. Chứng minh tan + tan + tan ≤ 3 6 . 
 
98. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1994 – 1995) 
Bài 1 Cho ba số dương a, b, c đôi một khác nhau. 
a. So sánh 2loga
b
c
 với 2loga
c
b
 (a ≠ 1). 
b. Chứng minh trong ba số ( ( (2 2 2log ), log ), log )a cb
ab c
c a b
b c a
 có ít nhất một số lớn hơn 1. 
Bài 2 Trên mp(P) cho hình thang ABCD có 
2
AD AB BC CD a    . Trên mp(Q) kẻ qua AD và vuông 
góc với (P) ta lấy điểm S sao cho SAD đều. Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm trên đoạn SB sao 
cho NB : NS = 1 : 2. 
a) Chứng minh mặt phẳng qua D, A, N vuông góc với CM. 
Nguyễn Văn Xá 
Đề thi HSG môn Toán Trang 105
b) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AN và CM. 
Bài 3 Cho hàm số 
1995
1995( ) 1
xf x
x


. 
a) Chứng minh f(x) + f( 1
x
) = 1, x > 0. 
b) Tính 
1995 1995
1
( ( ))
k i
iS f
k 
  . 
Bài 4 Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1, một điểm M trên đoạn B1C và một điểm N trên tia đối của tia D1A 
sao cho 1
1
ND MC
NA MB
 . Chứng minh M, N, D, C1 đồng phẳng. 
 
99. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 2 (1994 – 1995) 
Bài 1 Xét dãy số (xn) có 0 < xn < 1 và n+1
n
1x 1 - 
4x
 với mọi n*. Tìm limxn. 
Bài 2 Giải phương trình 2cos2x – 4cos3x.cos3x + cos6x – 4sin3x.sin3x = 0. 
Bài 3 Tìm a để phương trình sau đây có nghiệm 
2
1
33
2 24 .log ( 2 3) 2 .log (2 2) 0x a x xx x x a         . 
Bài 4 Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 cạnh a. Gọi O là giao điểm của 4 đường chéo. Gọi O là 
giao điểm của bốn đường chéo. Qua A kẻ mặt phẳng (P) có khoảng cách tới O bằng 
2
a . Gọi giao điểm của 
(P) với A1B1, A1D1 lần lượt là I, K. Tính góc phẳng của nhị diện cạnh AC1 có các mặt lần lượt đi qua I, K. 
 
100. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1995 – 1996) 
Bài I Giải phương trình 1996 19951995 1996 1.x x    
Bài II Cho ABC nhọn. Chứng minh tanA.tanB.tanC > 1. [ tanA + tanB + tanC > 1] 
Bài III Xét dãy số dương u1, u2, u3, u4, u5 và hai số A = u1 + u5, B = u2 + u4. Hãy tìm điều kiện ràng buộc 
giữa A và B là điều kiện cần và đủ để dãy số đó lập thành cấp soosnhaan. 
Bài IV Cho hai hình bình hành A1B1C1D1, A2B2C2D2 tương ứng nằm trong hai mặt phẳng song song (P) 
và (Q). Các đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 , D1D2 đôi một chéo nhau và cắt một mặt phẳng (R) theo thứ ở 
A, B, C, D. 
1. Chứng minh nếu (R) // (P) thì A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành. 
2. Phát biểu và chứng minh (hoặc bác bỏ) mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu 1. 
 
101. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 2 (1995 – 1996) 
Bài 1 Chứng minh nếu ABC thỏa mãn sin sin sin 2 sin 2
sin sin 2
A B A B
C C
 
 thì 2 2 1cos os
2
A c B  . 
Bài 2 Giải phương trình 2log3(cotx) = log2(cosx). 
Nguyễn Văn Xá 
Đề thi HSG môn Toán Trang 106
Bài 3 Dãy số {an} thỏa mãn an + 1 - 2an + an – 1 = k (n ≥ 2, k là số cho trước). Tìm 2lim
na
n
. 
Bài 4 Cho tứ diện ABCD với điểm O ở bên trong và cách đều các mặt của tứ diện. Tính góc ODC , biết 
rằng (OBD)(OAD) . 
 
102. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1996 – 1997) 
Bài 1 Cho dãy số {xn} thoảt mãn x1 = 1996, x2 = 1997, xn(xn-1 + xn+1) = 2xn-1.xn+1, n = 2, 3, 4,Tìm limxn. 
Bài 2 Cho ABC vuông tại A, góc nhọn giữa các đường trung tuyến BM, CN là  . Chứng minh rằng 
5cos2 + cos ≥ 4. 
Bài 3 Tìm a > 0, a ≠ 1 để hệ phương trình 
2
1
2
1
yxa a
x y b
  

   
có nghiệm với mọi b [-1; 1]. 
Bài 4 Cho hình lăng trụ tan giác ABC.A1B1C1 với M, N lần lượt là trung điểm của BC, CC1. Tính độ dài 
đoạn giao tuyến nằm bên trong lăng trụ của hai mặt phẳng (ABC) và (A1B1M) theo AB. 
 
103. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 2 (1996 – 1997) 
Bài 1 Cho dãy các hàm số {fn(x)} xác định bởi f1(x) = x, n
n+1
1f (x)+ =1
f (x)
, n = 1, 2, 3, Tìm f1996(1997). 
Bài 2 Tam giác ABC thỏa mãn sin3A + sin3B = sin3C. Chứng minh sin2A + sin2B + sin2C > 2. 
Bài 3 Cho đa giác lồi A1A2An nội tiếp đường tròn (O) và tâm O nằm trong đa giác. Gọi B1, B2,  , Bn 
theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung A1A2, A2A3, , AnA1 của (O). So sánh diện tích hai đa giác 
A1A2An và B1B2Bn. 
Bài 4 Giải phương trình nghiệm nguyên dương x + y.log23 = log2(1 + 52). 
Bài 5 Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với O là tâm của đáy. Gọi M, N theo thứ tự là các trung 
điểm của AO, DO. Qua M, O, N dựng các mặt phẳng song song với (SAB) và tạo thành các thiết diện có 
diện tích lần lượt là x, y, z. Tính tỉ lệ x : y : z. 
 
104. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1997 – 1998) 
Bài 1 Cho dãy số (un) thỏa mãn u0 = 1997, u1 = 1998, un = 
1
3
(2un-1 + un-2), n = 2, 3, 4, Tìm limun. 
Bài 2 Tìm m để phương trình mcosx + cos3x – cos2x = 1 có đúng 8 nghiệm trên khoảng (- 
2
 ; 5
2
 ). 
Bài 3 Cho ABC có a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB, và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng 
8[(p – a)(p – b)(p – c)]2 ≥ a2b2c2cosAcosBcosC. 
Bài 4 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ba mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi M là trung điểm 
của CC’. Qua tâm O của hình vuông ABB’A’ dựng mp(P) song song với hai đường thẳng A’C và BM. 
Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) và tính chu vi thiết diện theo a. 
 
105. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 2 (1997 – 1998) 
Nguyễn Văn Xá 
Đề thi HSG môn Toán Trang 107
Bài 1 
1. Cho 1 0. 
2. Giải phương trình (sinα)x +(tanα)x = αx, với 0 < α < 
2
 . 
Bài 2 Chứng minh với mọi ABC có a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB, và p là nửa chu vi, R là bán 
kính đường tròn ngoại tiếp, ta có bc.tan
2
B C + ca.tan
2
C A + ab.tan
2
A B = 4Rp2( 1 1 1 3
a b c p
   ). 
Bài 3 Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 2 2 1(sin ) (cos ) ,
4
n nx x x
n
   . 
Bài 4 Cho tứ diện OABC trong đó góc tam diện đỉnh O có ba mặt vuông. Gọi R, r lần lượt là bán kính các 
mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp tứ diện. Chứng minh 2R 3(1 + 3)
r
 . Dấu “=” xảy ra khi nào? 
(Tìm giá trị nhỏ nhất của R
r
) 
 
106. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1998 – 1999) 
Bài 1 Tính tổng 1
1
(4 3).3 ,
n
k
n
k
S k n

   * 
Bài 2 Tìm m  (5; 16) sao cho phương trình 2 sin x - cos xmx 3 11 + cos ( + ) = ( )
2 8 3
  có nghiệm x  (0; 2). 
Bài 3 Cho ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3sin . sin .sin .
2 2 2
A B CP  
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng a. Lấy điểm I 
sao cho 1CI = CA
4
, trên đoạn SI lấy điểm J tùy ý, SJ = x. Qua J dựng mp(α) song song với SA và BD. 
1 – Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α). Biện luận theo x hình dạng của thiết diện. 
2 – Tìm vị trí của J sao cho diện tích thiết diện đã dựng được là lớn nhất. 
 
107. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 2 (1998 – 1999) 
Bài 1 Tìm m để phương trình x2 – 2m.sin(cosx) + 2 = 0 có nghiệm duy nhất. 
Bài 2 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh 
1
11 4log 2 log 2log
2
1
log ( )
a
a a
a
b c
b c
  


. 
Bài 3 Giải bất phương trình 21(2cos ) (4cos 3) 1
7 72cos
7
x x 

    . 
Bài 4 Cho tứ diện đều ABCD tâm O. Điểm M bất kì thuộc mặt BCD của tứ diện. Các điểm N, P, Q lần 
lượt là hình chiếu vuông góc của M lên (ABC), (ABD), (ACD).. 
1) Gọi khoảng cách từ M tới CD, DV (xem lại DV hay DB), BC lần lượt là x, y, z. Tính thể tích khối tứ 
diện OMNP theo x, y, z. 
Nguyễn Văn Xá 
Đề thi HSG môn Toán Trang 108
2) Chứng minh đường thẳng OM đi qua trọng tâm NPQ. 
 
108. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1999 – 2000) 
Bài 1 Cho ABC có ba cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d. Chứng minh rằng 
3 (tan tan )
2 2 2
C Ad r  , với r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC. 
Bài 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số a (a > 0, a ≠ 1) sao cho tập giá trị của hàm số 
2 2
1
xa a ay xa
  


không chứa số nguyên nào chia hết cho 3. 
Bài 3 Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình 22 1 2 1 2 1sin sin 3cos 0
3 3
x x x
x x x
  
   thỏa mãn 
điều kiện x ≥ 1
10
. 
Bài 4 Cho tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c đôi một vuông góc. Lấy điểm M nằm trong ABC. 
Gọi u, v, w lần lượt là khoảng cách từ M tới SA, SB, SC. Chứng minh 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2(abc)u + v + w
a b +b c +c a
 . 
 
109. THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG 2 (1999 – 2000) 
Bài 1 Giải PT nghiệm nguyên dương x2(
2 2 24 3 4 3 4 36 8 9x x x x x x       ) = (2x3 + 1). 
2 4 312x x  . 
Bài 2 Tìm tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa mãn )(log ( ) 2cos(2 os y) log 0x yy c x      . 
Bài3 Cho n số ai  [1999; 2000], i = 1, 2, 3, , n (n*). Chứng minh 
29( 2 ).( 2 )
81 1
i i
n n na a
i i


 
  . 
Bài 4 Cho dãy số { ai} thỏa mãn a0 = 0, ak ≥ 0, ak+1 = ak + 
21
2000
ka , k = 0, 1, 2,  Chứng minh rằng dãy 
số trên có không quá 3150 số hạng. 
Bài 5 Cho tứ diện ABCD. Gọi các góc nhị diện cạnh AB, AC, AD, CD, DB, BC lần lượt là i (i = 1,6 ). 
Chứng minh i
6
os
i=1
c  ≤ 2. Tìm tất cả các tứ diện thỏa mãn dấu đẳng thức. 
 
110. THI HSG 11 BẮC NINH (2004 – 2005) 
Bài 1 (2,5 điểm) Tính giá trị của: cos50 - cos310 - cos410 + cos670 + cos770. 
Bài 2 (2,0 điểm) Cho dãy số {an} thỏa a1 = 1, an+1 = 
n
n
a
a 1
2
 với n =1, 2, 3,  
Chứng minh biểu thức 
2
2
2 na
 là số nguyên, với mọi giá trị nguyên n > 1. 
Nguyễn Văn Xá 
Đề thi HSG môn Toán Trang 109
Bài 3 (2,5 điểm) Cho tứ diện ABCD, đường vuông góc chung của AC và BD đi qua trung điểm BD và 
S ABD = S BCD = 
2
1 S ABC. Giả sử tồn tại điểm O trong tứ diện sao cho tổng khoảng cách từ O đến B và D 
bằng tổng khoảng cách từ O đến bốn mặt tứ diện. Chứng minh: 
1) Đường vuông góc chung của AC và BD đi qua trung điểm AC. 
2) AC  BD. 
Bài 4 (2,0 điểm) Gọi r, R là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, và r1 là bán kính 
đường tròn nội tiếp tam giác có các đỉnh là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh 
rằng r  1Rr . 
Bài 5 (1, 0 điểm) Giải phương trình x3 - 3x = 2x . 
 
111. THI HSG 11 THPT YÊN PHONG 2 - BẮC NINH (2008 – 2009) 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 11 2 4 5y x y    , với x, y là các số thực thoả mãn 
x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0. 
Bài 2: Cho các số thực a, b, c ≥ 1, a2 + b2 + c2 = 4. Tìm phần nguyên của B = 1 1 1
2
 
  
a b c
a b c
. 
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức C = 2006 1 2004 3 2 2005 20072008 2008 2008 20082009 . 2009 . ... 2009 .C C C C    . 
Bài 4: Giải phương trình lượng giác với x(0, 2 ): 3 sin 35( ) 3 2
1 2 sin 2
cos x xsinx cos x
x

  

. 
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 – 4y2 = 17. 
Bài 6: Giải hệ phương trình 
2 3 2
2 3 2
2 3 2
10
10
10
x y y y
y z z z
z x x x
    

   
    
. 
Bài 7: Giả sử ba điểm G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác 
nào đó. Chứng minh rằng: 2.GO

 = 

HG . 
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi ABC nhọn ta luôn có tanA.tanB.tanC > 1. 
Bài 9: Tìm tất cả các hàm số f:    thoả mãn f(x3 – y) + 2y.(3f2(x) + y2) = f(y + f(x)), x, y. 
Bài 10: Cho các hằng số thực a, b, c với a ≠ 0. Chứng minh rằng đường thẳng (d) x = 
2
 b
a
 là trục đối 
xứng của parabol (P) y = ax2 + bx + c. 
 
112. THI HSG 11 BẢNG A - BÌNH ĐỊNH (2005 – 2006) 
Câu 1: (5 điểm) Chứng minh rằng nếu một cấp số nhân có n số (n  3) là các số tự nhiên phân biệt và 
công bội cũng là một số tự nhiên thì tổng của tất cả n số hạng đó không thể là lũy thừa của 5. 
Câu 2: (5 điểm) Cho các dãy (an), *Nn và (bn), *Nn thoả mãn các công thức sau: 
Nguyễn Văn Xá 
Đề thi HSG môn Toán Trang 110
 2 2
(1 ) (1 )1 ... ,
1 1
n n
n n
n n n na
n n
 
   
 
*)1(
1
,)
1
( Nn
n
a
b nnnn 
  . Tìm lim nn b . 
Câu 3: (5 điểm) Chứng minh rằng phương trình: 16x5 – 20x3 + 5x + 2 = 0 có nghiệm duy nhất và tìm 
nghiệm này. 
Câu 4: (5 điểm) Gọi S là diện tích toàn phaần của một tứ diện gần đều ABCD có: BC = DA = a, 
CA = DB = b và AB = DC = c. Chứng minh .9111 2222222 Sbaaccb
 Dấu “=” xảy ra khi nào? 
 
113. THI HSG 10 THPT YÊN PHONG 2 - BẮC NINH (2008 – 2009) 
Câu 1 (3 điểm) Cho hàm số y = - x2 -2x + 3. 
a, Vẽ đồ thị hàm số. 
b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình - x2 -2|x| + m = 0. 
c, Tìm a để phương trình - x2 -2|x| + 3 – a = 0 có nghiệm thuộc đoạn [-1; 1]. 
Câu 2 (3 điểm) 
a. Chứng minh rằng 2 2
1 1 2 ,
1 1 1a b ab
 
  
 với ab > 1. 
b. Cho a, b, c, d > 0 và a b c dS
d a b a b c b c d c d a
   
       
. Chứng minh 1 < S < 2. 
c. Chứng minh 300 200200 300 . 
Câu 3 (3 điểm) Cho ABC cân đỉnh A. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm ACM, I là tâm 
đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh GI  CM. 
Câu 4 (1 điểm) Chứng minh 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )a b a b a a b b       . 
 
114. THI HSG 10 
Bài 1 Cho f(x) = (a – 1)x2 + (2a – 3)x + a – 3. Tìm a để f(x) > 0 với x < 1. 
Bài 2 Cho phương trình 1 8x x m    . 
a) Giải phương trình khi m = 3. 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 
c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 
Bài 3 Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1 15 ( )
1 19
x y
x y
x y
x y
    

    

. 
Bài 4 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi một tam giác. So sánh abc và 8(p – a)(p – b)(p – c).