Tam thức bậc hai - Từ một kết quả đơn giản đến các bài thi học sinh giỏi

MATH AND YOUTH MAGAZINE
TAM THỨC BẬC HAI - TỪ MỘT
KẾT QUẢ ĐƠN GIẢN ĐẾN CÁC BÀI
THI HỌC SINH GIỎI
Tam thức bậc hai đã không còn xa lạ gì với học sinh phổ thông
khi học môn toán. Những tính chất đẹp và đặc trưng của nó đã
được sử dụng rất hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau của
toán học. Những tính chất đó đã được giới thiệu trong nhiều
bài viết khác nhau trên các tạp chí như toán học tuổi trẻ, toán
tuổi thơ, ... Ở đây, trong bài viết này, chúng tôi xin được giới
thiệu cùng các bạn một tính chất khá đặc biệt của tam thức
bậc 2 mà từ tính chất này với một cách sử dụng khéo léo, ta
có thể giải được các bài bất đẳng thức thi Olympic toán quốc
tế khá dễ dàng. Tính chất đó chính là
Định lý 1 Trong mọi tam thức f (x) = ax2+bx+ c;
a) Nếu a 0 thì với mọi x 2 [x1;x2] ; ta có
f (x)maxf f (x1); f (x2)g :
b) Nếu a 0 thì với mọi x 2 [x1;x2] ; ta có
f (x)maxf f (x1); f (x2)g :
Chứng minh kết quả này khá dễ dàng nên được dành cho bạn
đọc. Kết quả trên có ý nghĩa khá quan trọng trong bất đẳng
thức, chẳng hạn, để chứng minh rằng f (x) = ax2+bx+cm
với mọi x2 [x1;x2] thì theo kết quả trên, ta chỉ cần xét bất đẳng
thức này tại x = x1 và x = x2 là đủ. Tính chất này cũng được
ứng dụng khá nhiều trong phương pháp dồn biến để chứng
minh bất đẳng thức, một phương pháp mà hiện nay đã không
còn xa lạ với nhiều bạn đọc yêu toán. Bây giờ chúng ta sẽ đi
đến một số ví dụ để minh họa cho tính chất đẹp này
Ví dụ 1 Cho các số a;b;c 2 [1;2] : Chứng minh rằng
a3+b3+ c3  5abc:
(Toán học tuổi trẻ)
LỜI GIẢI. Không mất tính tổng quát, giả sử a b c; thế thì
từ giả thiết, ta có 2c a b c: Suy ra
a3+b3+ c35abc 2ca2+b3+ c35abc= f (a):
Ta thấy f (a) là một tam thức bậc 2 với hệ số cao nhất là 2c>
0; nên theo định lý 1a với chú ý rằng 2c a b; ta có f (a)
maxf f (2c); f (b)g : Lại có
f (2c) = (b c)(b2+bc9c2)
 (b c)(4c2+2c 
 c8c2)
= 2c2(b c) 0;
và
f (b) = b3+ c33b2c= b2(b2c)+ c(c2b2)< 0:
Vậy nên f (a)  0 và bất đẳng thức của ta được chứng minh.

Ví dụ 2 Cho các số không âm a;b;c;d thỏa mãn a+b+ c+
d = 1: Chứng minh rằng
abc+bcd+ cda+dab 1
27
+
176
27
abcd:
(Nguyễn Minh Đức, IMO Shorlist)
LỜI GIẢI. Đặt x = ab;thì ta có 0  x  (a+b)24 ; và bất đẳng
thức của ta trở thành
f (x) =

c+d 176
27
cd

x+ cd(a+b) 1
27
 0:
Đây là một tam thức bậc 2 với hệ số cao nhất là 0 nên theo kết
quả trên, ta có
f (x)max

f (0); f

(a+b)2
4

:
Do đó, nếu ta đặt P(a;b;c;d) = abc+bcd+cda+dab 127
176
27 abcd thì ta thấy kết quả trên tương đương với
P(a;b;c;d)max

P(a+b;0;c;d);P

a+b
2
;
a+b
2
;c;d

:
Và như vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng
max

P(a+b;0;c;d);P

a+b
2
;
a+b
2
;c;d

 0;
hay nói cách khác, ta chỉ cần xét bất đẳng thức đã cho trong
trường hợp a= b hoặc ab= 0 là đủ. Bằng cách lập luận tương
tự, ta cũng suy ra được ta chỉ cần xét bất đẳng thức đã cho
trong trường hợp c= d hoặc cd = 0: Từ đó, bằng cách kết hợp
cả 2 lập luận trên, ta đi đến ta chỉ cần xét các trường hợp sau
Trường hợp 1. Nếu b = d = 0; khi đó bất đẳng thức là hiển
nhiên vì
abc+bcd+ cda+dab 176
27
abcd = 0<
1
27
:
Trường hợp 2. Nếu a= b;d = 0; thì ta có
abc+bcd+cda+dab 176
27
abcd= abc

a+b+ c
3
3
=
1
27
:
Trường hợp 3. Nếu a = b;c = d; thì ta có c = 12a2 ; và bất
đẳng thức đã cho trở thành
a2(12a)+ 1
2
a(12a)2  1
27
+
44
27
a2(12a)2;
hay
(4a1)2(22a211a+2) 0:
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do 22a2+ 2  4p11a 
11a: Vậy bài toán đã cho được giải quyết. 
Ví dụ 3 Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng
minh rằng
a2b(ab)+b2c(b c)+ c2a(ca) 0:
(IMO 1983)
c
VÕ QUỐC BÁ CẨN, ĐHYD CẦN THƠ 1
MATH AND YOUTH MAGAZINE
LỜI GIẢI. Do tính hoán vị vòng quanh, ta có thể giả sử rằng
a c b (nhưng ta lại không thể giả sử ngược lại là a b
c!); khi đó ta có
a2b(ab) = b(ab)(a c)2+bc(2a c)(ab)
 bc(2a c)(ab):
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh được
b(2a c)(ab)+b2(b c)+ ca(ca) 0;
hay f (a)= (2bc)a2(2bc)(b+c)a+b3 0:Nếu c 2b;
thì f (a) là một tam thức bậc 2 với hệ số cao nhất không dương,
nên theo định lý 1b; ta có f (a)minf f (b+ c); f (c)g : Lại có
f (b+c) = b3 > 0; và f (c) = b(bc)2  0 nên bất đẳng thức
đúng trong trường hợp này. Nếu 2b c; thì ta có
(2b c)a2 = (2b c)(a c)2+ c(2b c)(2a c)
 c(2b c)(2a c):
Nên ta chỉ cần chứng minh được
c(2b c)(2a c) (2b c)(b+ c)a+b3  0:
Nhưng bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì
c(2b c)(2a c) (2b c)(b+ c)a+b3
= (2b c)(cb)a+ c32bc2+b3
 (2b c)(cb)c+ c32bc2+b3
= b(b c)2  0:
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c:

Ví dụ 4 Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng
minh rằng
a2

b
c
1

+b2
 c
a
1

+ c2
a
b
1

 0:
(Moldova TST, 2006)
LỜI GIẢI. Do tính hoán vị vòng quanh, ta có thể giả sử rằng
a c b; khi đó ta có thể viết bất đẳng thức đã cho dưới các
dạng tương đương sau
a2

b
c
1

+
c3
b
 c2

+

c2a
b
+
b2c
a
b2 c
3
b

 0;
(cb)(c3a2b)
bc
+
(a c)(c2ab3)
ab
 0;
(cb)(c3a2b)
c
+
(a c)(c2ab3)
a
 0:
Bây giờ, ta để ý rằng
(a c)(c2ab3)
a
= (a c)

c2 b
3
a

 (a c)

c2 b
3
c

=
(a c)(c3b3)
c
:
Nên ta chỉ cần chứng minh được
(cb)(c3a2b)
c
+
(a c)(c3b3)
c
 0;
hay
f (a) = c3a2b+(a c)(b2+bc+ c2) 0:
Ta thấy f (a) là một tam thức bậc 2 với hệ số cao nhất
là b < 0; mà c  a  b+ c; nên theo định lý 1b; ta có
f (a)minf f (c); f (b+ c)g : Lại có
f (c) = c2(cb) 0;
và
f (b+c) = c3b(b+c)2+b(b2+bc+c2) = c(c2b2) 0:
Nên f (a) 0 và bất đẳng thức của ta được chứng minh. Đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi a= b= c: 
Lời kết.Các bạn thấy đấy, có những cái thật sự đơn giản nhưng
nếu ta biết áp dụng chúng một cách sáng tạo và khéo léo thì
có thể biến những cái đơn giản đó thành một phương pháp,
một kỹ thuật mới giúp ta có thể giải được các bài toán khó mà
trước mắt là phục vụ cho các kỳ thi học sinh giỏi. Bài viết trên
vẫn còn nhiều thiếu sót và cần được hoàn thiện thêm, chúng
tôi rất mong nhận được sự trao đổi góp ý cùng các bạn đọc
gần xa! Cuối cùng, để kết thúc bài viết này, xin được nêu lên
một số bài tập mà ta có thể áp dụng tính chất đẹp này để giải
1. Cho a;b;c;d 2 [0;1] : Chứng minh rằng
a2b+b2c+ c2d+d2aab2bc2 cd2da2  8
27
:
2. Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng
minh rằng
3

a
b
+
b
c
+
c
a

 2

b
a
+
c
b
+
a
c

+1:
(Vasile Cirtoaje, Old And New Inequalities I)
3. Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng
minh rằng
3

a2
b2
+
b2
c2
+
c2
a2

 a2+b2+ c2
 1
a2
+
1
b2
+
1
c2

:
(Walker, American Monthly Magazine)
4. Cho các số không âm a;b;c;d thỏa mãn a+b+c+d= 4.
Chứng minh rằng
(1+3a)(1+3b)(1+3c)(1+3d) 125+131abcd:
(Phạm Kim Hùng)
5. Cho các số không âm x;y;z: Tìm hằng số k lớn nhất sao
cho bất đẳng thức sau đúng
x3+y3+z3+k(xy2+yz2+zx2) (k+1)(x2y+y2z+z2x):
(Mongolia TST, 2008)
c
VÕ QUỐC BÁ CẨN, ĐHYD CẦN THƠ 2
MATH AND YOUTH MAGAZINE
Võ Quốc Bá Cẩn
Sinh viên lớp YY0647A1, trường ĐHYD Cần Thơ.
Địa chỉ: C65 khu dân cư Phú An, phường Phú Thứ, quận Cái
Răng, thành phố Cần Thơ.
Điện thoại: 01687 149 971.
c
VÕ QUỐC BÁ CẨN, ĐHYD CẦN THƠ 3