Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Máy tính bỏ túi - Dạng toán về đa thức

DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC
Bài 1: Tính (làm tròn đến 4 chữ số thập phân)
	Cho C = khi x = 1,8363
Bài 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 
Tính P(2) 
Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
Bài 3: 
Tính P(x) = 17x5 – 5x4 + 8x3 + 13x2 – 11x – 357 khi x = 2,18567
Bài 4: 
Cho P(x) = x3 – 2,531x2 + 3x – 1,356. Tính P(-1,235) với 3 chữ số thập phân.
Tìm số dư với 3 chữ số thập phân của phép chia sau:
(3x4 – 2x3 – x2 – x + 7) : (x – 4,532)
Bài 5: Tìm phần dư của phép chia đa thức:
	(2x5 – 1,7x4 + 2,5x3 – 4,8x2 + 9x – 1) : (x – 2,2)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 b) x4 + 2x3 – 25x2 – 26x + 120
20x2 + 11xy – 3y2 d) 8x4 – 7x3 + 17x2 - 14x + 32
x5 – 4x4 + 3x3 + 3x2 – 4x + 1 f) 6x4 – 11x3 – 32x2 + 21x + 36
Bài 7: Tính A = khi x = 1,8165
Bài 8: 
Tìm số dư của phép chia 
Tìm số dư của phép chia: 
Bài 9: Tìm số dư của phép chia : 
Bài 10: Tìm số dư của phép chia: 
Bài 11: 
Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6
Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 5x2 – 13x + a
Với điều kiện nào của a thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3
Với giá trị của a tìm được ở câu trên, hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho 3x – 2
Bài 13: Cho đa thức P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x – 50
	Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x – 2 và r2 là phần dư của phép chia P(x) cho x – 3. Tìm bội chung nhỏ nhất của r1 và r2.
Bài 14: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m
Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3
Với m tìm được ở câu a, hãy tìm số dư r khi chia đa thức 3x – 2
Với m tìm được ở câu a) hãy phân tích đa thức P(x) ra thừa số bậc nhất
Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và 
Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x – 2
e) Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n ra tích của các thừa số bậc nhất.
Bài 15: 
Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n
Tìm giá trị của m và n để đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2
Với giá trị m và n vừa tìm được, hãy chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có nghiệm một duy nhất.
Bài 16: a) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f
Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 . Tìm các giá trị của P(6) ; P(7) ; P(8)
	b) Cho đa thức Q(x) = x4 = mx3 + nx2 + px + q. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7 ; 
Q(3) = 9 ; Q(4) = 11. Tính giá trị Q(10); Q(11) ; Q(12) ; Q(13)
Bài 17: Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c . Biết f() = ; f() = 
f() = . Tính giá trị đúng và giá trị gần đúng với 5 chữ số thập phân của f()
Bài 18: Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m
Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5
Muốn cho đa thức có nghiệm x = 2 thì m có giá trị bằng bao nhiêu ?
Bài 19: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e và cho biết P(1) = 3; 
p(2) = 9 ; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51.
	Tính P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) và P(11)
Bài 20: Cho đa thức P(x) = 
Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4
Chứng minh đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Bài 21: Cho đa thức f(x) = 1 + x2 + x3 + x4 + .... + x49 Tính f(1,2008)
Bài 22: Tính giá trị biểu thức:
A = khi x = 1, 2007 ; y = 1,2008KẾT QUẢ
DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC
1) 7,1935
2) –509,0344879
3) 498,438088
4a) –10,805
4b) 1061,318
5) 85,43712
6a) (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)
6b) (x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 5)
6c) (4x + 3y)(5x – y)
6d) (x2 + x + 2)(8x2 – 15x + 16)
6e) (x – 1)2(x + 1)(x2 – 3x + 1) 
6f) (x + 1)(x – 3)(2x + 3)(3x – 4)
7) A = 1,498465582
8a) 19
8b) 6,284000113
9) 47,6454664
10) 108,5136528
11) a = 222
12a) a =12
12b) r = 2
13) –556
14a) m = 12
14b) r = 0
14c) (2x + 3)(3x – 2)(x - 2)
14d) m = 12 ; n = 30
14e) (x – 2)(x – 3)(2x + 5)
15a) m = -46 ; n = -40
15b) R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6 = (x – 2)(x2 + x + 3) đa thức x2 + x + 3 
Vô nghiệm nên R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
16a) P(6) = 156 ;P(7) = 769; P(8) = 5104
16b) Q(10) = 3047; Q(11) = 5065 ;
 Q(12) = 7947 ; Q(13) = 11909
17) f(2/3) = -0,34259
18a) 2144,40625
18b) m = -141,40625
18c) m = -46
19) P(6) = 193 ; P(7) = 819 ; P(8) = 2649 ; P(9) = 6883 ; P(10) = 15321; 
 P(11) = 30483
20a) P(-4) = P(-3) = P(-2) = P(-1) = P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0
20b) Do 4 ; 3 ; 2; 1 ; 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 là nghiệm của P(x) nên:
P(x) = (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Với x nguyên ta có: (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) là tích của 9 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 630
Vậy P(x) luôn có giá trị nguyên với mọi x nguyên. 
Chú ý: Các dạng ở bài tập 16 đến 20 có nhiều cách để xác định đa thức P(x) nhưng cách gắn gọn hơn hết ta có thể thực hiện như sau: Ví dụ ở bài tập 19: 
Bước 1: (Giảm bậc)
Đặt P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + g(x) suy ra g(x) có bậc không lớn hơn 4
Bước 2: (thử chọn để tìm g(x) thường nên chọn bậc g(x) là 2)
Giả sử đa thức g(x) có bậc 2 : g(x) = ax2 + bx + c ta có : 
g(1) = a + b + c = 3 (1)
g(2) = 4a + 2b + c = 9 (2)
g(3) = 9a + 3b + c = 19 (3)
Bước 3: Dùng máy giải hệ pt gồm 3 pt (1) , (2) , (3) được a = 2 ; b = 0 ; c = 1
 g(x) = 2x2 + 1 
Bước 4: Thử lại g(4) = 33 (đúng gt) ; g(5) = 51 (đúng gt)
Vậy P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2x2 + 1 Từ đó ta giải quyết được bài toán.