Phương pháp khử dạng vô định

Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
1 
 Giới hạn dạng vô định là những giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng 
cách áp dụng trực tiếp các định lý về giới hạn và các giới hạn cơ bản trình bày 
trong Sách giáo khoa. Do đó muốn tính giới hạn dạng vô định của hàm số, ta 
phải tìm cách khử các dạng vô định để biến đổi thành dạng xác định của giới 
hạn 
 Trong chƣơng trình toán THPT, các dạng vô định thƣờng gặp là : 
0
, , , 0. , 1
0
  

 Sau đây là nội dung từng dạng cụ thể. 
I. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 
0
0
 Giới hạn dạng vô định 
0
0
 là một trong những giới hạn thƣờng gặp nhất 
đối với bài toán tính giới hạn của hàm số. Để tính các giới hạn dạng này, 
phƣơng pháp chung là sử dụng các phép biến đổi ( phân tích đa thức thành nhân 
tử, nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, thêm bớt, ) để khử các thành 
phần có giới hạn bằng 0, đƣa về tính giới hạn xác định. Chính các thành phần có 
giới hạn bằng 0 này gây nên dạng vô định. 
 Để tính giới hạn dạng vô định
0
0
, trƣớc hết giáo viên cần rèn luyện cho 
học sinh kỹ năng nhận dạng. 
1. Nhận dạng giới hạn vô định 
0
0
 Để giải bài toán tìm giới hạn của hàm số, học sinh cần xác định giới hạn 
cần tìm thuộc dạng xác định hay vô định. Nếu giới hạn đó là vô định thì phải xét 
xem nó thuộc dạng vô định nào để có phƣơng pháp giải thích hợp. Bởi vậy việc 
rèn luyện kỹ năng nhận dạng cho học sinh có quan trọng, giúp học sinh định 
hƣớng đƣợc cách giải, tránh những sai xót có thể mắc phải. 
 Đối với dạng vô định 
0
0
, việc nhận dạng không khó khăn lắm vì học sinh 
thƣờng gặp giới hạn : 
0x x
f(x)
lim
g(x)
 mà 
0 0x x x x
lim f(x) = lim g(x) = 0
 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
2 
Thực tế học sinh hay gặp trƣờng hợp 
0x x
f(x)
lim
g(x)
 mà 
0 0
f(x ) = (x ) = 0g . Ngoài ra 
 trong một số bài toán học sinh phải thực hiện các phép biến đổi để chuyển về 
dạng vô định 
0
0
, sau đó mới áp dụng các phƣơng pháp khử các thành phần có 
giới hạn bằng 0. 
 Khi giảng dạy, giáo viên nên đƣa ra một số bài toán để nhấn mạnh cho 
học sinh việc nhận dạng nhƣ : 
0x x
f(x)
lim
g(x)
 mà 
0x x
lim f(x) 0

 hoặc 
0x x
lim g(x) 0

 
Tránh tình trạng học sinh không nhận dạng mà áp dụng ngay phƣơng pháp giải. 
 Ví dụ áp dụng : 
(Yêu cầu chung của những bài tập là : “ Tính các giới hạn sau”). 
 Ví dụ 1 : 1 2x 2
x - 2
L = lim
x +1
 Bài giải : 
 1 2 2x 2
 = 
x - 2 2 - 2
L = lim 0
x +1 2 1


 Ví dụ 2 : 2 2x 1 - 
x + 2
L = lim
x 1
 Bài giải : 
 2 2x 1
- 
x + 2
L = lim = 
x 1
 vì 1 2 2
 1
lim(x+2) = 1+2 = 3
lim(x - 1) = 1 - 1 = 0
x
x





 Ví dụ 3 : 3 2x 1
1 3
L = lim
x 1 x 1
 
 
 

 
 Bài giải : 
2
2 2x 1 x 1
x 1 x 1
 =
1 3 x 3x +2
L = lim lim
3 x 1 x 1 x 1
(x-1)(x 2) (x-2) 1-2 1
lim lim
(x 1)(x+1) (x+1) 1+1 2
 
 
  
   
   
 
    
 

  


WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
3 
 Dạng vô định 
0
0
 đƣợc nghiên cứu với các loại cụ thể sau : 
2. Loại 1 : 
0x x
f(x)
lim
g(x)
 mà f(x), g(x) là các đa thức và f(x0) = g(x0) = 0 
 Phương pháp : Khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành 
nhân tử với nhân tử chung là (x – x0). 
 Giả sử : f(x) = (x – x0).f1(x) và g(x) = (x – x0).g1(x). Khi đó : 
0 1 1
0 0 00 1 1
x x x x x x
)
)
(x - x f (x) f (x)f(x)
lim lim lim
g(x) (x - x g (x) g (x)  
  
Nếu giới hạn 1
0 1
x x
f (x)
lim
g (x)
 vẫn ở dạng vô định 
0
0
 thì ta lặp lại quá trình khử đến 
khi không còn dạng vô định. 
 Ví dụ áp dụng : 
 Ví dụ 4 : 
2
4 2x 2
2x - 5x +2
L = lim
x +x - 6
 Bài giải : 
 Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x - 2 
2
4 2x 2 x 2
x 2
 =
2x - 5x +2 (x - 2)(2x - 1)
L = lim lim
(x - 2)(x + 3)x +x - 6
2x - 1 2.2 1 3
 lim
x + 3 2 3 5
 

 




 Vậy 4
3
L
5
 
 Ví dụ 5 : 
2
5 x 2 2
x - 3x +2
L = lim
- 4x + 4x
 Bài giải : 
2
25 x 2 x 2
x 2
2
 = 
x - 3x +2 (x - 2)(x - 1)
L = lim lim
(x - 2)- 4x + 4
x - 1
lim
x - 2
x 

 

 ( Vì giới hạn của tử bằng 1, giới hạn của mẫu bằng 0) 
 Vậy 4L  
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
4 
 Ví dụ 6 : 
2
2
3 n
*
6 3 mx 1
+
+
x+x x +...+x - n
L lim (m, n N )
x+x x +...+x - m
  
 Bài giải : Ta sẽ phân tích tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x – 
1 bằng cách tách và nhóm nhƣ sau : 
 x + x
2
 + x
3
 + ... + x
n
 – n = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + ...+ (xn - 1) 
 x + x
2
 + x
3
 + ... + x
m
 – m = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + ...+ (xm - 1) 
Khi đó: 
22
2 2x 1 x 1
3 n3 n
6 3 m 3 m
1 - 1)+( - 1)+
+ 1 - 1)+( - 1)
 lim lim
(x- )+(x x +...+(x - 1)x+x x +...+x - n
L
x+x x +...+x - m (x- )+(x x +...+(x - 1) 
 
x 1
n-1 n-2
m-1 m-2
1 1 + (x + 1) +...+ ( )
1 1 + (x + 1) +...+ ( )
 lim
(x- ) 1
(x- ) +1
x + x +...+ x +
x + x +...+ x 
 
   
 
  

n-1 n-2
m-1 m-2x 1
1 + (x + 1) +...+ (x + x +...+ x +1)
 lim
1 + (x + 1) +...+ (x + x +...+ x +1)
 
n-1 n-2
m-1 m-2
1 + (1 +1) +...+ (1 + 1 +...+ 1 +1)
1 + (1 +1) +...+ (1 + 1 +...+ 1 +1)
 
n(n + 1)
1 2 3 ... n n(n + 1)2
m(m + 1)1 2 3 ... m m(m + 1)
2
   
  
   
 Vậy 6
n(n + 1)
L
m(m + 1)
 
Ví dụ 7 : 
4 3 2
7 4 3 2 1
2x - 5x +3x + x - 1
L lim
3x - 8x + 6x - 1x
 
 Bài giải : 
3 2
7 3 2x 1
3 2 2
3 2 2
4 3 2
4 3 2 x 1
x 1 x 1
 =
(x-1)(2x - 3x +1)
L = lim
(x-1)(3x - 5x +x+1)
2x - 3x +1 (x-1)(2x - x -1)
 = =
3x - 5x + x +1 (x-1)(3x - 2x -1)
2x - 5x +3x + x - 1
lim
3x - 8x + 6x - 1
lim lim
 
 
2
2x 1 x 1
x 1
2x - x -1 (x -1)(2x+1)
 = lim = lim
3x - 2x -1 (x -1)(3x+1)
2x+1 2.1+1 3
 = lim = =
3x+1 3.1+1 4
 


WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
5 
 Vậy 7
3
L =
4
 Kết luận: 
 Phƣơng pháp để giải bài tập loại này là phân tích đa thức thành nhân tử 
với nhân tử chung là x - x0. Yêu cầu đối với học sinh là : 
 Phải nắm vững các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các 
hằng đẳng thức, công thức phân tích tam thức bậc hai, đa thức bậc ba thành nhân 
tử: 
2
0
0
c
f(x) = ax + bx + c = (x - x ) ax - 
x
 
 
 
, ( f(x0) = 0) 
 Ngoài các hằng đẳng thức đáng nhớ, học sinh cần nhớ các hằng đẳng thức 
bổ xung là : an - bn = (a - b)(an -1+ an - 2b ++ abn - 2+ bn - 1), *n N 
 a
n
 + b
n
 = (a + b)(a
n -1
- a
n - 2
b +- abn - 2+ bn - 1), n là số tự nhiên lẻ. 
 Để học sinh dễ nhớ, cần lấy các trƣờng hợp cụ thể nhƣ : n = 2, 3, 4 và 
trƣờng hợp đặc biệt : xn - 1 = (x - 1)(xn - 1+ xn - 2++ x + 1). 
 Tuỳ theo đặc điểm từng bài mà biến đổi một cách linh hoạt để khử dạng 
vô định. Trong quá trình thực hành, nhiều khi sau các biến đổi đã khử các thành 
phần có giới hạn bằng 0 ta vẫn gặp giới hạn dạng vô định 
0
0
 mới ( thƣờng là 
“đơn giản” hơn so với giới hạn ban đầu). Tới đây ta tiếp tục quá trình khử đến 
khi giới hạn cần tìm không còn dạng vô định 
0
0
 thì thôi. 
Bài tập tự luyện 
 1) 
3
4x 1
x 3x 2
lim
x 4x 3
 
 
 2) 
x 0
(1 x)(1 2x)(1 3x) 1
lim
x
   
 3) 
100
50x 1
x 2x 1
lim
x 2x 1
 
 
 4) 
n 1
2x 1
x (n 1) n
lim
(x 1)


  

3. Loại 2 : 
0x x
f(x)
lim
g(x)
 mà f(x), g(x) chứa các căn thức cùng bậc và f(x0)=g(x0)= 0
 Phương pháp : Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng của 
biểu thức chứa căn thức (gọi tắt là phương pháp nhân liên hợp hay dùng biểu 
thức liên hợp) để trục các nhân tử x - x0 ra khỏi các căn thức, nhằm khử các 
thành phần có giới hạn bằng 0. Biểu thức chứa căn thức có thể là tử, mẫu hay cả 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
6 
tử và mẫu của phân thức cần tìm giới hạn ). Lƣu ý là có thể nhân liên hợp một 
hay nhiều lần để khử dạng vô định. 
 Các công thức thƣờng đƣợc sử dụng khi nhân liên hợp là : 
3 32 23 33 3
( A± B)( A B) = A - B , (A 0, B 0)
( A ± B)( A A B+ B ) =A ± B
 

 Giáo viên cần cho học sinh thấy đƣợc hai công thức này xuất phát từ hai 
hằng đẳng thức sau để học sinh dễ nhớ : 
2 2
2 2 3 3
(a - b)(a + b) = a - b
(a ± b)(a ab + b ) = a ± b
 Ví dụ áp dụng: 
 Ví dụ 8 : 8 2x 2
3x - 2 - x
L = lim
x - 4
 Bài giải : Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng, ta 
đƣợc : 
 8 2 2x 2 x 2
3x - 2 - x ( 3x - 2 - x)( 3x - 2 + x)
L = lim lim
x - 4 (x - 4)( 3x - 2 + x) 
 
2
2x 2 x 2
x 2
3x - 2 - x (x - 2)(-x + 1)
lim lim
(x - 4)( 3x - 2 + x) (x - 2)(x + 2)( 3x - 2 + x)
 x + 1 2 + 1 1
lim
16(x + 2)( 3x - 2 + x) (2 + 2)( 3.2-2+2)
 

  
 
   
 Vậy 
8
1
L =
16
 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
7 
 Ví dụ 9 : 9
 1
x+2 1
L lim
x+5 2 


x
 Bài giải : 
9
 1 1
( x+2 1)( x+2 1) ( x+5 2)x+2 1
L lim lim
x+5 2 ( x+5 2)( x+5 2) ( x+2 1)   
  
  
   
 
 
 
 
x x 
 1 1
(x + 2 - 1)( x+5 2) (x + 1)( x+5 2)
= lim lim
(x + 5 - 4)( x+2 1) (x + 1)( x+2 1)x x   
 
 
 
 1
x+5 2 1 5 2
= lim 2
x+2 1 1 2 1x 
   
 
   
 Vậy L9 = 2 
 Ví dụ 10 : 
n
*
10 m 1
x - 1
L lim , (m, n N )
x - 1
 
x
 Bài giải : 
n
10 m 1
n-1 n-2 m-1 m-2n n n n m m m
m-1 m-2 n-1 n-2m m m m n n n 1
x - 1
L lim
x - 1
( x - 1) ( x ) +( x ) +...+ x +1 ( x ) +( x ) +...+ x +1
 = lim
( x - 1) ( x ) +( x ) +...+ x +1 ( x ) +( x ) +...+ x +1


 
   
    
   
   
x
x
m mm-1 m-2 m
n n 1 n-1 n-2 n
(x - 1)( x + x +...+ x+1)
= lim
(x - 1)( x + x +...+ x+1)


x 
m mm-1 m-2 m
n n 1 n-1 n-2 n
x + x +...+ x+1 m
= lim
nx + x +...+ x+1

x
 Vậy 10
m
L = 
n
 Kết luận: 
 Phƣơng pháp dùng biểu thức liên hợp là phƣơng pháp chủ yếu đƣợc sử 
dụng để tính các giới hạn có chứa căn thức cùng bậc. Có thể xem đây là “ thuật 
toán” cơ bản cho phép tính đƣợc khá nhiều giới hạn của hàm số chứa căn thức, 
phƣơng hƣớng rõ ràng, dễ hiểu.Việc xác định biểu thức liên hợp là không quá 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
8 
khó khăn đối với học sinh. Tuy nhiên giáo viên cần rèn luyện kỹ năng xác định 
và nhân biểu thức liên hợp khi tính giới hạn. Theo cách này, nhiều bài toán tuy 
giải đƣợc nhƣng phải qua các phép biến đổi dài dòng với biểu thức cồng kềnh. 
Nếu dùng các giải khác nhƣ thêm bớt, đổi biến sẽ cho lời giải ngắn gọn hơn. 
Bài tập tự luyện 
 1) 
3
x 1
x x 3
lim
x 1
 

 2) 
2
3x 2
x 4
lim
2 3x 2

 
 3) 
2 2x a
x b a b
lim
x a
  

 4) 
3 23
2x 1
x 2 x x 1
 ...  này còn liên quan tới bài 
toán tìm tiệm cận của hàm số chứa căn thức. 
Bài tập tự luyện 
 1) 
   
  
2 3
2 2x
2x 3 4x+7
lim
3x 1 10x 9

 
 2) 
20 30
50x
(2x 3) (3x+2)
lim
(2x+1)

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
22 
 3) 
2 n
n+1x
n 2
(x+1)(x 1)...(x 1)
lim
(nx) 1

 
 
 

 4) 
2
x 2
x 2x 3x
lim
4x 4 x+2
 
 
 5) 
34 5 2
4x 4 3
x 1 x 2
lim
x 1 x 2
  
  
 6) 
3
3 4x
ln(1 x x)
lim
ln(1 x x)
 
 
III. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH  
 Dạng tổng quát của giới hạn này là : 
0 x x
(x )
lim f(x) g(x)


   trong đó 
0 0x x x x
(x ) (x )
lim f(x) lim f(x)
 
 
  
 Phƣơng pháp chủ yếu để khử dạng vô định này là biến đổi chúng về dạng 
vô định 
0
, 
0


 bằng cách đổi biến, nhân liên hợp, thêm bớt,  
 Ví dụ áp dụng : 
 Ví dụ 27 :  227 xL lim x x x   
 Bài giải : 
 Nhân và chia biểu thức liên hợp tƣơng ứng là : 2x x+x , ta đƣợc : 
  
2 2
2
27 x 2x
( x x x)( x x+x)
L lim x x x
x x+x
lim
 

  
   

2 2
2 2x x
x
x x+x x x+x
x x x
lim lim
 
 

 

 Vì x nên chia cả tử và mẫu cho x ta có : 
2x x
1 1
21x x+x 1 1
x
x
lim lim
 
 
  
 Vậy 27
1
L
2
 
 Trong ví dụ này, bằng cách nhân liên hợp, ta đã chuyển giới hạn cần tìm 
từ dạng  sang dạng 


. 
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
23 
 Ví dụ 28 : 28 x
L lim x+ x x

 
  
  
 Bài giải : 
 28 x x
( x+ x x)( x+ x x)
L lim x+ x x lim
x+ x x 
   
  
 
 

x x
x+ x x x
lim lim
x+ x x x+ x x 

  
 
x x 1
x 1 1
lim lim
2x+ x x 1+ 1
x
 
  
 
 ( chia cả tử và mẫu cho x ) 
 Vậy 28
1
L
2
 
 Ví dụ 29 : 229 x
L lim x x 3 x

 
  
    
 Bài giải : Trong ví dụ này cần lƣu ý khi x cần xét hai trƣờng 
hợp x và x 
 +) Khi x thì : 
 2 2x x 3 xx x 3      
 Do đó 2
x
lim x x 3 x

  
  
    
 +) Khi x thì giới hạn có dạng  . Ta khử bằng cách nhân liên 
hợp bình thƣờng 
2 2
2
x x 2
( x x 3 x)( x x 3 x)
lim x x 3 x lim
x x 3 x   
  
  
     
   
  
2 2
x x x 2 2 2
3
1x x 3 x x 3
lim lim lim
x x 3 x x x 3 x x x 3
1
x
x
     
  
     
       

Khi x thì x < 0, do đó 2x x  
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
24 
x x 2
2
3 3
1 1 1 1x xlim lim
2 21 3x x 3 1 11
x xx
   


    
 
    
 Vậy 2
x
lim x x 3 x

 
  
     , 2
x 
1
lim x x 3 x
2 
 
  
    
 Qua ví dụ này một lần nữa nhấn mạnh cho học sinh chú ý với giới hạn khi 
x cần xét x và x đối với hàm số chứa căn thức bậc chẵn. 
 Ví dụ 30 : 3 3 2 230 x
L lim x 3x x 2x

 
  
    
 Bài giải : Vì hàm số cần tìm giới hạn chứa các căn thức không 
cùng bậc nên ta thêm bớt để có thể nhân liên hợp. 
3 33 2 2 3 2 2
30 x x
)L lim x 3x x 2x lim ( x 3x x ( x 2x x)
 
    
      
         
x x
3 2 23
1 2
lim limx 3x x x 2x x G G
 
    
      
      
+) 
 
3 2 3
21
3 2 3 2 23 3
3 23
x x
x 3x
G
x 3x x x 3x x
x
lim x 3x x lim
 
   
 
   

  
 
2 2
3 2 3 2 23 3
3 3
x x
3 3 3
1
33 3x 3x x x 3x x
1 1 1
x xx
lim lim
 
   
    
    
 
+) 
2 2
2
2
x x2
x 2x x
x 2x x
G lim x 2x x lim
 
    
   
  
2x x
2 2 2
1
22x 2x x
1 1
xx
lim lim
 
  
    
 
 
 Vậy L30 = G1 - G2 = 2 
 Ví dụ 31 : *31 m nx 1
m n
L lim , (m, n N )
1 x 1 x
 
     
 Bài giải : 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
25 
31 m n m nx 1 x 1
m n m 1 n 1
L lim lim
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 
      
                      
1 2m nx 1 x 1
m 1 n 1
lim lim G G
1 x 1 x 1 x 1 x 
   
        
      
+) 
2 m 1
1 m mx 1 x 1
m 1 m (1 x x ... x )
G lim lim
1 x 1 x 1 x

 
     
    
   
2 m 1
mx 1
(1 x) (1 x ) ... (1 x )
lim
1 x


     
 

m 2
m 1x 1
(1 x) 1 (1 x) ... (1 x ... x )
lim
(1 x)(1 x ... x )


          
   
m 2
m 1x 1
1 (1 x) ... (1 x ... x ) 1 2 ... m 1 m 1
lim
1 x ... x m 2


           
  
  
Tƣơng tự ta tính đƣợc 2
n 1
G
2

 
 Vậy 31 1 2
m 1 n 1 m n
L G G
2 2 2
  
     
 Trong bài tập này ta sử dụng thuật toán thêm, bớt để tách giới hạn cần tìm 
thành hai giới hạn và tính các giới hạn này bằng cách biến đổi về dạng 
0
0
. Việc 
thêm bớt biểu thức phải tinh tếvà phụ thuộc vào đặc điểm từng bài. 
 Kết luận : 
 Đối với dạng vô định  , ta phải tuỳ vào đặc điểm từng bài mà vận 
dụng linh hoạt các kỹ năng thêm bớt, nhân liên hợp, phân tích thành nhân tử để 
biến đổi và khử dạng vô định. Ta thƣờng chuyển chúng về các dạng vô định dễ 
tính hơn là 
0
0
, 


. 
Bài tập tự luyện 
 1) 
x
lim x x x x

 
   
 
 2) 2 23 3
x
lim (x 1) (x 1)

   
 
 3) 
x
lim x x x x x x

    
 
  
 4) 3 2
x
lim x 1 x

  
 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
26 
 5)  
x
lim ln(5x 8) ln(3x 5)

   6) 5
x
lim (x 1)(x 2)...(x 5) x

      
IV. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0. 
 Dạng tổng quát của giới hạn này là : 
  
0
x
(x x )
lim f (x).g(x)


 trong đó 
0 0
x x
(x x ) (x x )
lim f (x) 0, lim g(x)
 
 
  
 Để khử dạng vô định này, ta thƣờng tìm cách chuyển chúng về dạng giới 
hạn khác dễ tình hơn nhƣ 
0
0
, 


 bằng cách nhân liên hợp, thêm bớt, đổi biến  
 Ví dụ áp dụng : 
 Ví dụ 32 :  232
x
L lim x x 5 x

   
  
 Bài giải : Ta khử dạng vô định này bằng cách nhân liên hợp để 
đƣa về dạng vô định 


  
2 2
2
32 2x x
x( x 5 x)( x 5 x)
L lim x x 5 x lim
x 5 x 
        
    
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
27 
2 2
2 2 2x x x
x(x 5 x ) 5x 5
lim lim lim
x 5 x x 5 x x 5 x
x
  
 
  
     
 2x x > 0 x x    
 Do đó : 
2x x
2
5 5 5
lim lim
25x 5 x
1 1
xx
 
 
 
 
 Vậy 32
5
L
2
 
 Ví dụ 33 : 33
x 1
x
L lim(1 x)tg
2

  
 Bài giải : Đặt t 1 x  ta có : 
 x 1 t 0   
33
t 0 t 0
(1 t) t
L lim t.tg lim t.tg
2 2 2 
        
      
    
t 0 t 0 t 0
t
t t 2 22lim t.cotg lim lim
t t2
tg tg
2 2
  

 
        
 Vậy 
33
2
L 

Bài tập tự luyện 
 1)  2
x
lim x 4x 9 2x

  
  
 2)  2 4 4
x
lim x 3x 5 3x 2

   
  
 3)  2 33
x
lim x 4x 5 8x 1

   
  
 4) 
x
4
lim tg2x.tg x
4
   
  
  
 5)  2 2
x a
x
lim a x tg
2a
 
 
 
 6) 
1 1
2 x x
x
lim x e e 2


  
   
  
V. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 1 
 Dạng tổng quát của giới hạn này là : 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
28 
  
0
g(x)
x x
lim f (x)

, trong đó 
0 0x x x x
lim f (x) 1, lim g(x)
 
  
Hai giới hạn cơ bản thƣờng đƣợc sử dụng khi tính giới hạn dạng vô định 1 là : 
 +) 
x
x
1
lim 1
x
e

 
 
 
  (1) 
 +)  
1
x
x
lim 1 x e

  (2) 
Trong quá trình vận dụng, học sinh biến đổi về dạng 
0x x
f(x)
1
lim 1
f(x)
e

 
 
 
  nếu 
0x x
lim f (x)

 
  
0
1
g(x)
x x
lim 1 g(x) e

  nếu 
0x x
lim g(x) 0

 
 Để biến đổi giới hạn cần tìm, học sinh vận dụng mệnh đề sau (dựa vào 
tính liên tục của hàm số mũ). 
 “ Nếu hai hàm số f(x), g(x) thoả mãn các điều kiện : 
1) 
0x x
lim f (x) a 0

  
2) 
0x x
lim g(x) b

 
thì  
0
g(x) b
x x
lim f (x) a

 ” 
 Hai giới hạn cơ bản và mệnh đề trên là cơ sở để tính các giới hạn dạng vô 
định 1 
 Ví dụ áp dụng 
 Ví dụ 34 :  
1
x
34
x 0
L lim 1+ sin2x

 
 Bài giải : 
      
sin 2x
1 1 sin 2x 1 x.
x sin 2x x sin 2x
34
x 0 x 0 x 0
L lim 1+ sin2x lim 1+ sin2x lim 1+ sin2x
  
 
    
 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
29 
 Ta có :  
1
sin 2x
x 0
lim 1+ sin2x e

 ( để học sinh dễ hiểu nên đặt t = sin2x) 
x 0 x 0
sin 2x sin 2x
lim 2lim 0
x 2x 
  
Do đó :  
sin 2x
1 x
2
sin 2x
34
x 0
L lim 1+ sin2x e

 
  
 
 Ví dụ 5 : 
4 3x
35
x
x 1
L lim
x 2


 
  
 
 Bài giải : Để sử dụng giới hạn cơ bản ta biến đổi : 
x 1 1
1
x 2 (x 2)

 
  
4 3x
(x 2).4 3x
(x 2)
35
x x
x 1 1
L lim lim 1
x 2 (x 2)

 
 
 
  
     
     
 Vì 
(x 2)
x
x x x
1
lim 1 e
(x 2)
4
3
4 3x 3x 4 xlim lim lim 3
2(x 2) x 2
1
x
 

  
  
   
  

 
 
      

 nên 335L e 
 Bài 36 : 
tg2 y
4
36
t 0
L lim tg y
4
 
 
 

   
   
  
 Bài giải : Đặt y x , x y 0
4 4
 
     .Ta có : 
21 tg y
tg2 y
2tgy4
36
t 0 t 0
1 tgy
L lim tg y lim
4 1 tgy
 
 
 
 
     
            
2
2
2tgy 1 tg y
 .
1 tg y 1 tgy 1 tgy 2tgy 
2tgy 2tgy
t 0 t 0
2tgy 2tgy
lim 1 lim 1
1 tgy 1 tgy


  
 
 
                  
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
30 
 Vì 
1 tgy
2tgy
y 0
2tgy
lim 1 e
1 tgy



 
  
 
 và 
  
2
y 0 y 0
2tgy 1 tg y
. 1 tgy 1
1 tgy 2tgy
lim lim
 
 
      
 
 nên 1
36
L e 
 Kết luận : 
 Với dạng vô định 1 , việc nhận dạng không khó khăn đối với học sinh. 
Tuy nhiên, để làm đƣợc bài tập, học sinh phải vận dụng tốt các kỹ năng để đƣa 
các giới hạn cần tìm về một trong hai giới hạn cơ bản (1) và (2). Hai kỹ năng 
chủ yếu đƣợc sử dụng là đổi biến và thêm bớt. 
Bài tập tự luyện 
 1)  
2cot g x
2
x 0
lim 1 x

 2) 
1
sin x
x 0
1 tgx
lim
1 sin x
 
 
 
 3) 
2x
2
2x
x 3
lim
x 2
 
 
 
 3)  
cot g x
x 1
lim 1 sin x


  
 5) 
2
1
x
x 0
lim(cos2x)

 6) 
x
x
1 1
lim sin cos
x x
 
 
 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com