Ôn tập Hình học 10 - Chương 1: Vectơ

Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
1 
CHƯƠNG I: VECTƠ 
I. Định nghĩa: 
1. Vectơ AB là một đoạn thẳng có định hướng từ A đến B, kí hiệu AB
JJJG
. 
a) A: điểm gốc. B 
b) B: điểm ngọn. 
c) Đường thẳng AB: giá của AB
JJJG
. A 
2. Phương của AB
JJJG
: tập hợp các đường thẳng song song với đường thẳng AB, hoặc trùng với đường 
thẳng AB. 
3. Hướng của AB
JJJG
: hướng (chiều) từ A đến B theo phương của AB
JJJG
. 
4. Môđun của AB
JJJG
, kí hiệu AB
JJJG
 là độ dài của đoạn thẳng AB. 
5. Vectơ không, kí hiệu 0
G
, là vectơ có môđun bằng 0 (điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau). 0
G
 có 
phương và hướng tùy ý. 
II. Vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng: B 
 1 2 3d // d // d (d1, d2, d3 cùng phương) E D 
a) AB
JJJG
 và CD
JJJG
 cùng phương, cùng hướng. A F 
b) AB
JJJG
 và EF
JJJG
 cùng phương ngược hướng. C 
III. Vectơ bằng nhau, đối nhau, tự do: 
1. Vectơ bằng nhau: 
AB và CD cùng phương
AB CD AB và CD cùng hướng
AB CD
⎧⎪⎪= ⇔ ⎨⎪ =⎪⎩
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJJGJJJG 
2. Vectơ đối nhau: 
AB và EF cùng phương
AB và EF đối nhau AB và EF ngược hướng
AB EF
⎧⎪⎪⇔ ⎨⎪ =⎪⎩
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJGJJJG 
 Kí hiệu: AB EF; AB BA= − = −JJJG JJJG JJJG JJJG 
3. Vectơ tự do: là các vectơ bằng nhau a b c...= = với gốc tùy ý. 
IV. Phép cộng và trừ vectơ: 
1. Tổng của hai vectơ: c
G
a) Định nghĩa: OA a, AB b,OB c= = =JJJG G JJJG G JJJG G bG bG 
 Nếu OB OA AB= +JJJG JJJG JJJG thì c a b= +G G G . aG 
b) Quy tắc ba điểm của phép cộng vectơ: 
 O, A, B bất kỳ: OB OA AB OB OA AC CD DB= + ⇒ = + + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG aG 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
2 
c) Tính chất của phép cộng vectơ: 
 ( ) ( )
a b b a
a b c a b c
+ = +
+ + = + +
G G G G
G G G G G G ( )
a 0 0 a a
a a 0
+ = + =
+ − =
G G G G G
G G G 
d) Quy tắc hình bình hành: A C 
 OA OB OC
OACB là hình bình hành
+ =JJJG JJJG JJJG 
2. Hiệu của hai vectơ: O B 
a) Định nghĩa: ( )a b a b− = + −G G G G A 
b) Quy tắc ba điểm của phép trừ vectơ: 
 O, A, B bất kỳ: OB OA AB− =JJJG JJJG JJJG 
 O B 
V. Phép nhân vectơ: 
1. Định nghĩa: Cho a 0, m R, m 0≠ ∈ ≠G G 
b cùng hướng với a nếu m>0
ma b : b ngược hướng với a nếu m<0
b ma
⎧⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩
G G
G G G G
G G 
 Quy ước: 
m 00.a 0, a
ma 0
a 0m.0 0, m
⎫ =⎧= ∀ ⎪ ⎪⇒ = ⇔⎬ ⎨ =⎪= ∀ ⎪ ⎩⎭
G G G G GG G 
2. Tính chất: 
( ) ( )
( )
m. n.a m.n .a
m n .a ma na
=
+ = +
G G
G G G 
( )
( ) ( )
m a b ma mb
1 .a 1. a a
+ = +
− = − = −
G G G G
G G G 
3. Vectơ cùng phương: a và b cùng phương, b 0 có m R duy nhất sao cho a mb≠ ⇔ ∈ =G G G G G . 
Chú ý: 
1. ( )O, A, B thẳng hàng OA và OB cùng phương OA kOB k R⇔ ⇔ = ∈JJJG JJJG JJJG JJJG . 
2. M là tr ung điểm MA MB 0⇔ + =JJJG JJJG G . 
3. AM là tr ung tuyến của ABC AB AC 2AMΔ ⇔ + =JJJG JJJG JJJJG 
4. G là tr ọng tâm của ABC GA GB GC 0Δ ⇔ + + =JJJG JJJG JJJG G . 
5. 1 2 1 2OA OA A A , O= ⇒ ≡ ∀
JJJJG JJJJG
BÀI TẬP 
1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH
JJJG
 và FG
JJJG
bằng vectơ AD
JJJG
, chứng minh 
rằng CDGH là hình bình hành. F G 
Hướng dẫn: 
Vì ABCD và ABEF là hình bình hành E H 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
3 
nên: AB DC FE
GH DC
gt : FG EH FE GH
⎫= = ⎪⇒ =⎬= ⇒ = ⎪⎭
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG A D 
Do G, H, D, C không thẳng hàng. Vậy CDGH là hình bình hành. B C 
2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Tính các vectơ sau: 
a) v AB DC BD CA= + + +G JJJG JJJG JJJG JJJG . 
b) u AB CD BC DA= + + +JG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Hướng dẫn: 
a) ( ) ( )v AB DC BD CA AB BD DC CA AD DA 0= + + + = + + + = + =G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . 
b) ( ) ( )v AB CD BC DA AB BC CD DA AC CA 0= + + + = + + + = + =G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . 
3. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB CD AC DB− = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Hướng dẫn: 
 AB CD AC DB AB CD AC BD AB BD AC CD AD AD− = + ⇔ − = − ⇔ + = + ⇔ =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (đẳng thức đúng). 
 Cách khác: ( ) ( )AB CD AC CB CB BD AC BD AC DB− = + − + = − = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
4. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. 
 Chứng minh OA OB OC OD 0+ + + =JJJG JJJG JJJG JJJG G . 
Hướng dẫn: 
 O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD: 
 ( ) ( )OA OB OC OD OA OC OB OD 0+ + + = + + + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G 
5. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: AD BE CF AE BF CD+ + = + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Hướng dẫn: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
AD BE CF AE ED BF FE CD DF
 AE BF CD ED DF FE
 AE BF CD
+ + = + + + + +
= + + + + +
= + +
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
6. Cho hai vectơ ( )a và b a, b 0≠G G . Hãy tìm mối quan hệ giữa a và bG G nếu có một trong hai điều kiện 
sau: a b a b+ = +JG JJGG G ; a b a b+ = −G G G G . A 
Hướng dẫn: a
G
 b
G
 Nếu a b a b+ = +JG JJGG G O c a b= +G G G B 
 Ta có: OB OA AB A nằm giữa O và B a, b cùng hướng= + ⇒ ⇒ G G 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
4 
 Nếu a b a b+ = −G G G G A bG B 
 Ta có: OB CA= aG 
 Hình bình hành OABC có hai đường chéo bằng nhau 
 OABC là hình chữ nhật OA OC⇒ ⇒ ⊥ 
 a b⇒ ⊥G G O C 
7. Cho tứ giác ABCD, I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. 
 Chứng minh AB CD 2IJ+ =JJJG JJJG JJG . 
Hướng dẫn: A 
 ( ) ( )AB CD AI IJ JB CI IJ JD+ = + + + + +JJJG JJJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG 
 ( ) ( )2IJ AI CI JB JD= + + + +JJG JJG JJG JJG JJG B D 
 2IJ= JJG 
 C 
8. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
 Chứng minh: AM BN CP 0+ + =JJJJG JJJG JJJG G . 
Hướng dẫn: 
 ( ) ( ) ( ) 1 1AM BN CP AB BM BC CN CB BP AB BC MC CN AB MN 02 2+ + = + + + + + = + + + = + =JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . 
 Vì 1 1BC CB 0, BP BA, BM MC, MN BA
2 2
+ = = = =JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Cách khác: Dùng quy tắc trung điểm 
( )
( )
( )
1AM AB AC
2
1BN BA BC đpcm
2
1CP CA CB
2
⎧ = +⎪⎪⎪ = + ⇒⎨⎪⎪ = +⎪⎩
JJJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
9. Cho tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. 
 Chứng minh rằng ( )1MN AB DC2= +JJJG JJJG JJJG . 
 Hướng dẫn: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1MN MB MC MA AB MD DC
2 2
1 1 1 MA MD AB DC AB DC
2 2 2
= + = + + +
= + + + = +
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
5 
10. Cho hai vectơ a và b
G G
. Chứng minh rằng: 
a) a b a b+ = +G G G G 
b) a b a b+ = −G G G G 
 Khi nào xảy ra dấu đẳng thức? 
Hướng dẫn: 
a) Dựng OA a, AB b,OB a b= = = +JJJG G JJJG G JJJG G G . 
 Với ba điểm O, A, B luôn có OB OA+AB hay a b a b≤ + ≤ +G G G G . 
 Dấu " " xảy r a khi O, A, B thẳng hàng và A nằm tr ong OB= . 
b) Dựng OA a, OB b. Ta có: a b OB OA BA= = − = − =JJJG G JJJG G G G JJJG JJJG JJJG . 
 Suy r a: a b AB AB OA OB a b− = = ≥ − = −G G JJJG G G . 
 Dấu " " xảy r a khi a // b= G G . 
11. Cho đoạn thẳng AB và hai số ,α β không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: 
a) Nếu 0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho MA MB 0α + β ≠ α + β =JJJG JJJG G . 
b) Nếu 0 thì không tồn tại điểm M sao cho MA MB 0α + β = α + β =JJJG JJJG G . 
c) Nếu 0 thì v MA MB không đổi, không phụ thuộc vị tr í điểm Mα + β = = α + βG JJJG JJJG . 
d) ( )Nếu 0 thì với mọi điểm M, ta có: MA MB MI,α +β ≠ α + β = α + βJJJG JJJG JJJG trong đó I là điểm xác định 
bởi IA IB 0α +β =JJG JJG G . 
e) Nếu 0, M và N xác định bởi MN MA MBα +β ≠ ∀ = α + βJJJG JJJG JJJG . 
 Chứng minh rằng đường thẳng đi qua một điểm cố định. 
 Hướng dẫn: 
a) ( ) ( )MA MB 0 MA AB AM 0 AM AB AM ABβα + β = ⇔ −α +β − = ⇔ α+β = β ⇔ = α+βJJJG JJJG G JJJG JJJG JJJJG G JJJJG JJJG JJJJG JJJG 
 tồn tại duy nhất M⇒ . 
b) Giả sử M∃ sao cho ( )MA MB 0 MA MB 0 MA MB 0α + β = ⇒ α −α = ⇔ α − =JJJG JJJG G JJJG JJJG G JJJG JJJG G BA 0⇒ α =JJJG G 
 0 0⇒ α = ⇒ β = : trái giả thiết. Vậy không tồn tại M thỏa yêu cầu bài toán. 
c) v MA MB BA là vectơ không đổi.= α +β = αG JJJG JJJG JJJG 
d) ( ) ( ) ( ) ( )MA MB MI IA MI IB MI IA IBα + β = α + + β + = α + β + α +βJJJG JJJG JJJG JJG JJJG JJG JJJG JJG JJG 
 Vậy ( )MA MB MI hay MI MA MBα βα + β = α + β = +α + β α +β
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
. 
e) Đặt ( )MN MA MB MN MI MN // MI M, N, I thẳng hàng= α + β ⇒ = α+β ⇒ ⇒JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Vậy đường thẳng MN luôn qua điểm I cố định. 
12. Cho tam giác ABC. Gọi A1, B1, C1 là các điểm xác định bởi 1 12A B 3A C 0+ =
JJJJG JJJJG G
, 1 12B C 3B A 0+ =
JJJJG JJJJG G
. 
Chứng minh rằng tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm. 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
6 
Hướng dẫn: 
 Giả thiết ta có: 
 ( ) ( )11 1 1 1 1 1
1
2GB 3GC 5GA
2GC 3GA 5GB 5 GA GB GC 5 GC GA GB GG 0 hay G G
2GA 3GB 5GC
⎫+ = ⎪⎪+ = ⇒ + + = + + ⇒ = ≡⎬⎪+ = ⎪⎭
JJJG JJJG JJJJG
JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G
JJJG JJJG JJJJG . 
 Trong đó G là trọng tâm tam giác ABC, G1 là trọng tâm tam giác A1B1C1. 
13. Cho hai vectơ a, b khác 0
G G G
 và không cùng phương. Gọi u, v
JG G
là hai vectơ định bởi 1 1u a b= α + β
JG G G
, 
2 2v a b= α + β
G G G
. Chứng minh rằng 1 2 1 2u v và = ⇔ α = α β = β
JG G
, còn u, v
JG G
 cùng phương 1 2 2 1 0⇔ α β −α β = . 
 Hướng dẫn: 
• ( ) ( )1 1 2 2 1 2 2 1u v a b a b a b= ⇔ α +β = α + β ⇔ α −α = β −βJG G G G G G G G (1) 
Điều này vô lý nếu 1 2 2 10 hoặc 0α −α ≠ β −β ≠ . 
Vậy ( ) 1 2 2 1 1 2 1 21 0 và ⇔ α −α = = β −β ⇒ α = α β = β . 
• Ta có 2 21 2 1 1u và v cùng phương k ,k R; k k 0⇔ ∃ ∈ + >
JG G
Sao cho ( ) ( ) 1 1 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
k k 0
k u k v 0 k k a k k b 0
k k 0
α + α =⎧+ = ⇔ α + α + β + β = ⇔ ⎨ β + β =⎩
JG G G G G G
. 
Hệ có nghiệm khi 1 2k k 0= = 
• Điều kiện 1 22 21 2 1 2 2 1
1 2
k k 0 D 0 0
α α+ > ⇒ = = ⇔ α β − α β =β β 
14. A, B, C là ba điểm phân biệt. 
 Chứng minh rằng: A, B, C thẳng hàng AB và AC cùng phương⇔ JJJG JJJG . 
Hướng dẫn: 
 Thuận: A, B,C thẳng hàng AB và AC cùng giá AB, AC cùng phương⇔ ⇒JJJG JJJG JJJG JJJG . 
 Đảo: Nếu AB, AC
JJJG JJJG
 cùng phương thì hai đường thẳng AB, AC cùng phương. Nhưng hai đường thẳng này 
có chung điểm A nên trùng nhau. Suy ra A, B, C thẳng hàng 
15. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD với AB 2CD= . Từ C vẽ CI DA=JJG JJJG . Chứng tỏ: 
a) I là trung điểm AB. 
b) DI CB=JJG JJJG . 
Hướng dẫn: 
a) Do CI DA=JJG JJJG nên CIAD là hình bình hành AI // CD⇒ . 
 Do đó I ở trên AB. 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
7 
 Ma ... hì ( ) ( )1 MS MJ L⇔ = ⇒ = trung trực SJ 
 Nếu k 1≠ . Gọi P, Q là điểm chia SJ theo tỉ số 3k PS QS MS PS QS3k
PJ QJ MJ PJ QJ
⇒ = = ⇒ = = 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
45 
 ⇒ MP, MQ là phân giác góc SMJ ( )MP MQ L⇒ ⊥ ⇒ = đường tròn đường kính PQ. 
Bài 8: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Gọi M và N là hai điểm di động. 
1) Chứng minh rằng u NA NB 2NC= + −JG JJJG JJJG JJJG không phụ thuộc điểm N. 
2) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA MB MC a+ + =JJJG JJJG JJJG với a là một độ dài cho trước. 
3) Tìm tập hợp M thỏa MA MB MA MC+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Hướng dẫn: 
1) ( ) ( )u NA NB 2NC NC CA NC CB 2NC CA CB= + − = + + + − = +JG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
 Vậy u
JG
 không phụ thuộc vào điểm N. 
2) MA MB MC a MG GA MG GB MG GC a+ + = ⇔ + + + + + =JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG 
 3MG a⇔ =JJJJG (G là trọng tâm Δ ABC) aMG
3
⇔ = . 
 Do tam giác ABC cố định nên G cố định. 
 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính aR
3
= . 
3) MA MB 2ME+ =JJJG JJJG JJJG (E là trung điểm AB) 
 MA MC 2MF+ =JJJG JJJG JJJG (F là trung điểm AC) 
 MA MB MA MC 2ME 2MF ME MF+ = + ⇔ = ⇔ =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường trung trực EF. 
Bài 9: Cho tam giác ABC và vectơ v 3MA 2MB MC, M= − − ∀JJJG JJJG JJJGG . 
1) Chứng minh vG là vectơ không đổi. 
2) Vẽ vectơ AD v=JJJG G . Chứng minh đường thẳng AD luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. 
Bài 10: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho: 
1) ( )MA kMB kMC k R+ = ∈JJJG JJJG JJJG . 
2) ( ) ( ) ( )MA 1 k MB 1 k MC 0 k R+ − + + = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
3) ( ) ( )MA 1 k MB kMC 0 k R+ − − = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
4) ( )MA kMB kMC 0 k R+ + = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
5) ( ) ( )kMA 1 k MB 0 k R+ − = ∈JJJG JJJG G . 
6) ( ) ( )2MA 3 k MB kMC 0 k R+ − + = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
7) ( ) ( )2MA 1 k MB 3kMC 0 k R− + − = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
8) v MA MB 2MC cùng phương BC= + +G JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Bài 11: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp điểm M sao cho: 
1) MA MB MA MB+ = −JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
46 
2) 2MA MB MA 2MB+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
3) MA MB MA MB+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
4) 2MA MB 2 MA MB+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Bài 12: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện: 
1) MA MB=JJJG JJJG . 
2) MA MB MC 0+ + =JJJG JJJG JJJG G . 
3) MA MB MA MC+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
4) MA MB MA MB MC+ = + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Bài 13: Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các điểm 
K, I, J của các cạnh BC, AC, AB. 
1) Chứng minh rằng ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại một điểm N. 
2) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. 
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M trong tam giác ABC có hình chiếu xuống BC, CA, AB là D, 
E, F. 
1) Tìm tập hợp điểm M sao cho v MD ME MF cùng phương BC= + +JJJG JJJG JJJG JJJGG . 
2) Tìm tập hợp điểm M sao cho v MA= JJJGG . 
VẤN ĐỀ 6: PHÉP QUAY VÀ CHIẾU VECTƠ 
Bài 1: 
1) Cho tam giác ABC đều tâm O, lấy M. Gọi D, E, F là hình chiếu của M lên AB, BC, CA. Chứng minh 
2
MD ME MF MO
3
+ + =JJJG JJJG JJJG JJJG . 
2) Cho tam giác ABC và điểm M xác định bởi 3MA 2MB 5MC 0+ + =JJJG JJJG JJJG G . Gọi A’ là giao điểm của AM và 
BC. Tính A B MA,
A C MA
′ ′
′ . 
Hướng dẫn: 
1) Gọi A’, B’, C’ đối xứng với M qua BC, CA, AB. Ta cần chứng minh MA MB MC 3MO′ ′ ′+ + =JJJJG JJJJG JJJJG JJJG 
 n n n( ) n oB AC 2 MAD MAF 2BAC 120′ ′ = + = = 
 Tương tự ta có: n n oC BA A CB 120 ; AC AB AM′ ′ ′ ′ ′ ′= = = = . 
 Xét phép quay f góc o120 : 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
47 
AC AB
u AC BA CB
BA BC
v AB BC CA
CB CA
⎫′ ′→ ⎪ ⎧ ′ ′ ′= + +⎪ ⎪′ ′→ ⇒⎬ ⎨ ′ ′ ′= + +⎪⎪ ⎩′ ′→ ⎪⎭
JJJJG JJJG
JJJJG JJJG JJJGGJJJG JJJG
JJJG JJJG JJJGGJJJG JJJG 
 Mà u v AC BA CB AB BC CA AC C B BA A C CB B A 0′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− = + + − − − = + + + + + =JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG GG G 
 ( )u v u f u u 0 AC BA CB 0′ ′ ′⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ + + =G JJJJG JJJG JJJG GG G G 
 ( ) ( ) ( )MC MA MA MB MB MC 0
MA MB MC MA MB MC 3MO
′ ′ ′⇒ − + − + − =
′ ′ ′⇔ + + = + + =
JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG G
JJJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
2) Xét phép chiếu vectơ AA’ xuống đường thẳng BC 
 Từ giả thiết: 5 A B 53MA 2MB 5MC 0 0 2A B 5A C 0 A B A C
2 A C 2
′′ ′ ′ ′+ + = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ =′
JJJG JJJG JJJG G G JJJG JJJJG G JJJG JJJJG
. 
 Xét phép chiếu vectơ BC xuống đường thẳng AA’ ta được: 
 MA 33MA 2MA 5MA 0 3MA 7MA 0
MA 7
′ ′ ′+ + = ⇔ + = ⇒ =′
JJJG JJJJG JJJJG G JJJG JJJJG G
Bài 2: 
1) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, AB c, BC a, AC b= = = . 
 Chứng minh v aIA bIB cIC 0= + + =JJG JJG JJG GG . 
2) M trong tam giác ABC, a MBC b MCA c MABS S , S S , S S= = = . 
 Chứng minh a b cS .MA S .MB S .MC 0+ + =
JJJG JJJG JJJG G
. 
Hướng dẫn: 
1) Chiếu lên (d) qua D và vuông góc AD: A D; B B ;C C′ ′→ → → ; ( )v f v bDB cDC′ ′→ = +JJJG JJJJGG G 
 Mà ( ) ( )DB DB c DB c vì BB //CC bDB cDC 0 f v 0
DC DC b bDC
′ ′− − −′ ′ ′ ′= = ⇒ = ⇒ + = ⇒ =′ ′
JJJG JJJG JJJJG G GJJJJG 
 Tương tự hình chiếu của ( )v lên d BE : v 0′ ⊥ = GG G 
2) AM BC D; BM AC B′= =∩ ∩ . 
 Chiếu ( )d AD : B B ; C C ; A D ; M D′ ′ ′⊥ → → → → 
 Nên a b cv S .MA S .MB S .MC= + +
JJJG JJJG JJJGG là x b cV S .DB S .DC′ ′= +
JJJG JJJJG
 Mà cAMB x
AMC b
SSDB DB
V 0
DC DC S S
′ −−= = = ⇒ =′ 
 Tương tự chiếu ( )v lên d MB : v 0′ ⊥ = GG G . 
VẤN ĐỀ 7: ỨNG DỤNG ĐIỀU KIỆN VỀ SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 
Cho a, b
GG không cộng tuyến. Nếu ma nb 0+ = GGG thì ( )m 0 a.b 0n 0=⎧ ≠⎨ =⎩
GGG 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
48 
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm g. 
1) Chứng minh nếu aGA bGB cGC+ +JJJG JJJG JJJG thì tam giác ABC đều. 
2) Trên ba cạnh của tam giác A BC; B CA; C AB′ ′ ′∈ ∈ ∈ sao cho AA BB CC 0′ ′ ′+ + =JJJJG JJJG JJJG G . Chứng minh: 
a) A B B C C A k
A C B A C B
′ ′ ′ ′ ′= = =′ ′ ′
JJJJG JJJJG JJJG
JJJJG JJJG JJJG . 
b) Tìm k để AA’, BB’, CC’ đồng quy. 
Hướng dẫn: 
1) Vì 
( ) ( )b a GB c a GC 0
GA GB GC 0 b a c a 0 a b c
GB GC
⎧ − + − =⎪+ + = ⇒ ⇒ − = − = ⇒ = =⎨ ≠⎪⎩
JJJG JJJG GJJJG JJJG JJJG G
JJJG JJJG 
2) a) Ta có: 
1
2
3
BA k BC
CB k CA AA BB CC 0 AB BA BC CB CA AC 0
AC k AB
⎫′ = ⎪⎪′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⇒ + + = ⇔ + + + + + =⎬⎪′ = ⎪⎭
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG G
JJJJG JJJG 
( )
( ) ( )
1 2 3
0
1 2 3
3 1 1 2
3 1 1 2 1 2 3
AB BC CA k BC k CA k AB 0
k AC AB k AC k AB 0
k k AB k k AC 0
AB AC
k k k k 0 k k k
A B B C C A
A C B A
⇒ + + + + + =
⇔ − − + =
⎧ − + − =⎪⇒ ⎨ ≠⎪⎩
⇒ − = − = ⇒ = =
′ ′ ′⇒ = =′ ′
G
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G
	
JJJG JJJG JJJG JJJG G
JJJG JJJG G
JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJJG JJJG k
C B
=′
JJJG
JJJG
 b) AA’, BB’, CC’ đồng quy A B B C C A. . 1
A C B A C B
′ ′ ′⇔ = −′ ′ ′
JJJG JJJG JJJG
JJJJG JJJG JJJG (định lý Ménélais) 3k 1 k 1⇔ = − ⇔ = − . 
ÔN TẬP VÀ KIỂM TRA 
ĐỀ 1: (Thời gian làm bài 45 phút) 
 Bài 1 (6 điểm): Cho tam giác ABC, đặt AB u, AC v= =JJJG JJJGG G và G là trọng tâm. 
1) Tính AG
JJJG
 theo u, vG G . 
2) Gọi E là điểm trên cạnh AB sao cho 1AE BE
2
= , F trên cạnh AC sao cho 1AF CF
2
= . Tính 
AG theo AE, AF
JJJG JJJG JJJG
 và AG cắt EF tại I. Xác định điểm I. 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
49 
3) Gọi P là trung điểm EF. Tính AP theo u, v
JJJG G G . Và AP cắt BC tại K. Xác định K và tính AP
AK
. 
 Bài 2 (4 điểm): 
 Cho ngũ giác đều A1A2A3A4A5 có tâm O. Chứng minh 1 2 3 4 5OA OA OA OA OA 0+ + + + =
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G
Hướng dẫn: 
Bài 1: 
1) ( ) ( )1 13AG AB AC AA AG AB AC u v3 3= + + ⇒ = + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 
2) ( ) ( )1 1 1 3 1AG AB AC 3AE AF AE AF3 3 3 2 2⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Gọi I’ là điểm trên EF sao cho 1I E I F 0
2
′ ′+ =JJJG JJG G 
 3AG AI
2
′⇒ = ⇒JJJG JJJG A, G, I’ thẳng hàng I AG EF I I′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ 
 Vậy 3AG AI
2
= ⇒JJJG JJG I là điểm thuộc AG và 2AI AG
3
= . 
3) ( )1 1 1 1 2 1 1AP AE AF AB AC u v2 2 3 2 3 6 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 
 Gọi K’ là điểm trên BC sao cho 1 1K B K C 0
6 3
′ ′+ =JJJJG JJJJG G 
 1 1AP AK
6 3
⎛ ⎞ ′⇒ = + ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJG JJJJG
A, P, K’ thẳng hàng K AP BC K K′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ . 
 Vậy 1 AP 1AP AK
2 AK 2
= ⇒ =JJJG JJJG . 
Bài 2: 
 Gọi G là trọng tâm của ngũ giác đều đã cho. 
 2Nếu G O. Ta xoay ngũ giác quay quanh tâm O, gốc quay
5
π≠ = 
 Ta thấy: 1 2 3 4 5v OA OA OA OA OA= + + + +
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJGG không đổi sau phép quay 
 ⇒ Trọng tâm G’ của ngũ giác cũng phải không đổi, nghĩa là G G′≡ . Điều này mâu thuẫn với dữ kiện 
( ) 2OG, OG 5π′ =JJJG JJJJG . Vậy G O≡ . 
ÔN TẬP VÀ KIỂM TRA 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
50 
ĐỀ 1: (Thời gian làm bài 45 phút) 
 Bài 1 (6 điểm): Cho tam giác ABC, đặt AB u, AC v= =JJJG JJJGG G và G là trọng tâm. 
4) Tính AG
JJJG
 theo u, vG G . 
5) Gọi E là điểm trên cạnh AB sao cho 1AE BE
2
= , F trên cạnh AC sao cho 1AF CF
2
= . Tính 
AG theo AE, AF
JJJG JJJG JJJG
 và AG cắt EF tại I. Xác định điểm I. 
6) Gọi P là trung điểm EF. Tính AP theo u, v
JJJG G G . Và AP cắt BC tại K. Xác định K và tính AP
AK
. 
 Bài 2 (4 điểm): 
 Cho ngũ giác đều A1A2A3A4A5 có tâm O. Chứng minh 1 2 3 4 5OA OA OA OA OA 0+ + + + =
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G
Hướng dẫn: 
Bài 1: 
4) ( ) ( )1 13AG AB AC AA AG AB AC u v3 3= + + ⇒ = + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 
5) ( ) ( )1 1 1 3 1AG AB AC 3AE AF AE AF3 3 3 2 2⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Gọi I’ là điểm trên EF sao cho 1I E I F 0
2
′ ′+ =JJJG JJG G 
 3AG AI
2
′⇒ = ⇒JJJG JJJG A, G, I’ thẳng hàng I AG EF I I′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ 
 Vậy 3AG AI
2
= ⇒JJJG JJG I là điểm thuộc AG và 2AI AG
3
= . 
6) ( )1 1 1 1 2 1 1AP AE AF AB AC u v2 2 3 2 3 6 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 
 Gọi K’ là điểm trên BC sao cho 1 1K B K C 0
6 3
′ ′+ =JJJJG JJJJG G 
 1 1AP AK
6 3
⎛ ⎞ ′⇒ = + ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJG JJJJG
A, P, K’ thẳng hàng K AP BC K K′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ . 
 Vậy 1 AP 1AP AK
2 AK 2
= ⇒ =JJJG JJJG . 
Bài 2: 
 Gọi G là trọng tâm của ngũ giác đều đã cho. 
 2Nếu G O. Ta xoay ngũ giác quay quanh tâm O, gốc quay
5
π≠ = 
 Ta thấy: 1 2 3 4 5v OA OA OA OA OA= + + + +
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJGG không đổi sau phép quay 
 ⇒ Trọng tâm G’ của ngũ giác cũng phải không đổi, nghĩa là G G′≡ . Điều này mâu thuẫn với dữ kiện 
( ) 2OG, OG 5π′ =JJJG JJJJG . Vậy G O≡ .