Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa
-   Lập hiệu A-B
-   Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B0
-   Kết luận AB
-   Xét trường hợp A=B khi nào
VD: CMR: 
với mọi a, b cùng dấu.
CM: Ta có:
a, b cùng dấu => ab>o =>   
Vậy 
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b ./.
Bài tập tương tự : CMR: 
với ab>1
Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp
-   Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
vì nên 
=>
Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0
VD: CMR: 
 với mọi x
CM:
Ta có: 
=> 
Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2
Bài tập tương tự:CMR: 
Phương pháp 3: Phương pháp so sánh
- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra đpcm.
Nếu 
VD: CMR: 
CM: 
=>
Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số
Cho 3 số dương a,b,c :
Nếu thì 
Nếuthì 
Nếu b,d>o thì từ 
VD: a,b,c là 3 số dương. CMR:
CM:
Do c>o =>          (3)
Tương tự ta có : (4)
                   và:    (5)
cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:
(đpcm)
Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:
CMR: 
Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng. 
Chú ý các BĐT sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
-
VD: Cho a,b là các số thực. CMR: 
CM:
Ta có: 
 (luôn đúng)
=>đpcm
Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực. CMR:
Phương pháp 6: Phương pháp làm trội
Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: 
là biểu diễn số hạng tổng quát về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau : 
 Lúc đó : 
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn là biểu diễn số hạng tổng quát về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau 
Lúc đó 
VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
a,
(k>1)
b,
CM:
a.
Với k>1 ta có 
Lần lượt thay k=2,3,..,n rồi cộng lại có:
=> đpcm
b.
Với mọi k>1 ta có:
Vậy :
Lần lượt thay k=2,3,...,n vào rồi cộng lại ta được:
Bài tập tương tự
CMBĐT: :
Phương pháp 7:Phương pháp lượng giác
Sử dụng điều kiện của biến
Đặt x=ksina với hoặc x=kcosa với 
VD: 
CM: Điều kiện:
. 
Đặt 
Khi đó:
với 
Bài tập tương tự: 
CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT:
Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác
Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c
                                                                                 |a-c|<b<a+c
                                                                                 |a-b|<c<a+b
VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR:
CM:
a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có :
Cộng vế với vế của BĐT trên ta được 
(đpcm)
Bài tập tương tự:
Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác. CMR:
với a<b<c
Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp
Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau :
+ Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)
+ Giả sử BĐT T(k) đúng
+ Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng
Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n
VD: CMR với n>2 ta có : 
CM:
Với n=3 ta có BĐT đúng
Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là:
Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM: 
Thật vậy, ta có:
Vậy BĐT đúng với mọi n
Bài tập tương tự:
Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi
Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :
Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2
Khi đó:          (1)
với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi 
VD:  
CMR:  Nếu thì 
CM:
Ta có: 
Vì 
và 
Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)= nên f(x) là hàm lõm trên và ta có BĐT 1
Bài tập tương tự:
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác, CMR:
Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm
Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.
Đặt y=f(x) y-f(x)=0              ( * ) 
Biện luận phương trình ( * ) theo y, => 
                                                 =>đpcm
VD: với mọi x
CM:
Đặt : có miền xác định D=R
=> có nghiệm
+, Với y=1=>x=0
+>Với y khác 1, ta có 
(đpcm)
Bài tập tương tự:
 CMR: với mọi x
Phương pháp 12: Dùng tam thức bậc 2
(*Định lí về dấu tam thức bậc 2:
Cho tam thứcbậc 2 :f(x)(a khác 0)
+ Nếu thì af(x)>0 với mọi x
+ Nếu thì với mọi x
Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi 
+Nếu lập bảng xét dấu
*Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:
 Cho:f(x)(a khác 0)
Nếu tồn tại sao cho af(x)<p thì f(x) có 2 nghiệm pb và 
Hệ quả: Nếu tồn tại sao cho thì f(x) có 2 nghiệm pb và trong 2 số có một số nằm ngoài khoảng hai nghiệm)
Dạng 1:Chứng minh mọi x
           Ta chứng minh 
VD: CMR: với mọi x,y
CM:Bđt cần Cm tương đương với
Đặt f(x)=VT
Ta có mọi y
mọi x,y. ( vì )
Bài tập tương tự: Cm các BĐT sau:
a, mọi x,y
b, mọi x,y,z
c, mọi x,y
d,
                                                           (Đề thi ĐHBK, 1988)
Phương pháp 13: Dùng đạo hàm
Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)
+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b]. Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)
+ Nếu f'(x)a thì f(x)<f(a)
VD: CMR : với mọi x khác 0
CM: đặt f(x)=. Khi đó f'(x)=
 * Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi . Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>
 * Nếu xf(0)=0 =>
Vậy với mọi x khác 0
 Bài tập tương tự: CMR vớithì 
Phương pháp 14: Kĩ thuật Cô-si ngược dấu:
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét BĐT Cô-si và một kĩ thuật đặc biêt- kĩ thuật Cô-si ngược dấu. Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ của BĐT Cô-si. Hãy cùng xem xét các ví dụ cụ thể sau:
VD1: Cho các số dương a,b,c thoả mãn Đk :a+b+c=3. CM BĐT:
LG:
Rõ ràng ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cô-si với mẫu số vì BĐT sẽ đổi chiều
Tuy nhiên, rất may mắn, có thể dùng lại BĐT đó, theo cách khác:
Ta đã sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số ở dưới mẫunhưng lại có được một BĐT thuận chiều. Nếu không biết cách sử dụng phương pháp " Ngược Cô-si" thì BĐT trên sẽ rất khó và dài!
Từ BĐT trên, xây dựng 2 BĐT tương tự với b,c rồi cộng cả 3 BĐT lại suy ra :
vì ta có . Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 ./.
VD2: CMR: với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
LG:
Áp dụng BĐT Cô-Si: 
xây dựng 3 BĐT tương tự với b,c,d rồi cộng vế các BĐT lại ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d.
Hãy cùng luyện tập vơí các bài toán sau:
1. Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a+b+c=0. CMR:
2. CMR: với mọi a,b,c,d dương có tổng bằng 4 thì