Tài liệu luyện thi vào lớp 10 THPT chuyên toán

Tài liệu luyện thi vào lớp 10 THPT chuyên toán 
ĐỀ SỐ I: (22 – 04 – 2010)
Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức P =
a/ Xác định a ; b để biểu thức có nghĩa và hãy rút gọn P.
b/ Tính giá trị của P khi a = và b = .
Hướng dẫn: 
a) P có nghĩa khi a > 0 ; b > 0 và a ¹ b
P == = a - b
b) Với a = = = 
 = ç3 - ç+ ç3 - 2ç= 3 - + 2 - 3 = 
 Với b = = 2
 Do đó P = a - b = - 2 = - 
Bài 2 : (2 điểm) 
a/ Cho hệ phương trình 
Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 - 2x - y > 0.
b/ Giải phương trình x2 - x - + - 10 = 0 
Hướng dẫn:
Cho hệ phương trình 
Từ(1) ta có x = 3m - my (3). Thay (3) vào (2): m(3m - my) - y = m2 - 2.
Û 3m2 - m2y - y = 2(m2 + 1) Û (m2 + 1)y = 2(m2 + 1) 
Vì m2 + 1 > 0 với mọi m nên y = = 2.
Thay y = 2 vào (3) ta có x = 3m - m.2 = m.
Vậy nghiệm (x ; y) của hệ phương trình là (x = m ; y = 2)
Để x2 - 2x - y > 0 thì m2 - m - 2 > 0 Û (m - 1)2 - ()2 > 0 
Û (m - 1 -).(m - 1+) > 0 
Û Û Û 
Vậy khi m > 1 + hoặc m 0.
b) Giải phương trình x2 - x - + - 10 = 0 (1). Điều kiện x ¹ 0.
Phương trình (1) Û (x2 +) - (x +) - 10 = 0 Û (x2 + + 2 ) - (x +) - 12 = 0 
Û (x +)2 - (x +) - 12 = 0 (*). 
Đặt y = x +. Phương trình (*) trở thành : y2 - y - 12 = 0 Þ y1 = - 3 ; y2 = 4.
Với y = - 3 Þ x + = - 3 Û x2 + 3x + 1 = 0 Þ x1 =  ; x1 =  
Với y = 4 Þ x + = 4 Û x2 - 4x + 1 = 0 Þ x3 = 2 +  ; x4 = 2 -   
Các giá trị của x vừa tìm được thỏa mãn x ¹ 0.
Vậy nghiệm số của (1) là : x1 =  ; x1 =  ; x3 = 2 +  ; x4 = 2 -   
Bài 3 : (2 điểm)
Một ô tô đi quãng đường AB dài 80 km trong một thời gian đã định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh hơn dự định 10 km/h, quãng đường còn lại ô tô chạy chậm hơn dự định 15 km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng giờ quy định. Tính thời gian ô tô đi hết quãng đường AB.
Hướng dẫn :
Gọi x (km/h) là vận tốc dự định của ô tô đi từ A đến B ( x> 15)
Thời gian ô tô dự định đi từ A đến B (h)
Vận tốc ô tô khi đi ba phần tư quãng đường AB là x + 10 (km/h)
Thời gian ô tô đi ba phần tư quãng đường AB là (h)
Vận tốc ô tô khi đi một phần tư quãng đường AB là x - 15 (km/h)
Thời gian ô tô đi một phần tư quãng đường AB là (h)
Ô tô đến B đúng giờ quy định nên ta có phương trình : + = 
Û + = Û 3x(x - 15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x - 15)
Û 4x2 - 35x = 4x2 - 20x - 600 Û 15x = 600 Þ x = 40 (thỏa mãn điều kiện)
Do đó vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h.
Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 80 : 40 = 2 (giờ).
Bài 4 : (3 điểm)
	Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB (C ¹ A, C ¹ B). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I ¹ A), tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
	1/ Chứng minh:
	a/ Tứ giác CPKB nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
	b/ AI.BK = AC.BC 
	c/ D APB vuông.
	2/ Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C sao cho diện tích của tứ giác ABKI đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn:
1. a/ P nằm trên đường tròn tâm O1
 đường kính IC Þ IPC = 900
P
K
I
C
B
A
2
2
1
1
1
1
1
O2
01
x
y
x
Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù)
Þ CPK = 900
Do đó CPK + CBK = 900 + 900 = 1800
Nên CPKB nội tiếp đường tròn tâm O2
đường kính CK.
b/ Vì ICK = 900 Þ C1 + C2 = 900
D AIC vuông tại A Þ C1 + A1 = 900
Þ A1 + C2 và có A = B = 900
Nên D AIC D BCK (g.g)
Þ Þ AI . BK = AC . BC (1)
c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt cùng chắn cung PC)
Trong (O2) có B1 = K1 (gnt cùng chắn cung PC)
Mà I2 + K1 = 900 (Vì D ICK vuông tại C)
Þ A1 + B1 = 900, nên D APB vuông tại P.
2/ Ta có AI // BK ( vì cùng vuông góc với AB, nên ABKI là hình thang vuông..
Do đó SABKI = .AB.(AI + BK)
Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi. Suy ra SABKI lớn nhất Û BK lớn nhất
Từ (1) có AI . BK = AC . BC Þ BK = . 
Nên BK lớn nhất Û AC . BC lớn nhất.
Ta có Þ AC + BC ³ 2 Û £ 
Û £ Û £ .
Vậy AC . BC lớn nhất khi AC . BC = Û AC = BC = Û C là trung điểm của AB.
Vậy SABKI lớn nhất khi C là trung điểm của AB.
Bài 5 : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 
Hướng dẫn:
Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008.
Cách 1 :
Từ 1003x + 2y = 2008 Þ 2y = 2008 - 1003x Þ y = 1004 - 
Vì y > 0 Þ 1004 - > 0 Þ x < 
Suy ra 0 < x < và x nguyên Þ x Î {1 ; 2}
Với x = 1 Þ y = 1004 - Ï Z nên x = 1 loại.
Với x = 2 Þ y = 1004 - = 1 Î Z+ nên x = 2 thỏa mãn.
Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = 2 ; y =1.
Cách 2 :
Vì x ; y là các số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 Þ 1003x < 2008 
Þ x < < 3 . Do x Î Z+ Þ x Î {1 ; 2}
Với x = 1 Þ 2y = 2008 - 1003 = 1005 Þ y = Ï Z+ nên x = 1 loại.
Với x = 2 Þ 2y = 2008 - 2006 = 2 Þ y = 1 Î Z+ nên x = 2 thỏa mãn.
Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = 2 ; y =1.
ĐỀ SỐ2 :(26 – 04 – 2010)
Bài 1 : (2 điểm) 
	Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10.
	a/ Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
	b/ Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2.
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x12 + x22 + x1x2 khi m thay đổi.
 Bài 2 : (2 điểm)
	a/ Giải phương trình :
	b/ Chứng minh rằng : Với mọi a ; b không âm ta có
	a3 + b3 ³ 2ab.
	Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
Bài 3 : (2 điểm)
	Một phòng họp có 360 ghế ngồi, được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhưng do số người đến dự họp là 400 nên đã phải kê thêm mỗi hàng một ghế ngồi và thêm một hàng như thế nữa mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu ở trong phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế ngồi.
Bài 4 : (3 điểm)
	Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R). Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE của tam giác ABC.
	a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn này.
	b/ Vẽ đường kính AK của đường tròn (O ; R). Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng.
	c/ Giả sử BC = AK. Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R.
Bài 5 : (1 điểm)
	Cho y = , Tìm tất cả giá trị x nguyên để y có giá trị nguyên.
Gợi ý và cách giải:
Bài 1: 
	a/ Hoành độ giao điểm của Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số của phương trình: x2 = 4mx + 10 Û x2 - 4mx - 10 = 0 (1)
Phương trình (1) có D’ = 4m2 + 10 > 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = - 10
F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2 - 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2 - x1x2 = 16m2 + 10 ³ 10
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 16m2 = 0 Û m = 0.
Vậy GTNN của F = 10 khi m = 0.
Bài 2:
a/ Giải phương trình: Điều kiện x ³ 1
Û Û Û 
Û Û Û x - 1 = 0 Û x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.
	b/ Với a , b ³ 0 ta có: Þ a + b ³ 2
Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab) = (a + b).[(a + b)2 - 3ab] ³ 2[(2)2 - 3ab]
Þ a3 + b3 ³ 2(4ab - 3ab) = 2.ab = 2ab
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Vậy với mọi a, b không âm ta có a3 + b3 ³ 2ab.
Bài 3:
Gọi x (hàng) là số hàng ghế ban đầu trong phòng họp (x nguyên, dương)
Do đó (ghế) là số ghế ban đầu của mỗi hàng .
x + 1 (hàng) là số hàng ghế lúc dự họp trong phòng họp 
Do đó (ghế) là số ghế lúc dự họp của mỗi hàng 
Khi dự họp mỗi hàng kê thêm một ghế ngồi, ta có phương trình :
 - = 1 Û x2 - 39x + 360 = 0.
Giải phương trình được x1 = 24 ; x2 = 15. Cả hai giá trị của x đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy ban đầu trong phòng họp có 24 hàng ghế, mỗi hàng có 15 ghế ngồi. 
Hoặc ban đầu trong phòng họp có 15 hàng ghế, mỗi hàng có 24 ghế ngồi.
D
B
A
O
F
I
H
K
C
E
Bài 4:
a/ Ta có BD và CE là hai đường cao cua DABC
Nên BEC = BDC = 900 
Suy ra BCDE nội tiếp đường tròn.
b/ Ta có BH // CK (cùng vuông góc với AC).
Và CH // BK (cùng vuông góc với AB).
Nên BHCK là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo BC và HK giao nhau tại 
trung điểm của mỗi đường.
Mà I là trung điểm của BC Þ I cũng là trung điểm 
củaHK .Nên H, I, K thẳng hàng.
c/ Gọi F là giao điểm của AH và BC.
Ta có D ABF ∽ D AKC (g.g) Þ Þ AB. KC = AK. BF	(1)
Và D ACF ∽ D AKB (g.g) Þ Þ AC. KB = AK. CF	(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta có: AB. KC + AC. KB = AK. BF + AK. CF 
= AK.(BF + CF) = AK.BC
Mà BC = AK Þ AB. KC + AC. KB = AK. AK = AK2 = .(2R)2 = 3R2
Bài 5:
Với x ¹ - 1 ta có y = = x - 2 + .
Với x Î Z thì x + 2 Î Z. Để y Î Z thì Î Z Þ x + 1 Î {- 1 ; 1}
x + 1 = - 1 Þ x = - 2 (thỏa mãn điều kiện).
x + 1 = 1 Þ x = 0 (thỏa mãn điều kiện).
	Vậy y có giá trị nguyên khi x = - 2 ; x = 0 .
Đề số 3 (28 – 04 – 2010)
Câu I: (3 điểm)
1) Giải các phương trình sau: a) b) x(x + 2) – 5 = 0
2) Cho hàm số y = f(x) = 
a) Tính f(-1) ; b) Điểm có nằm trên đồ thị hàm số không ? Vì sao ?
Câu II: (2 điểm)
1) Rút gọn biểu thức 
P = với a > 0 và a 4.
Câu III: (1 điểm)
 Tổng số công nhân của hai đội sản xuất là 125 người. Sau khi điều 13 người từ đội thứ nhất sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất bằng số công nhân của đội thứ hai. Tính số công nhân của mỗi đội lúc đầu.
Câu IV: (3 điểm)
 Cho đường tròn tâm O. Lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D, E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.
Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O). Chứng minh DM AC.
Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2.
Câu V: (1 điểm)Cho biểu thức :
B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008. Tính giá trị của B khi x = 
ĐÁP ÁN VÀ BÀI LÀM
Câu I:
1) a) 
b) x(x + 2) – 5 = 0 x2 + 2x – 5 = 0 
’ = 1 + 5 = 6 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1,2 = .
2) a) Ta có f(-1) = .
b) Điểm có nằm trên đồ thị hàm số y = f(x) = . Vì .
Câu II:
1) Rút gọn: P = = 
= = .
2) ĐK: ’ > 0 1 + 2m > 0 m > .
Theo đề bài : 
 .
Theo Vi-ét : x1 + x2 = 2 ; x1.x2 = -2m.
 1 + 4m2 + 4 + 4m = 5 4m2 + 4m = 0 4m(m + 1) = 0 m = 0 hoặc m = -1.
Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = 0 (t/m).
Vậy m = 0.
Câu III:
Gọi số công nhân của đội thứ nhất là x (người). ĐK: x nguyên, 125 > x > 13.
Số công nhân của đội thứ hai là 125 – x (người).
Sau khi điều 13 người sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất còn lại là x – 13 (người)
Đội thứ hai khi đó có số công nhân là 125 – x + 13 = 138 – x (người).
Theo bài ra ta có phương trình : x – 13 = (138 – x)
 3x – 39 = 276 – 2x 5x = 315 x = 63 (thoả mãn).
Vậy đội thứ nhất có 63 người.
Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người).
Câu V:
Ta có x = .
 x2 = ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = ; x5 = x.x4 = .
Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2 = 4. + 4. - 5. + 5. - 2
1) Ta có (Vì FA AB).
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) 
 .
Vậy tứ giác ABEF nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng 1800).
2) Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên sđ. Trong đường tròn (O) ta có sđ.
 Do đó . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AF // DM. Mặt khác AF AC nên DM AC.
= = -1.
Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 =
 ( ... Óu thøc A. c) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 2.
68. T×m 20 ch÷ sè thËp ph©n ®Çu tiªn cña sè : (20 ch÷ sè 9)
69. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña : A = | x - | + | y 1 | víi | x | + | y | = 5
70. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x4 + y4 + z4 biÕt r»ng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai sè : (n lµ sè nguyªn d­¬ng), sè nµo lín h¬n ?
72. Cho biÓu thøc . TÝnh gi¸ trÞ cña A theo hai c¸ch.
73. TÝnh : 
74. Chøng minh c¸c sè sau lµ sè v« tØ : 
75. H·y so s¸nh hai sè : ; 
76. So s¸nh vµ sè 0.
77. Rót gän biÓu thøc : .
78. Cho . H·y biÓu diÔn P d­íi d¹ng tæng cña 3 c¨n thøc bËc hai
79. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x2 + y2 biÕt r»ng : .
80. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña : .
81. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña : víi a, b > 0 vµ a + b 1.
82. CMR trong c¸c sè cã Ýt nhÊt hai sè d­¬ng (a, b, c, d > 0).
83. Rót gän biÓu thøc : .
84. Cho , trong ®ã x, y, z > 0. Chøng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, , an > 0 vµ a1a2aan = 1. Chøng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) 2n.
86. Chøng minh : (a, b 0).
87. Chøng minh r»ng nÕu c¸c ®o¹n th¼ng cã ®é dµi a, b, c lËp ®­îc thµnh mét tam gi¸c th× c¸c ®o¹n th¼ng cã ®é dµi còng lËp ®­îc thµnh mét tam gi¸c.
88. Rót gän : a) b) .
89. Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a, ta ®Òu cã : . Khi nµo cã ®¼ng thøc ?
90. TÝnh : b»ng hai c¸ch.
91. So s¸nh : a) 
92. TÝnh : .
93. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : .
94. Chøng minh r»ng ta lu«n cã : ; "n Î Z+
95. Chøng minh r»ng nÕu a, b > 0 th× .
96. Rót gän biÓu thøc : A = .
97. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau : 	(a, b > 0 ; a b)
 (a > 0).
98. TÝnh : .
	.
99. So s¸nh : 
100. Cho h»ng ®¼ng thøc : 
 (a, b > 0 vµ a2 b > 0).
¸p dông kÕt qu¶ ®Ó rót gän : 
101. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau :
víi 	(a > 1 ; b > 1)
 víi .
102. Cho biÓu thøc 
a) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P(x) x¸c ®Þnh. Rót gän P(x).
b) Chøng minh r»ng nÕu x > 1 th× P(x).P(- x) < 0.
103. Cho biÓu thøc .
a) Rót gän biÓu thøc A.	b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó biÓu thøc A lµ mét sè nguyªn.
104. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (nÕu cã) hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña c¸c biÓu thøc sau:
105. Rót gän biÓu thøc : , b»ng ba c¸ch ?
106. Rót gän c¸c biÓu thøc sau : 
.
107. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc víi b 0 ; a 
a) b) 
108. Rót gän biÓu thøc : 
109. T×m x vµ y sao cho : 
110. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : .
111. Cho a, b, c > 0. Chøng minh : .
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chøng minh :
.
113. CM : víi a, b, c, d > 0.
114. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : .
115. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : .
116. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = 2x + 3y biÕt 2x2 + 3y2 5.
117. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x + .
118. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
119. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
120. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
121. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
122. Chøng minh c¸c sè sau lµ sè v« tØ : 
123. Chøng minh .
124. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau b»ng ph­¬ng ph¸p h×nh häc :
	 víi a, b, c > 0.
125. Chøng minh víi a, b, c, d > 0.
126. Chøng minh r»ng nÕu c¸c ®o¹n th¼ng cã ®é dµi a, b, c lËp ®îc thµnh mét tam gi¸c th× c¸c ®o¹n th¼ng cã ®é dµi còng lËp ®îc thµnh mét tam gi¸c.
127. Chøng minh víi a, b 0.
128. Chøng minh víi a, b, c > 0.
129. Cho . Chøng minh r»ng x2 + y2 = 1.
130. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 
131. T×m GTNN, GTLN cña .
132. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 
133. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña .
134. T×m GTNN, GTLN cña : 
135. T×m GTNN cña A = x + y biÕt x, y > 0 tháa m·n (a vµ b lµ h»ng sè d¬ng).
136. T×m GTNN cña A = (x + y)(x + z) víi x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.
137. T×m GTNN cña víi x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
138. T×m GTNN cña biÕt x, y, z > 0 , .
139. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña : a) víi a, b > 0 , a + b 1
b) 
 víi a, b, c, d > 0 vµ a + b + c + d = 1.
140. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 3x + 3y víi x + y = 4.
141. T×m GTNN cña víi b + c a + d ; b, c > 0 ; a, d 0.
142. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau :
.
143. Rót gän biÓu thøc : .
144. Chøng minh r»ng, "n Î Z+ , ta lu«n cã : .
145. Trôc c¨n thøc ë mÉu : .
146. TÝnh : 
147. Cho . Chøng minh r»ng a lµ sè tù nhiªn.
148. Cho . b cã ph¶i lµ sè tù nhiªn kh«ng ?
149. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau :
150. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 
151. Rót gän : .
152. Cho biÓu thøc : 
	a) Rót gän P.	b) P cã ph¶i lµ sè h÷u tØ kh«ng ?
153. TÝnh : .
154. Chøng minh : .
155. Cho . H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000.
156. Chøng minh : (a 3)
157. Chøng minh : (x 0)
158. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña , biÕt x + y = 4.
159. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau víi .
160. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau :
161. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau :
162. Chøng minh r»ng : . Tõ ®ã suy ra:
163. Trôc c¨n thøc ë mÉu : .
164. Cho . TÝnh A = 5x2 + 6xy + 5y2.
165. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau : .
166. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : víi .
167. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : .
168. Gi¶i bÊt c¸c pt : a) .
169. Rót gän c¸c biÓu thøc sau :
170. T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc .
171. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña víi 0 < x < 1.
172. T×m GTLN cña : biÕt x + y = 4 ; b) 
173. Cho . So s¸nh a víi b, sè nµo lín h¬n ?
174. T×m GTNN, GTLN cña : .
175. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña .
176. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = | x y | biÕt x2 + 4y2 = 1.
177. T×m GTNN, GTLN cña A = x3 + y3 biÕt x, y 0 ; x2 + y2 = 1.
178. T×m GTNN, GTLN cña biÕt .
179. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : .
180. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : .
181. CMR, "n Î Z+ , ta cã : .
182. Cho . H·y so s¸nh A vµ 1,999.
183. Cho 3 sè x, y vµ lµ sè h÷u tØ. Chøng minh r»ng mçi sè ®Òu lµ sè h÷u tØ
184. Cho . CMR : a, b lµ c¸c sè h÷u tØ.
185. Rót gän biÓu thøc : . (a > 0 ; a 1)
186. Chøng minh : . (a > 0 ; a 1) 
187. Rót gän : (0 < x < 2)
188. Rót gän : 
189. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh : (a 0)
190. Cho 
a) Rót gän biÓu thøc A. 	b) TÝnh gi¸ trÞ cña A víi a = 9.
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× | A | = A.
191. Cho biÓu thøc : .
a) Rót gän biÓu thøc B.	b) TÝnh gi¸ trÞ cña B nÕu .
c) So s¸nh B víi -1.
192. Cho 
a) Rót gän biÓu thøc A.	b) T×m b biÕt | A | = -A.
c) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi .
193. Cho biÓu thøc 
a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m gi¸ trÞ cña A nÕu .	c) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó .
194. Cho biÓu thøc .
a) Rót gän biÓu thøc A.	b) T×m gi¸ trÞ cña A ®Ó A = - 4
195. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 
196. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 
197. Rót gän c¸c biÓu thøc sau :
víi .
b) víi x > y > 0
c) víi ; 0 < a < 1
d) víi a, b, c > 0 vµ ab + bc + ca = 1
e) 
198. Chøng minh : víi x 2.
199. Cho . TÝnh a7 + b7.
200. Cho 
a) ViÕt a2 ; a3 d­íi d¹ng , trong ®ã m lµ sè tù nhiªn.
b) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n, sè an viÕt ®îc díi d¹ng trªn.
201. Cho biÕt x = lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x3 + ax2 + bx + c = 0 víi c¸c hÖ sè h÷u tØ. T×m c¸c nghiÖm cßn l¹i.
202. Chøng minh víi nÎ N ; n 2.
203. T×m phÇn nguyªn cña sè (cã 100 dÊu c¨n).
204. Cho .
205. Cho 3 sè x, y, lµ sè h÷u tØ. Chøng minh r»ng mçi sè ®Òu lµ sè h÷u tØ
206. CMR, "n 1 , n Î N : 
207. Cho 25 sè tù nhiªn a1 , a2 , a3 , a25 tháa ®k : . Chøng minh r»ng trong 25 sè tù nhiªn ®ã tån t¹i 2 sè b»ng nhau.
208. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
209. Gi¶i vµ biÖn luËn víi tham sè a .
210. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
211. Chøng minh r»ng :
a) Sè cã 7 ch÷ sè 9 liÒn sau dÊu phÈy.
b) Sè cã mêi ch÷ sè 9 liÒn sau dÊu phÈy.
212. KÝ hiÖu an lµ sè nguyªn gÇn nhÊt (n Î N*), vÝ dô : 
TÝnh : .
213. T×m phÇn nguyªn cña c¸c sè (cã n dÊu c¨n) : a) 
b) c) 
214. T×m phÇn nguyªn cña A víi n Î N : 
215. Chøng minh r»ng khi viÕt sè x = díi d¹ng thËp ph©n, ta ®îc ch÷ sè liÒn tríc dÊu phÈy lµ 1, ch÷ sè liÒn sau dÊu phÈy lµ 9.
216. T×m ch÷ sè tËn cïng cña phÇn nguyªn cña .
217. TÝnh tæng 
218. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x2(3 x) víi x 0.
219. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : a) 	b) .
220. Cã tån t¹i c¸c sè h÷u tØ d­¬ng a, b kh«ng nÕu : a) b) .
221. Chøng minh c¸c sè sau lµ sè v« tØ : a) 
222. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Cauchy víi 3 sè kh«ng ©m : .
223. Cho a, b, c, d > 0. BiÕt . Chøng minh r»ng : .
224. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : víi x, y, z > 0
225. Cho . Chøng minh r»ng : a < b.
226. a) Chøng minh víi mäi sè nguyªn d­¬ng n, ta cã : .
 b) Chøng minh r»ng trong c¸c sè cã d¹ng (n lµ sè tù nhiªn), sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt
227. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña .
228. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x2(2 x) biÕt x 4.
229. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña .
230. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x(x2 6) biÕt 0 x 3.
231. Mét miÕng b×a h×nh vu«ng cã c¹nh 3 dm. ë mçi gãc cña h×nh vu«ng lín, ngêi ta c¾t ®i mét h×nh vu«ng nhá råi gÊp b×a ®Ó ®îc mét c¸i hép h×nh hép ch÷ nhËt kh«ng n¾p. TÝnh c¹nh h×nh vu«ng nhá ®Ó thÓ tÝch cña hép lµ lín nhÊt.
232. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau :
 (a, b lµ tham sè)
233. Rót gän .
234. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : 
235. X¸c ®Þnh c¸c sè nguyªn a, b sao cho mét trong c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 lµ .
236. Chøng minh lµ sè v« tØ.
237. Lµm phÐp tÝnh : .
238. TÝnh : .
239. Chøng minh : .
240. TÝnh : .
241. H·y lËp ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 víi hÖ sè nguyªn cã mét nghiÖm lµ : .
242. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = x3 + 3x 14 víi .
243. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh : a) .
244. T×m GTNN cña biÓu thøc : .
245. Cho c¸c sè d¬ng a, b, c, d. Chøng minh : a + b + c + d .
246. Rót gän : ; x > 0 , x 8
247. CMR : lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x3 6x 10 = 0.
248. Cho . TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc y = x3 3x + 1987.
249. Chøng minh ®¼ng thøc : .
250. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : .
251. Rót gän c¸c biÓu thøc sau :
a) 
c) .
252. Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M biÕt r»ng:
	.
253. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : (a < b)
254. Chøng minh r»ng, nÕu a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c th× :
	abc (a + b c)(b + c a)(c + a b)
255. T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc | x y | biÕt x + y = 2 vµ xy = -1
256. BiÕt a b = + 1 , b c = - 1, t×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc :
	A = a2 + b2 + c2 ab bc ca.
257. T×m x, y, z biÕt r»ng : .
258. Cho . CMR, nÕu 1 x 2 th× gi¸ trÞ cña y lµ mét h»ng sè.
259. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : (x 1).
260. Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã ®­êng chÐo b»ng 8, h·y t×m h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt.
261. Cho tam gi¸c vu«ng ABC cã c¸c c¹nh gãc vu«ng lµ a, b vµ c¹nh huyÒn lµ c. Chøng minh r»ng ta lu«n cã : .
262. Cho c¸c sè d¬ng a, b, c, a, b, c. Chøng minh r»ng : 
 NÕu .
263. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : | x2 1 | + | x2 4 | = 3.
264. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc C kh«ng phô thuéc vµo x, y :
	 víi x > 0 ; y > 0.
265. Chøng minh gi¸ trÞ biÓu thøc D kh«ng phô thuéc vµo a:
	 víi a > 0 ; a 1 
266. Cho biÓu thøc .
a) Rót gän biÓu thøc B.	
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B khi c = 54 ; a = 24
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ c ®Ó B > 0 ; B < 0. 
267. Cho biÓu thøc : víi m 0 ; n 1
a) Rót gän biÓu thøc A.	b) T×m gi¸ trÞ cña A víi .
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
268. Rót gän 
269. Cho víi x 0 ; x 1.
a) Rót gän biÓu thøc P.	b) T×m x sao cho P < 0.
270. XÐt biÓu thøc .
a) Rót gän y. T×m x ®Ó y = 2.	b) Gi¶ sö x > 1. Chøng minh r»ng 
y - | y | = 0
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y ?