Ôn tập Toán lớp 12

Phần khoảng cách:
	Khoảng cách từ điểm M(x0 ; y0) đến đường thẳng (D):
	Nếu (D) // 0x ị có phương trình dạng y = a ị khoảng cách từ M đến (D) là d = 
	Nếu (D) // 0y ị có phương trình dạng x = b ị khoảng cách từ M đến (D) là d = 
	Nếu (D) có phương trình: ax + by + c = 0 thì khoảng cách từ M đến (D) là:
 d = 
bài tập:
Tìm những điểm trên đồ thị hàm số: sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.
Tìm điểm M trên đồ thị hàm số: sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số: sao cho AB ngắn nhất.
Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số: sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng: 3x + y + 6 = 0 nhỏ nhất.
Tìm trên đồ thị hàm số: những điểm cách đều hai trục toạ độ.
Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số: sao cho AB ngắn nhất.
Tìm trên đồ thị hàm số: những điểm cách đều hai trục toạ độ.
Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số: sao cho AB ngắn nhất.
Tìm những điểm trên đồ thị hàm số: cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2).
Tìm những điểm trên đồ thị hàm số: có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Tìm những điểm trên đồ thị hàm số: có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Tâm đối xứng - trục đối xứng:
đn tâm đối xứng: Điểm A(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số Û với phép
 biến đổi trục toạ độ:
	 hàm số Y = F(X+a) - b là hàm số lẻ.
Bài toán i: Chứng minh rằng đồ thi ham số: nhận A(a; b) làm tâm đối xứng.
Bài làm:
	Thực hiện theo các bước sau:
	Bước 1: Với phép biến đổi tạo độ: hàm số có dạng: Y = F(X+a) - b (1)
	Bước 2: Để đồ thị hàm số nhận A làm tâm đối xứng thì hàm số (1) phải là hàm số lẻ.
	Bước 3: KL
Bài toán ii: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số: nhận điểm A(a; b) làm tâm
 đối xứng.
Bài làm:
Thực hiện theo các bước sau:
	Bước 1: Với phép biến đổi tạo độ: hàm số có dạng: Y = F(X+a) - b (1)
	Bước 2: Để đồ thị hàm số nhận A làm tâm đối xứng thì hàm số (1) phải là hàm số lẻ, 
Û tham số. 
	Bước 3: KL.
Bài tập: 
Tìm m để đồ thị hàm số: nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng.
Tìm m để đồ thị hàm số: nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng.
Bài toán iii: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số: đối xứng với nhau qua điểm
 I(a; b).
 Bài làm:
Thực hiện theo các bước sau:
	Bước 1: Lấy hai điểm A(xA; y(xA)) & B(xB; y(xB)) thuộc đồ thị hàm số.
	Bước 2: Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua điểm I(a; b) Û ta suy ra
 toạ độ điểm A & B.
Bài tập: 
Xác định m để đồ thị hàm số: có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
Xác định m để đồ thị hàm số: có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
Xác định m để đồ thị hàm số: có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
Xác định m để đồ thị hàm số: có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
Xác định m để đồ thị hàm số: có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
đn trục đối xứng: Đường thẳng x = a là trục đối xứng của đồ thị hàm số: số 
 Û với phép biến đổi trục toạ độ:
	 hàm số Y = F(X+a) là hàm số chẵn.
Bài toán i: Chứng minh rằng đồ thi ham số: nhận đường thẳng x = a làm trục đối
xứng.
Bài làm:
	Thực hiện theo các bước sau:
	Bước 1: Với phép biến đổi tạo độ: hàm số có dạng: Y = F(X+a) (1)
	Bước 2: Để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng thì hàm số (1) phải là
 hàm số chẵn.
	Bước 3: KL
VD: 
CMR đồ thị hàm số: y = x4 - 4x3 + 9x2 - 10x + 7 nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng.
CMR đồ thị hàm số: y = x4 + 4x3 + 5x2 + 2x +9 có trục đối xứng.
CMR đồ thị hàm số: y = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x -1 có trục đối xứng.
Bài toán ii: Tìm tham số để đồ thi ham số: nhận đường thẳng x = a làm trục đối
 xứng.
Bài làm:
	Thực hiện theo các bước sau:
	Bước 1: Với phép biến đổi tạo độ: hàm số có dạng: Y = F(X+a) (1)
	Bước 2: Để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng thì hàm số (1) phải là
 hàm số chẵn.
	Bước 3: KL
BàI tập:
	1) Xác định m để đồ thị hàm số: y = x4 + 4mx3 - 2x2 - 12mx có trục đối xứng // 0y.
	2) Định m để đồ thị hàm số: y = x4 + 4mx3 - 2(m - 1)x2 - 2mx + 1 có trục đối xứng // 0y.
	3) Xác định m để đồ thị hàm số: y = x4 + 4x3 + mx2 có trục đối xứng // 0y.
Bài toán iii: Chứng minh rằng đồ thi ham số: nhận đường thẳng (d) y = ax + b làm
 trục đối xứng.
Bài làm:
	Thực hiện theo các bước sau:
	Bước 1: Gọi (d0) ^ (d) ị phương trình đường thẳng (d0): .
	Bước 2: Giã sử (d0) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A & B. Khi đó hoành độ của A & B là
 nghiệm phương trình: . Sử dụng viét: 
	Bước 3: Gọi I là trung điểm của AB, ta có: 
	Thay toạ độ I vào phương trình (d) ị nhận xét I ẻ (d).
	Bước 4: KL.
BàI tập:
CMR đồ thị hàm số: nhận đường thẳng y = x + 2 làm trục đối xứng.
CMR đồ thị hàm số: nhận đường thẳng y = x + 1 và y = - x + 3 làm trục đối xứng.
Bài toán iv:Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: đối xứng với nhau qua đường
 thẳng (d) có phương trình: y = ax + b.
Bài làm:
	Thực hiện theo các bước sau:
	Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số: .
	Bước 2: Gọi (d0) ^ (d) ị phương trình đường thẳng (d0): .
	Bước 3: Giã sử (d0) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A & B. Khi đó hoành độ của A & B là
 nghiệm phương trình: . (1)
Để tồn tại A & B thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc D. Û tham số
 Sử dụng viét ta được: 
	Bước 4: Gọi I là trung điểm của AB, ta có: 
Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) Û I ẻ (d) Û m.
Thay m vào (1) ta có được hoành độ A & B
Khi đó suy ra điểm A & B cần tìm.
	Bước 5: KL.
BàI tập: 
	1) Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: và đối xứng với nhau qua đường
 	thẳng (d) có phương trình: y = x - 1.
	2) Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: và đối xứng với nhau qua đường
 	thẳng (d) có phương trình: y = x + 1.
Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: và đối xứng với nhau qua
 đường thẳng (d) có phương trình: y = x + 1.
Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: và đối xứng với nhau qua
 đường thẳng (d) có phương trình: y = x.
5) Tìm m để đồ thị hàm số: y =2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2.
Sự tương giao của các đồ thị hàm số:
	I - Sự tương giao của hai đồ thị hàm số: và .
Bài làm:
	Ta thực hiện theo các bước sau:
	Bước 1: TXD: D = 
	Bước 2: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: . (*)
	Bước 3: Biện luận số nghiệ phương trình (*).
	Bước 4: Kết luận.