Tài liệu tự học Vec tơ

Phần I: VÉC TƠ
I/ Phần tự học với SGK(1 buổi)
Bạn hãy tự đọc SGK và trả lời các câu hỏi sau:
Câu hỏi: là gì?
Véc tơ là gì?Kí hiệu.
 Độ dài véc tơ là gì? Kí hiệu. 
Véc tơ không là gì?. Kí hiệu.
Véc tơ đơn vị là gì?. Kí hiệu.
Câu hỏi: Như thế nào là?
Hai véc tơ như thế nào được gọi là: cùng phương? Cùng hướng? Bằng nhau?Đối nhau?
Vẽ 6 véc tơ, trong đó có 3 véc tơ bằng nhau và 3 véc tơ không bằng 3 véc tơ ấy.
Điền vào chỗ còn thiếu: Một véc tơ hoàn toàn xác định nếu biết .
Tổng của 2 véc tơ.
Vẽ véc tơ tổng của a b (Bằng 2 cách) 
Vẽ véc tơ tổng của 2 véc tơ: 
Vẽ véc tơ tổng của 3 véc tơ: ( Bằng 2 cách)
 a b c
Từ việc vẽ thành thạo các véc tơ tổng, hãy:
Định nghĩa: tổng của 2 véc tơ, hiệu của 2 véc tơ.Nêu các tính chất của 2 phép toán.
Trong mặt phẳng cho 3 điểm M,N,P tuỳ ý. Viết biểu thức của quy tắc 3 điểm và mở rộng quy tắc này.
Cho véc tơ a . Hãy vẽ các véc tơ 2a ; -3a ; 23a . Từ đó nêu định nghĩa véc tơ k.a ,nêu các tính chất của phép toán này và ĐK để 2 véc tơ cùng phương. 
II/ Hai định lí quan trọng về véc tơ ( Điền vào chỗ trống và chứng minh)
	Định lí 1: ChoM là trung điểm của đoạn thẳng AB, I là 1 điểm bất kì. Ta luôn có:
IM=IA+ 2
	Định lí 2: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta luôn có:
GA+GB+GC=
III/ Những thử thách
Chứng minh các đẳng thức véc tơ
Bài 1: Cho 4 điểm A,B,C,D. Gọi M,N,I lần lượt là trung điểm của AB,CD và MN. 
Chứng minh:
MN=12(CB+DA)
OA+OB+OC+OD=0.
EA+EB+EC+ED=4EO
Bài 2: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là 1 điểm bất kì. Chứng minh
IA+IB+IC=3IG .
Bài 3: Cho tam giác ABC
M là 1 điểm trên BC sao cho MB = 2MC. Biểu diễn AMtheo ABvàAC
P, Q lần lượt là điểm trên AB và AC sao cho AP = PB, AQ = 3QC. Gọi I là điểm thuộc PQ sao cho PQ = 3 PI. Biểu diễn AItheo ABvàAC.
Bài 4 : Cho tam giác ABC. M là điểm đố xứng của trọng tâm G qua A. ch/m rằng :
5MA-MB-MC=0 
Gọi N là điểm đối xứng của B quaG. Ch/m : 3AN=2AC-AB.
Bài 5: Tam giác ABC. Gọi D và E là 2 điểm sao cho : BD=23BC; CE=23CA .
Chứng minh DE=13(AB+AC) .
Tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước.
Cho tam giác ABC. Xác định các điểm I,K,M biết;
a. 2IA-IB=0 ; b. 2KA+KB-KC=AB ; c. 3MA-2MB+MC=0
Giải bài toán bằng phương pháp véc tơ.
Bài 1: Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M,N,P sao cho: 
MA+3MB=6NB-NC=PC+2PA=0 .
Tính AN theoAM và AP .
Chứng tỏ M,N,P thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm P,Q sao cho PA=2PB ; 3QA+2QC=0 
Chứng minh: PQ đi qua trọng tâm của tam giác ABC.
IV/ Một vài tham khảo
	VD1: Tam giác ABC. Lấy M,N,P sao cho: MB=2MC ; NA+2NC=0 ; PA+PB=0
Chứng minh: PN=23AC-12AB
Chứng tỏ M,N,P thẳng hàng.
Bài giải:
Ý tưởng
A
 P N
 B C M 
Vẽ hình đúng
Suy ra: PA=PB; CM=CB; AN=2NC
Có thể biểu diễn AP theo AB và AN theo AC.
Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với P,A,N.
ĐK để M,N,P thẳng hàng là:2 véc tơ
PM và PN cùng phương ↔PM=kPN
Nhìn vào câu a thấy cần biểu diễn PM theo 2 véc tơ AB và AC 
Hiện thực
Theo quy tắc 3 điểm ta có:
PN=PA+PN (*)
Mà: PA+PB=0→PA=12AB
NA+2NC=0→ AN=23AC 
Thay vào (*):PN=23AC-12AB 
Chứng minh tương tự ta được: 
PM=2BC+12AB .
Mà BC=AC-AB Suy ra
 PM=2AC-32AB (**)
So sánh (*) và (**) ta có: PM=3PN 
Chứng tỏ PMvàPN cùng phương
Vậy 3 điểm M,N,P thẳng hàng.
VD 2: Cho tam giác ABC. Xác định điểm K biết 2KA+KB-KC=AB (*)
Bài giải: Đến đây nên chú ý rằng: Quy tắc 3 điểm là công cụ quan trọng trong biến đổi véc tơ.
Ý tưởng
Làm thế nào để xác định K?
3 điểm A,B,C là đã cho, như vậy K phụ thuộc vào A,B,C.
Nhìn vào (*) ta chợt để ý: KB-KC
Và nghĩ tới quy tắc 3 điểm. Từ đó biến đổi đơn giản (*)
AB-CB=AB+BC=AC
KA=-AK 
Có thể làm gọn (*) bằng cách nào khác không ?
Với điểm O bất kì, sử dụng quy tắc 3 điểm ta có thể « gom K về 1 chỗ » 
Thử vẽ điểm K :
 B
K A C
Hiện thực
C1/ Ta có KB-KC=CB ( qt 3 điểm)
(*)↔2KA+CB=AB 
 ↔2KA=AB-CB
 ↔AK=-12AC (**)
Vậy K là 1 điểm thoả (**)
C2/ Với điểm O bất kì ta luôn có:
 * ↔2KO+OA+KO+OB
 -KO+OC=AO+OB
↔2KO=-3OA+OC
↔OK=-12(OC-3OA) (***)
Nếu ta chọn O là A :(***) ↔AK=-12AC
Nếu ta chọn O là C :(***) ↔CK=32CA
V/ Tích vô hướng của 2 véc tơ.
Bạn đọc sách và cho biết :
Tích vô hướng của 2 véc tơ là gì ? Kí hiệu.
Tích vô hướng có những tính chất gì ?
ĐK để 2 véc tơ vuông góc với nhau.
Những thử thách
Bài 1 : Tam giác đều ABC cạnh bằng 2a,H là trung điểm của BC.Tính  AB.AC ; AB.HA
Bài 2 : Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Tính BA.BC
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Ch/m rằng AB.CD+AC.BD+AD.BC=0, từ đó suy ra rằng trong 1 tam giác 3 đường cao đồng quy.
Bài 4: Tam giác ABC. Gọi H là trực tâm, M là trung điểm của BC. 
Ch/m rằng MA.MH=BC24
Bài 5: Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. CMR: điều kiện cần và đủ để 2 đường trung tuyến BM và CN vuông góc là b2 + c2 = 5a2.
Một tham khảo: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ch/m AB2 = BH.BC (1)
Để ý : AB ┴ AC suy ra AB.AC=0 ; AH ┴ BC suy ra AH.BC=0(2)
(Bằng cách nào sử dụng các kết quả trên để ch/m (1) ?)
Do AB2 = AB2; BH và BC cùng hướng nên BH.BC=BH.BC 
Có thể viết lại AB2=BH.BC
Bài giải: 
C1/ Sử dụng tam giác đồng dạng 
C2/ Ta có BH=AH-AB; BC=AC-AB (quy tắc 3 điểm)
Do đó VP = AH-AB. (AC-AB) Sử dụng tính chất phân phối ta được
VP = AB2-AB.AC+AH.BC Sử dụng kết quả (2) suy ra VP = AB2 = VT 
Tài liệu này là một trong những nội dung nhỏ mà chúng tôi soạn cho học sinh tự học, tự
 làm việc với SGK có gì sai sót quý thầy cô bổ sung ý kiến giúp. Và phần sau còn nữa quý
 vị nào quan tâm thì truy cập vào trang website của trường chúng tôi 
Trường THPT Nguyễn Khắc Viện – Hương Sơn – Hà Tĩnh.