Phương pháp giải bài tập tích vô hướng Hình học 10

 PP GIẢI BÀI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG
I.Lý thuyết :
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I .Góc giữa hai vectơ : Định nghĩa:Cho 2 vectơ và (khác ).Từ điểm O bất kì vẽ , . 
Góc với số đo từ 0 đến 180 gọi là góc giữa hai vectơ và 
O
KH : (, ) hay ()
Đặc biệt : Nếu (, )=90thì
ta nói và vuông góc nhau .KH: hay 
Nếu (, )=0thì 	
Nếu (, )=180thì 
I. Định nghĩa:
Cho hai vectơ khác . Tích vô hướng của là môt số kí hiệu: được xác định bởi công thức:
Chú ý:
* 
* 
 gọi là bình phương vô hướng của vec .
* âm hay dương phụ thuộc vào 
2) Các tính chất :
Với 3 vectơ bất kỳ. Với mọi số k ta có:
* 
* Nhận xét :
III . Biểu thức tọa độ của tích vô hướng :
Cho 2 vectơ 
Ta có : 
Nhận xét : = 0 khi và chỉ khi =0 ()
IV . Ứng dụng :
Cho 
 = =
a) Độ dài vectơ : 
b) Góc giữa hai vectơ :
II,DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 
Bài 1: Tính tích vơ hướng của 2 vecto.
Phương pháp:
-Tính 
-Áp dụng cơng thức 
Thí dụ :
Cho tam giác ABC vuơng cân tại A cĩ AB =AC = a . Tính 
BÀI TẬP
1.Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh a . Tính ĐS: 0 ; a2
2.Cho tam giác ABC vuơng tại C cĩ AC = 9 và BC = 5. Tính ĐS:81
3.Cho tam giác ABC cĩ AB=2 BC = 4 và CA = 3.
HD:
Bài 2:Chưng minh một đẳng thức vec tơ cĩ lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức các độ dài .
Phương pháp :
-Ta sử dụng các phép tốn về vec tơ và các tính chất của tích vơ hướng .
-Về độ dài ta chú ý :AB2 =
Thí dụ1 : Cho tam giác ABC . và M là một điểm bất kỳ .
1.Chứng minh rằng 
2.Gọi G là trọng tâm tam giác chứng minh 
3.Suy ra với a ; b ;c là độ dài 3 cạnh của tam giác
Chưng minh 
BÀI TẬP:
1.Cho 2 điểm cố định A và B và M là một điểm bất kỳ .H là hình chiếu của M lên AB và I là trung điểm của AB.Chứng minh rằng :
2.Cho tứ giác ABCD .
a.Chứng minh rằng 
b. Chưng minh điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD cĩ 2 đường chéo vuơng gĩc là :AB2+CD2=BC2+AD2
3.Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ cạnh huyền BC = aƯ3 .Gọi M là trung điểm của BC biết 
4.Cho nữa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R .Gọi M và N là 2 điểm thuộc nữa đương trịn và AM và BN cắt nhau tại I.
a.Chưng minh 
:b,Từ đĩ tính theo R 
5.Cho tam giác ABC cĩ trực tâm H và M là trung điểm BC Chứng minh 
6.Cho tứ giác ABCD cĩ 2 đường chéo AC và BD vuơng gĩc với nhau tại M và P là trung điểm của AD . Chứng minh 
Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định hình dạng của tam giác ABC.
Phương pháp :
–Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC đều .
–Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân 
–Nếu AB = AC và BC = ABƯ2 => Tam giác ABC vuơng cân tại B
–Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vuơng tại A
Thí dụ 1:
TRong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng của tam giác ABC . Tính diện tích tam giác ABC.
GIẢI :
Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng của tam giác ABC ,Tính diện tích của tam giác ABC và chiều cao kẻ từ A.
vuơng cân tại A
S=5đvdt
Thí dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) 
Chứng minh tam giac OAB đều . .Tìm trực tâm của tam giác OAB
Giải :
Bài Tập :
1. Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) và C(0;3).Xác định hình dạng của tam giác ABC .Tìm Tâm I của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐS: Vuơng tại A , Tâm I (–1;1)
2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) và C(m+3; 1) .Định m để tam giác ABC vuơng tại A. ĐS:m = –1 hay m =-2
3. Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) và C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vuơng từ đĩ suy ra khoảng cách từ C đến AB.
4.Ch 2 điểm A (2 ; –1) và B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ là 2 và tam giác ABM vuơng tại C .
ĐS: M(1;2) và M(–1;2)
5.Trong mpOxy cho 2 điểm A(2;4) và B(1 ; 1) . Tìm điểm C sao cho tam giác ABC vuơng cân tại B .
ĐS: C(4;0) và C(–2;2)
Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định trọng tâm G , trực tâm H và tâm I của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp :
–Trọng tâm G
Tìm trực tâm H
-Gọi H(x;y)là trực tâm của tam giác ABC 
Do H là trực tâm ĩ Giải hệ trên tìm x ; y
Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I(x;y) . Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2
I là tâm đường trịn ngoai tiếp tam giác ABC ĩAI = BI =CI
Giải hệ trên tìm x ; y
Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) và C(–2 ;–1) .
a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H và tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang.
GIẢI
BÀI TẬP:
1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) .Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường trịn.
HD: Tìm tâm I của bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID.
2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) và C(4;0).Xác định trực tâm H của tam giác ABC.
ĐS:
3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) . Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS:
4.Trong mpOxy cho 2 điểm A(–2;–2) và B(5 ;–4) .
a)Tìm điểm C sao cho trọng tâm của tam giác ABC là điểm G(2;0) ĐS:C(3;6)
b)Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS I
5.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) và C(1;5) .Tìm trực tâm H của tam giác ABC .
ĐS: 
Bài 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định tâm J của đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
Phương Pháp:
–Tính AB ;AC; k =-AB/AC
–Gọi D là giao điểm đường phân giác trong của gĩc A với cạnh BC
tọa độ của D.
–Tính BA và BD =k’= –BA/BD
–Gọi J là giao điểm của 2 đường phân giác trong của gĩc A và gĩc B 
=>=>tọa độ của J
Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3) B và C(2;0)
Tìm tâm J đường trịn nội tiếp tam giác ABC. 
GIẢI
Bài tập:
1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(2;6) B(–3;–4) và C(5;0) 
a.Chứng minh tam giác ABC vuơng .
b.Tìm tâm J của đường trịn nội tiếp tam giác ABC. ĐS : J(2;1)
2. Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm J của đương trịn nội tiếp tam giác ABC . ĐS J(1;0)
 3. Trong mpOxy cho tam giác ABC vớiTìm tâm J của đương trịn nội tiếp tam giác ABC . ĐS J(-1;2)
 Bài 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3).Gọi A’ là chân đường vuơng gĩc kẻ từ A lên BC.Tìm A’
Phương pháp:
Gọi A’(x;y).
Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5) B(3;–1) C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA.
GIẢI:
BÀI TẬP:
1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(3;–1) B(1;5) và C(6;0) . Gọi A’ là chân đường cao kẻ từ A lên BC tìm A’ . ĐS:A’(5;1)
2.Trong mpOxy cho 2 điểm A(2;1) B(–2;4) . Gọi H là hình chiếu của O lên AB . Tìm H . ĐS:H
3.Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) và C(1;3) .Tìm chân đường cao A’ của đường cao kẻ từ A lên BC. ĐS:A’
Bài 7
Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3),Tính cosA.
Phương pháp :
Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) và C(–6;1).Tínhsố đo của gĩc A.
.
**************************************************************************************
 BÀI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG
1.Cho hai vectơ và. Chứng minh rằng :
.= = = 
2.Cho hai vectơ , cĩ = 5 , = 12 và = 13.Tính tích vơ hướng .( + ) và suy ra gĩc giữa hai vectơ và + 
3.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi H là trung điểm BC,tính 
a) . b). c) .
4.Cho hình vuơng ABCD tâm O,cạnh a.Tính:
a). b). c) .
5. Tam giác ABC cĩ AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90o ,tính .
6. Tam giác ABC cĩ AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o 
a)tính . b) Gọi M là trung điểm AC tính .
7. Tam giác ABC cĩ AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8 
a)Tính . rồi suy ra giá trị gĩc A
b)Tính .
c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA .Tính .
8.Cho hai vectơ và thỏa mãn || = 3 , || = 5 và (,) = 120o
Với giá trị nào của m thì hai vectơ + m và – mvuơng gĩc nhau
9. Tam giác ABC cĩ AB = 4 ,AC = 8 và gĩc A = 60o .Trên tia AC lấy điểm M và đặt = k.Tìm k để BM vuơng gĩc với trung tuyến AD của tam giác ABC
10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN vuơng gĩc nhau . Tính cosA
11. Tam giác ABC cĩ AB = 6,AC = 8,BC = 11
a)Tính .
b)Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 4.Tính .
12.Cho O là trung điểm AB,M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng :
. = OM2 – OA2 
13.Cho hình vuơng ABCD tâm O, M là điểm thuộc cạnh BC.Tính .
và .
14.Cho tứ giác ABCD , I là trung điểm BC, chứng minh rằng :
a) . = IA2 – IB2
b) . = (AB2 + AC2 – BC2)
c) . = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2)
15.Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G. Chứng minh rằng :
	MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2
16.Cho tam giác ABC cĩ độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi G là trọng tâm,hãy tính:
a) . b). c) . + . + . 
d) Chứng minh rằng : . + . + . = – (a2 + b2 + c2)
e)Tính AG theo a ,b ,c 
17.Cho tam giác ABC cĩ 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng :
	. + . + .= 0
18.Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên (O) và I = AM∩BN. Chứng minh rằng :
a) . = .
b) . = .
c) . + .= 4R2 
19.Cho 4 điểm A,B,C,D tuỳ ý
a) Chứng minh rằng : .+ .+ .= 0
b)Từ đĩ chứng minh rằng trong một tam giác,ba đường cao đồng qui
20.Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC,và D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM ^BD
21.Cho hình vuơng ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và CD. Chứng minh rằng : AN ^ DM
22.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là hình chiếu vuơng gĩc của B trên AC, M và N lần lượt là trung điểm của AK và DC . Chứng minh rằng : BM ^ MN
23.Cho hình thang ABCD vuơng tại A và B. AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện giữa a ,b ,h để
a) AC ^ BD b) IA ^ IB với I là trung điểm CD 
24.Cho tam giác ABC cĩ AB = 3 ;AC = 6 và A = 45o . Gọi L là chân đường phân giác trong của gĩc A
a)Tính .
b)Tính theo và Þ độ dài của AL
c)M là điểm trên cạnh AC sao cho AM = x. Tìm x để AL ^ BM
25.Cho tam giác ABC cĩ AB = 2a ,AC = a và A = 120o
a) Tính BC và .
b)Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính theo và ,x
c)Tìm x để AN ^ BM
26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: 
 AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2.
27.Cho tam giác ABC cĩ H là trực tâm và M là trung điểm của BC
Chứng minh rằng : . = BC2 
28.Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H ,K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABO và CDO; I và J là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng HK ^ IJ
28.Cho đường trịn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vuơng gĩc nhau tại S. Gọi M là trung điểm của AB. chứng minh rằng: SM ^ A’B’
29.Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn : 
a) . = .
b) MA2 + . + . = 0
c) MA2 = .
d) (+ ).(+ ) = 0
e) ( – ).(2 – ) = 0
30.Cho điểm A cố định nằm ngồi đường thẳng D, H là hình chiếu của A trên D.Với mỗi điểm M trên D, ta lấy điểm N trên tia AM sao cho . = AH2. Tìm quĩ tích các điểm N
31.Tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo AC và BD vuơng gĩc với nhau tại M,gọi P là trung điểm đoạn thẳng AD. 
Chứng minh rằng MP ^ BC Û .= .
32*. Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng:
 (.) + (.) +(.) = 
33.Cho hình vuơng ABCD,điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = 
N là trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh rằng BMN là tam giác vuơng cân
34.Cho AA’ là một dây cung của đường trịn (O) và M là một điểm nằm trên dây cung đĩ. Chứng minh rằng 2.= MA(MA – MA’) 
35.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O) và một điểm M sao cho các gĩc AMB ,BMC ,CMA đều bằng 120o .Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt đường trịn (O) lần lượt tại A’ ,B’ ,C’. Chứng minh rằng: 
MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’
36*.Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , M là trung điểm cạnh CB
a)Xác định trên đường thẳng AC một điểm N sao cho tam giác MDN vuơng tại D.Tính diện tích tam giác đĩ.
b)Xác định trên đường thẳng AC một điểm P sao cho tam giác MPD vuơng tại M.Tính diện tích tam giác đĩ.
c) Tính cosin của gĩc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD
37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh rằng :
a) + = +
b) . = .
c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 
d) MA2 + . = 2.
38.Cho tam giác ABC và các hình vuơng ABED, ACHI ,BCGH
 Chứng minh rằng : 
a) (+ ).= 0 
b) (+ + ).= 0
c) + + = 
d) + + = 
39.Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN
 a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ và
b)Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho AM ^ CN 
40.a)Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường trịn tâm (O,R). M là một điểm tuỳ ý trên đường trịn . Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2
 b) Tổng quát bài tốn trên cho một đa giác đều n cạnh
41*.Cho lục giác đều A1A2A6 nội tiếp trong đường trịn (O,R) và một điểm M thay đổi trên đường trịn đĩ. Chứng minh rằng :
a) cos + cos + + cos= 0
b) MA12 + MA22+ + MA62 là một hằng số ( = 12R2)
42*.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường trịn (O,R) ,M là một điểm bất kỳ trên đường trịn 
a)Chứng minh rằng : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 
b)Chứng minh rằng : MA2 + 2. = 3R2 
c)Suy ra nếu M ở trên cung nhỏ BC thì MA = MB + MC
43.Cho tam giác ABC cĩ A = 60o ,AB = 6 ,AC = 8 , gọi M là trung điểm BC
a)Tính độ dài đoạn AM và độ dài đường phân giác trong của gĩc A
44*. Tam giác ABC cĩ tính chất gì,biết rằng:
 (.)+ (.)+ (.) = 
45.Cho tam giác ABC cĩ AB = AC = 5 , gĩc BAC = 120o nội tiếp trong đường trịn tâm I. Gọi D là trung điểm AB và E là trọng tâm của tam giác ADC
a)Tính .
b)AH là đường cao của tam giác ABC.Tính theo và 
c)Chứng minh rằng IE ^ CD
46.Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, BC và AD. Đặt = , = , = 
a)Chứng minh rằng : = ( + – ) ; = ( + – )
b)Chứng minh rằng :nếu MN = PQ thì AB ^ CD.Điều ngược lại cĩ đúng khơng?
47.Cho tam giác ABC cĩ độ dài 3 cạnh là a ,b ,c. Gọi D là trung điểm AB và I là điểm thỏa + 3 – 2 = 
a)Chứng minh rằng BCDI là hình bình hành 
b)Tính . theo a ,b ,c
c)M là một điểm tùy ý, chứng minh rằng :
 MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2
d)Khi M chạy trên đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí của M để biểu thức 
 MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ nhất 
48.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý
a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 khơng phụ thuộc vị trí điểm M
b) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp của tam giác ABC, chứng minh rằng :
 2MA2 + MB2 – 3MC2 = 2.
c)Tìm quĩ tích điểm M sao cho 2MA2 + MB2 = 3MC2
49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1)
Chứng minh rằng: tam giác ABC vuơng cân tại A
50 .Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1)
a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành 
b)Kẻ đường cao AH .Tìm tọa độ chân đường cao H
51.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và D(0;– 2). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân
52.Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0)
a)Chứng minh rằng: 3 điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác 
b)Tính gĩc B của tam giác ABC
53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trên trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ nhất của 
54.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường trịn 
55.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường trịn