Một số đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Phần 6

Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 128 

 
142. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH – NĂM HỌC 2008 – 2009 
Câu 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; +∞) thỏa mãn 1f(x) = f( ),
x
∀ x > 0. Chứng minh rằng hàm số 
πf(tanx) khi 0 x < 
2g(x) = 
πf(0) khi x = 
2
 ≤



 liên tục trên ñoạn [0; π
2
]. 
Câu 2 Chứng minh rằng với mọi a ≠ 0 hàm số y = x(x – a)2 không phải là hàm ñồng biến. 
Câu 3 Giải phương trình 
a/ 3 2 3 2 2
3 3
1 1 81(sin ) ( s ) os 4 .
2 2 4
sin s
2 2
x x
co c x
x x
co
+ + + = 
b/ 
sin
2 osx
x
c= . 
Câu 4 Cho f(x) = x2 + ax + b (a, b ∈ R). Chứng minh ít nhất một trong ba số |f(0)|, |f(-1)|, |f(1)| lớn hơn 
hoặc bằng ½. 
Câu 5 Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Hãy tính theo a: 
1) Góc tạo bởi A’B và B’C. 
2) Diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng ñi qua A’B và trọng tâm G của tam giác ABC. 
3) Tỉ số thể tích hai phần của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bị phân chia bởi thiết diện nói trên. 

 
143. THI HSG LỚP 11 (2001 – 2002) 
Bài 1 Có tồn tại hay không 2001 số dương phân biệt sao cho tổng các nghịch ñảo bình phương của chúng 
là một số chính phương có dạng n2 + n + 1 (n ∈N*) ? Tại sao? 
Bài 2 
1. Cho n số dương a1, a2, , an (n ∈N*) thỏa mãn a1a2an ≤ 2n – 1. Chứng minh rằng 
1
1 1
1
n
k
n
k k
a
a
=
+
≥
+
∑ . 
2. Chứng minh 
2
1
( 1) 3
n
k
k
k x
=
+ − ≥∑ , ∀n ∈N*, ∀ ∈R. 
Bài 3 
1.Giải phương trình nghiệm nguyên 1 2 2 2 12 . 4 2 1 4 4 2 .4 4 4 12.4 4x x x x x x xx x x x+ ++ + + + + − + = + + . 
2.Giải phương trình lượng giác cos6x – cos4x = 4(1 + cos3x). 
Bài 4 Cho △OAB có C là trung ñiểm của AB, D là trung ñiểm của OC, AD cắt OB tại E, gọi F là ñiểm ñối 
xứng với E qua C, và G là ñiểm ñối xứng với D qua OB. Chứng minh OF + 4.OG cùng phương với OB. 

 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 129 
144. THI HSG LỚP 10 (2001 – 2002) 
Bài 1 Giải phương trình 
a. 3 3 36 6 6x x= + + + . b. 2002 4 2 2 42 1 1 2x x x x x x− + − = − + − . 
Bài 2 
1. Cho x ∈ [2001; 2002], tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 2002
2001
xA
x
= + . 
2. Cho x, y, z > 0, x2 + y2 + z2 ≤ 2xyz. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2
x y zB
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
. 
3. Cho 2x2 + y2 + xy ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2C x y= + . 
Bài 3 Cho △ABC nội tiếp ñường tròn (O), có BE vuông góc với AC tại E, CF vuông góc với AB tại F. 
Chứng minh rằng ñường thẳng d ñi qua A là tiếp tuyến của (O) khi và chỉ khi d // EF. 
Bài 4 Cho số nguyên tố p có dạng p = 
0
2
n
k
k=
∑ , n ∈N*. Chứng minh 2n.p là một số hoàn hảo. 

 
145. THI HSG 
Bài 1 (?) hình vuông ACMN. Trên nửa mặt phẳng bờ MD không chứa ñiểm N ta dựng tia Mx vuông 
góc với MD và lấy ñiểm E trên Mx sao cho ME = MD. 
a. Chứng minh bốn ñiểm C, D, M, E thuộc một ñường tròn. 
b. Tính các góc của tứ giác ABCD. 
Bài 2 
1. Tính 
2000
1
( 1)
k
S k k
=
= +∑ . 
2. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tính giá trị của biểu thức 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1 1 1
b c c a a bB a b c
a b c
+ + + + + +
= + +
+ + +
. 
Bài 3 Giả sử a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
. 
Bài 4 
1. Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn 4 3 2 2 2 43 5 2 (3 2) 1x x y x y xy y y− + − + + = − . 
2. Tìm 32 nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 = 3485. 
3. Cho P(x) = ax2 + bx +c có |P(x)| ≤ 1, ∀x∈{-1; 0; 1}. Chứng minh |a| + |b| + |c| ≤ 3. 
Bài 5 
1. Giả sử A = {1; 2; 3;  ; 2000}. Chứng minh tồn tại một cách phân chia A thành 4 tập con rời nhau 
A1, A2, A3, A4 thỏa mãn ñồng thời hai ñiều kiện sau: 
(i) Số các số thuộc Ak bằng k lần số các số thuộc A1 (k = 2, 3, 4). 
(ii) Tổng tất cả các số thuộc Ak bằng k lần tổng tất cả các số thuộc A1 (k = 2, 3, 4). 
2. Tìm hàm f(x) xác ñịnh trên D = R\{- 1
2
;
1
2
} và thỏa mãn 1( 1) 3 ( ) 1 2
1 2
xf x f x
x
−
− − = −
−
, ∀x∈D. 
3. Xác ñịnh các số nguyên a, b, c khác 0 và ñôi một phân biệt sao cho P(x) = x(x – a)(x – b)(x – c) +1 có 
thể phân tích ñược thành tích của hai ña thức với hệ số nguyên và bậc của chúng nhỏ hơn 4. 
Bài 6 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 130 
1. Cho △ABC nội tiếp ñường tròn (O; R) và ngoại tiếp ñường tròn (I; r). Chứng minh  (?)  
2. .(?) 

 
146. THI HSG LỚP 11 (2000 – 2001) 
Bài 1 
a) Cho hai nửa ñường thẳng chéo nhau Ax, By thỏa mãn Ax ⊥ By, Ax ⊥ AB, By ⊥ AB. Trên Ax, By lần 
lượt lấy hai ñiểm M, N thỏa mãn AM + BN = AB. Có tồn tại hay không một mặt cầu tiếp xúc với Ax 
tại M, với By tại N, ñồng thời tiếp xúc với AB ? Tại sao? 
b) Cho △ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các ñiểm M, N sao cho MN // BC, gọi P, Q lần lượt là 
hình chiếu của M, N lên BC, gọi O là giao ñiểm của MQ và NP, gọi I, K lần lượt là trung ñiểm của BC 
và trung ñiểm của ñường cao △ABC hạ từ A. Chứng minh O, I, K thẳng hàng. 
Bài 2 
a. Tìm m ñể phương trình x4 -10x3 – 2(m – 10)x2 + 2(5m + 11)x + (m + 1)(m + 3) = 0 có 4 nghiệm thực 
phân biệt. 
b. Cho a, b, c thỏa mãn 2 2 2 01 2 3
a b c
m m m
+ + =
+ + +
, m∈R. Chứng minh phương trình ax6 + bx3 + c = 0 
có nghiệm thỏa mãn |x| < 1. 
Bài 3 
a. ðặt N = 
2001
0
2001k
k=
∑ . Trong các mệnh ñề sau, mệnh ñề nào ñúng, mệnh ñề nào sai, tại sao? 
(1) 2001 chia hết N. 
(2) N là số nguyên tố. 
(3) N
2001
là số vô tỉ. 
(4) 
20022001 1N = 
2000
−
. 
b. Tìm chữ số tận cùng trong hệ thập phân của số 
16151413 . 
c. Các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 2000x + 2001y + 2002z chia hết cho 17. Chứng minh rằng 
800x +797y +794z cũng chia hết cho 17. 
Bài 4 
1. Cho hệ 
1 2 2001
1 2 3 2001
1 2 3 4 2001
1 2 2000 2001
... 1
( ... ) 1
( )( ... ) 1
......
( ... ) 1
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
+ + + = −
 + + + = −
+ + + + = −


+ + + = −
. Hỏi 1000x có thể nhận những giá trị nào? 
2. Tìm a ñể hệ 
2001 2 2
1
2001
2
1
2 .tan 2001 3.2001 2 (1)
os lg | | (2)
kk
k
k
k x
c x a
=
=

= + +∑

 ≥

∑
 tương ñương với phương trình (1). 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 131 
Bài 5 Tính giới hạn của dãy số (un) ñược xác ñịnh bởi u1 = 12 , un + 1 = 
n
n
2u
1+3u
, n = 1, 2, 3,  
Bài 6 Cho tam diện vuông OABC ñỉnh O. Chứng minh 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )ABC OAB OBC OCAS S S S= + + . 

 
147. THI HSG LỚP 11 
Bài 1 Chứng minh hàm y = f(x) = x liên tục và có ñạo hàm tại x = 0, hàm y = g(x) = |x| liên tục nhưng 
không có ñạo hàm tại x = 0. Hàm y = f(x).g(x) = x|x| có liên tục tại x = 0 hay không, có ñạo hàm tại x = 0 
hay không? 
Bài 2 
1. Giải phương trình 7 3log log (2 )x x= + . 
2. Giải hệ phương trình 
1 2
2 3
3 1
3 3. os( x )
3 3. os( x )
3 3. os( x )
x c
x c
x c
pi
pi
pi
 =

=

=
. 
Bài 3 Cho hàm số liên tục f : [0; 1] → [0; 1], có ñạo hàm trên khoảng (0; 1) và f(0) = 0, f(1) = 1. 
a. Chứng minh rằng phương trình f(x) = 1 – x có nghiệm trên khoảng (0; 1). 
b. Phương trình f ’(x). f ’(a) = 1 (hằng số 0 < a < 1) có nghiệm trên khoảng (0; 1) hay không? 
Bài 4 Cho Ax và By chéo nhau, C ∈ Ax, D ∈ By, a b k
AC BD
+ = (a, b, k là hằng số dương cho trước). 
a. Chứng minh CD luôn cắt một ñoạn thẳng cố ñịnh. 
b.Xác ñịnh C, D sao cho ABCD có thể tích nhỏ nhất. 

 
148. THI HSG LỚP 11 
Bài 1 Tính giá trị biểu thức 
a) A = 0 0
3 1
os10 sin10c
− . 
b) B = tan112030’. 
c) C = 2 4 6cos cos cos
7 7 7
pi pi pi
+ + . 
Bài 2 
1.Giải biện luận theo tham số m phương trình lượng giác m.cos3x + sinx.sin2x – cosx = 0. 
2.Chứng minh với mọi △ABC ta có 
(1) 2 2 2 3cos os os
4
A c B c C+ + ≥ . 
(2) AsinA+BsinB+CsinC
3 sinA+sinB+sinC 2
pi pi≤ < . 
Bài 3 
1) Cho cấp số nhân u1, u2,  , un có các số hạng dương và thỏa mãn 
1
n
k
k
u
=
∑ = a, 
1
1n
k ku=
∑ = b (a, b > 0). 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 132 
Chứng minh rằng 
1
nn
k n
k
a
u
b
=
=∏ . 
2) Tìm giới hạn 
24
0
1 1lim
x
x x
x→
+ + −
. 
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA ⊥ (ABCD). 
a) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SC và BD. 
b) Mặt phẳng (α ) ñi qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R. Tính diện tích tứ giác 
APQR theo a. 

 
149. THI HSG LỚP 11 (2003) 
Câu 1 1) Giải phương trình sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx). 
 2) Chứng minh rằng △ABC là tam giác ñều nếu có 
3 3 3 3 3os os os ( os os os )
3 3 3 8 4 3 3 3
A B C A B C
c c c c c c+ + = + + + . 
Câu 2 
1) Tìm m ñể phương trình x3 – 3mx2 + (4m2 – 1)x + 3m – 4m2 = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số 
cộng. 
2) Tìm các giới hạn sau 
 a. 
0
3 4 2lim
1 2 1x
x x
x→
+ − −
− +
. b. 
1
3 2lim
tan( 1)x
x x
x→
+ −
−
. 
Câu 3 Cho phương trình 4|x| - 1 – 2|x| - 1 – m
4
 = 0. 
a. Giải phương trình khi m = 1. 
b. Tìm m ñể phương trình có nghiệm duy nhất. 
Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c, AB’ = AD, B’C’ = AB (B’C’ = AB 
hay B’C = AB không rõ), AC = AA’. 
1.Tính khoảng cách giữa AC và BB’. 
2.Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C và có bán kính R. Xác ñịnh O và tính R theo a, b, c. 
3.Giả sử khoảng cách giữa O và (ABCD) là OI = R
3
. Tìm mối quan hệ giữa a, b, c. 
Câu 5 Tìm số dư của phép chia 
2003
2
1
(1 )
i
i
=
+∏ cho 2003. 

 
150. THI HSG 10A (2001) 
Câu I 
1. Cho f(x) = ax2 + bx + c nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. Các hệ số a, b, c có nhất thiết phải là số 
nguyên hay không? 
2. Giải phương trình nghiệm tự nhiên 2 2 1x y y= + + . 
Câu II Giải phương trình 24 1 5 14x x x+ = − − + . 
Câu III Cho a, b, x, y ∈ R thỏa mãn 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 133 
2 2
3 3
4 4
ax + by = 3
ax + by = 5
ax + by = 9
ax + by = 17






. 
Tính giá trị của biểu thức A = ax5 + by5, và tổng quát axα + byβ với α, β ∈ ℤ*. 
Câu IV Cho ñoạn thẳng AB có trung ñiểm O. Gọi d1, d2 là các ñường thẳng nằm trong mặt phẳng, vuông 
góc với AB lần lượt tại A, B. Một góc vuông ñỉnh O có một cạnh cắt d1 ở M, còn cạnh kia cắt d2 ở N. Kẻ 
OH ⊥ MN tại H. ðường tròn ngoại tiếp △MHB cắt d1 ở ñiểm thứ hai E khác M. MB cắt NA ở I. ðường 
thẳng HI cắt EB ở K. Chứng minh K luôn thuộc một ñường tròn cố ñịnh. 
Câu V Cho 2001 ñồng tiền, mỗi ñồng tiền ñược sơn một mặt bằng màu ñỏ và mặt kia màu xanh. Xếp 2001 
ñồng tiền ñó theo một vòng tròn sao cho tất cả các ñồng tiền ñều có mặt xanh ngửa lên phía trên. Cho 
phép mỗi lần ñổi mặt ñồng thời 5 ñồng tiền liên tiếp nhau. Hỏi với cách làm như thế sau hữu hạn lần ta có 
thể làm cho tất cả các ñồng tiền ngửa mặt ñỏ lên trên ñược không? Tại sao? 

 
151. THI HSG 11A (2001) 
Bài 1 Tính giá trị của f(x) = x3 + 17x tại 3 321 1 31559 21 1 31559x = 
2 6 3 2 6 3
+ + − . 
Bài 2 Khẳng ñịnh hoặc bác bỏ bất ñẳng thức 2 1
1
(2 sin ) 2 ,n
n
k
k
x −
=
− ≥ ∀∏ xk ∈ R, k = 1, n , n ∈ N*. 
Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức 
6 6
4 2 4 4 2 4 2
8sin 8cos 1
4sin sin 2 4cos 4cos 2cos 1 4sin 2sin 1
x xM
x x x x x x x
= + +
+ + + + + +
, x ∈ R. 
Bài 4 Tìm a ñể phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt 
2001
4 2 5 4 3 25 4 3 2 4 2( 1) ( 1) 1 1
17
2001 2001 17log log( ). ( 1) ( ). ( (1 ) (1 ) ) 0
a x ax a x xx ax xx x x ax a x ax a x
− + − − + − − − −− −+ + + + + − + + − =
Bài 5 Giải phương trình nghiệm nguyên dương 2 2 2
1 1 1
... 1( 1) ( )x x x n+ + + =+ + , với n ∈ N* cho trước. 

 
152. THI HSG 11A (2001) 
Bài 1 Giải phương trình 
a) 2002x = 1 + log2002(1 + (20022000- 1)x). 
b) 2 2 21 1 2x x x x x x+ − + + + = − + . 
Bài 2 Chứng minh rằng 
3 6 6 ... 6 61 5
6 273 6 6 ... 6
− + + + +
< <
− + + +
, biết rằng trên tử có n dấu căn, dưới mẫu có 
n – 1 dấu căn, n ∈ N, n > 1. 
Bài 3 Dãy số (an) xác ñịnh bởi an = n + ] n[ , với n ∈ N*, ] n[ là số nguyên gần n nhất. Tìm số 
nguyên dương k nhỏ nhất sao cho các số ak, ak + 1, , ak + 2000 lập thành dãy 2001 số tự nhiên liên tiếp. 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 134 
Bài 4 Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (O; r). Tìm M thuộc (O; r) sao cho MA2 + MB2 + MC2 + MD2 
a) ðạt giá trị lớn nhất; 
b) ðạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 5 Cho hàm f(x) xác ñịnh và liên tục trên R sao cho phương trình f(x) = x vô nghiệm. Chứng minh rằng 
phương trình f(...f(f(x))...) x= cũng vô nghiệm, n ∈ N, n ≥ 2. 
 n lần 

 
153. KIỂM TRA ðỘI TUYỂN (2000) 
ðề 1 Cho hàm số liên tục f : [α; β] → R, có ñạo hàm trên (α; β), f(α) = α, f(β) = β, α < β. Chứng minh 
∃a, b ∈ (α; β), a ≠ b, sao cho f /(a).f /(b) = 1. 
LG: ðặt g(x) = f(x) – (α + β) + x, x∈[α; β]. Suy ra g(x) liên tục trên [α; β], khả vi trên (α; β), và có 
g(α) = f(α)– (α + β) + α = α - β 0. Theo tính chất của hàm số liên 
tục, tồn tại γ ∈ (α; β) sao cho g(γ ) = 0 ⇔ f(γ ) = (α + β) - γ . Áp dụng ñịnh lí Lagrăng, có: 
 ∃a ∈ (α;γ ) sao cho / ( ) ( )( ) f ff a γ α α β γ α β γ
γ α γ α γ α
− + − − −
= = =
− − −
; 
 ∃b ∈ (γ ; β) sao cho / ( ) ( )( ) f ff b β γ β γ α β γ αβ γ β γ β γ
− + − − −
= = =
− − −
; 
⇒ f /(a).f /(b) = β γ
γ α
−
−
. 
γ α
β γ
−
−
= 1. Và rõ ràng a ≠ b. Ta có ñpcm. 
ðề 2 Cho hàm số f : R→R thỏa mãn f(x).f(y) = f(x + y), ∀x, y ∈R, ñồng thời khả vi tại x = 0. Chứng minh 
rằng f(x) khả vi vô hạn lần trên R. 

 
154. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11A (2000) 
Bài 1 
1.Cho dãy 1( )k kx +∞= với 
1 2
...
2! 3! ( 1)!k
k
x
k
= + + +
+
. Tính 1 2 2002lim ...
n n nn
n
x x x
→+∞
+ + + . 
2.Tìm tất cả các hàm số f : R→R thỏa mãn ñồng thời hai ñiều kiện sau: 
a) f(x) ≥ ex, ∀x ∈ R. 
b) f(x + y) ≥ f(x).f(y), ∀(x; y) ∈ R2. 
Bài 2 
1.Giải phương trình 
(2002 2001)(2002 2001)
.
.
.
.
.
(2002 2001) 2xxx +++ = . 
2.Cho 2002 số xi > 1 (i = 1,2002 ), 
2002
2002
1
i
i
x e
=
=∑ . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 135 
2 3 2002 1
2001 20021 2
2 22 2
...
ln ln ln ln
x xx x
e e e eA
x x x x
= + + + + . 
Bài 3 
1.Cho △ABC, ñường thẳng di ñộng d song song với BC, luôn cắt các cạnh AB, AC tại D, E tương ứng. 
Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC. Tìm quỹ tích tâm của hình chữ nhật DEHG. 
2.Cho hình chóp S.A1A2An (n ≥ 3). Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SAi tại Bi (i = 1, 2, , n). Biết hai ña 
giác A1A2An và B1B2Bn ñồng dạng với nhau. Chứng minh (P) // (A1A2An). 
Bài 4 
1.Có tồn tại hay không 2002 giá trị thực của a sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất 
2
22
21
log ( )
1a
a
xax
a
+
=
+
. 
2.So sánh hai số A = 2002 20022002 2002(1 log 2001) (1 log 2001)+ + − và B = 22002. 
Bài 5 
1.Giải phương trình nghiệm nguyên 2x3 + 5x2 + 8x – (y2 + y)(2x + 1) = -11. 
2.Chứng minh rằng không tồn tại mặt cầu nội tiếp hình ña diện có tính chất: Có thể sơn một số mặt của 
hình ña diện này sao cho bất cứ hai mặt cùng ñược sơn nào cũng không có cạnh chung và tổng số mặt 
ñược sơn nhiều hơn nửa tổng số các mặt của hình ña diện ñấy. 

 
155. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11A (2001) 
Bài 1 
1.Cho a ∈ (0; 1). Chứng minh phương trình ax = logax có nghiệm duy nhất. 
2.Cho (a – c)(b – c) > 0. Chứng minh phương trình ax + bx = cx có không quá một nghiệm. 
Bài 2 
1.Giải phương trình logsinx(2sinx – 2tanx) = logsinx(4 – 2cos2x + tan2x). 
2.Giải hệ 2 2
2 1 2 2 1
2
x y x y x y
x y y
 − + + + − = − −

+ ≤
. 
3.Chứng minh rằng phương trình x6 + x5 – x2 – x – 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 < |x| < 2. 
Bài 3 
1. Cho hàm số y = f(x)
g(x) trong ñó xf(x + 1) + 2g(x + 1) ≡ x
2
 + 7x + 2, f( 1
x
) – xg( 1
x
)≡ 
2
x 1
x
+
, f(0) = 2, 
g(0) = -1, f( 1
3
) = 7
3
, g( 1
3
) = - 1
3
. Tìm tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số ñã cho. 
2. Cho dãy (un) có u1 = a > 0, un+1= n
n
a.u
a+u
(n ∈N*). Tìm lim un. 
Bài 4 
1.Cho hình chóp ña giác ñều, ñáy là n – giác ñều nội tiếp trong ñường tròn bán kính r, mặt bên hợp với 
mặt ñáy một góc α. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích khối chóp tương ứng và khối cầu ngoại tiếp khối chóp. 
Tính tỉ số V:V’. 
2. Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (pi ) không ñổi. Tìm ñiểm M thuộc (pi ) sao cho 
|MA + MB + MC +MD| ñạt giá trị nhỏ nhất. Có bao nhiêu ñiểm M như thế? 
Bài 5 Cho parabol (Pm) y = x2 + 2(m +1)x + m. 
a) Tìm những ñiểm cố ñịnh mà (Pm) ñi qua với mọi m. 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 136 
b) Tìm quỹ tích ñỉnh của (Pm). 
c) Với m = 1, vẽ (P1). Chứng minh rằng bất kì ñiểm nào trên mặt phẳng tọa ñộ mà nằm dưới ñường thẳng 
y = - 13
4
ñều có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến với (P1) và hai tia tiếp tuyến xuất phát từ ñiểm ñó tới tiếp ñiểm 
tạo với nhau một góc nhọn. 

 
156. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12A (2001) 
Câu 1 
1. Giải phương trình 2 3 9 5 3log 2 log .log .log 2 log 1.x x x+ + = 
2. Giải hệ phương trình 
2 2 2
2 3
2 0
2 3 4 0
x y x y
x y x
 − + =

+ + − =
. 
Câu 2 
1. Cho a2 + b2 + c2 = 2, chứng minh |a + b + c – abc| ≤ 2. 
2. Cho a, b, c ≠ 0. Chứng minh 
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + + . 
3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 1( )
2 2 2 4a b c a b c a b c a b c
+ + ≤ + +
+ + + + + +
. 
Câu 3 
1. Cho hình chóp n – giác ñều, có R, r tương ứng là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp. 
Chứng minh rằng 1R
r
≥ + 1
os
n
c
pi
. 
2. Cho tứ diện ABCD, trên cạnh DC lấy ñiểm M sao cho (MAB) chia nhị dịện tạo bởi (ABC) và (ABD) 
của tứ diện thành hai phần có số ño bằng nhau. Số ño của góc phẳng nhị diện cạnh AB của tứ diện là α . 
Chứng minh rằng 2cos 1 1
ABM ABC ABDS S S
α
∆ ∆ ∆
= + . 
Câu 4 
1. Cho hàm f(x) liên tục trên [0; 1] và thỏa mãn hai ñiều kiện: 
(1) 1 ≤ f(x) ≤ 2, ∀x∈[0; 1]. 
(2) 
1
0
3( )
2
f x dx =∫ . 
Chứng minh rằng 
1
0
2 3
3 ( ) 4
dx
f x≤ <∫ . 
2. Cho hàm f(x) liên tục trên [0; 1] và thỏa mãn hai ñiều kiện: 
(1) 0 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x∈[0; 1]. 
(2) f(x) không ñồng nhất bằng 0 hoặc 1 trên [0; 1]. 
ðặt 
1
0
( )f x dx c=∫ . Chứng minh 
12 2
0
( )
2 2
c c
xf x dx c< < −∫ . 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 137 

 
157. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 THPT– VĨNH PHÚC (2003 - 2004) 
Câu 1 (3 ñiểm) Gải hệ phương trình 
3
3
3
3 4
2 6 6
3 9 8
x y x
y z y
z x z
 + = +

+ = +
 + = +
. 
Câu 2 (3 ñiểm) 
a. Chứng minh rằng với bất kì số thực p, q ta ñều có p2 + q2 + 1 > p(q + 1). 
b. Tìm số thực b sao cho p2 + q2 + 1 > bp(q + 1), ∀p, q ∈ R. 
Câu 3 (1 ñiểm) Giải phương trình nghiệm nguyên x3 = y3 + 2y2 +1. 
Câu 4 (3 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong ñường tròn (C) (AC không phải là ñường kính). Tiếp 
tuyến của (C) tại A và C cắt nhau ở P thỏa mãn PA2 = PB.PD và P không nằm trên ñường thẳng BD. 
Chứng minh rằng: 
a. Tam giác APD ñồng dạng với tam giác BPC. 
b. Giao ñiểm của AC và BD là trung ñiểm của AC. 

 
158. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10A (2009) 
Bài 1 
Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 -2x + 4y – 4 = 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
a. A = |2x + y – 7|. 
b. B = 2x + y – 7. 
c. C = 4x2 + y2 + 4xy -28x – 14y + 49. 
Bài 2 
a. Giải phương trình 4 2 9 5x x x− − − = − . 
b. Cho hai phương trình x2 + bx + c = 0 (1) và x2 – b2x + bc = 0 (2). Phương trình (1) có hai nghiệm thực 
x1 và x2, phương trình (2) có hai nghiệm thực x3 và x4 thỏa mãn x3 - x1 = x4 - x2 = 1. Xác ñịnh b và c. 
c. Giải phương trình nghiệm nguyên 3x – y3 = 1. 
Bài 3 
Cho bảng ô vuông kích thước 2009×2010, trong mỗi ô lúc ñầu ñặt một viên sỏi. Gọi T là thao tác lấy 
2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô ñó 1 viên sỏi ñưa sang ô bên cạnh (là ô có chung cạnh với ô có chứa 
sỏi). Hỏi sau hữu hạn bước thực hiện thao tác trên ta có thể ñưa hết số sỏi ở trên bảng về cùng một ô hay 
không? 
Bài 4 
 Trong mặt phẳng Oxy cho B( - m; 0), C(m; 0) cố ñịnh, m ≠ 0. A là ñiểm thay ñổi trên mặt phẳng thỏa 
mãn tung ñộ của A gấp 3 lần tung ñộ của tâm I ñường tròn nội tiếp ∆ABC. Tìm quỹ tích ñiểm I.