Những bài toán bất đẳng thức cơ bản trong Cosi

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI. 
Cho n nguyên và 2n ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
1
n
A x
x
= + 
Giải: 
1
1
1 1 1
... ( 1)
n
n
n n n n
x
n so
n
x x x x n
A n
n n n nx x n
+
+
  +
= + + + + ≥ + ≥ 
 


Dấu đẳng thức xảy ra khi 1
1 n
n
x
x n
n x
+= ⇔ = 
Giá trị nhỏ nhất của 
1
1
n n
n
A
n
+
+
= 
Cho n nguyên và 2n ≥ và 1nx k n+≥ > . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
1
n
A x
x
= + 
Giải: 
Với 1nx k n+≥ > 
1 2 3 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) 0 ... 0
n n n n n n
f x f k x k x k
x kx k x x k x k k− − − −
   
≥ ⇔ + − − ≥ ⇔ − + − + + + + ≥   
   
1 2 3 2 1
1 1 1 1 1
( ) 1 ... 0
n n n n
x k
xk x x k x k k− − − −
  
⇔ − − + + + + ≥  
  
1 2 3 2 1
( ) 1 1 1 1
... 0
n n n n
x k
xk
xk x x k x k k− − − −
  −
⇔ − + + + + ≥  
  
Ta có: 1 2
1 2 3 2 1 1 1 1
1 1 1 1
... n
n n n n n n n
n n
n xk
x x k x k k k n
+
− − − − − + −
+ + + + ≤ < = < 
Suy ra ( ) ( )f x f k≥ đúng với mọi 1nx k n+≥ > 
Giá trị nhỏ nhất của 
1
n
A k
k
= + khi x k= . 
Cách 2 : 
Nháp : 1
, 0
1 1
... ( 1) 1
n
n
n n
x
n so m
m
x x nx x n
A x n x
m m m m mx x
+
>
   
= + + + + − ≥ + + −   
   


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Ta chọn m sao cho: 1 11
n n
n
x k
m x kx
m x
+ +
 =

⇒ = =
=

Bài giải: 1
1 1 1 1 1
1
1 1
... ( 1) 1
n
n
n n n n n n n
x
n so
n
k
x x nx x n
A x n x
k k x k k x k
+
+ + + + +
+
   
= + + + + − ≥ + + −   
   


Vì 1nx k n+≥ > nên 1nn k +< suy ra: 
1
( 1) 1
1 ( )
n n n
n n
A k k f k
k k k+
 +
≥ + − = + = 
 
Cho hai số thực 0, 0x y≠ ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − . Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức : 
3 3
1 1
A
x y
= + 
Đề thi Đại học khối A năm 2006 
Giải: 
Xét ( ) ( )2 2 *x y xy x y xy+ = + − . 
Đặt 
1 1
,u v
x y
= = . 
Ta được ( )
2
2
2 2
2 2
1 1 1 1 1 3( )
( ) 3
4
u v
u v u v uv u v u v uv
x y xyx y
+
+ = + − ⇒ + = + − ⇒ + − + = ≤ . 
( )2 4( ) 0 0 4u v u v u v⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤ 
Khi đó : 
3 3 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 2 2
( )( ) ( )( ) 2x y x y x y xy x y x y xy x y xy
A
x y x y x y x y
+ + + − + + + +
= = = = 
2
2 2
1 1 2
( ) 16A u v
xyx y
⇒ = + + = + ≤ . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2u v= = hay 
1
2
x y= = . 
Cho , ,x y z là 3 số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
     
= + + + + +     
     
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
Đề thi Đại học khối B năm 2007 
Giải: 
     
= + + + + + = + + + + +     
     
2 2 21 1 1
2 2 2 2 2 2
x y z x y z x y z
P x y z
yz zx xy yz zx xy
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
( ) ( )   = + + + = + + + +   
   
2 2 2 2 2 21 1 1 1 11
2 2
P x y z x y z
xyz xyz xyz
2 2 23
3
2 2 2
1 1 9
9 .
2 2
P x y z
x y z
≥ = . 
Đẳng thức xảy ra khi = = = 1x y z . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
9
2
P 
Đề thi Đại học khối A năm 2009 
Cho , ,x y z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện =. . 1x y z .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( ) ( ) ( )+ + +
= + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
Đề thi Đại học khối A năm 2007 
Giải: 
≥ + + ≥ + +
+ + + + + +
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
x x xyz y y xyz z z xyz y yx x z z
P
y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y
Đặt: 

= − + + = +  
= + ⇒ = − + 
 
= +  = + −

1
( 2 4 )
2 9
1
2 ( 2 4 )
9
2 1
(4 2 )
9
x x a b c
a y y z z
b z z x x y y a b c
c x x y y
z z a b c
Khi đó: 
      − + + − + + −
≥ + + ≥ − + + + + + +             
2 2 4 2 4 4 2 2
6 4
9 9
a b c a b c a b c b a c c a b
P
a b c a c b a b c
. 
Hay ( )≥ − + + =2 6 4.3 3 2
9
P . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức của = 2P khi = = = 1a b c . 
Cho các số thực không âm ,x y thay đổi và thỏa mãn + = 1x y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức ( ) ( )= + + +2 24 3 4 3 25S x y y x xy . 
Đề thi Cao đẳng khối B năm 2009 
Giải: 
Nhận xét: vai trò giống nhau (đối xứng) của ,x y . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
( ) ( ) ( )= + + + = + + − + +3 3 2 2 2 2 2 212 16 34 12 16 34S x y x y xy x y x y xy x y xy 
Hay ( ) ( )   = + + − + + = − +   
   
2
2
2 2 1 19112 3 16 34 4
4 16
S x y x y xy x y xy xy 
Vì ,x y không âm và thỏa mãn + = 1x y suy ra 
 +
≤ ≤ = 
 
2
1
0
2 4
x y
xy 
 
⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ − + ≤ 
 
2
1 1 3 1 191 25
4 0 4
4 4 4 4 16 2
xy xy . 
Vậy giá trị lớn nhất của =
25
2
S khi = =
1
2
x y và giá trị nhỏ nhất của = 0S khi = =0, 1x y . 
Cho các số thực ,x y thay đổi và thỏa mãn ( )+ + ≥3 4 2x y xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( ) ( )= + + − + +4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y 
Đề thi Đại học khối B năm 2009 
Giải: 
( )
( )
( ) ( )
+ + ≥ 
⇒ + + + ≥ ⇒ + ≥
+ ≥ 
3
3 2
2
4 2
2 1
4
x y xy
x y x y x y
x y xy
 . 
( ) ( ) ( ) ( )= + + − + + = + + + + − + +4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 233 2 1 2 2 1
2
A x y x y x y x y x y x y x y 
( ) ( ) ( )= + + + − + +24 4 2 2 2 23 3 2 1
2 2
A x y x y x y 
Mà ( ) ( ) ( ) ( )+ = + − ≥ + − + ⇒ + ≥ +2 2 24 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 212
2
x y x y x y x y x y x y x y 
Khi đó ( ) ( ) ( )≥ + + + − + +2 22 2 2 2 2 23 3 2 1
4 2
A x y x y x y hay ( ) ( )≥ + − + +22 2 2 29 2 1
4
A x y x y 
Đặt ( ) += + ≥ ≥ ⇒ ≥ + ≥
22
2 2 2( ) 1 9 1, A – 2 1,
2 2 4 2
x y
t x y t t t t . 
Xét hàm số ( ) = +29 – 2 1
4
f t t t xác định và liên tục trên nửa khoảng 
 
+∞
 
1
;
2
. 
Ta có ( ) = ≥ − >9 9' – 2 1 0
2 4
f t t , ( )≥ ⇒1
2
t f t đồng biến trên nửa khoảng 
 
+∞
 
1
;
2
. 
Khi đó ( )
 
∈ +∞
 
 
= = = 
 1;
2
1 9
min min
2 16t
A f t f . Đẳng thức xảy ra khi =
1
2
t 
ĐIỂM RƠI TRONG BẤT DẲNG THỨC COSI 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Bài toán mở đầu : Cho , 0a b > và thỏa mãn 1a b+ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
1 1
21
P
aba b
= +
+ +
. 
Giải: 
Lời giải 1. Ta có: 
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
2 21 2 1 ( ) 1
P
aba b a ab b a b
= + ≥ = ≥ =
+ + + + + + +
Dấu " "= xảy ra 
2 2 21 2 ( ) 1 0
1 1
a b ab a b
a b a b
 + + = − + = 
⇔ ⇔ 
+ = + =  
. Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại minP . 
Lời giải 2. Ta có: 
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
6 3 3 31 6 1 ( ) 1 4
P
ab ab ab aba b a ab b a b ab
= + + ≥ + = +
+ + + + + + + +
Mặt khác
2
1
2 4
a b
ab
 +
≤ = 
 
. Vậy 
2 2
4 1 8
3
2 6
2 2
P
a b a b
≥ + ≥
   + +
+    
   
. 
Dấu " "= xảy ra 
2 21 3
1
2
1
a b ab
a b a b
a b
 + + =

⇔ = ⇔ = =
 + =
. 
Lời bình: lời giải 1. và lời giải 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
. Tại sao 
trong cùng một bài toán mà có đến hai đáp số ? Do đâu mà lời giải 2 tại sao lại tách 
1 1 1
2 6 3ab ab ab
= + ?. Đó 
chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. 
Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy 
ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên. 
Cho , 0a b > và thỏa mãn 1a b+ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
1 1
4P ab
aba b
= + +
+
. 
Giải: 
Do P là biểu thức đối xứng với ,a b , ta dự đoán minP đạt tại 
1
2
a b= = . 
Ta có: 
2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
4 2 4 . 7
2 4 4 2( )
4
2
P ab ab
ab ab ab aba b a b a b
 
= + + + + ≥ + + ≥ 
+ +   +
 
 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Dấu " "= xảy ra 
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b
 + =


⇔ = ⇔ = =

+ =
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7P = đạt tại 
1
2
a b= = . 
Thao khảo hai lời giải khác : 
Lời giải 1: 
( )2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 1 1
4 2 4 . 4 2 6
4 4 2 4 4 4
P ab ab
ab ab ab ab ab ab aba b a b
 
= + + + + ≥ + ≥ + + = + 
+   +
Dấu " "= xảy ra 
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b
 + =


⇔ = ⇔ = =

+ =
. Thay 
1
2
a b= = vào ta được 7P ≥ . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7P = đạt tại 
1
2
a b= = . 
Lời bình 1: 
Qua cách giải trên ta đã chọn đúng dấu đẳng thức xảy ra khi 
1
2
a b= = nên dẫn đến việc tách các số hạng và 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7P = đạt tại 
1
2
a b= = là đúng , nhưng bước cuối cùng ta đã làm sai , ví dụ 
( )21 a a a− + ≥ , đẳng thức xảy ra khi ( )21 min 1 ?.a a a a = ⇒ − + =   
Lời giải 2: 
( )2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 22
P ab ab ab
ab ab ab aba b a b ab a b
 
= + + + ≥ + + = + + 
+ + +  +
. 
 Mặt khác 
1 1
4 2 .4 2 2
2 2
ab ab
ab ab
+ ≥ = . Vậy ( )4 2 2 min 2 2 2P P≥ + ⇒ = + 
 Lời bình 2: 
Thoạt nhìn thấy bài toán đã giải đúng . Thực tế thì sao? . Việc tách 
1 1 1
2 2ab ab ab
= + để làm xuất hiện đẳng 
thức ( )22 2 2a b ab a b+ + = + . 
( ) 1min 2 2 2 4
2
1
a b
P ab
ab
a b
 =


= + ⇔ =

+ =
 . Hệ vô nghiệm. Đẳng thức không xảy ra , do đó không tồn tại minP . 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 
3
2
a b c+ + ≤ . Chứng minh rằng : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
1. 
1 1 1 15
2
a b c
a b c
+ + + + + ≥ . 
2. 2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 17
2
a b c
a b c
+ + + + + ≥ . 
3. 2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 17
2
a b c
b c a
+ + + ≥+ + . 
Giải: 
1. 
1 1 1 15
2
a b c
a b c
+ + + + + ≥ 
Ta có thể phạm sai lầm: 3 3
3 3
1 1 1 1 1
3 3 6 . 6a b c abc abc
a b c abc abc
+ + + + + ≥ + ≥ = 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1a b c= = = nhưng khi đó 33
2
a b c+ + = > ( trái giả thiết ) . 
Phân tích bài toán : 
Từ giả thiết , ,a b c dương thoả mãn 
3
2
a b c+ + ≤ , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 
bình nhân. 3 3
3 1
3
2 2
a b c abc abc≥ + + ≥ ⇒ ≤ . Đặt: 3
1
2
x abc= ≤ 
Khi đó : 3
3
1 1 1 1 1
3 3 3a b c abc x
a b c xabc
 
+ + + + + ≥ + = + 
 
. Dự đoán đẳng thức xảy ra khi 
1
2
x = 
Ta chọn 0α > sao cho: 2
1
12
1 4
x
x
x
x
α
α

=
⇒ = =
 =

. 
Bài giải: 
1 1 1 1 1 1 9 15
3 3 4 3 3.2 4 . 9 12
2 2
a b c x x x x x
a b c x x x
   
+ + + + + ≥ + ≥ + − ≥ − = − =   
   
Đẳng thức xảy ra khi 
1
2
a b c= = = . 
2. 2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 17
2
a b c
a b c
+ + + + + ≥ . 
Phân tích bài toán : 
Từ giả thiết , ,a b c dương thoả mãn 
3
2
a b c+ + ≤ , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 
bình nhân. 3 3
3 1
3
2 2
a b c abc abc≥ + + ≥ ⇒ ≤ . Đặt: 3
1
2
x abc= ≤ ,đẳng thức xảy ra khi 
1
2
x = . 
Xét 2
2
1
x
x
+ , chọn 0α > sao cho: 
4
2
2
1
12 16
1
x
xx
x
α
α

=
⇒ = =
 =

 . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, trong đó 16 số là 
2
1
16x
 và số 2x : 
15
16
17
2 2 2 217
2 2 2 2 32
17
1 1 1 1 1 ... ( ) ( )
1 d
81
1 1 1 1 1 1 1 1
abc
a b c d a b c d
⇒ ≥
+ + + + + + + +
1
81
abcd⇒ ≤ 
Tổng quát : 
Cho :
1 2 3
1 2 3
, , ,............., 0
1 1 1 1
......... 1
1 1 1 1
n
n
x x x x
n
x x x x





>
+ + + + ≥ −
+ + + +
Chứng minh rằng : 
( )1 2 3 1
1
........... n n
n
x x x x
−
≤ . 
Bài tương tự 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 3a b c+ + = . Chứng minh rằng : 
.a
2 2 2
3
21 1 1
a b c
b c a
+ + ≥
+ + +
. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
.b
2 2 2
3
2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
. 
.c
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
. 
Hướng dẫn : 
.a
2
3
3( ) ( ) 3
a b c
ab bc ca a b c ab bc ca



+ + =
+ + ≤ + + ⇒ + + ≤
2 2 2
2 2 2
2
2
(1 )
1 1 1
21
1 2
a b aba ab
a a ab
b b b a
b
b b


⇒


+ −= = −
+ + + ≥ −
++ ≥
Tương tự : 
2 2
2 2 2 2
,
2 21 1 1 1
b bc bc c ca ca
b b c c
c c a a
= − ≥ − = − ≥ −
+ + + +
Cộng vế theo vế : 
2 2 2
3 3
3
2 221 1 1
a b c ab bc ca
a b c
b c a
≥ − =
+ ++ + ≥ + + −
+ + +
. 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn . . 1abc = . Chứng minh rằng : 
.a
3 3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + + + + +
. 
.b
1 1 1
1
2 2 2a b c
+ + ≤
+ + +
Hướng dẫn : 
.a 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 1a b c+ + = . Chứng minh rằng : 
2 2 2 1
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Giải : 
2 2 2 2 2 21 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a b c a b c
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + ≥ ⇔ + + + + + ≥ + + +
+ + + + + +
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
2 2 2( ) ( ) ( ) 1
1
2
a a b c b b c a c c a b
b c c a a b
+ + + + + +⇔ + + ≥ +
+ + +
( ) ( ) ( ) 3
2
a a b c b b c a c c a b
b c c a a b
+ + + + + +
⇔ + + ≥
+ + +
3
2
a b c
b c c a a b
⇔ + + ≥
+ + +
 vì 1a b c+ + = . 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 1a b c+ + = . Chứng minh rằng : 
.a
1
2 2 2 4
ab bc ca
a b c b c a c a b
+ + ≤
+ + + + + +
. 
Hướng dẫn : 
.a Dùng bất đẳng thức 
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
. 
Cho 3 số thực dương , ,a b c . Chứng minh rằng : 
.a ( )
3 3 3 1
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c
a b c
a b b c b c c a c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +
.b
3 3 3 1
( )
( ) ( ) ( ) 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ + +
Hướng dẫn : 
.a Cách 1 :
3
3
3
3
( )( ) 8 8 4
3
( )( ) 8 8 4
3
( )( ) 8 8 4
a a b b c
a
a b b c
b b c c a
b
b c c a
c c a a b
c
c a a b









+ ++ + ≥
+ +
+ ++ + ≥
+ +
+ ++ + ≥
+ +
.b Cách 1: 
3
3
3
4
2 ( ) 6
( )
4
2 ( ) 6
( )
4
2 ( ) 6
( )
a
b c a a
b c a
b
c a b b
c a b
c
a b c c
a b c









+ + + ≥
+
+ + + ≥
+
+ + + ≥
+
Cách 2: 
3
3
3
8
( ) ( ) 6
( )( )
8
( ) ( ) 6
( )( )
8
( ) ( ) 6
( )( )
a
a b b c a
a b b c
b
b c c a b
b c c a
c
c a a b c
c a a b









+ + + + ≥
+ +
+ + + + ≥
+ +
+ + + + ≥
+ +
Cách 2: 
3
3
3
3
( ) 2 4 2
3
( ) 2 4 2
3
( ) 2 4 2
a b c a
a
b c a
b c a b
b
c a b
c a b c
c
a b c









++ + ≥
+
++ + ≥
+
++ + ≥
+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Cho 3 số thực dương , ,x y z thoả : 3x y z+ + ≥ .Tìm GTNN của 
2 2 2
A
x y z
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
( )22 2 2 x y zx y z
x yz y zx z xy x y z yz zx xy
+ +
+ + ≥
+ + + + + + + +
. 
Ta có : yz zx xy x y z+ + ≤ + + . 
Suy ra : 
( )22 2 2 3
2 2
x y zx y z x y z
x y z x y zx yz y zx z xy
+ + + ++ + ≥ = ≥
+ + + + ++ + +
Đẳng thức xảy ra khi: 
3
1
x y z
x y z x y z
x y z
x yz y zx z xy








+ + =
= = ⇔ = = =
= =
+ + +
Cho ba số dương , ,x y z thỏa mãn: 2 2 2 3x y z+ + = .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
5 5 5
4 4 4
3 3 3 3 3 3
x y z
S x y z
y z z x x y
= + + + + +
+ + +
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số ta có : 
5 3 2 4
3
3 2
3
4 2 2
x y z x
x
y z
+
+ + ≥
+
tương tự 
5 3 2 4 5 3 2 4
3 3
3 2 3 2
3 3
,
4 2 2 4 2 2
y z x y z x y z
y z
z x x y
+ +
+ + ≥ + + ≥
+ +
4
21
2 2
x
x+ ≥ tương tự 
4
21
2 2
y
y+ ≥ ,
4
21
2 2
z
z+ ≥ 
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được 
( ) ( )
5 5 5
4 4 4 3 3 3 2 2 2
3 2 3 2 3 2
5 3 3
4 4 2
x y z
S x y z x y z x y z
y z z x x y
= + + + + + ≥ + + + + + −
+ + + 
Mà 3 3 21 3x x x+ + ≥ hay 3 22 1 3x x+ ≥ tương tự 3 22 1 3y y+ ≥ , 3 22 1 3z z+ ≥ 
Do đó , ( ) ( )3 3 3 2 2 2 3 3 3 92 3 3 6 3
2
x y z x y z x y z S+ + ≥ + + − = ⇒ + + ≥ ⇒ ≥ 
Dấu bằng xảy ra 1x y z⇔ = = = 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Cho 3 số thực dương , ,x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
(2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 )
M
x y z
y z z y z x x z x y y x
= + +
+ + + + + +
. 
Giải : 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 213 25(2 3 )(2 3 ) 6 13 6
2 2
y z z y y z yz y z y z y z=+ + = + + ≤ + + + + 
2 2
2 2
2
(2 3 )(2 3 ) 25( )
x x
y z z y y z
⇒ ≥
+ + +
Tương tự : 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
,
(2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 )25( ) 25( )
y y z z
z x x z x y y xz x x y
≥ ≥
+ + + ++ +
. 
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1
; ; min
25 2525( ) 25( ) 25( )
M
x y z
M f x y z
y z z x x y
+ +≥ ⇒ ≥ ⇒ =
+ + +
. 
Với , ,x y z là số dương và . . 1x y z ≥ .Chứng minh rằng: 3
2
x y z
x yz y zx z xy
+ + ≥
+ + +
 Hướng dẫn. 
Đặt , ,a x b y c z= = = 
Bài toán trở thành : , ,a b c là số dương và . . 1a b c ≥ . Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
3
2
a b c
a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +
Dễ thấy : 
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
*
a b ca b c
a bc b ac c ab a bc b ac c ab
+ +
+ + ≥
+ + + + + + + +
Bình phương hai vế bất đẳng thức: 
( ) ( ) ( )
2
2 4
2
22 2 2
2 2 2
*
a b c a b c
VT
a bc b ac c ab a bc b ac c ab
 + + + + ≥ = + + + + +  + + + + +     
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
4 4 4
2 2 2 2 23( ) 3 3 3 3
a b c a b c a b c
a b c ab bc ac a b c ab bc ac a b c
+ + + + + +
≥ ≥ ≥
   + + + + + + + − + + + + −      
( Vì ( ) ( )2 233 3 t 9ab bc ac abc a b c+ + ≥ ≥ ⇒ = + + ≥ ) 
Ta có: ( )
2
23 15 3 3 3.9 15 3 3 9 92 . *
3( 3) 12 12 3 12 12 3 2 2
t t t t
VT
t t t
+ − + −
= + + ≥ + = ⇒ ≥
− − −
Dấu bằng xảy ra khi 1x y z= = = ⇒ điều phải chứng minh 
Tổng quát : ta có bài toán sau: với ( )1 2, ,..., 2nx x x n ≥ là số dương và 1 2. ... 1nx x x ≤ 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Cmr: 1 2
1 2 3 2 3 4 1 2 1
...
2. ... . ... . ...
n
n n n n
x x x n
x x x x x x x x x x x x
−
+ + + ≥
+ + +
. 
Cho 3 số thực dương , ,a b c . Chứng minh rằng : 
.a
1 1 1 1 1 1
3 3 3 4 4 4a b b c c a a b c
+ + ≤ + +
+ + +
. 
.b
1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 4 4a b c b c a c a b a b c
+ + ≤ + +
+ + + + + +
. 
.c
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
2 a b ca b a c b c b a c a c b
 
 
 
+ + ≤ + +
+ + + + + +
. 
.d 0
a d b b b c c a
d b b c c a a d
− − − −+ + + ≥
+ + + +
Cho [ ]0;1; ;x y z ∈ . Chứng minh rằng : ( ) 1 1 1 812 2 2
2 2 2 8
x y z
x y z
 
 
 
+ + + + < 
Giải : 
Đặt [ ]1;22 , 2 , 2 , ,x y za b c a b c= = = ⇒ ∈ 
Bài toán trở thành : Cho [ ]1;2, ,a b c∈ . Chứng minh rằng : ( ) 1 1 1 81
8
a b c
a b c
 
 
 
+ + + + < . 
Thật vậy : 
( ) ( ) ( )1 1 1 81 2 2 2 81 2 2 2 9
8 4 2
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
    
     
     
+ + + + < ⇔ + + + + < ⇔ + + + + < 
( ) ( ) 2 2 21 2 1 2 0 3 2 0 2 3 3a a a a a a a a
a
≤ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ 
Tương tự :
2 2
3, 3b c
b c
+ ≤ + ≤ 
( ) ( )2 2 2 9 1a b c
a b c
 
 
 
⇒ + + + + + ≤ 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân : 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2a b c a b c
a b c a b c
   
   
   
⇒ + + + + + ≥ + + + + 
Từ ( )1 và ( )2 suy ra ( ) ( ) ( )
4
2 2 2 2 2 2 81
2 9 3a b c a b c
a b c a b c
   
   
   
+ + + + ≤ ⇔ + + + + ≤ 
Đẳng thức không xảy ra . ( ) ( ) 1 1 1 813
8
a b c
a b c
 
 
 
⇔ + + + + < (đpcm). 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Cho , ,a b c là 3 số dương thoả mãn 3ab bc ca abc+ + = . Chứng minh rằng: 
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3
4
ab bc ca
a b a c b c b c b a c a c a c b a b
+ + ≤
+ + + + + + + + +
Trích  
Giải : 
1 1 1
3 3ab bc ca abc
a b c
+ + = ⇔ + + = 
Với , 0a b > ta luôn có ( )3 3 , 1 1 1 1.
4
a b ab a b
a b a b
 
 
 
+ ≥ + ≤ +
+
và với mọi ,a b ta luôn có 2 2 2a b ab+ ≥ . 
3 3 2 2 2 2 2 2
1 1
4 ( )( ) ( ) ( )
ab ab ab
ab a ba b a c b c ab a b a b c a b c
 
≤   
 
≤ +
++ + + + + + +
2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 4 2( ) ( ) ( )
ab ab
a b a b cab a b a b c a b c
   ⇒ ≤ + ≤ +   
+ + + + + + 
( )3 3 2 2
1 1 1 1 1
. 1
16 8
ab
a b ca b a c b c
 ≤ + + 
 + + +
Tương tự : 
( )3 3 2 2
1 1 1 1 1
. 2
16 8
bc
b c ab c b a c a
 ≤ + + 
 + + +
( )3 3 2 2
1 1 1 1 1
. 3
16 8
ca
c a bc a c b a b
 
 
 
≤ + +
+ + +
Cộng vế theo vế đẳng thức ( )1 , ( )2 và ( )3 ta được đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi 1a b c= = = . 
Cho tam giác ABC có 3 cạnh : , ,AB c BC a AC b= = = thoả mãn 3 3 3a b c= + .Chứng minh rằng : 
A là góc nhọn và thoả : 0 060 90A< < . 
Giải : 
23
2 23 3
3 3 3 23
0 1, , 0 0
0 0 1
b bb
a b c b a b c b ca aa
c a a a ac aa b c c c
a
a a

                      
                           
   
 < <
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ + < +
< <= + < <
<
0
3 3 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 2 2
0
2
1 cos 90
bc
b c b c b c b c a
a b c A A
a a a
+ + + + −⇒ ⇒ < 
( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 2 2 2 2 2a b c b c b bc c a b bc c a b bc c= + = + − + > − + ⇒ > − + 
0
2 2 2 2 2 2 1
2 2
1 cos 60
bc bc
b c a b c a
A A
+ − + −⇒ 
Vậy 0 060 90A< < . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện : 
2 2 2
1 1 1 1 1 1
15 10 2007
ab bc caa b c
   
+ + = + + +   
   
Tìm giá trị lớn nhất của 
2 2 2 2 2 2
1 1 1
5 2 2 5 2 2 5 2 2
P
a ab b b bc c c ca a
= + +
+ + + + + +
Áp dụng đẳng thức : 
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
. Đẳng thức xảy ra khi x y z= = . 
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
5 2 2 (2 ) ( ) (2 )
2 95 2 2
a ab b a b a b a b
a b a a ba ab b
 
+ + = + + − ≥ + ⇒ ≤ ≤ + + 
+  + +
. 
 Đẳng thức xảy ra khi a b= 
Tương tự : 
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 95 2 2
1 1 1 1 1 1
2 95 2 2
b c b b cb bc c
c a c c ac ca a
  
≤ ≤ + +  +  + +   ≤ ≤ + +  +  + +
Do đó 
1 1 1 1
3
P
a b c
 
≤ + + 
 
Mặt khác : 
2
2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1
3
1 1 1 1 1 1 1
3
a b ca b c
ab bc ca a b c
  
 + + ≥ + + 
  
  + + ≤ + + 
 
Mà giả thiết :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
15 10 2007
ab bc caa b c
   
+ + = + + +   
   
Do đó : 
1 1 1 6021
5a b c
+ + ≤ 
Đẳng thức xảy ra khi : 
1 6021
1 1 1 6021 3 5
5
a b c
a b c
a b c
 = =

⇔ = = =
+ + =

Vậy max
1 6021
3 5
P = , khi 
1 6021
3 5
a b c= = =