Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Máy tính bỏ túi - Một số dạng về số học

MỘT SỐ DẠNG VỀ SỐ HỌC
Bài 1: Có bao nhiêu chữ số khi viết 300100
Bài 2: Tìm các chữ số a,b,c,d để ta có 
Bài 3: Tìm các số có không quá 10 chữ số mà khi ta đưa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên thì số đó tăng lên gấp 5 lần.
Bài 4: Số 312 – 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79 tìm hai số đó.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều bằng 1 tức là n3 = 1111111 với n vừa tìm được thì n3 bằng bao nhiêu ?
Bài 6: Tim số tự nhiên n (1010 n 2000) sao cho an = cũng là số tự nhiên
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 là một số có 12 chữ số và có dạng
 n2 = 2525 ****** 89
Bài 8: Tìm tất cả các số tự nhiên n có 3 chữ số sao cho n69 bắt đầu bằng chữ số 1986, còn n121 bắt đầu bởi chữ số 3333
Bài 9: Số 19549 là số nguyên tố hay hợp số.
Bài 10: Có bao nhiêu số chia hết cho 9 gồm 5 chữ số được viết bởi các chữ số 1,2,3
Bài 11: Có bao nhiêu số chia hết cho 9 gồm 6 chữ số được viết bởi các chữ số 2,3,5
Bài 12: Tìm một số gồm 3 chữ số có dạng biết tổng của ba chữ số bằng kết quả của phép chia 1000 cho 
Bài 13: Có bao nhiêu số chia hết cho 9 gồm 6 chữ số được viết bởi các chữ số 2,3,7
Bài 14: Tìm các ước nguyên tố lớn nhất và nhỏ nhất của 2152 + 3142
Bài 15: Tìm các số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 mà chia hết cho 7.
Bài 16: Tìm các số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 mà chia hết cho 13.
Bài 17: 
Cho A = 200221353 + 5
Tìm chữ số tận cùng của A 
Tìm 2 chữ số tận cùng A
Tìm 3 chữ số tận cùng của A
Tìm 4 chữ số tận cùng của A
Tìm 5 chữ số tận cùng của A
Bài 18: 
Tìm 5 chữ số tận cùng của số a = 234862112 + 32
Bài 19: 
Tìm 4 chữ số tận cùng của số b = 415116213 – 11
Bài 20: 
Tìm 2 chữ số tận cùng của số c = 62318941925 + 21
Bài 21: 
Tìm 2 chữ số tận cùng của số d = 22001 + 22002 + 22003
Bài 22: 
Tìm 2 chữ số tận cùng của số f = 62000 + 62001 + 62002
Bài 23: Đổi số thập phân sau ra hổn số
a) 1,5(42) ; b) 2,(7) ; c) 1,(23) ; d) 3,(69) ; e) 3,(459) ; f) 0,(12582)
Chú ý : 0,(1) = ; 0,(01) = ; 0,(001) = ; 0,(0001) = 
Công thức tính tổng của một số dãy số:
1.2 + 2.3 + 3.4 +  + n(n + 1) = 
1.2.3 +2.3.4 +  + n(n+1)(n+2) = 
12 + 22 + 32 +  + n2 = 
13 + 23 + 33 +  + n3 = 
14 + 24 + 34 +  + n4 = 
15 + 25 + 35 +  + n5 = 
12 + 32 + 52 +  + (2n + 1)2 = 
ĐÁP ÁN
CHUYÊN ĐỀ CÁC DẠNG VỀ SỐ HỌC
1) 248 chữ số
2) (a,b,c,d) =(2,3,1,4)
3) 142857
4) 70 và 73 
5) n = 1038471
6) 1118 ; 1158; 1310, 1406; 1557; 1601; 1758 ; 1873
7) 502533 ; 502583; 502517; 502567
8) n = 101
9) 19549 = 113.173
10) 30 số
11) 60 số
12) = 125
13) 30 số
14) ư.n.t.n.n = 97; ư.n.t.l.n = 1493
15) Min = 1020334 ; Max = 1929354
16) Min = 1020344 ; Max = 1929304
17.a) 0 ;b) 80; c) 380; d) 0380, e) 10380
18) 36553
19) 6050
20) 53
21) 64
22) 68
23. a) 1 ; b) 2; c) 1 ; d) 3 ; e) 3; f) 
HD
 Bài 5: n3 = 111 1111
n3 có chữ số tận cùng là 1 nên n phải có chữ số tận cùng là 1
n3 có 2 chữ số tận cùng là 11 nên n phải có 2 chữ số tận cùng là 71 (thử trên máy)
n3 có 3 chữ số tận cùng là 111 nên n phải có 3 chữ số tận cùng 471 (thử trên máy)
n3 có 4 chữ số tận cùng là 1111 nên n phải có 4 chữ số tận cùng 8471 ( // )
Như vậy số đó là: n = k 8471 = k.104 + 8471 n3 = (k.104 + 8471)3 k thuộc N
Cho k chạy từ 1 đến ... và theo giỏi trên máy ta thấy k = 103 thì ta được số có 3 chữ số đầu là 111 Vậy: n = 1038471
Ta có thể giải bằng suy luận như sau:
(Giã sử : n3 = 1111111 = 111.10m + 4 + 1111
Suy ra: 111. 10m + 4 < n3 < 112. 10m + 4 đặt m = 3k khi đó ta có:
 111. 103k + 4 < n3 < 112. 103k + 4 
 10,35398805 10k + 1 < n < 10,3849882  . 10k+1
 xét k = 1 suy ra n có ba chữ số đầu là 103
Để n nhỏ nhất thì n = 1038471 thử lại: 10384713 = 1119909991289361111)
Bài 7: n2 = 2525 ****** 89
Ta thấy: n2 có chữ số tận cùng là 9 nên n phải có chữ số tận cùng là: 3 ; 7
 Để n2 có 2 chữ số tận cùng là 89 thì n phải có 2 chữ số tận cùng là: 33; 83; 17; 67
Suy ra: 25224. 108 < n2 = 2525 .108 + ******89 < 2526 . 108
 50,239  104 < n < 50,2593104
 5024 .102 n 5025 . 102 
Thử trên máy ta được n phải có 4 chữ số đầu là: 5025 nên số cần tìm là:
 502533; 502583; 502517 ; 502567
Bài 8: Ta có: 1 = 121.4 – 69.7
 < n = n121.4 – 69.7 = = < 
 < n < .10m 1,009  10m < n < 1,0139  10m
 Suy ra : n = 101
Bài 10: Số gồm 5 chữ số được viết bởi các chữ số 1,2,3 chia hết cho 9 phải có mặt các chữ số 1,2,3,1.2 nên ta có: n = = 30 số
Ghi nhớ:
Với 2 chữ số a,b (a b) ta viết được 2 số có 2 chữ số: 2 = 2!
 	Nếu a và b trùng nhau ta chỉ viết được 1 số : 1 = 
 Với 3 chữ số a,b, c (a b c) ta viết được 6 số có 3 chữ số: 6 = 3!
	Nếu nếu có 2 số trùng nhau thì ta chỉ viết được 3 số: 3 = 
Lí luận tương tự ta đi đến tổng quát sau:
Với k chữ số a,b,c,d,e,f,  khác nhau ta viết được số số có k chữ số là n = k!
Trong k chữ số trên giả sử nếu có m chữ số b giống nhau, n chữ số d gống nhau thì số số có k chữ số viết bởi k chữ số trên được xác định: n = 
Chú ý: Dấu hiệu chia hết cho 7 , 11, 13 như sau: Lấy tổng nhóm chẳn trừ tổng nhóm lẻ chia hết cho các số trên thì số đó chia hết cho 7, 11, 13
Ví du: a bcd efh glk Gọi nhóm đỏ là lẻ xanh là chẳn nếu (glk + bcd) – (efh + a) chia hết cho 7 thì a bcd efh glk cho 7.
Dấu hiệu chia hết cho 19: Nếu bỏ số cuối rồi lấy số đó nhân 2 cộng với số còn lại cứ thế cho đến khi thu gọn lại thành một số nếu số đó chia hết cho 19 thì số ban đầu chia hết cho 19