Tài liệu chủ đề Bất đẳng thức (lớp 10 NC)

Bài toán: Với hai số dương x và y ta có: (1)
 Đẳng thức xảy ra khi x =y.
Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất. 
** Chứng minh : 
 Cách 1. Với hai số dương x và y ta có: 
 2(x + y)2
 Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có
 Từ đó: (
 Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Tổng quát: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kì ta có: 
 hay .
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi . ( chứng minh bất đẳng thức này cũng có nhiều cách chứng minh xin dành cho bạn đọc).
II. ÁP DỤNG TRÊN THỰC TIỄN CÁC BÀI TOÁN : 
Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:
 (2)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Áp dụng (1) ta có ngay điều phải chứng minh.
 * Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:
 (3)
 * Kết hợp (2) và (3) ta có
Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:
 (4)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
 Chú ý: Nếu thêm giả thiết thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:
 (5)
 Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:
 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)
 Đẳng thức xảy ra khi:
 Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau:
 Giải: Đặt thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
 Hệ thức trở thành: 
 Ta có:
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của 
 Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và
 Theo bất đẳng thức (1) ta có: 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
 Vậy: đạt được khi .
Bài toán 6 : Chøng minh r»ng : víi x, y, z lµ c¸c sè d­¬ng. DÊu b»ng s¶y ra khi nµo ?
Gi¶i :
. T­¬ng tù ta còng cã . Céng tõng vÕ bÊt d¼ng thøc trªn ta cã bÊt d¼ng thøc cÇn chøng minh. Dêu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.
Bài toán 7 : Cho 3 số thực dương a, b và c thoả :ab+bc+ca = abc. chứng minh rằng :
Gi¶i: ta cã ab+bc+ca = abc . §Æt . Khi ®ã ta cã: 
T­¬ng tù ta cã 
Céng vÕ víi vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã 
.
Suy ra ®iÒu ph¶i chứng minh
 Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Với x, y, z, t là các số dương.
 Giải : Ta có:
 Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
 Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự:
 Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
 Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì:
 Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng:
III. Mở rộng.
Cho x, y,z là ba số dương. chứng minh rằng:
;Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Tổng quát:
Cho ba số a, b, c bất kì, x, y, z la ba số thực dương ta có:
.(Bất đẳng thức s-vac) Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi .
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
IV. Áp dụng
Bài toán 1: Chøng minh r»ng : víi a, b, c lµ c¸c sè thùc d­¬ng.
Gi¶i :¸p dông bÊt ®¼ng thøc (6) ta cã : 
. Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. DÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi 
Bài toán 2 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
 trong ®ã a, b, c lµ c¸c sè thùc d­¬ng tháa m·n 
Gi¶i :
¸p dông bÊt ®¼ng thøc (6) ta cã : . MÆt kh¸c theo bÊt
®¼ng thøc Bunhiacovski ta cã : 
.
VËy 
Bài toán 3 : Cho c¸c sè thùc d­¬ng x, y, z, t tháa m·n xyzt=1. chøng minh r»ng 
Gi¶i : 
®Æt , theo bµi ra ta cã abcd = 1 vµ  ; t­¬ng tù ta cã :
C«ng c¸c vÕ bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã : 
(Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (6) cho bốn số)
DÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi 
Bài toán 4 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc , trong ®ã a, b, c lµ c¸c sè thùc d­¬ng tháa ®iÒu kiÖn 
Gi¶i : 
¸p dông bÊt ®¼ng thøc (6) ta cã :
XÐt biÓu thøc . Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacovski ta cã :
. Do ®ã .
M¸t kh¸c còng theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacovski .
Bài toán 5 : Cho x,y,z>0 và thoả : 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Nhận xÐt: C¸c sè x, y, z cã vai trß b×nh ®¼ng. dù ®o¸n dÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi chóng b»ng nhau vµ b»ng .
Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (6) ta cã :
DÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi .
Bài toán 6 : Cho a,b,c>0 và thoả : a.b.c = 1 
 Chứng minh rằng: 
Nhận xÐt: -C¸c sè x, y, z cã vai trß b×nh ®¼ng. dù ®o¸n dÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi chóng b»ng nhau vµ b»ng 1.
	- §Ó ®¬n gi¶n biÓu thøc ta cã thÓ ®Æt 
Gi¶i: §Æt Theo gi¶ thiÕt ta cã: xyz = 1
Ta cã ; t­¬ng tù ta cã:
; . Do ®ã ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (6) ta cã :
DÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi 
Bài toán 7 : Cho 3 số thực dương x,y,z >o thoả : .Tìm GTNN của 
A = 
Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (6) ta cã : 
.Ta cã. 
Do ®ã 
DÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi 
Bài toán 8 : Với x, y, z là số dương và 
Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn.
Đặt 
Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và 
	Chứng minh rằng : 
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có 
Bình phương hai vế bất đẳng thức: 
( Vì )
Đặt thì ( vì )
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1điều phải chứng minh
Tổng quát : ta có bài toán sau: với là số dương và 
Cmr: 
Bài toán 9 : chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè thùc d­¬ng tháa m·n th× 
Gi¶i :
Tõ suy ra . ®Æt th× ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (7) ta cã : 
T­¬ng tù ta còng cã 
Céng ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã 
C¸ch2 :
T­¬ng tù ta có:
cộng vế với vế ta có:
suy ra điều phải chứng minh.
dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3.
Bài toán 10  Cho . Cmr: 
Giải: 
Đặt từ điều kiện 
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và Côsi ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = đpcm.
Bài toán 11: Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d­¬ng thay ®æi vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: xyz = 1. T×m GTNN cña biÓu thøc: P = 
Giải:
để đơn giản đặt 
Ta có 
Mặt khác ta có . Nên ta có:
. dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi . Hay 
 Một số bài tập tương tự:
 	Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức Q = ,với x, y ,z là các số dương thoả mãn điều kiện x+y+z
HẾT