Tài liệu ôn tập học kì 2 lớp 10 THPT môn Toán

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HỌC KỲ II
Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất
4.1. Giải các bất phương trình sau:
 a. 2x(3x – 5) > 0 b. (2x – 3)(3x – 4)(5x + 2) < 0 c. (3x + 2)(16 – 9x2) £ 0 
 d. e. f. 
 g. h. 
4.2. Giải các bất phương trình sau:
 a. b. c. 
 d. e. f. 
 g. h. i. 
4.3. Giải các bất phương trình sau:
 a. |5x – 3| < 2 b. c. |3x – 2| ³ 6 d. 
4.4. Giải hệ bất phương trình:
 a. b. 
4.5. a. Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau 
 b. Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn hệ bất phương trình 
4.6. Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm.
II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai
4.7. Xét dấu các biểu thức sau:
 a. A = 2x2 – 5x + 2 B = 4 – x2 C = 2x2 – 3x D = 2x2 – 2x + 2
 b. f(x) = (3 – x)(x2 + x – 2) g(x) = h(x) = (3x2 + 7x)(9 – x2)(2x + 1)
 c. 
4.8. Giải các bất phương trình:
 a. –5x2 + 19x + 4 > 0 b. 7x2 – 4x – 3 £ 0 c. 2x2 + 8x + 11 £ 0 
 d. e. f. 
 g. h. 
4.9. Tìm tập xác định của hàm số: a) b) 
4.10. Tìm m để phương trình sau:
 a. mx2- 2mx + 4 = 0 vô nghiệm b. (m2 -4)x2 +2(m – 2)x + 3 = 0 vô nghiệm 
 c. (m+1)x2 -2mx + m -3 = 0 có 2 nghiệm d. (m – 2)x2 – 2mx + m + 1 = 0 có hai nghiệm 
4.11. Giải hệ bất phương trình:
 a. b. c. 
 d. e. 
Chương V: THỐNG KÊ
5.1. Cho bảng phân bố tần số khối lượng 30 quả trứng gà của một rổ trứng gà : 
Khối lượng (g)
Tần số
25
3
30
5
35
7
40
9
45
4
50
2
Cộng
30
 a. Lập bảng phân bố tần suất.
 b. Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc tần số và biểu đồ tần suất hình quạt.
 c. Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt của mẫu số liệu.
 d. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
5.2. Đo chiều cao của 36 học sinh của một trường THPT, ta có mẫu số liệu sau (đơn vị: cm)
 160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 
 164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 
 168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174 
 a. Tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
 b. Lập bảng phân bố tần số, tần suất với các lớp ghép là [160; 163), [163; 166), ....
 c. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột, hình quạt.
 d. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn nhận được từ bảng trên. So sánh với kết quả nhận được ở câu b.
5.3. Thành tích chạy 50m của học sinh lớp 10A ở trường C (đơn vị: giây)
 6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 7,2 8,3 8,5 7,4 7,3 7,2 
 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 
 a. Tính số trung vị và mốt của mẫu số liệu.
 b. Lập bảng phân bố tần suất với các lớp ghép: [6,0 ; 6,5) , [6,5 ; 7,0) , [7,0 ; 7,5) , ....
 c. Trong lớp học sinh được khảo sát, số học sinh chạy 50m hết từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu phần trăm.
 d. Nêu nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê đã cho.
5.4. Trong một cuộc thi bắn có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 30 viên đạn. Kết quả cho trong 2 bảng dưới đây:
Điểm số của xạ thủ A
 6 10 10 10 8 10 9 5 8 8 10 5 10 10 9 
 8 10 6 8 9 10 9 9 9 9 9 7 8 6 8 
Điểm số của xạ thủ B
 6 9 9 9 8 8 5 9 10 10 9 6 7 8 10 
 9 9 10 10 10 7 7 8 8 8 8 7 10 9 9 
 a. Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho trong hai bảng trên.
 b. Xét xem xạ thủ nào bắn giỏi hơn?
Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Hệ thức cơ bản.
6.1. Đổi số đo các góc sau sang radian: a. 200 b. 63022’ c. –125030’
6.2. Đổi số đo các góc sau sang độ, phút, giây: a. b. c. 
6.3. Chứng minh các đẳng thức:
 a. b. 
 c. d. 
 e. sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x f. sin4x – cos4x = 1 – 2cos2x 
 g. sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x h. tanxtany(cotx + coty) = tanx + tany
6.4. Chứng minh biểu thức độc lập đối với x.
 A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) B = cos2x.cot2x + 3cos2x – cot2x + 2sin2x
 C = D = 
6.5. Đơn giản các biểu thức:
 A = cos2a + cos2a.cot2a B = sin2x + sin2x.tan2x C = 
 D = (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)2 E = cos4x + sin2xcos2x + sin2x
6.6. Tính các giá trị lượng giác của góc a, biết:
 a. sina = và b. cosa = và 
 c. tana = và d. cota = –3 và 
6.7. Tính giá trị của các biểu thức:
 A = khi sinx = (2700 < x < 3600)
 B = khi cosa = (1800 < x < 2700) C = khi tana = 3
 D = biết cota = –3 E = sin2a + 2cos2a biết tana = 2
6.8. Tính biểu thức:
 a. Cho t = cosx + sinx, tính sinxcosx theo t b. Cho t = cosx – sinx, tính sinxcosx theo t
 c. Cho t = tanx + cotx, tính sinxcosx theo t d. Cho t = tanx – cotx, tính sin2xcos2x theo t
II. Cung liên kết
6.9. Rút gọn các biểu thức:
 A = 
 B = 
 C = 
 D = 
 E = 
 Cho P = sin(p + a) cos(p – a) và . Tính P + Q 
6.10. Tính các biểu thức:
 A = B = 
 C = D = tan100tan200tan300.tan700tan800
 E = cos200 + cos400 + cos600 +  + cos1600 + cos1800
 F = cos23o + cos215o + cos275o + cos287o. 
6.11. Tính:
 a. cosx biết b. sinx biết 
 c. sinx biết 
 d. cosx và sinx biết 
 e. tanx và cotx biết 
6.12. Tính :
 a. sin(a +10800), cos(2700 – a), tan(a – 7200), cot(4500 + a) biết cosa = 0,96 (3600 <a < 4500)
 b. biết sina = (p < a < 2p )
 c. biết tana = 
6.13. A, B, C là 3 góc của tam giác, chứng minh :
 a. sin(A + B) = sinC b. cos(B + C) = –cosA c. tan(A + C) = –tanB
 d. e. f. 
 g. Tính: tan(3A + B + C)cot(B + C - A) 
III. Công thức cộng
6.14. Thu gọn các biểu thức:
 A = sin320cos620 – cos320sin620 B = cos440cos460 – sin460sin440 
 C = cos360sin240 + cos240sin360 D = sin220sin380 – cos220sin380 
 E = F = G = 
6.15. Thu gọn các biểu thức:
 A = B = C = 
 D = E = 
6.16. Tính các giá trị lượng giác của góc a biết a bằng
 a. 750 b. 1650 c. 3450 d. e. f. 
6.17. Chứng minh các đẳng thức:
 a. b. 
 c. sin(a + b)sin(a – b) = sin2a – sin2b d. cos(a + b)cos(a – b) = cos2a – sin2b
 e. sin2(a + b) – sin2a – sin2b = 2sinasinbcos(a + b) f. 
6.18. Cho . Tính cosa và sina.
IV. Công thức nhân
6.19. Thu gọn các biểu thức:
 a. sinxcosx b. c. sin3xcos3x d. sin150cos750
 e. cos2150 – sin2150 f. 2sin22x – 1 g. h. 
6.20. Thu gọn các biểu thức:
 a. cos4x – sin4x b. 3cos2x – 4sinxcosxsin2x – 1
 c. d. 
6.21. Tính:
 a. tan150 , sin150 b. cos67030’ , sin67030’ c. cos100sin500cos700
6.22. Tính:
 a. nếu tana = 0,2 b. nếu tana = 2
 c. sin2x nếu cosx – sinx = d. sin2x nếu 
 e. nếu f. nếu sina = 0,8 và 
6.23. Chứng minh:
 a. b. c. 
 d. e. 
V. Công thức biến đổi:
6.24. Biến đổi thành tổng:
 a. sin360cos240 b. sin360sin540 c. cos360cos240 d. cos240sin660
6.25. Biến đổi tổng thành tích:
 a. cos360 + cos240 b. cos540 – cos360 c. sin720 – sin180 d. sin700 + sin200
 e. 2cos2x –1 f. 2sinx – g. tan660 + tan240 h. tan540 – tan240
6.26. Thu gọn các biểu thức:
 a. b. c. 
 d. sin3xcos5x - sin5xcos3x 
6.27. Chứng minh:
 a. Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina 
 b. Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana
 c. Nếu tanatanb = 1 thì sin2a = sin2b ; cos2a = –cos2b
HÌNH HỌC 10 Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
2.1. Cho rABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH.
 a. Cho AB = 15, AC = 8. Tính BC, AH. b. Cho BC = 9, HC = 4. Tính AB, AC, AH
 c. Cho HB = 3, HC = 12. Tính AB, AC, BC, AH d. Cho AB = 4, HC = 6. Tính AC, BC, AH.
2.2. Cho rABC cân tại A. Kẻ hai đường cao AH, BK. Cho AH = 20, BK = 24. Tính độ dài 3 cạnh của rABC.
2.3. Chu vi hình thoi là 20, hiệu 2 đường chéo là 2. Tính độ dài hai đường chéo và diện tích hình thoi.
2.4. Cho rABC vuông, kẻ đường cao AH.
 a. Cmr: AB2.CH = AC2.BH b. Cmr: AH = BC.sinB.sinC
 c. Gọi D, E là trung điểm AB, BC. Kẻ DF ^ BC. Cmr : BD2.FE = DE2.FB
2.5. Cho rABC vuông tại A. Gọi AD, BE, CF là 3 trung tuyến. Cmr: BE2 + CF2 = 5AD2.
II. Hệ thức lượng trong tam giác thường.
2.6. Cho rABC có AB = 5 cm, AC = 8 cm, .
 a. Tính độ dài cạnh BC, diện tích và đường cao AH của rABC.
 b. Tính bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp rABC, độ dài trung tuyến BM của tam giác.
 c. Tính độ dài phân giác trong AD của rABC.
2.7. Cho rABC có a = 21, b = 17, c = 10.
 a. Tính cosA, sinA và diện tích rABC b. Tính ha, mc, R, r của rABC.
2.8. a. Cho rABC có AB = 7, AC = 8, . Tính cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
 b. Cho rABC có AB = 3, AC = 5, BC = 7. Tính góc A.
 c. Cho , BC = 7, AB + AC = 8. Tính AB, AC.
2.9. Cho rABC. Đặt a = BC, b = AC và c = AB.
 a. Cho . Tính góc A.
 b. Cho . Tính số đo 3 góc.
 c. Cho . Tính số đo 3 góc.
2.10. Cho rABC, kẻ đường cao AH. Cho HA = 12, HB = 4, HC = 6. Tính số đo góc A.
2.11. Cho , b = , c = 4. tính cạnh a, bán kính R và đường cao BH của rABC.
2.12. Cho hình bình hành ABCD tâm O.
 a. Cho AB = 5, AD = 8, . Tính độ dài hai đường chéo và diện tích.
 b. Cho AB = 13, AD = 19, AC = 24. Tính BD.
2.13. Cho rABC. Chứng minh:
 a. (b + c)sinA = a(sinB + sinC) b. b2 – c2 = a(bcosC – c.cosB) c. a = bcosC + c.cosB
 d. e. 
2.14. Cho rABC có . Chứng minh: b(a2 – b2) = c(a2 – c2)
2.15. Cho rABC có 2BC = AB + AC. Gọi R, r là bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp. CMR:
 a. sinB + sinC = 2sinA b. AB.AC = 6Rr
2.16. Cho rABC có 3 cạnh là a, b, c. Gọi ma, mb, mc là 3 trung tuyến và G là trọng tâm.
 a. Cmr: b. 
2.17. Giải rABC biết a = 7,1 ; b = 5,3 ; c = 3,2.
2.18. Cho ΔABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Gọi D là trung điểm của BC, tính bán kính đường tròn đi qua ba điểm A, B, D. 
 2.19. a. Cho ΔABC có A = 1200, C = 150, AC = 2. Tính độ dài hai cạnh còn lại
 b. Cho ΔABC có BC = 8, AB = 3, AC = 7. Lấy điểm D trên BC sao cho BD = 5. Tính AD
 c. Cho ΔABC có ba cạnh AB= 13, AC= 14, BC= 15. Kẻ AH ^ BC, Tính độ dài đoạn BH và HC 
Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. Phương trình đường thẳng.
3.1. Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng r biết:
 a. r đi qua M(2; –3) và có vectơ pháp tuyến 
 b. r đi qua 2 điểm A(0; 5) và B(4; –2)
 c. r đi qua điểm N(6 ; –1) và có hệ số góc k = .
 d. r đi qua P(–3 ; 2) và vuông góc với đường thẳng : 4x – 5y +1 = 0.
3.2. Cho phương trình tham số của r 
 a. Tìm toạ độ điểm M nằm trên r và cách A(–3 ; –1) một khoảng là .
 b. Tìm điểm N trên r sao cho AN ngắn nhất.
 c. Tìm toạ độ giao điểm của đường thằng r và đường thẳng x + y = 0.
3.3. Lập phương trình tổng quát của 3 đường trung trực và 3 cạnh của rABC biết các trung điểm của BC, CA và AB là M(4; 2), N(0; –1), P(1; 4).
3.4. Cho rABC với A(3; 2), B(1;1), C(5; 6). 
 a. Viết pt tổng quát các cạnh của rABC.
 b. Viết pt tổng quát đường cao AH, đường trung tuyến AM.
3.5. Cho M(2; 1) và đường thẳng d: 14x – 4y + 29 = 0. Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên d và tìm toạ độ điểm đối xứng M’ của M qua đường thẳng d.
3.6. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau:
 a. r1: 2x + 3y – 5 = 0 và r2: 4x – 3y – 1 = 0
 b. r1: 2x + 1,5y + 3 = 0 và r2: c. r1: và r2: 
3.7. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
 a. M(5; 1) và r: 3x – 4y – 1 = 0 b. M(–2; –3) và r: 
3.8. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong các trường hợp:
 a. d1: 3x – y + 1 = 0 và d2: 2x – 4y + 6 = 0
 b. d1: 2x – 3y + 7 = 0 và d2: c. d1: x = 2 và d2: 
3.9. Cho 2 điểm A(–1; 2), B(3; 1) và đường thẳng r : . Tìm điểm C trên r sao cho tam giác ABC là tam giác cân tại C.
3.10. Viết phương trình đường thẳng r đi qua M(2; 5) và cách đều hai điểm P(–1; 2) , Q(5; 4).
3.11. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(-2,1) và pt đường thẳng CD là 3x - 4y + 2 = 0. Viết phương trình các đường thẳng còn lại của hình bình hành. 
3.12. Tìm m để hai đường thẳng: x+(2m-3)y-3=0 và vuông góc với nhau.
II. Phương trình đường tròn.
3.13. Trong các phương trình sau, phương trình nào phương trình của đường tròn? Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
 a. x2 + y2 – 2x + 4y – 1 = 0 b. x2 + y2 – 6x + 8y + 50 = 0 c. 
3.14. Lập phương trình đường tròn (C) biết:
 a. (C) có tâm I(6; 1), tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0.
 b. (C) có đường kính AB biết A(1 ; -2), B(0 ; 3) . 
 c. (C) có bán kính R=1, tiếp xúc với trục hoành và có tâm nằm trên đường thẳng: x +y – 3 = 0
 d. (C) đi qua 3 điểm A(1 ;2), B(5 ; 2), C(1 ; –3).
3.15. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x – 2y = 5. Lập phương trình tiếp tuyến d.
 a. Tại điểm M(1; 4).
 b. Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3.
 c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x.
3.16. Cho đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5. Lập phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(3; –2).
3.17. Ba đường thẳng r1: x – 2y + 8 = 0, r2: 2x – y + 4 = 0 và r3: y = 0 tạo thành rABC.
 a. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp rABC.
 b. Viết phương trình đường tròn nội tiếp rABC.
III. Phương trình đường elip.
3.18. Trong mặt phẳng Oxy cho (E): 
 a. Xác định toạ độ các tiêu điểm, đỉnh, tâm sai và độ dài các trục của elip.
 b. Tìm các điểm M thuộc (E) sao cho 3MF1 – 2MF2 = 1.
3.19. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
 a. Có một đỉnh có toạ độ (0; –2) và một tiêu điểm F1(–1; 0)
 b. (E) đi qua hai điểm và N(–2 ; 1)
 c. Hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng y = 2, cạnh còn lại nằm trên đường thẳng x + 3 = 0.
 d. Biết độ dài trục nhỏ bằng 10 và tâm sai e = .
3.20. Cho phương trình elip (E): . Hãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là F1F2 (F1, F2 là 2 tiêu điểm của elip).