Ôn tập về Phương trình và Hệ phương trình

Bàn về một dạng phương trình
Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các bạn một cách tiếp cận khác qua đó các bạn thấy được lời giải tự nhiên hơn và phát triển thêm một số bài khó hơn.
Ví dụ 1: Giải phương trình: .
Giải: 
Đặt .
Vậy ta có hệ phương trình : 
. Trừ hai phương trình của hệ: 
(Do ) Thay vào hệ ta có:
.
 Vậy phương trình có ba nghiệm: .
Bình luận: Bài toán trên là bài toán khá đơn giản và có lẽ nhiều bạn không mấy khó khăn để giải bài toán này. Tuy nhiên từ bài toán trên ta có thể tổng quát được dnagj phương trình trên như sau:
* Dạng tổng quát bài toán trên:   (I) 
Để giải  phương trình này ta đặt   ta có hệ: . Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y.
* Từ dạng trên ta cho bằng những biểu thức cụ thể và biến đổi đi ta có được những phương trình mà ta thường gọi là chứa hai hàm ngược nhau. Do đó khi gặp phương trình chứa hai hàm ngược nhau ta tìm cách biến đổi về dạng trên. Ta xét một số ví dụ sau: 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 
Giải: Điều kiện : 
PT  
Đặt . 
Ta có hệ :  
*  
  (thỏa  ).
* 
  (thỏa đk ). 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: .
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 
PT 
Đặt  
 Ta có hệ phương trình:   
. Do   nên Từ (2) ta có: thay vào (1) ta được: 
  .Vậy phương trình đã cho có nghiệm: .
Chú ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức   thì ta vẫn giải phương trình  bằng cách làm tương tự như trên.
Ví dụ 4: Giải phương trình :   .
Giải: Điều kiện : 
Phương trình 
Đặt   và .
Ta có : .
*  .
* .
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
Ví dụ 5: Giải phương trình :  
Giải:
Ta thấy không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình cho ta được: . 
Đặt , ta có: 
.
Đặt , ta có hệ phương trình :
Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình 
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .
 Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa x. Vậy nếu thay a bằng một biểu thức chứa x thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách trên nữa hay không?. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 6: Giải phương trình : .
Giải:
PT 
Đặt , 
Ta có hệ phương trình : 
*  
  phương trình vô nghiệm.
* 
  hệ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ
A. Phương pháp đặt ẩn phụ 
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp.
- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm
* Nhận xét :
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ 
Sau đây là bài viết :
B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu thì ta có thể đặt hoặc 
Ví dụ 1 : 
Lời giải :
 ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành :
cos()( ) = 0 
Kết hợp với điều kiện của t suy ra : 
Vậy phương trình có 1 nghiệm : 
Ví dụ 2 : 
Lời giải : 
ĐK : 
Khi đó VP > 0 .
Nếu 
Nếu .
Đặt , với ta có :
( ) ( ) = 0 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 3 :
Lời giải : 
ĐK : 
Đặt 
phương trình đã cho trở thành :
Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 3 : 
Lời giải :
 ĐK : 
Đặt 
phương trình đã cho trở thành :
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 4 
HD :
Nếu : phương trình không xác định .
Chú ý với ta có :
vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với 
Đặt 
khi đó phương trình đã cho trở thành : 
2. Nếu thì ta có thể đặt : 
Ví dụ 5 : 
Lời giải : 
ĐK : 
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành :
kết hợp với điều kiện của t suy ra 
Vậy phương trình có 1 nghiệm : 
TQ : 
Ví dụ 6 :
Lời giải : 
ĐK : 
Đặt 
phương trình đã cho trở thành :
(thỏa mãn)
TQ : 
với a,b là các hằng số cho trước : 
3. Đặt để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 :
  (1)
Lời giải : 
Do không là nghiệm của phương trình nên :
(1) (2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 :
Lời giải : 
ĐK : 
Đặt 
phương trình đã cho trở thành :
Kết hợp với điều kiện su ra : 
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
4. Mặc định điều kiện : . sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận :
Ví dụ 9 :
Lời giải : 
phương trình đã cho tương đương với : 
(1)
Đặt :
(1) trở thành :
Suy ra (1) có tập nghiệm :
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ (2)
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp : 
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho :
Đưa phương trình về dạng sau :
khi đó : 
Đặt . Phương trình viết thành :
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 1 :
  (1)
lời giải : 
ĐK : 
Đặt 
Lúc đó :
(1) 
Phương trình trở thành :
Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được :
Do nên không thỏa điều kiện .
Với thì :
( thỏa mãn điều kiên 
Ví dụ 2 :
Lời giải : 
ĐK : 
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
* Với ,
 ta có :
(vô nghiệm vì : )
* Với , ta có :
Do không là nghiệm của phương trình nên : 
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)
TQ : 
Ví dụ 3 :
Lời giải :
Đặt . 
Phương trình đã cho viết thành :
Từ đó ta tìm được hoặc 
Giải ra được : .
* Nhận xét :
 Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 4 : 
Lời giải :
 ĐK : 
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
Giải ra : hoặc (loại)
* ta có :
Vậy là các nghiệm của phương trình đã cho .
ví dụ 5 :
Lời giải : 
ĐK : 
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành :
Hệ phương trình đồng bậc
Chuyên đề này sẽ giới thiệu với các bạn một dạng hệ phương trình đó là hệ phương trình đồng bậc.
I)Hệ đồng bậc:
Ví dụ:
Đặt x=ky ta thu được:
ta có:
+)Với k=1 ta có: 
+)Với k=-2 ta có:
Cách giải chung:Nếu các số hạng trừ số hạng tự do trong các phương trình của hệ có bậc bằng nhau thì ta đặt x=ky nối hai phương trình của hệ.
Bài tập áp dụng:Giải các hệ phương trình sau:
1)
2)
3)
II)Hệ phương trình đưa về dạng đồng bậc nhờ phép đặt ẩn phụ:
Ví dụ 2)Giải hệ phương trình:
Đặt x=u+a , y=u+b thay vào phương trình (1):
Để đưa được về hệ đồng bậc thì ta phải chọn để hệ số của số hạng u ,v là 0 tức là 
Thay x=u-1 , y=v-2 vào hệ phương trình đã cho ta có:
Khi này ta đã có thể giải được bình thường như hệ đồng bậc.
Ví dụ 3:Giải hệ phương trình:
Rõ ràng x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 phương trình của hệ cho ta có:
Đặt ta có:
Đến đây ta đã có thể giải như giải hệ đồng bậc bình thường (đặt u=ky).
Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Giải hệ phương trình:
1)
2)
3)
4)
5)
PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ PHỤ
 PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ PHỤ
 Áp dụng cho BDT Côsi
Ví dụ 1 : Cho x,y >= 0 thỏa mãn 
Tìm GTLN của biểu thức :
Giải :
Đặt 
Áp dụng BDT Côsi cho 6 số :
Cộng vế theo vế : 
Vậy ta cần xác định a,b thỏa hệ :
Từ (2) :
thay vào (1) :
Thay vào (4) :
Ví dụ 2 : Tìm GTNN của hàm số :
với 
Giải :
Đặt 
Áp dụng BDT Côsi : 
Ta xác định a sao cho :
(vì )
Vậy :
Xảy ra 
Ví dụ 3 : Tìm GTLN của hàm số :
Giải :
Đặt 
Áp dụng BDT Côsi :
Ta cần xác định a sao cho :
Vậy :
Xảy ra 
Ví dụ 4 : Tìm GTLN của hàm số :
Giải :
Đặt (*)
Áp dụng BDT Côsi : 
Ta cần xác định a sao cho :
(Do )
Thỏa mãn (3) 
Thay lại vào (2) :
Thay vào (*) : 
Vậy GTLN của hàm số là 3 .
Đạt được khi .
Ví dụ 5 : (DH - B 2008)
Cho x,y là các số thực thỏa mãn : 
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :
Lời giải : 
GS k là cực trị của P ta có :
Ta cần xác định k sao cho :
Vậy :
; 
Để thuần thục hơn phương pháp này các bạn làm thêm các bài tập sau :
BÀI TẬP :
1. Cho các số dương x,y thỏa mãn : 
Tìm GTNN của biểu thức :
2. Cho a,b là các số dương thỏa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức :
3. Tìm GLNN của hàm số :
4. Tìm GTNN của hàm số :
với 
5. Tìm GTLN của hàm số :
6. Tìm GTNN của hàm số :
7. Cho x,y là các số không âm thỏa mãn :
Tìm GTLN của biểu thức :